河海大学2015-2016学年硕士生 《数值分析》试题

河海大学2015-2016学年硕士生
《数值分析》试题(A)
任课教师姓名
姓名 专业 学号 成绩
一、填空题 (每空2分, 共20分) 1、若1>>x ，改变计算式(
)
=--
1ln 2x x ，使计算结果更为准确。

2、设⎩⎨⎧≤≤-++≤≤+=2
1,121
0,)(2
323x cx bx x x x x x s ，是以2,1,0为节点的三次样条函数，则
=b ，=c 。

3、已知契比雪夫多项式x x x T 34)(33-=， 则122)(2
3
-++=x x x x f 在]1,1[-上的二次最佳一致逼近多项式是 。

4、已知离散数据()),,2,1(,n k y x k k Λ=，用直线bx a y +=拟合这n 个点，则参数a 、b
满足的法方程组是 。

5、给定矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=3121A ，
则A 的谱半径=)(A ρ ，A 的条件数=∞)(A Cond 。

6、设0)133)(2()(2
3
=-+-+=x x x x x f ，用牛顿迭代法解此方程的根21-=x 具有二阶收敛的迭代格式为 ，求根12=x 具有二阶收敛的迭代格式为 。

7、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是
()()4111h O y x y T n n n =-=+++，则称此单步法具有 阶精度。

《数值分析》2015级(A) 第1页 共6页
已知数据表
(1) 求f (x )的三次Lagrange （拉格朗日）插值多项式；
(2) 计算差商表，并写出三次Newton （牛顿）插值多项式。

三、(本题8分)
在区间]1,1[-上给定函数14)(3
+=x x f ，求其在},,1{2
x x Span =Φ中关于权函数
1)(=x ρ的二次最佳平方逼近多项式。

(可用勒让德多项式1)(0=x p ，x x p =)(1，
))13(2
1
)(22-=x x P
《数值分析》2015级(A) 第2页 共6页
用下列方法计算积分
⎰
3
1
y
dy 。

（1）龙贝格求积公式（要求二分三次）； （2）已知三次勒让德多项式)35(2
1
)(33x x x p -=，用三点高斯-勒让德公式计算上述积分。

五、（本题8分）
知方阵⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-315122*********x x x ，
试用Doolittle （杜利特尔）分解法解此线性方程组。

《数值分析》2015级(A) 第3页 共6页
把下面的线性方程组化为等价的线性方程组，使之应用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式（分量形式），并说明收敛的理由。

⎪⎩⎪
⎨⎧=--=+-=+-7
9897832
13121x x x x x x x
七、(本题10分)
已知方程 01)1()(=--=x
e x x
f 。

分析方程存在几个实根；用迭代法求出这些根；证明所用的迭代法是收敛的。

《数值分析》2015级(A) 第4页 共6页
写出规范化的幂法公式，并用此公式求矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=20101350144A 的主特征值及对应的特征向量，取初始向量⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡111，写出迭代两步的结果（计算结果保留到小数后第四位）。

九、(本题8分)
给定常微分方程初值问题
()⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=2
01
02
y x y dx
dy 写出改进欧拉公式，并用此公式计算)(x y 在1.0=x 和2.0处的近似值，取步长1.0=h ，计算结果保留5位有效数字。

《数值分析》2015级(A) 第5页 共6页
给定线性方程组b Ax =，其中⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=2123A ，⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=13b ，用迭代公式),2,1,0()()()()1(ΛΛ=-+=+k Ax b x x k k k ω求解b Ax =，试证明2
1
0<
<ω时迭代公式收敛。

《数值分析》2015级(A) 第6页 共6页
河海大学2015-2016学年硕士生
《数值分析》试题(B)
任课教师姓名
姓名 专业 学号 成绩
一、填空题 (每空2分, 共20分)
1、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是
()()4111h O y x y T n n n =-=+++，则称此单步法具有 阶精度。

2、若1>>x ，改变计算式(
)
=--
1ln 2x x ，使计算结果更为准确。

3、设⎩⎨⎧≤≤-++≤≤+=2
1,121
0,)(2
323x cx bx x x x x x s ，是以2,1,0为节点的三次样条函数，则
=b ，=c 。

4、设0)133)(2()(2
3
=-+-+=x x x x x f ，用牛顿迭代法解此方程的根21-=x 具有二阶收敛的迭代格式为 ，求根12=x 具有二阶收敛的迭代格式为 。

5、已知契比雪夫多项式x x x T 34)(33-=， 则122)(2
3-++=x x x x f 在]1,1[-上的二次最佳一致逼近多项式是 。

6、给定矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=3121A ，
则A 的谱半径=)(A ρ ，A 的条件数=∞)(A Cond 。

7、已知离散数据()),,2,1(,n k y x k k Λ=，用直线bx a y +=拟合这n 个点，则参数a 、b
满足的法方程组是 。

《数值分析》2015级(B) 第1页 共6页
知方阵⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-315122*********x x x ，
试用Doolittle （杜利特尔）分解法解此线性方程组。

三、(本题10分)
把下面的线性方程组化为等价的线性方程组，使之应用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式（分量形式），并说明收敛的理由，并取初始向量T x
)0,0,0()
0(=,分别计算出迭代2次后的结果
x (2)（计算过程保留小数点后四位小数）。

⎪⎩⎪
⎨⎧=--=+-=+-7
9897832
13121x x x x x x x
《数值分析》2015级(B) 第2页 共6页
在区间]1,1[-上给定函数14)(3
+=x x f ，求其在},,1{2
x x Span =Φ中关于权函数
1)(=x ρ的二次最佳平方逼近多项式。

(可用勒让德多项式1)(0=x p ，x x p =)(1，
))13(2
1
)(22-=x x P
五、(本题10分) 用下列方法计算积分
⎰
3
1
y
dy 。

（1）龙贝格求积公式（要求二分三次）； （2）已知三次勒让德多项式)35(2
1
)(33x x x p -=，用三点高斯-勒让德公式计算上述积分。

《数值分析》2015级(B) 第3页 共6页
已知数据表
(1) 求f (x )的三次Lagrange （拉格朗日）插值多项式；
(2) 计算差商表，并写出三次Newton （牛顿）插值多项式。

七、(本题8分)
给定常微分方程初值问题
()⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=2
01
02
y x y dx
dy 写出改进欧拉公式，并用此公式计算)(x y 在1.0=x 和2.0处的近似值，取步长1.0=h ，计算结果保留5位有效数字。

《数值分析》2015级(B) 第4页 共6页
写出规范化的幂法公式，并用此公式求矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=20101350144A 的主特征值及对应的特征向量，取初始向量⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡111，写出迭代两步的结果（计算结果保留到小数后第四位）。

九、(本题10分)
已知方程 01)1()(=--=x
e x x
f 。

分析方程存在几个实根；用迭代法求出这些根；证明所用的迭代法是收敛的。

《数值分析》2015级(B) 第5页 共6页
给定线性方程组b Ax =，其中⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=2123A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b ，用迭代公式),2,1,0()()()()1(ΛΛ=-+=+k Ax b x x k k k ω求解b Ax =，试证明210<
<ω时迭代公式收敛。

《数值分析》2015级(B) 第6页 共6页。