偏微分方程论文

偏微分方程数值解法

[摘要]偏微分方程课程主要介绍了求一阶拟线性偏微分方程、波动方程、热传导方程及位势方程的解析解。本文受此启发，并结合所学数值计算方法知识，介绍几种偏微分方程的数值解法。

1.背景

现实世界中，许多实际问题可归结为微分方程的定解问题。很多情况下，人们无法或不方便求出这些问题的解析解，从而要求它们的数值解。因此，需要了解偏微分方程的数值解法。

2.内容

(一)双曲型方程

∞≤≤∞-=x x x u ),()0,(ϕ初值条件

将x-t 平面分割成矩形网格

,2,1,0,,2,1,0,0=+==±±===j j t t t k kh x x j k τ

用(k,j)表示网格节点(x k ,t j )，网格节点上的函数值为u(k,j)

用差商表示导数 ),~(2

),(),1()~,(2),()1,(,,j x u h h j k u j k u x u t k u j k u j k u t u x j k t j k ''--+=∂∂''--+=∂∂ττ ),~(62),1(),1()~,(6

2)1,()1,(2,2

,j x u h h j k u j k u x u t k u j k u j k u t u x j k t j k '''---+=∂∂'''---+=∂∂ττ

方程变为 0),(),(),1(),()1,(1=--++-+ττh R h

j k u j k u a j k u j k u 略去误差项，得到差分方程

0,,1,1,=-+-h u u a u u j

k j k j

k j k ＋＋τ

加上初始条件，构成差分格式

k k j k j k j k j k u u u ar u u ϕ=--=0,,,1,1,)

(＋＋

0=∂∂+∂∂=x

u a t u Lu

—

(二)抛物型方程 T t b x u

b t u

Lu ≤≤>=∂∂-∂∂=0,0022

)(g )t ,1(),(g )t ,0();10(),()0,(2),()0,(121x u x u x x x u x x x u ==≤≤=∞≤≤∞-=ϕϕ）初边值混合问题

（）初值问题

（定解条件有两类：

将x-t 平面分割成矩形网格

,2,1,0,,2,1,0,0=+==±±===j j t t t k kh x x j k τ

用(k,j)表示网格节点(x k ,t j )，网格节点上的函数值为u(k,j) 用差商表示导数 )

,~(12

),1(),(2),1()

~,(2

),()1,()4(22,22,j x u h h j k u j k u j k u x u t k u j k u j k u t u

x j k t j k --+-+=∂∂''--+=∂∂ττ 则方程变为 0),()

,

1(),(2),1(),()1,(12=--+-+--+ττh R h j k u j k u j k u b j k u j k u

略去误差项，并令s ＝τ/h 2 得到差分方程

)2(,1,,1,1,j k j k j k j k j k u u u bs u u -+-+=＋＋

边界条件差分化（第二、三类边界条件） )

,~

(2),(),

()

,~(2

),0(),(1,1,0t x u h h t x u t x u x u t x u h h t u t h

u x u x N N t x t ''+-=∂∂''--=∂∂-

得显式格式

⎪⎩⎪⎨⎧===-===-=+-+=-

,2,1,0)(),(1

,,2,1)(,2,1,0,1,,2,1)2(2,1,00,,1,,1,1,j j g u j g u N k kh u j N k u u u bs u u j N j k j k j k j k j k j k ττϕ＋＋

(三)椭圆形方程

),(f 22

22y x y u

x u u =∂∂+∂∂=∆

—

边值问题

⎪⎩⎪⎨⎧Γ∈=Ω∈=∂∂+∂∂=∆Γ

),(),(),(),(f 2222y x y x u y x y x y u x u u ϕ

将x-y 平面分割成矩形网格

,2,1,0,,2,1,0,±±===±±===j j y y k kh x x j k τ

用(k,j)表示网格节点(x k ,y j )，网格节点上的函数值为u(k,j) 用差商表示导数 )~,(12)1,(),(2)1,(),~(12

),1(),(2),1()4(22,22)4(22,22y k u h j k u j k u j k u y u j x u h h j k u j k u j k u x u x j k x j k ττ--+-+=∂∂--+-+=∂∂

方程变为

j k f h R j k u j k u j k u h j k u j k u j k u ,12

2),()1,(),(2)1,(),1(),(2),1(=--+-++-+-+ττ 略去误差项，得到差分方程 j h j k j k j k j k j k j k f u u u s u u u h ,1,,1,2,1,,12)2(1)2(1=+-++--+-τ

＋