第十四章 整式的乘法与因式分解 单元小结与复习
初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn aa = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2015·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 23218184.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2015·长春中考)计算：7a2·5a3= .7.(2015·广州中考)分解因式：x2+xy= .8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2015·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .10.(2015·连云港中考)分解因式：4-x2= .11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2015·安徽中考)分解因式：x2y-y= .15.(2015·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.17.(2015·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.19.(2015·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.1．(2015·徐州)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．下列计算错误的是( )A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－153．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )A．3 B．4 C．5 D．67．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋98．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 29．若x 2＋mx －15＝(x －3)(x ＋n)，则m ，n 的值分别是( ) A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2 D ．2，510．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5 …请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．6611．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝ ．12．(2015·孝感)分解因式：(a －b)2－4b 2＝ ．13．若(2x ＋1)0＝(3x －6)0，则x 的取值范围是 ．14．已知a m ＝3，a n ＝2，则a 2m －3n ＝ ．15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋14，则此正方形的周长为 ．16．已知实数a ，b 满足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，则c为．18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为．19．计算：(1)(2015·重庆)y(2x－y)＋(x＋y)2; (2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．20．用乘方公式计算：(1)982; (2)899×901＋1.21．分解因式：(1)18a3－2a；(2)ab(ab－6)＋9；(3)m2－n2＋2m－2n.22．先化简，再求值：(1)(2015·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．25．阅读材料并回答问题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．26. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ．。
人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结课件
1、若10x=5,10y=4,求102x+3y-1 的值.
2、计算：0.251000×（-2）2001
注意点：
3.(9)1004 ( 1 )670 27
（1）指数：加减 （2）指数：乘法
转化 转化
乘除 幂的乘方
（3）底数：不同底数 转化 同底数
计算：
(1)(-2a 2 +3a + 1) •(- 2a)3
① x2－４2x 41 ③x2 2xy + y2
② x2 x 1 4
④ 1 x2 - 2 xy y2 93
A.①②③ C. ①②④
B.②③④ D.②④
把下列各式分解因式：
1. x 5 - 16x 2. –4a 2+4ab- b 2
（1）提公因式法 （2）套用公式法
3. 18xy2-27x2y -3y3 二项式:平方差
(a-b)2=(a+b)2-4ab
2、已知a2-3a+1=0，求（1）a2
1 a2
（2）a
1 a
3、已知 x 3 1 求x2-2x-3的值
4、已知：x2+y2+6x-4y+13=0, 求x,y的值；
构造完全平 方公式
1、因式分解意义：和
积
2、因式分解方法：一提 二套 三看
Hale Waihona Puke 提：提公因式 提负号套 二项式：套平方差 三项式：套完全平方与十相乘法
……请你用正整数n的等式表示你发现的
规律
.
(2n 1)2 (2n 1)2 8n
❖ 小结： ❖ 本节课你复习了哪些知识？
一、本章知识结构图：
相反变形 乘法公式
（平方差、完全平方公式）
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022， 即2020n =20202022， ∴n =2022． 故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ） 或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ）， 故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（ ）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ） 答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）． 故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2， 即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解． 解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（ ）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______． 答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。
第十四章+整式的乘法与因式分解+单元复习课件2024-2025学年人教版数学八年级上册
16
本课结束
即SA中能使用=a2-M.
14
23.如图,学校劳动实践基地有两块边长分别为a,b的正方形秧田A,B,其中不能使用
的面积为M.
(2)若a+b=10,a-b=5,求A比B多出的使用面积.
【解析】(2)A比B多出的使用面积为(a2-M)-(b2-M)
=a2-b2=(a+b)(a-b)=10×5=50.
答:A比B多出的使用面积为50.
4.下列各式运算正确的是( D )
A.x·x6=x6
B.x12÷x2=x6
C.(x+y)2=x2+y2
D.(x2y)3=x6y3
8
5.(2023·临沂中考)下列运算正确的是( D )
A.3a-2a=1
B.(a-b)2=a2-b2
C.(a5)2=a7
D.3a3·2a2=6a5
6.(2022·济宁中考)下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是( C )
A.y
B.1+y
C.3+y
D.3y
11.(2023·常德中考)若a2+3a-4=0,则2a2+6a-3=( A )
A.5
B.1
C.-1
D.0
12.(2023·河北中考)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能( B )
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
11
6
13.(2023·十堰中考)若x+y=3,xy=2,则x2y+xy2的值是______.
理解
理解平方差和完全平方公式
抽象能力
了解平方差和完全平方公式的几何背景
整式的乘法及因式分解单元总结及归纳
整式的乘法及因式分解单元总结及归纳1.代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或字母是代数式。
2.整式的分类：⎩⎨⎧和叫做多项式多项式：几个单项式的式的积的代数式叫做单项单项式：只是数与字母整式 1）单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
2）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。
4）合并同类项：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数都不变。
3.幂的运算法则：),0(n m n m a >≠为正整数，且、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠=≠=≠===≠>=÷=⋅--+指数）负指数幂，倒底数，反负指数幂：零指数幂：乘方）（等于分子、分母分别为正整数，（商的乘方：分别乘方）等于积里的每一个因式为正整数）（积的乘方：底数不变，指数相乘）为正整数）、幂的乘方：底数不变，指数相减），为正整数且、（同底数的幂相除：底数不变，指数相加）为正整数）、同底数的幂相乘：)(0(1)0(1)0)(()((()()(0((0a a a a a a n a b a b n b a ab n m a a a n m n m a a a n m a a a n n n n n n n n mn n m n m n m n m n m4.整式的运算：1）整式的加减运算：合并同类项。
2）整式乘法法则：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++±=±-=-++++=++++=++ab x b a x b x a x b ab a b a b a b a b a bn bm an am n m b a mc mb ma c b a m )())((12)())(())(()3()(21222222的一次二项式相乘：两个一次项系数为；完全平方公式：方法二：平方差公式：即：积相加。
第十四章 《整式的乘法与因式分解》单元小结与复习
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月30日星期一2021/8/302021/8/302021/8/30 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/302021/8/30August 30, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/30
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/302021/8/30Monday, August 30, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 2:47:04 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/302021/8/302021/8/30Aug-2130-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/302021/8/302021/8/30Monday, August 30, 2021
第14章整式的乘法与因式分解小结
教学准备：多媒体课件
课时安排：1
教学过程
二次备课
（一பைடு நூலகம்本章知识梳理：
幂的运算： (1)同底数幂的乘法 (2)同底数幂的除法
(3)幂的乘方(4)积的乘方
整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式
(3)多项式乘多项式
设计
必做
：课本124页复习题14第6题.
选做
：课本124页复习题14第7题.
教学
反思
(4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式
乘法公式：(1)平方差公式(2)完全平方公式
因式分解：(1)提公因式法(2)公式法
（二）合作探究：
(1)化简：A3·A2B=. (2)计算：4X2+4X2=
(3)计算：4X2·(-2XY)=. (4)分解因式：A2-25=
（三）当堂检测
1．若 ，则 =_________________.
7．下列多项式中，含有因式 的多项式是（。）
A. B.
C. D.
8．简便方法计算(1) 98×102－992 (2)
9．（远程使用）已知A，B，C为△ABC的三条边的长．
若 ，试判断三角形的形状
课堂小结：
今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。
（师生共同总结）
板书设计：
第14章整式的乘法与因式分解小结
课题：第14章整式的乘法与因式分解小结
上课时间
年 月 日
教学目标
知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则，
过程与方法：会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式
人教版八年级上册数学第十四章-整式的乘法与因式分解小结与复习课件精选全文
11．下列计算中，正确的是(C ) A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－b2 C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2 D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2 12．已知(x＋m)2＝x2＋nx＋36，则n的值为(B ) A．±6 B．±12 C．±18 D．±72 9．若a＋b＝5，ab＝3，则2a2＋2b2＝__3_8_____．
(3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2 =(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
14.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
2.因式分解的方法
(1)提公因式法 (2)公式法
步骤： 1.提公因式； 2.套用公式； 3.检查分解是否彻底；
①平方差公式：_a_2_-_b_2_=__(_a_+_b__)(_a__-b__)
②完全平方公式：_a_2_±___2_a_b__+_b_2_=__(_a_±__b__)_2_
知识点四 分解因式 1．下列分解因式中正确的个数有( C) ①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；②x2＋4x＋4＝(x＋2)2；③－x2＋y2 ＝(x＋y)(x－y)． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．(2017·黔东南州)在实数范围内分解因式：x5－4x＝ x(_x_2＋__2_)(_x_＋__2_)_(x_－___2_) _____________． 3 ． (2017·赤 峰 ) 因 式 分 解 ： xy2 ＋ 8xy ＋ 16x ＝
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第十四章整式的乘法与因式分解单元小结与复习
知识梳理1.有关法则；⑴幂的四个运算性质：；⑵单项式与单项式相乘的法则：把它们的、分别相乘，；⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，；⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，；⑸单项式除以单项式的法则：把、分别相除后，作为商；
⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的除以这个；⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两；⑵完全平方公式
知识梳理
1. 有关法则
⑴幂的四个运算性质：
⑵单项式与单项式相乘的法则：把它们的、分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同一起作为积的一个因式.
⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据律用单项式去多项式的每一项，再把所得的积相加.
⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项另一个多项式的每一项，再把所得的积相.
⑸单项式除以单项式的法则：把每项分别相除后，作为商的和；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的一起作为商的一个结果．
⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的除以这个单项式，再把所得的商。
2. 有关公式：
⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方的差，即用字母表示为：(a+b)(a－b)= .
⑵完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的再加上（或减去）这两数的，即：(a±b)= .
3. 有关概念
⑴因式分解：把一个多项式化为的形式，叫做多项式的因式分解.
⑵提公因式法：把多项式各项的提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即
提公因式法的实质是逆用.
⑶公式法：把乘法公式逆用，就得到分解因式的结果
考点1 幂的运算性质
例1 下列运算正确的是（）
A. （-a）·（-a）=a
B.（-b）=-3b
考点2 整式的乘法
例2 先化简，再求值：（-2x）-（x+1）（4x-5）-x（x+11），其中x=-2.
考点3 乘法公式
例3 计算：（x+3y）-2（x+3y）（x-3y）+（x-3y）的结果为＿＿＿＿.
考点4 整式的除法
例4 先化简（4ab+8ab）÷（-4ab）-（2a+b）（2a-b），然后再选取你喜欢的一对a，b的值代入求值.
考点5 定义新运算型
例5 先规定一种新运算“§”，a§b=a+ab+（b-1），根据这个新运算，可得（2x-1）（x+3）= ＿＿＿.
考点6 分解因式的方法例6分解因式：
例7分解因式：（1）(ab)?4(a?b)?
考点8分解因式的相关计算
例8 已知实数a，b满足ab?1，a?b?2，求代数式ab?ab的值．
易错点1 混淆幂的运算性质
例1 下列计算：①x·x=x；②（-2mn）=-2mn；③（a-b）÷（a-b）=（a-b）.其中正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个 D.3个例2 计算：⑴ab（b+b）-b（ab-a+1）= ＿＿＿＿＿. ⑵（a-b）（a+5b）的结果为＿＿＿＿＿. 易错点3 乘法公式的结构掌握不牢
例3计算：⑴（2x+3y）（3y-2x）= ＿＿＿＿＿. ⑵（4x-5y）=＿＿＿＿＿.
易错点4 在整式的乘除混合运算中，运算顺序混乱例4 计算：xy÷x·xy的结果为＿＿＿＿＿.
易错点5 提公因式后漏项致错
例5分解因式：
易错点6用公式不恰当致错
例6分解因式
易错点7式分解不彻底致错
例7分解因式
方法点击
1.逆用幂的运算性质求值例1 已知a=2，a=4，求a
例2 计算：（-0.125）×（2）+（5)2013?(?23)2012的结果为＿＿＿＿＿.
3.利用整式的乘法确定积中不含某项字母系数的值
例3 若关于多项式（x-1）（-kx+1）的乘积中不含一次项，则k的值为＿＿＿＿＿. 4.巧用乘法公式求值
例4 计算：2013-2012×2014-1001的结果为＿＿＿＿＿.
5.巧用“被除式=除式×商式+余式”求解
例5 已知多项式2x-4x-1除以多项式A，得商式为2x，余式为2x-1，则多项式A=＿＿＿＿＿.
跟踪训练
1. (-2xy)的运算结果是( )
A. -6xy
B. -8xy
C. -6xy
D. -8xy
2. 用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×10秒到达另一座山峰，已知光在空气中的速度约为3×10米/秒，则这两座山峰之间的距离用科学记数法表示为（）A.1.2×10米B. 12×10米 C. 1.2×10米 D. 1.2×10米
3. 若x-ax-1可以分解为(x-2)(x+b)，则a+b的值为（）A. -1 B. 1 C. - 2 D. 2
4. 把多项式x-2x+x分解因式结果正确的是（）
A. x(x-2x)
B. x(x-2)
C. x(x+1)(x-1)
D. x(x-1) 5. 计算(2x-3)的结果为4x+□x+9，则“□”中的数为（）
A. -6
B. 6
C. -12
D. 12
6. 若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式(a-c)-b的值（）A. 一定为正数
B. 一定为负数
C. 可能为正数，也可能为负数
D. 可能为零
7. 下列各式：x·x，(x)，x+x，(-x)，x÷ (-x)，其中与x相等的有_____个.
8. (3x-2)(3-5x)的计算结果中，含x的项的系数是______.
9. 4m(2x-y)-4mn因式分解的结果为_______.
10. 一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm，则这个正方形的边长为____cm.
11. 已知x+y=25，x+y=7，且x＞y，则x-y的值等于.
12. 计算下列各式：(1) a?a+(2a)+(-2a)；(2)(2x+5y)(3x-2y)-(x-2y).。