第二讲 椭圆、双曲线、抛物线

x2 2．(2014· 江西卷 )如图，已知双曲线 C： 2－y2＝1(a＞0)的右焦 a 点为 F.点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AF⊥x 轴，AB⊥OB， BF∥OA(O 为坐标原点)．
(1)求双曲线 C 的方程； x0x (2)过 C 上一点 P(x0， y0)(y0≠0)的直线 l： 2 －y0y＝1 与直线 AF a 3 相交于点 M，与直线 x＝ 相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时， 2 |MF| 恒为定值，并求此定值． |NF|

(2)由(1)知 a＝ 3，则直线 l 的方程为 x0x－3 x0x －y0y＝1(y0≠0)，即 y＝ . 3 3y0 因为直线 AF 的方程为 x＝2，所以直线 l 与 AF 的交点 M(2， 2x0－3 )； 3y0
3x0－3 3 直线 l 与直线 x＝ 的交点为 N3 2 . 2 ， 2 3y0
2 2 2
8 16 所以|AB|＝ 1＋3·5c－0＝ c. 5
1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B＝ |AF1|· |AB|·sin∠F1AB＝ a· c· ＝ a 2 2 5 2 5 ＝40 3，解得 a＝10，b＝5 3.

解法二
设|AB|＝t，

如图，设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 MN 的 中点为 G(x0，y0)， k（ x＋4）， y＝ 由x2 y2 得 8 ＋ 4 ＝1， (1＋2k2)x2＋16k2x＋32k2－8＝0.① 由Δ＝(16k2)2－4(1＋2k2)(32k2－8)＞0，解得 2 2 － ＜k＜ .② 2 2
因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a， 由椭圆定义 |BF1|＋|BF2|＝2a 可知，|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理 8 (3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝ a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B＝ a· a· ＝ a ＝40 3知， 2 5 2 5 a＝10，b＝5 3.

此时
3 1＋ 2＞1， 且 m 2
3 1＋ 2≠2， 所以 1＜1＋ m 2
2 3 1＋ 2－1 m
＜
3，且 1＋ 2
5 ≠ ， 3 3 1＋ 2－1 m
|PR| xR |PR| xR 5 所以 1＜ ＝ ＜3，且 ＝ ≠ . |PQ| xQ |PQ| xQ 3
所以 xE＝
3＋4k2
，
3 yE＝kxE＋ －k. 2 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代 k，可得

xF＝
3 2 4 2＋k －12
3＋4k2
，
3 yF＝－kxF＋ ＋k. 2 所以直线 EF 的斜率 kEF＝ ＝ －k（ xF＋xE）＋2k xF－xE yF－yE xF－xE

x2 y2 解析： (1)依题意，设椭圆 C 的方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)，焦 a b 距为 2c， 1 由题设条件知，a2＝8，b＝c，所以 b2＝ a2＝4. 2 x2 y2 故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 8 4 (2)椭圆 C 的左准线方程为 x＝－4， 所以点 P(－4，0)． 显然直线 l 的斜率 k 存在，所以直线 l 的方程为 y＝k(x＋4)．

因为|PQ|＜|PR|，所以|xQ|＜ |xR|. m－2 m2＋3 m＋2 m2＋3 xQ＝ ，xR＝ . 3 3 |PR| xR 所以 ＝x ＝ |PQ| Q 2 3 1＋ 2－1 m 2 2 . 3 1＋ 2＋1 m 3 1＋ 2－1 m
＝1＋ 2

3．已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，以两个焦点和短 轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点，过点 P 的直线 l 与 椭圆 C 相交于 M，N 两点，当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包 括边界)时，求直线的斜率的取值范围．

解析：(1)由题意可知，△AF1F2 为等边三角形，a＝2c，所以 e 1 ＝ . 2 (2)解法一 a2＝4c2，b2＝3c2，
直线 AB 的方程为 y＝－ 3(x－c)，
8 3 3 将其代入椭圆方程 3x ＋4y ＝12c ，解得 B c，－ c ， 5 5
3 2 (3＋4k )x ＋4k(3－2k)x＋42yE)，F(xF，yF)．因为点 A1，2 在椭圆上，所以 xE＋1
4k（3－2k） ＝－ . 3＋4k2
3 2 42－k －12

例2 (1，0)．
3 已知，椭圆 C 过点 A1，2，两个焦点分别为(－1，0)，
(1)求椭圆 C 的方程． (2)E，F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值．

则 |MF|2 |NF|2 ＝ （2x0－3）2 （3y0）2 3 （ x0－3）2 2 1 ＋ 4 （3y0）2 ＝ （2x0－3）2 9y2 9 0 ＋ （x0－2）2 4 4 ＝
（2x0－3）2 4 · 2. 3 3y2 0＋3（x0－2）

x2 0 因为 P(x0，y0)是 C 上一点，则 －y2 0＝1，代入上式得 3

9 2 b2 c 4 4 x2 y2 将 B 点坐标代入 2＋ 2＝1，得 2 ＋ 2＝1， a b a b 9c2 1 即 2＋ ＝1，解得 a2＝3c2.① 4a 4 3c 3b 3 → → 又由AF1·AB＝(－c，－b)· ( ，－ )＝ ，得 b2－c2＝1，即有 2 2 2 a2－2c2＝1.② 由①②解得 c2＝1，a2＝3，从而有 b2＝2. x2 y2 所以椭圆方程为 ＋ ＝1. 3 2
(1)求轨迹 C 的方程． (2)设直线 y＝x＋m(m＞0)与 y 轴相交于点 P，与轨迹 C 相交于 |PR| 点 Q，R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范围． |PQ|

解析：(1)设 M 的坐标为(x，y)，当 x＝－1 时，直线 MA 的斜率 不存在； 当 x＝1 时， 直线 MB 的斜率不存在． 于是 x≠1 且 x≠－1.此时， y y MA 的斜率为 ，MB 的斜率为 . x＋1 x－1 y y 由题意，有 · ＝4. x＋1 x－1 化简可得，4x2－y2－4＝0. 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2－y2－4＝0(x≠± 1)．
随堂讲义
专题六 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线
对圆锥曲线的方程与性质的考查是高考的重点，一 般是综合题，常用到一元二次方程根与系数的关系、平 面向量等知识，该类试题多以直线与圆锥曲线为背景， 常与函数与方程、不等式、向量知识交汇，形成求方程、 求参数、求面积、定值的证明等综合题． 预测2016年高考多以解答题形式出现，考查学生利 用数学知识分析、解决问题的能力，考查论证、推理、 运算能力，考查数形结合的思想．

(1)已知离心率，就是知道一个a，b，c的等式．
(2)与焦点相关的问题注意运用圆锥曲线的定义求解．

x2 y2 1．如图，已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)，F1，F2 分别为椭圆 a b 的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2 交椭圆于另一点 B.
5 5 |PR| 综上所述， 的取值范围是 1，3 ∪ 3，3. |PQ|

与圆锥曲线相关的参数问题是高考考查的热点问题． 解决这类问 题常用以下方法： (1)根据题意建立参数的不等关系式，通过解不等式求出范围． (2)用其他变量表示该参数，建立函数关系，然后利用求值域的 相关方法求解． (3)建立某变量的一元二次方程，利用判别式求该参数的范围． (4)研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合法求解．
x2 y2 解析：(1)由题意，c＝1，可设椭圆方程为 ＋ 2＝1. 1＋b2 b 1 9 4 2 2 因为点 A 在椭圆上， 所以 ＋ 2＝1， 解得 b ＝3 或 b ＝－ 3 1＋b2 4b (舍去)． x2 y2 所以椭圆方程为 ＋ ＝1. 4 3 3 x2 y2 (2)证明：设直线 AE 的方程为 y＝k(x－ 1)＋ ，代入 ＋ ＝1， 2 4 3 得


例 1
x2 y2 如图，F1、F2 分别是椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b
的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(1)求椭圆 C 的离心率． (2)已知△AF1B 的面积为 40 3，求 a, b 的值．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； 3 → → → → (2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝ ，求椭圆的方程． 2

解析： (1)若 ∠F1AB＝ 90°，则 △AOF2 为等腰直角三角形，所 以有 OA＝OF2，即 b＝c.所以 a＝ 2c， c 2 e＝ ＝ . a 2 (2)由题知 A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)， 其中，c＝ a2－b2，设 B(x，y)． → ＝2F → 由AF 2 2B，得(c，－b)＝2(x－c，y)， 3c b 3c b 解得 x＝ ，y＝－ ，即 B( ，－ )． 2 2 2 2

y＝x＋m， (2)由 2 消去 y， 2 4x －y －4＝0
可得 3x2－2mx－m2－4＝0.① 对于方程①，其判别式
Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48＞0，
而当 1 或－1 为方程①的根时，m 的值为－1 或 1. 结合题设(m＞0)可知，m＞0 且 m≠1. 设 Q，R 的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则 xQ，xR 为方程① 的两根．
1 ＝ . 2 1 即直线 EF 的斜率为定值，其值为 . 2