物理竞赛中简谐运动周期的四种求法
利用能量法计算物体作简谐运动的周期
利用能量法计算物体作简谐运动的周期浙江胡亦中当物体作简谐运动时，求振动周期的常用方法是利用动力学方法，即利用回复力F＝-kx，由周期求得。
但当系统受力较难分析时，可利用能量法求解。
下面以弹簧振子为例进行分析：1．基本规律以水平方向弹簧振子为例，设振子的位移x随时间的变化规律为x＝Acos（wt+），在振动中的任何一时刻t时，振子具有动能E K，弹簧具有弹性势能E P。
此两者的值分别为，。
由于k＝mw2，故上式又可写为。
可见这一振动系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但系统总的机械能E＝E K+E P＝保持不变。
这一总机械能与振幅的平方成正比，与角频率的平方成正比。
这也是简谐运动的一般规律。
简谐运动能量的表达式还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，因此在力不易求得时较为方便。
若将势能E P写成位移x的函数，由前述势能的表达式可得到w＝，或将总能量写成振幅的函数，则由前述总能量的表达式可以得到w＝。
2．用能量法求周期的规律应用【例1】有一轻质刚性杆，长为L，可绕上端的水平轴自由转动，下端固定着质量为m 的质点，构成单摆。
如图1所示，质点通过一根劲度系数为k的水平弹簧拴到墙上，当摆竖直下垂时，弹簧处于松弛状态，求系统小幅度振动的周期。
解析：设质点偏离平衡位置的最大位移为x，杆偏离竖直方向的夹角为θ，则系统总的机械能为，式中x＝Lθ，1-cosθ＝。
故得，而，比较上两式得系统的角频率为，故系统振动的周期为。
【例2】如图2所示，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为l。
m与M、M与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释放，求系统的振动周期。
解析：设未放凹形滑块的单摆以角频率w振动，偏角为θ，振幅A＝lθ。
由系统振动能量守恒得mgl（1-cosθ）＝，设带有凹形滑块的摆以同样的振幅以角频率为w′振动，则有mgl（1-cosθ）＝，由上两式得，而故系统的振动周期为。
通过以上两例可知采用能量法求周期的一般步骤：（1）确定振动系统，分析振动系统的机械能是否守恒；（2）找出平衡位置并将选定为坐标原点；（3）写出任意位置处的机械能表达式（或特殊位置）；（4）将求得的结果与弹簧作简谐运动时能量关系作比较，求得系统振动周期。
振动的周期简谐振动的周期与频率
振动的周期简谐振动的周期与频率振动的周期与频率是物理学中一个重要的概念。
简谐振动是振动现象中的一种特殊情况，它的周期和频率的计算方法相对简单。
在本文中，我们将探讨简谐振动的周期和频率的定义、计算方法以及与其他因素的关系。
一、周期的定义和计算方法振动的周期是指振动完成一个完整循环所需的时间。
对于简谐振动，它的周期T可以通过以下公式计算：T = 2π/ω其中，T表示周期，ω表示角频率。
而角频率与振动的频率之间有如下关系：ω = 2πf其中，f表示频率，ω表示角频率。
因此，可以通过频率来计算周期。
通过上述公式，我们可以得出简谐振动的周期与频率之间的关系，即：T = 1/f二、频率的定义和计算方法振动的频率是指单位时间内振动循环的个数。
对于简谐振动，它的频率f可以通过以下公式计算：f = 1/T其中，f表示频率，T表示周期。
通过上述公式，我们可以得出简谐振动的频率与周期之间的关系，即：f = 1/T三、周期与频率的关系和特点简谐振动的周期和频率是相互关联的，它们之间存在着直接的数学关系。
根据上述公式，我们可以得出以下结论：1. 周期和频率是倒数关系：周期的倒数就是频率，频率的倒数就是周期。
2. 周期和频率之间是线性关系：频率的增加会导致周期的减小，频率的减小会导致周期的增加。
3. 周期和频率都是物体振动特性的重要指标：通过周期和频率的计算，可以更好地描述物体的振动状态和特性。
四、周期与其他因素的关系除了频率之外，周期还受到其他因素的影响。
以下是一些可能影响周期的因素：1. 振动物体的质量：质量越大，周期越大；质量越小，周期越小。
2. 弹簧的劲度系数：劲度系数越大，周期越小；劲度系数越小，周期越大。
3. 振幅的大小：振幅越大，周期越大；振幅越小，周期越小。
需要注意的是，以上因素对于简谐振动的周期影响最为显著，对振动的频率的影响较小。
五、频率与其他因素的关系频率除了受到周期的影响外，还受到其他因素的影响。
以下是一些可能影响频率的因素：1. 振动物体的质量：质量越大，频率越小；质量越小，频率越大。
简谐振动的基本特征与计算
简谐振动的基本特征与计算简谐振动是一种重要的物理现象，广泛应用于机械、电子、光学等领域。
本文将介绍简谐振动的基本特征并讨论相关的计算方法。
一、简谐振动的定义与基本特征简谐振动是指一个体系在平衡位置附近，以固有频率在一个稳定状态下周期性地前后运动。
其基本特征包括：1. 振动的周期：简谐振动的周期T是指系统从一个极值点到相邻极值点所经历的时间。
周期的计算公式为T = 2π/ω，其中ω为角频率，定义为振动的频率f与2π的乘积，即ω = 2πf。
2. 振幅：振动的振幅A是指物体在振动过程中离开平衡位置的最大位移。
二、简谐振动的数学表达简谐振动可以用如下的数学表达式来描述：x(t) = A*sin(ωt + φ)其中，x(t)为时间t时刻的位移，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
这个表达式称为简谐振动的位移函数，它描述了振动物体位移随时间的变化规律。
三、简谐振动的计算方法1. 求解振动周期T：已知角频率ω或频率f时，可以通过计算T = 2π/ω或T = 1/f来得到振动周期T。
2. 求解振幅A：已知最大位移x_max时，振幅A等于最大位移x_max的绝对值。
3. 求解角频率ω：已知振动周期T或频率f时，可以通过计算ω = 2π/T或ω = 2πf来得到角频率ω。
4. 求解初相位φ：初相位φ通常需要通过已知初始条件的问题进行求解，例如已知初始位移和初始速度。
四、简谐振动的应用简谐振动在实际中有广泛的应用，包括：1. 机械振动：例如弹簧振子、摆锤等，广泛应用于钟表、车辆悬挂系统等。
2. 电子振动：例如电容器振荡电路中的交流振荡器，可以用于发射和接收无线电信号。
3. 光学振动：例如光波的传播和干涉现象都与简谐振动有关。
总结：简谐振动是一种重要的物理现象，它具有固有频率、周期性、线性回复等特征。
通过数学表达式和相关计算方法，我们可以精确地描述和计算简谐振动的各个特征。
简谐振动在机械、电子、光学等领域都有广泛的应用，对于理解和应用这些领域的相关技术和现象具有重要意义。
简谐振动及其周期推导与证明(原创)
简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律， 这样的振动叫做简谐振动。
位移：用x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x 的一 般式：)cos(ϕω+=t A x （下文会逐步解释各个物理符号的定义）；振幅：用A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移；全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完 全相同所经历的过程；频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f 表示；周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T 表示；角频率：用ω表示，频率的2π倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。
角频 率、周期、频率三者的关系为：ω=2π/T =2πf ；相位：ϕωφ+=t 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率就是角频率，即dtd φω=； 初相：位移一般式中ϕ表示初相，即t =0时的相位，描述简谐振动的初始状态；回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。
（因此回复力同向心力是一种效果力）如果用F 表示物体受到的回复力，用x 表示小球对于平衡位置的位移，对x 求二阶导即得：)cos(2ϕωω+-=t A a又因为F=ma ，最后可以得出F 与x 关系式：kx x m F -=-=2ω由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。
式中的k 是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。
简谐振动周期公式：km T π2=，该公式为简谐振动普适公式，式中k 是振动系统的回复力 系数，切记与弹簧劲度系数无关。
单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运 动可以近似地视为简谐振动。
我们设偏角为θ，单摆位移为x ，摆长为L ，当θ很小时，有关系式：Lx ≈≈≈θθθtan sin ， 而单摆运动的回复力为F=mgsin θ，那么单摆运动中回复力系数L mg k =，代入简谐振动周期普适公式可得： gL T π2= 简谐振动周期公式推导与证明：（1）求导法：对x 求二阶导，得：)cos(2ϕωω+-=t A a ，由F=ma= -kx 得：mk =ω， km T πωπ22==。
关于简谐运动周期公式的简单推导(不超纲)
关于简谐运动周期公式的简单推导（不超纲）高中不要求推导简谐运动的公式，但是不推导就特别难受。
所以以下是我的推导过程（绝对没有超纲）一、1.首先，对于简谐运动（以弹簧振子举例），我们知道：（1） F=-kx（这里的k数值虽然与弹簧劲力系数相同，但物理意义表示为回复力与位移的比值）（2） x=Asin（\omega.t+\varphi)2.我们还知道：（3） F=ma3.要求周期，就要找到周期与其简谐运动本身的联系，由T=2π/\omega我们可知我们所求的 T 隐藏在（2）中。
4.我们需要联立上述公式以期望得出关于关于 T 的公式，由于(3)牛顿第二定律的 F 可以用（1）带入，而且 m 属于已知条件，所以我们迫切需要知道 a ，这样我们的问题就解决了。
5.我们来求加速度：对于（2）我们知道进行一次求导其导函数为v=A\cdot\omega cos（\omega.t+\varphi)其物理意义是质点在简谐运动中的瞬时速度。
知道了速度之后我们要知道瞬时加速度，就需要二次求导,得（4） a=-A\cdot\omega^{2}sin（\omega.t+\varphi)于是我们得到了加速度。
6.将（1）（4）代入（3），我们得-kx=-mA\cdot\omega^{2}sin（\omega.t+\varphi)与（2）联立我们得（5）k=m\omega^{2}7.由T=2π/\omega 代入（5），我们终于得到简谐运动周期公式T=2π\sqrt{\frac{m}{k}}二、那对于单摆又是怎样的呢？我们知道：在单摆振幅极小时我们将其近似看做简谐运动，其回复力 F = - mgsin\Theta 此时可近似看做 F\approx-\frac{mg}{l}x这里的 \frac{mg}{l} 也就是所谓的回复力与位移比值 k将此处 k 代入简谐运动公式我们就得到了单摆周期公式（振幅极小时）：T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}下次还是快乐的学习时光。
单摆简谐运动周期公式
单摆简谐运动周期公式
摆简谐运动，是物体沿着一定的轨迹、一定要求的速度运动，期间受到力学系统中恒力作用的一种持续性运动过程。
摆简谐运动周期是指摆摆子在某一定轨道上来回运动，花费时间所需的次数叫做摆简谐运动的周期。
摆简谐运动周期与物体形状、质量、初识状态和其他力的大小有关，一般可以用公式来表达： T=2π√(l/g)，其中T为摆简谐运动的周期，l为摆简谐运动的振子长，g为加速度。
摆简谐运动周期公式是由牛顿第二定律演化而来的，物体在确定的情况下，摆简谐运动周期可以通过牛顿第二定律推算而来。
摆简谐运动的运动特点是，摆摆子的运动轨迹是一条椭圆，摆子在上述椭圆轨迹上来回运动，摆子每次来回移动的路程和时限是固定的，因此摆简谐运动的周期也可以推算，即摆简谐运动的周期可由摆简谐运动周期公式推算而来。
用遍布生活的视角来理解，可提及摆子、钟摆、三角钟摆等，他们运动满足摆简谐运动的特征，都存在一定的运动周期，而这一运动周期则可以通过摆简谐运动周期公式来推算。
摆简谐运动的原理也用于航天领域，在宇宙空间中，物体摆简谐运动是非常普遍的，如：行星的公转和自转、月球的运动，它们都是摆简谐运动，而可以通过摆简谐运动周期公式来推算各种摆简谐运动周期。
摆简谐运动周期公式，体现出动力学物理学之间的统一魅力，它从物理学来具体推导出运动周期。
它拓展了动力学系统中对运动状态的认知范围，有效地解决了物理学相关的一系列问题，丰富和充实了社会的知识宝库。
求振动周期四法 学法指导 不分版本
求振动周期四法杨榕楠（浙江省宁波市效实中学 315012）1. 公式法 如果物体做简谐运动，则它所受的回复力F 与相对于平衡位置的位移x 满足关系kx F -=。
可以证明，这个动力学微分方程的解为)cos(0ϕω+=t A x ，其中ω是振动物体的圆频率，它由系统本身的性质决定，m k =ω，所以简谐运动的周期km T πωπ22==。
利用上式求振动周期，可以进行如下操作：使物体偏离平衡位置一个微小的位移x ，求出此时回复力F 的表达式，若满足kx F -=，则把相应的k 值代入公式，即可求得物体做简谐运动的周期。
这是求振动周期最常用的方法。
例1 设想有一单摆，其摆长l 与地球半径R 相等，试求此单摆在地球表面附近振动时的周期T 。
已知地球半径为R=6370km 。
分析 此单摆的摆长很长，即使摆角很小，摆动过程中摆球相对于地面的位移也很大。
这时摆球受地球引力的方向变化不可忽略。
如图1所示，设单摆的偏角为θ时，它离开平衡位置的位移为x ，偏离地心O 的角度为α，所受地球引力为F'，则此时摆球所受回复力为ββcos cos 'mg F F -=-=①图1由图可知2παθβ=++由于θ、α均很小，有Rx l x≈≈αθ，， 代入①可得x R l mg mg mg F )11()()sin(+-≈+-≈+-=αθαθ 可见物体做简谐运动，由周期公式得g R l lR Rl mg m k m T )(2)11(22+=+==πππ 当R l =时，单摆周期8.921037.614.32226⨯⨯⨯⨯==g R T π (min)7.59)(3580==s 。
2. 能量法物体做简谐运动时，任意时刻的动能)(sin 212102222ϕωω+==t A m mv E k 势能)(cos 21210222ϕω+==t kA kx E p机械能为2222121A m kA E E E p k ω==+= 若能求得物体振动中的势能或机械能，且具有形式为222121kA kx 或的表达式，则物体做简谐运动，周期为 p E mx T E mA T 2222222ππωπ===，或。
简谐运动中的周期和频率分析
简谐运动中的周期和频率分析简谐运动是物体在恢复力作用下做的一种周期性振动运动。
周期和频率是描述简谐运动的重要参数，本文将对简谐运动中的周期和频率进行分析。
一、周期的定义和计算周期是指一个物体完成一个完整振动所需的时间。
对于简谐运动，周期可以通过振动的角频率来计算。
角频率是指单位时间内振动角度的变化量，通常用符号ω表示。
对于简谐运动，角频率与周期之间有以下关系：T = 2π/ω其中，T表示周期，ω表示角频率。
周期与角频率是互相对应的。
二、频率的定义和计算频率是指单位时间内振动次数的多少。
对于简谐运动，频率可以通过振动的周期来计算。
频率的单位是赫兹（Hz）。
对于简谐运动，频率与周期之间有以下关系：f = 1/T其中，f表示频率，T表示周期。
频率与周期是互相对应的。
三、周期和频率的关系周期和频率是描述简谐运动的两个重要参数，它们之间存在着简单的数学关系。
根据上述的定义和计算公式，可以得到以下结论：1. 周期和频率是互相倒数关系。
即周期等于频率的倒数，频率等于周期的倒数。
2. 周期越短，频率越高。
周期是指一个物体完成一个完整振动所需的时间，而频率是指单位时间内振动次数的多少。
因此，周期越短，物体的振动速度越快，频率越高。
3. 频率越高，周期越短。
频率是指单位时间内振动次数的多少，周期是指一个物体完成一个完整振动所需的时间。
因此，频率越高，物体的振动速度越快，周期越短。
四、周期和频率的应用周期和频率是描述简谐运动的重要参数，在物理学和工程学中有着广泛的应用。
1. 在物理学中，周期和频率是描述振动和波动现象的基本参数。
通过对周期和频率的研究，可以揭示物体振动和波动的规律，从而进一步理解和解释自然界中的各种现象。
2. 在工程学中，周期和频率是描述振动系统和信号处理的关键参数。
通过对周期和频率的分析，可以设计和优化振动系统的工作方式，提高系统的稳定性和性能。
总结：周期和频率是描述简谐运动的重要参数，它们之间存在着简单的数学关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
物理竞赛中简谐运动周期的四种求法
物理竞赛中在解决简谐运动问题时，经常会涉及周期的求解。
本文通过具体实例，介绍物理竞赛中简谐运动周期的四种求法。
一、周期公式法
由简谐运动的周期公式可知，运用周期公式求周期的关键是求出回复力系数 k。
通常情况下，可以通过两种途径求出回复力系数。
一是通过对简谐运动物体进行受力分析求出回复力，然后根据物体简谐运动时回复力大小的特征F=kx，找到回复力F与位移x的关系求出回复力系数k；二是通过求简谐运动物体在位移为x时的势能，然后根据物体做简谐运动时势能的关系求出回复力数k。
例1 如图1所示，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为L，m与M、M
与水平面之间光滑，求摆线偏转很小角度，从静止释放后，系统振动的周期。
图1分析与解由于摆球m周期与整个系统运动周期相等，因此系统振动的周期可以通过求摆球m周期来求出。
凹形滑块M受到水平地面的支持力、重力 G=Mg及m对M的水平作用的作用（图2），由于 M只能在水平面上滑动，因此M沿水平面做往复运动时受到的回复力
(1)
对摆球m进行受力分析（图3），可得到下列关系式：
(2)
例2 如图4所示，横截面积为S，粗细均匀的U形管中灌有密度为ρ，质量为m 的水银，现在将B管管口用塞子密封后加热，由于封在B管中空气的膨胀，使水银面在A管内上升，若此时将B管口的塞子拔去，那么水银做简谐运动的周期是多少？
图4
分析与解设A、B两管液面相平时为水银柱的零势能位置，则当B管中水银面距两管液面相平时的液面高度为x时，整个水银柱具有的势能为。
二、刚体角加速度法
绕定轴转动的刚体的角加速度和外力的关系应遵循刚体定轴转动定律：即刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩
作用下所获得的角加速度的乘积。
采用这种方法时，往往通过刚体定轴转动定律求出刚体转动的角加速度，然后根据加速度与角加速度的关系求出刚体转动的角速度，从而求出刚体做简谐运动的周期。
例3 如图5所示，质量为m的小球用轻杆悬挂，两侧用劲度系数为k的弹簧连接。
杆自由下垂时，弹簧无形变，图中a、b已知，求摆杆做简谐运动的周期T。
图5
分析与解设轻杆向右偏很小的角度θ时，小球向右偏离平衡位置距离x=bsinθ≈bθ，此时右侧弹簧压缩了aθ，左侧弹簧伸长了aθ。
根据刚体定轴转动定律可得：
三、解方程组法
四、比较法
有些复杂简谐运动较难直接求出，此时可采取将所研究的比较复杂的简谐运动与便于求解周期的比较简单的简谐运动进行比较，通过简单的简谐运动周期的求解，得出所要研究的简谐运动的周期。
也可以采取将所研究的简谐运动与已知周期的简谐运动进行比较，求出所研究的简谐运动的周期。
例5 单摆由一根轻质杆和杆端重物组成（杆长为L，重物质量为m），若在轻杆的中点处另加一个质量也为m的重物，试求这个异形摆做小角度摆动的周期？
分析与解由于这个异形摆很难直接找到它的摆长，因此无法直接运用单摆周期公式进行求解。
若将这个异形摆等效成一个单摆，找到等效的摆长，就可以运用单摆周期公式求出这个异形摆做小角度摆动的周期。
设想有一，摆长为L′的单摆，它的摆动快慢与异形摆摆动的快慢相同，当这个摆长为L′的单摆在偏离竖直方向相同角度时，与异形摆有相同的角速度，即两者有相同的周期（图6所示）。
图6
设异形摆从与竖直方向成α角（最大摆角）摆动到与竖直方向成β角时的角速度为ω，根据机械能守恒定律有：
设摆长为L′、摆球质量为m′的单摆从与竖直方向成α角（最大摆角）摆到与竖直方向成β角时的角速度为ω′，根据机械能守恒定律有：
例6 如图7所示，用三根竖直的长度相同且不可伸长的细轻绳将一个细圆环做微小扭转时的周期为T。
现用轻杆将一与环等质量的小球固定于环心处，试求此时环的微小扭转周期为T′。
分析与解细圆环及小球的质量均为m，当细圆环从最高处下降h时，不放小球时的细圆环的扭动速度为v，放小球时细圆环的扭动速度为v′。
图7
由于细圆环向下运动的速度远小于细圆环扭动的速度，因此可以将细圆环的扭动速度作为细圆环的速度来处理。
对环心处没放小球的细圆环根据机械能守恒定律有：(1)
对环心处放小球的细圆环根据机械能守恒定律有：(2)
通过(1)、(2)两个式子的对比，可得细圆环在两种情况下下降相同高度时扭动速度关系：。