数列-圆锥曲线-导数 专题训练

数列、圆锥、导数1. 已知椭圆125100:22=+y x E 的上顶点为A ，直线4-=y 交椭圆E 于点B ，C （点B 在点C 的左侧），点P 在椭圆E 上。

（Ⅰ）求以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程；（Ⅱ）若四边形ABCP 为梯形，求点P 的坐标；（Ⅲ）若n m ⋅+⋅=（m ，n 为实数），求n m +的最大值及对应的P 的坐标。

解：（Ⅰ）设此抛物线的方程为22y px =…1 分，椭圆的右焦点为2p∴=即p =…2分，∴此抛物线的方程为2y =…3分（Ⅱ）(0,5),(6,4),(6,4)A B C ---…4分，要使四边形ABCP 为梯形，当且仅当||CP AB 32AB k =∴直线CP 的方程为34(6)2y x +=-即3132y x =-…5分，把3132y x =-代入22110025x y +=得：25782880x x -+=…6分 ，解得：6x =或485（由韦达定理求得也可…7分487(,)55P ∴…8分 （Ⅲ）方法一：设(,)P x y ，易知(6,9),(12,0),(6,4)BA BC BP x y ===++n m ⋅+⋅=6612,49x m n y m ∴+=++= …9分，则432103226,,93636y x y x y m n m n +-+++==+= …10分令32x y t +=，由2232110025x y tx y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得：221061000x tx t -+-=…11分，由0∆≥得：223640(100)0t t --≥即21000t ≤，t ∴-≤≤…12分max ()m n ∴+==，…13分，此时x y ==即P …14分方法二：设(,)P x y ，易知(6,9),(12,0),(6,4)BA BC BP x y ===++n m ⋅+⋅=6612,49x m n y m ∴+=++=…9分则432103226,,93636y x y x y m n m n +-+++==+=…10分 由(,)P x y 在22110025x y +=上可设10cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数，02θπ≤<）3230cos 10sin )x y θθθα∴+=+=-， (11)分，其中cos 1010αα==（α为锐角）max (32)x y ∴+=…12分，max 2613()3618m n ∴+== …13分 此时θα=，即2x y ==即2P ……………14分 2. 巳知数列{}n a 中，1(),{}n a t t a =为非零常数的前n 项和n S 满足13n n S S +=.（Ⅰ）当1t =时，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意*n N ∈，都有(1)nn n a λ+>，求实数λ的取值范围。

解：（Ⅰ）方法一：由13n n S S +=得：数列{}n S 是等比数列，公比为3，首项为1 (2)分11133n n n S --∴=⋅=…3分 ；当2n ≥时，12213323n n n n n n a S S ----=-=-=⋅…4分21(1)23(2)n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩…5分 方法二：13n n S S +=，∴ 13(2)n n S S n -=≥ ，以上两式相减得：13(2)n n a a n +=≥，…2分在13n n S S +=中，取1n =得：1213a a a +=即2122a a ==，…3分 ，2123a a ∴=≠ {}n a ∴为第二项起的等比数列，公比为3 …4分 ； 21(1)23(2)n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩…5分（Ⅱ）令(1)n nn n b a +=，由（Ⅰ）知： {}n a 为第二项起的等比数列，公比为3，22a t = ∴当2n ≥时，223n n a t -=⋅，2(1)23n n n n b t -+=⋅ …6分1121(1)(2)(1)(1)(1)23233n n n n n n n n n n n b b t t t +---++++--=-=⋅⋅⋅…7分○1. 0t >，则10n n b b +-<即1(2)n n b b n +<≥ ∴数列{}n b 是从第二项起的递减数列 ……8分而12b t =，23b t =，21b b > ，max 23()n b b t∴==…9分，对任意*n N ∈，都有(1)nn n a λ+> 3tλ∴>…10分 ；②若0t <，则10n n b b +->即1(2)n n b b n +>≥ ∴数列{}n b 是从第二项起的递增数列 ……11分，而120b t =<，当2n ≥时，2(1)023n n n n b t -+=<⋅ ，(,0)n b ∴∈-∞ …12分对任意*n N ∈，都有(1)nn n a λ+>，0λ∴≥ …13分 综合上面：若0t >，则3tλ>；若0t <，则0λ≥。

…14分3. 已知1()(1)(1)f x x xαβ=++（0x >），其中α、β为正常数.（Ⅰ）当1αβ==时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若0y >，求证：21()()()[()()]4x y x y x yαβαβαβαβαβαβ++≤≤++.解：（Ⅰ）由1αβ==得：11()(1)(1)224f x x x xx=++=++≥= ………2分 当且仅当1x x=即1x =时，等号成立…3分 ∴当1x =时，()f x 的最小值为4 … 4分（Ⅱ）0x >，其中α、β为正常数，()0,()0xyαβαβ∴>>2211[()()]()()44x y x yαβαβαβαβ∴+≥=…5分,又'112111()(1)(1)(1)(1)()f x x x x x x αβαβαβ--=+⋅+++⋅+⋅-…6分112111(1)(1)[(1)(1)()]x x x x x αβαβ--=+⋅+⋅+++-11211(1)(1)()xx x x xαβαβ--+=+⋅+⋅-…7分由0x >， α、β为正常数，得11211(1)(1)0x x x x αβ--++⋅+⋅>,令'()0f x >得：x βα>，令'()0f x <得：0x βα<<…8分,∴()f x 的增函数区间是(,)βα+∞，减函数区间是(0,)βα…9分()f x ∴在x βα=处取得最小值，min ()()()()f x f αββαβαβααβ++==…10分 ()()yf f xβα∴≤ （0,0x y >>）…12分, ()()αβαβαβαβ++∴≤()()x y x y x y αβ++…13分 整理得：()()()x y x yαβαβαβαβ++≤+21()()()[()()]4x y x y x yαβαβαβαβαβαβ++∴≤≤++ ……………14分 4. 设函数()e ,xf x =2()4x g x =-，其中e 为自然对数的底数.(1) 已知12,R x x ∈，求证：[]12121()()()22x x f x f x f ++≥；（2）是否存在与函数()f x ，()g x 的图象均相切的直线l ？若存在，则求出所有这样的直线l 的方程；若不存在，则说明理由.(1)证明: []12121()()()22x x f x f x f ++-121221(e e )e 2x x x x +=+-121221(e e 2e )2x x x x +=+-122221(e e )0.2x x =-≥…5分[]12121()()().22x x f x f x f +∴+≥…6分 (2) 设直线l 与函数()f x 的图象相切,切点为(,e )t t ,则直线l 的方程为e e (),t t y x t -=-即e e (1).t t y x t =+-…9分 , 直线l 与函数()g x 的图象相切的充要条件是关于x 的方程2e e (1),4ttx x t +-=-即2+e e (1)04tt x x t +-=有两个相等的实数根,…10分即2e e (1)0,t t t ∆=--=e 10.t t +-=…11分 , 设()e 1t t t ϕ=+-,则(0)0ϕ=,且()e 10t t ϕ'=+>,()t ϕ在R 上递增, ()t ϕ只有一个零点0.t =…13分,所以存在唯一一条直线l与函函数()f x 与()g x 的图象均相切,其方程为 1.y x =+…14分5. 已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中常数k ∈R .(1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间；（2）若()f x 存在极值且有唯一零点0x ，求k 的取值范围及不超过0x k的最大整数m .解:（1）211()(0).x kx f x x k x x x-+'=+-=>…1分① 当2k ≤时，1()20f x x k k k x '=+-≥=-≥，函数()f x 为增函数.…3分②当2k >时，12()()()x x x x f x x--'=，其中120x x <=<=…4分,(),()x f x f x '的取值变化情况如下表：…6分综合①②知当2k ≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间；当2k >时，()f x的增区间为0,2k ⎛ ⎥⎝⎦与2k ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭，减区间为,.22k k ⎡-+⎢⎢⎥⎣⎦…7分 （2）由(1)知当2k ≤时，()f x 无极值；…8分当2k >时，1012k x <==<知()f x 的极大值1111()ln ()02xf x x x k =+-<，()f x 的极小值21()()0f x f x <<，故()f x 在(]20,x 上无零点.…10分224(2)ln(2)2ln(2)02k f k k k k =+-=>，又212k x k +<=<， 故函数()f x 有唯一零点0x ，且()02,2x x k ∈.…11分又222()ln ln 22k k f k k k k =+-=-，记2()ln (2)2k g k k k =->， 211()0,k g k k k k -'=-=<则22()(2)ln 2ln 2202g k g <=-=-<，从而()0f k <，002,1 2.x k x k k <<<<…13分 故k 的取值范围是(2,),+∞不超过0xk的最大整数 1.m =…14分6. 已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且*11()2n n S a n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*31log (1)()n n b S n N +=-∈，求适合方程122311112551n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+= 的正整数n 的值．增解:（1） 当1n =时，11a s =，由11112s a +=，得123a =…1分当2n ≥时，∵ 112n n s a =-， 11112n n s a --=-，…2分∴()1112n n n n s s a a ---=-，即()112n n n a a a -=- ∴)2(311≥=-n a a n n …5分 ∴{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．…6分 故1211()2()333n n n a -=⋅=⋅ )(*∈N n ……7分（2）111()23n n n s a -==，13131log (1)log ()13n n n b s n ++=-==--…9分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++…11分1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++…13分解方程11252251n -=+，得100n = …14分 7. 已知左焦点为(1,0)F -的椭圆过点E ．过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求1k ；（3）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 解 （1）由题意知,1=c 设右焦点)0,1('F .32332)0332()11(222'=+-++=+=∴EF EF a …2分2,3222=-==∴c a b a ,∴椭圆方程为12322=+y x …4分（2）设),(),,(2211y x B y x A 则 1232121=+y x ① 1232222=+y x ②…6分②-①，可得3232121212121-=++-=--=y y x x x x y y k …8分 （3）由题意21k k ≠，设),(M M y x M ,直线)1(1:1-=-x k y AB ，即21k x k y += 代入椭圆方程并化简得0636)32(2221221=-+++k x k k x k , 2122121322,323k k y k k k x MM +=+-=∴ …10分 同理2212221322,323k k y k k k x N N +=+-=∴…11分,当021≠k k 时， 直线MN 的斜率21219610k k k k x x y y k N M N M --=--=直线MN 的方程为)323(961032221212121212k k k x k k k k k k y +----=+-,又121=+k k 化简得3296102121---=x k k k k y 此时直线过定点（0，32-）………13分,当021=k k 时，直线MN 即为y 轴，也过点（0，32-）综上，直线过定点（0，32-）……14分8. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且有111,1n n a S a +=+=(*n ∈N ). (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项n a ； (Ⅱ) 若nn a n b 4=,求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）是否存在最小正整数m ,使得不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,若存在,求出m 的值；若不存在,说明理由.【解析】(Ⅰ) 当1n =时,211112a S a =+=+=；…1分 当2n ≥时,11n n S a ++=,11n n S a -+=,相减得12n n a a +=…2分 又212a a =, 所以{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以12-=n na (4)分(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知12-=n n a ,所以112244+-=⋅==n n n n n n a n b ,所以23411232222n n nT +=++++ 12n T = 34121212222n n n n++-++++两式相减得2341211111222222n n n n T ++=++++-=2221111222122212n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=--,所以1212n n n T ++=-(或写成11122n nn T ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭,11122n n n n T +=--均可给至8分) …………8分（Ⅲ）()()()11221211211121122k kk k k k k k k S T k k ++++==+⋅++⎛⎫⎛⎫-⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111211221212121k k k k k +++⎛⎫==- ⎪---⋅-⎝⎭ …………11分所以()1111211122121212121nnk k n k k k k k S T k ++==+⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⋅++---⎝⎭⎝⎭∑∑若不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,则2≥m ，所以存在最小正整数2m =,使不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立…………14分9. 已知定点()11,0F -,()21,0F ,动点(),P x y ,且满足1122,,PFF F PF 成等差数列.(Ⅰ) 求点P 的轨迹1C 的方程；(Ⅱ) 若曲线2C 的方程为()()22222x t y t t -+=+(0t <≤),过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切,求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.【解析】(Ⅰ)由()11,0F -,()21,0F ,421=+PF PF 12F F >……1分根据椭圆定义知P 的轨迹为以21,F F 为焦点的椭圆,其长轴42=a ,焦距22=c ,短半轴322=-=c a b ,故1C 的方程为13422=+y x . (4)分(Ⅱ)设l :()2y k x =+,由过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切得()()2122+=++t t k t k ,化简得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=220,12，t k kt (注:本处也可由几何意义求k 与t 的关系)…………6分由0t <=≤,解得201k <≤…………7分联立()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222y x x k y ,消去y 整理得()0121616342222=-+++k x k x k ,…………………8分直线l 被曲线1C 截得的线段一端点为()0,2-A ,设另一端点为B ,解方程可得()22224312,4343k k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭,所以243AB k ==+……………………11分(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)令n k =+12,则21212,1414nAB n n n n==∈--,考查函数n n y 14-=的性质知n n y 14-=在区间上是增函数,所以n =,n n y 14-=取最大值2,从而min 2AB ==.…… 14分10. 已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a ∈R ).(Ⅰ) 若0x =为()f x 的极值点,求a 的值；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； (Ⅲ) 若函数()f x 在区间()1,2上单调递增,求实数a 的取值范围.【解析】(Ⅰ)因为()()()22211x f x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦ 所以()()()()()22222221111x x x f x ax a e ax a x a a e ax a x a e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤'=+-++-+--=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦…2分因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =…3分 检验,当0a =时,()x f x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>. 所以0x =为()f x 的极值点,故0a =.…4分(Ⅱ) 当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩…6分令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,()()()1x h x g x e x '==-+,()1x h x e '=-, 当0x >时,()10x h x e '=->；当0x <时,()10x h x e '=-<, 所以()h x 在(),0-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =； 故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭, 所以原不等式的解集为{}01x x x <>或；……9分(Ⅲ) 当0a ≥时,()()221x f x ax a x a e ⎡⎤'=+++⋅⎣⎦因为()1,2x ∈,所以()0f x '>,所以()f x 在()1,2上是增函数.…11分当0a <时,()()1xf x a x a x e a ⎛⎫'=++⋅ ⎪⎝⎭, ()1,2x ∈时,()f x 是增函数,()0f x '>. ① 若1a <-,则()()110,x f x a x a x e x a a a ⎛⎫⎛⎫'=++>⇒∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()11,2,a a ⎛⎫⊆-- ⎪⎝⎭得2a ≤-；② 若10a -<<,则()()110,x f x a x a x e x a a a ⎛⎫⎛⎫'=++⋅>⇒∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()11,2,a a ⎛⎫⊆-- ⎪⎝⎭得102a -≤<.③ 若1a =-,()()210x f x x e '=--⋅≤,不合题意,舍去. 综上可得,实数a 的取值范围是(]1,2,2⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭ …14分 (亦可用参变分离或者图像求解).11. 平面直角坐标系xoy 中，直线01y x =+-截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D 、E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M 、P 是圆O 上任意两点，点M 关于X 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于X 轴于点（0,m ）和（0,n ），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.。