必修1学案(函数模型及应用实例部分)
高中数学必修一教案-函数模型的应用实例
《函数模型的应用实例》一、教学内容分析：本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法．例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点．整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力．二、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或建立的函数模型．3．会运用函数模型解决实际问题．过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．2．在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括和局部处理能力薄弱．四、教学重点、难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．五、教学策略分析：基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：1．问题教学法．在例1的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例2的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．2．分组讨论法．在例2的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培养其学习的主动性．3．多媒体辅助教学法：在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。
人教版教材高中数学必修一《函数模型的应用实例》教案
3.2.3 函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入回顾一次函数和二次函数的有关知识.教师提出问题，学生回答.师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.生：回答上述问题.以旧引新，激发兴趣.应用举例1．一次函数模型的应用例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答.例1 解：因为火车匀速运动的时间为(200 – 13)÷120 =115(h)，所以115t≤≤.因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是11130120(0).5S t t=+≤≤2h内火车行驶的路程11131206S=+⨯=233(km).通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.解题方法：1．读题，找关键点；2．抽象成数学模型；3．求出数学模型的解；4．做答.学生总结，教师完善.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.2．二次函数模型的应让学生自己读题，并回答下列问题：解应用题用例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？①题目求什么，应怎样设未知量；②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；③学生完成题目.法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.例2 解答：方法一依题意可列表如下：x y0 300×20 = 60001 (300 – 10×1)(20 + 2×1) = 63802 (300 – 10×2)(20 + 2×2) = 67203 (300 – 10×3)(20 + 2×3) = 70204 (300 – 10×4)(20 + 2×4) = 72805 (300 – 10×5)(20 + 2×5) = 75006 (300 – 10×6)(20 + 2×6) = 76807 (300 – 10×7)(20 + 2×7) = 78208 (300 – 10×8)(20 + 2×8) =79209 (300 – 10×9)(20 + 2×9) = 798010 (300 – 10×10)(20 + 2×10) = 800011 (300 – 10×11)(20 + 2×11) = 798012 (300 – 10×12)(20 + 2×12) = 792013 (300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820……由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.方法二设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为y = (20 + 2x) (300 – 10x )= –20x2 + 600x– 200x + 6000= –20(x2– 20x + 100 – 100) + 6000= –20(x– 10)2 + 8000.首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.由此得到，当x = 10时，y max = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.3．分将函数模型的应用例 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.生：解答：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.（2）根据图，有502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,4 5.t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩这个函数的图象如图所示.实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题⇒简化假设⇒数学建模⇒解答模型⇒检验模型⇒评价与应用的进一步深体.巩固练习课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为t h，则汽车行驶的路程S km与时间t h之间的函数关系为S = vt.当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.因此所求的函数关系为S=60t，当t = 3时，S = 180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2．设食品的重量为x kg，则食品的价格y元与重量x kg之间的函数关系式为y=8x，当x = 8时，y = 64，所以当8kg食品的价格为64元.3．设矩形菜地与墙相对的一边长为x cm，则另一组对边的长为3002x-m，从而矩形菜地的面积为：学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.积最大？习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km ，但事实上的收费标准如下：最开始4km 内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km 后到15km 之间，每公里收费1.20元，15km 后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f 与打车路程x 之间的函数关系.21(300)21(150)11250(0300).2S x x x x =-=--+<<当x = 150时，S max = 11250. 即当矩形的长为150m ，宽为75m 时，菜地的面积最大. 4．解：所求函数的关系式为 100410 1.2(4)41523.2 1.8(15)15x y x x x x <≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩归纳小结课堂小结解决应用用问题的步骤：读题—列式—解答. 学生总结，师生完善使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程. 布置作业 习题2—3B 第1、3题： 教材第71页“思考与讨论”.学生练习使学生巩固本节所学知识与方法.例1 某游艺场每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的函数关系是：3.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩（1）当0≤x ≤400时，由3.75x =750，得x =200.（2）当400≤x ≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去). 综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张. 答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元. 例2投资A 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A B 两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x– 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x –m)2 + b后发生的变化.。
人教A版高中数学必修一函数模型的应用举例教案第课时
《函数与方程-3.2.2 函数模型的应用举例》第2课时 函数模型的应用举例导入新课思路1.(事例导入)一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v 0,加速度为a,那么经过t 小时它的速度为多少？在这t 小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v 0+at,s=v 0t+21at 2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型. 不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例. 思路2.(直接导入)前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题. 推进新课 新知探究 提出问题①我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长.已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如下表所示：1°画出2000～2003年该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之. 2°2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？ ②什么是函数拟合？③总结建立函数模型解决实际问题的基本过程. 讨论结果：①1°如图3-2-2-5， 设f(x)＝ax ＋b,代入（1，4）、（3，7）,得⎩⎨⎧=+=+7,b 3a 4,b a 解得a=23，b=25.∴f(x)=23x+25. 检验：f(2)＝5.5，|5.58-5.5|=0.08<0.1； f(4)＝8.5，|8.44-8.5|=0.06<0.1. ∴模型f(x)=23x+25能基本反映产量变化. 2°f(7)＝13，13×70%＝9.1，2006年年产量应约为9.1万件.图3-2-2-5②函数拟合：根据搜集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程.③建立函数模型解决实际问题的基本过程为：图3-2-2-6应用示例思路1例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售解：根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为480－40(x－1)=520－40x(桶).由于x＞0,且520－40x＞0,即0＜x＜13,于是可得y=(520－40x)x－200=－40x2+520x－200,0＜x＜13.易知,当x=6.5时,y 有最大值.所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润. 变式训练某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 解：（1）设在原来基础上增加x 台，则每台生产数量为384-4x 件，机器台数为80+x ， 由题意有y=(80+x)(384-4x).（2）整理得y=-4x 2+64x+30 720，由y=-4x 2+64x+30 720,得y=-4(x-8)2+30 976，所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30 976件. 点评：二次函数模型是现实生活中最常见数学模型.（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在校男生的体重是否正常？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：根据表的数据画出散点图.观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·b x 这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系. 解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（图3-2-2-7）.根据点的分布特征，可以考虑用y=a·b x 作为刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 关系的函数模型.如果取其中的两组数据（70，7.90）,(160,47.25),代入y=a·b x,得⎩⎨⎧1∙=∙=.0025.47,9.770b a b a用计算器算得a≈2,b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3-2-2-8），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.(2)将x=175代入y=2×1.02x ，得y=2×1.02175， 由计算器算得y≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22>1.2, 所以这个男生偏胖.图3-2-2-7 图3-2-2-8变式训练九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC ）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO 2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO 2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=a·b x +c （其中a 、b 、c 为常数），且又知1994年大气中的CO 2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？ 解：(1)若以f(x)=px 2+qx+r 作模拟函数，则依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++6,r 3q 9p 3,r 2q 4p 1,r q p 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===,0,21,21r q p 所以f(x)=21x 2+21x.(2)若以g(x)=a·b x +c 作模拟函数，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+6,c ab 3,c ab 1,c ab 32解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===3,23,38c b a所以g(x)=38·(23)x -3. (3)利用f(x)、g(x)对1994年CO 2浓度作估算，则其数值分别为： f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位， ∵|f(5)－16|<|g(5)－16|, 故选f(x)=21x 2+21x 作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近. 思路2例1某自来水厂的蓄水池有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为1206t 吨,其中0≤t≤24.(1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导. 思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题. 解：设供水t 小时，水池中存水y 吨，则(1)y=400+60t-1206t =60(t 6-)2+40(1≤t≤24),当t=6时，y min =40(吨),故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为40吨. (2)依条件知60(t 6-)2+40<80,1≤t≤24,解得38<t<332,33238-=8. 故一天24小时内有8小时出现供水紧张.例22007泰安高三期末统考，文18某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x （0<x<1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ，已知日利润=（出厂价一成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.(1)写出y 与x 的关系式；(2)为使日利润有所增加，求x 的取值范围. 解：(1)由题意得 y=［60×(1+0.5x)-40×(1+x)］×1 000×(1+0.8x) =2 000(-4x 2+3x+10)(0<x<1).(2)要保证日利润有所增加，当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--,10,01000)4060(x y即⎩⎨⎧<<>+-.10,0342x x x 解得0<x<43.所以为保证日利润有所增加，x 应满足0<x<43. 点评：函数模型应用经常伴随方程和不等式的应用，它们是有机的整体. 知能训练2007广东韶关统考，文18某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由.解：(1)设该厂应隔x(x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1， ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6（元）. ∴x 天饲料的保管与其他费用共有 6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x 2-3x(元). 从而有y 1=x1(3x 2-3x+300)+200×1.8 =x300+3x+357,可以证明y 1=x300+3x+357,在（0，10）上为减函数，在（10，+∞）上为增函数. ∴当x=10时，y 1有最小值417,即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2，则 y 2=x1(3x 2-3x+300)+200×1.8×0.85=x 300+3x+303(x≥25).∵函数y 2在［25,+∞）上是增函数,∴当x=25时，y 2取得最小值为390.而390<417, ∴该厂应接受此优惠条件. 拓展提升如何用函数模型解决物理问题？例：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1,a 2,…,a n 共n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较a 与各数据差的平方和最小，依此规定，从a 1,a 2,a 3,…,a n 推出的a=________.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化成函数求最值问题. 解：由题意可知，所求a 应使y=(a-a 1)2+…+(a -a n )2最小, 由于y=na 2-2(a 1+a 2+…+a n )2a+(a 12+a 22+…+a n 2).若把a 看作自变量，则y 是关于a 的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值. 因为n>0，二次函数f(a)图象开口方向向上,当a=n 1(a 1+a 2+…+a n )时，y 有最小值, 所以a=n1(a 1+a 2+…+a n )即为所求.点评：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y=(a-a 1)2+(a-a 2)2+…+(a -a n )2,然后运用函数的思想方法去解决问题.解题关键是将函数式化成以a 为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用. 课堂小结1.巩固函数模型的应用.2.初步掌握函数拟合思想，并会用函数拟合思想解决实际问题. 作业课本P 107习题3.2B 组1、2.设计感想本节通过事例引入课题，接着通过事例让学生感受什么是函数拟合；课本的例3是函数模型的应用，例4是函数拟合的应用，这都是本节的重点.因此本节选用了多个地市的模拟试题进行强化训练，其中开放性函数拟合问题更值得关注.本节素材鲜活丰富，结构合理有序，难度适中贴近高考.习题详解(课本第98页练习) 1.y 2.2.设第1轮病毒发作时有a 1=10台被感染,第2轮,第3轮,…,依次有a 2台,a 3台,…被感染,依题意有a 5=10×204=160.答:在第5轮病毒发作时会有160万台被感染. (课本第101页练习) 三个函数图象如下:图3-2-2-9由图象可以看到,函数(1)以“爆炸”式的速度增长;函数(2)增长缓慢,并渐渐趋于稳定;函数(3)以稳定的速度增加. (课本第104页练习)1.(1)已知人口模型为y=y 0e rt ,其中y 0表示t=0时的人口数,r 表示人口的年增长率.若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有y=5e 0.003t . 当y=10时,解得t≈231.所以,1881年世界人口数约为1650年的2倍.同理,可知2003年世界人口数约为1970年的2倍.(2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况. 2.由题意有75t-4.9t 2=100, 解得t=9.425.6075⨯±,即t 1≈1.480,t 2≈13.827.所以,子弹保持在100 m 以上的时间t=t 2-t 1≈12.35,在此过程中,子弹最大速率 v 1=v 0-9.8t=75-9.8×1.480=60.498 m/s.答:子弹保持在100米以上高度的时间是12.35秒,在此过程中,子弹速率的范围是v ∈(0,60.498).(课本第106页练习)1.(1)由题意可得y 1=150+0.25x, y 2=x150+0.25, y 3=0.35x,y 4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150. (2)画出y 4=0.1x-150的图象如下.图3-2-2-10 由图象可知,当x<1500件时,该公司亏损;当x=1500件时,公司不赔不赚;当x>1500件时,公司赢利.2.(1)列表.(2)画散点图.图3-2-2-11 3.确定函数模型.甲:y1=-x2+12x+41,乙:y2=-52.07×0.778x+92.5.(4)做出函数图象进行比较.图3-2-2-12图3-2-2-13图3-2-2-14 计算x=6时,y1=77,y2=80.9.可见,乙选择的模型较好.(课本第107页习题3.2)A组1.(1)列表.(2)描点.图3-2-2-15(3)根据点的分布特征,可以考虑以d=kf+b 作为刻画长度与拉力的函数模型,取两组数据(1,14.2)、(4,57.5),有⎩⎨⎧=+=+57.5,b 4k 14.2,b k解得⎩⎨⎧≈≈-0.2.b 14.4,k 所以d=14.4f-0.2.将已知数据带入上述解析式或作出函数图象,可以发现,这个函数模型与已知数据拟合程度较好,说明它能较好地反映长度与拉力的关系.图3-2-2-162.由31020=(60)2a,得a=35361⨯⨯.由31050=35361⨯⨯x 2,得x=3010. 因为3010<100,所以这辆车没有超速.3.(1)x=⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤.5.65.3),5.3(50150,5.35.2,150,5.20,60t t t t t t (2)v=⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤≤.5.65.3,50,5.35.2,0,5.20,60t t t图略.4.设水池总造价为y 元,水池长度为x m,则y=(12x+x 2400)95+61200×135, 画出函数y 1=(12x+x 2400)95+61200×135和函数y 2=7的图象.图3-2-2-17由图可知,若y 1≤7,则x 应介于［x 1,x 2］之间,x 1,x 2即为方程(12x+x 2400)95+61200×135=70 000的两个根.解得x 1≈6.4,x 2≈31.3.答:水池的长与宽应该控制在［6.4,31.3］之间.5.将x=0,y=1.01×105和x=2400,y=0.90×105分别代入y=ce kx,得到⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯=,1090.0,1001.1240055k ce c 解得c=⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-,10805.4,1001.155k c 所以y=1.01×105e 510805.4-⨯-x. 当x=5596m 时,y=0.772×105(Pa)<0.775×105(Pa).答:这位游客的决定是冒险的决定.6.由500≤2500(108)t <1500,解得2.3<t≤7.2. 答:应该在用药2.3小时后及7.2小时以前补充药.B 组1.(1)利用计算器画出1990~2000年国内生产总值的图象如下.图3-2-2-18(2)根据以上图象的特征,可考虑用函数y=kx+b 刻画国民生产总值发展变化的趋势. 取(1994,46670)(1998,76967.1)两组数据代入上式,得⎩⎨⎧+=+=b,1998k 76967.1b,1994k 46670解得⎩⎨⎧==35.-15056434.b 7574.275,k 这样,我们就得到了函数模型y=7574.275x-15056434.35.作出上述函数图象如下.图3-2-2-19根据上述函数图象,我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映国民生产总值的发展变化.(3)以x=2 004代入以上模型可得y=122 412.75亿元,由此可预测2004年的国民生产总值约为122 412.75亿元.2.(1)点A,B 的实际意义为当乘客量为0时,亏损1(单位);当乘客量为1.5单位时,收支持平;射线AB 上的点的实际意义为当乘客量小于1.5时公司将亏损,当乘客量大于1.5时公司将赢利.(2)图2的建议是:降低成本而保持票价不变;图3的建议是:提高票价而保持成本不变.。
高中数学-必修1全册教案-324函数模型的应用实例(2)
3.2.4 函数模型的应用实例（二）（一）教学目标1．知识与技能掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力.2．过程与方法经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题.3．情感、态度与价值观了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣.（二）教学重点与难点重点：指数函数模型、拟合函数模型的应用难点：依据题设情境，建立函数模型.（三）教学方法师生合作探究解题方法，总结解题规律.老师启发诱导，学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型，似合函数模型解决实际问题的技能.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元 6 7 8 9日均销售量/桶480 440 400 360销售单价/元10 11 12日均销售量/桶320 280 240请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？师生合作回顾一元一次函数，一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检”生：尝试解答例1解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480–40(x–1)=520–40x(桶)由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得y=(520–40x)x–200= –40x2+520x–200，0＜x＜13易知，当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.师：帮助课本剖析解答过程，以旧引新激发兴趣，再现应用技能.回顾反思上节课的学习成果应用举例4．指数型函数模型的应用例 1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0e rt，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：年份1950 1951 1952 1953 1954人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266年份1955 1956 1957 1958 1959人数/万人 61456 62828 64563 65994 67207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高/cm60 70 80 90 100 110体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50身高/cm120 130 140 150 160 170体重/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？例2 解答：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.师：形如y=ba cx函数为指数型函数，生产生活中以此函数构建模型的实例很多（如例1）生：在老师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例师生合作总结解答思路及题型特征师生：共同完成例1 解答：（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.根据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t，由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39通过实例求解，提炼方法整合思路提升能力.如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·b x得：70160 7.947.25a ba b⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖.归纳总结：通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.巩固练习练习1已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？解答：（1）已知人口模型为y = y0e n，其中y0表示t = 0时的人口数，r表示人口的年增长率.若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y = 5e0.003t.固化能力强化技巧（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？当y = 10时，解得t≈231.所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍. （2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.应用举例4．拟合函数模型例3 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，12y ax b=+,y=ab x+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？归纳总结：所以y= –0.8×0.54+1.4=1.35本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与具体实际结合起来.生：动手实践解题此例学生四个代表分别板书四种函数模型.师：点评学生解答，总结，回答问题解析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数的变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题知A(1，1)，B(2，1.2)，C (3，1.3)，D(4，1.37).（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有3 1.30.1,2 1.21a b aa b b+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得所以得y = 0.1x + 1.（2）设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有142 1.2,93 1.30.050.350.7a b ca b ca b cabc++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩=-⎧⎪=⎨⎪=⎩解得所以y= –0.05x2+0.35x+0.7.（3）设y a x b=+，将A，B两点的坐标代入，有10.48,0.522 1.2a b aba b+=⎧=⎧⎪⎨⎨=+=⎪⎩⎩解得所以0.480.52y x=+（4）设y=ab x+c，将A，B，C三点的坐标代入，得用已学函数模型综合求解问题，提升综合应用模型的能力.2310.81.2,0.51.41.3ab c aab c bcab c+=⎧=-⎧⎪⎪+==⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩解得巩固练习练习2 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pq x+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？学生口述解题思路老师借助电脑解答问题（1）列表（2）画散点图.（3）确定函数模型.甲：y1= –x2 +12x+41，乙：y2 = –52.07×0.778x + 92.5（4）做出函数图象进行比较.计算x = 6时，y1= 77，y2=80.9.可见，乙选择的模型较好.固化解题技巧归纳总结1．数学模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模师生合作交流归纳知识，整合解题体会整合理论培养学习能力型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁. 2．关于数学建模中的假设就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了.假设的作用主要表现在以下几个方面：（1）进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑.（2）降低解题难度.由于每一个解题者的能力不同，经过适当的假设就可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解.一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，得到更满意的解.课后练习 3.2 第四课时习案学生独立完成固化知识提高能力。
高中数学必修一 (学案)三角函数的应用
三角函数的应用【学习目标】会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．【学习重难点】三角函数的实际应用问题。
【学习过程】一、自主学习知识点一：函数y＝A sin（ωx＋φ），A>0，ω>0中各参数的物理意义知识点二：三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．知识点三：三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔解答三角函数应用题应注意四点（1）三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．（4）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器． 教材解难： 教材P 248思考不对．因为这条船停止后还需0.4h ，若在P 点停止，再经0.4h 后船驶出安全水深． 基础自测：1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F （t ）＝50＋4sin t2（t ≥0），则在下列哪个时间段内人流量是增加的（ ）A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F （t ）的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z ．当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C ．答案：C2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s 1（cm ）和s 2（cm ）分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π3． 则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是（ ）A ．s 1>s 2B ．s 1<s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定解析：当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，所以s 1＝s 2． 答案：C3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C ． 答案：C4．简谐振动y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的频率和相位分别是________．解析：简谐振动y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的周期是T ＝2π4＝π2，相位是4x ＋π6，频率f ＝1T ＝2π．答案：2π，4x ＋π6 二、素养提升题型一：三角函数在物理中的应用例1：已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置（静止时的位置）的距离h （cm ）与时间t （s ）的函数关系式为：h ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4．（1）求小球开始振动的位置；（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间； （3）经过多长时间小球往返振动一次？（4）每秒内小球能往返振动多少次？ 解析：（1）令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm 处．（2）由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8s ．当h ＝－3时，t 的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s ．（3）T ＝2π2＝π，即经过约πs 小球往返振动一次．（4）f ＝1T ＝1π，即每秒内小球往返振动1π次．令t ＝0解1 →令h ＝±3解2 →问题3即求周期T→问题4即求频率f T 的倒数方法归纳：处理物理学问题的策略（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1：已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s （cm ）随时间t （s ）的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞）．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：（1）小球在开始振动（t ＝0）时的位移是多少？（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ （3）经过多长时间小球往复振动一次？ t 0 π12 π3 7π12 5π6 2t ＋π3 π3 π2 π 3π2 2π sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3 32 1 0 －1 0 s234－4描点、连线，图象如图所示．（1）将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是23cm ．（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm 和－4cm ． （3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs ．解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．题型二：三角函数在实际生活中的应用[教材P 245例2]例2：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确0.001m ）．（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）某船的吃水深度为4m ，安全间隙为1.5m ，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3m/h 的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h 才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？解析：（1）以时间x （单位：h ）为横坐标，水深y （单位：m ）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图1）．根据图象，可以考虑用函数y ＝A sin （ωx ＋φ）＋h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A ＝2.5，h＝5，T ＝12.4，φ＝0；由T ＝2πω＝12.4，得ω＝5π31．所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y ＝2.5sin 5π31x ＋5近似描述．（2）货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5m，所以当y≥5.5时就可以进港．令2.5sin5π31x＋5＝5.5，sin5π31x＝0.2．由计算器可得0.2013579208≈0.2014．如图2，在区间[0，12]内，函数y＝2.5sin5π31x＋5的图象与直线y＝5.5有两个交点A，B，因此5π31x≈0.2014，或π－5π31x≈0.2014．解得x A≈0.3975，x B≈5.8025．由函数的周期性易得：x C≈12.4＋0.3975＝12.7975，x D≈12.4＋5.8025＝18.2025．因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．（3）设在x h时货船的安全水深为y m，那么y＝5.5－0.3（x－2）（x≥2）．在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点（图3）．借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为（7.016，3.995），因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．状元随笔观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中的数据画出散点图，如图1．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝A sin（ωx＋φ）＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可以确定A，ω，φ，h的值．教材反思：解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2：如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：（1）求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；（2）当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？解析：（1）由已知可设y ＝40.5－40cos ωt （t ≥0），由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6．所以y ＝40.5－40cos π6t （t ≥0）．（2）令y ＝40.5－40cos π6t ＝60.5，得cos π6t ＝－12，所以π6t ＝23π或π6t ＝43π，解得t ＝4或t ＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20（分钟）．（1）由已知可得解析式． （2）利用y ＝60.5解t ． 题型三：根据数据拟合函数例3：某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作y ＝f （t ），下面经长期观察，y ＝f （t ）的曲线可近似地看成是函数y ＝A sin ωt ＋b 的图象． （1）试根据以上数据，求出函数y ＝f （t ）的近似解析式．（2）一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？解析：（1）由已知数据，描出曲线如图：易知函数y ＝f （t ）的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10．（0≤t ≤24）（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，由y ≥11.5，得3sin π6t ＋10≥11.5，∴sin π6t ≥12．①∵0≤t ≤24，∴0≤π6t ≤4π．②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6．化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17．∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时． 由表格画出曲线图，由图可求A ，b ，由周期T 可求ω，即求y ＝A sin ωt ＋b ． 方法归纳：在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤 （1）根据原始数据，绘出散点图；（2）通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； （3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3：已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （时）的函数，其中0≤t ≤24，记经长期观测，y ＝f （x ）的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． （1）根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；（2）根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：（1）由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6．又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅A 为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1（0≤t ≤24）．（2）因为y >1时，才对冲浪爱好者开放，所以y ＝12cos π6t ＋1>1，cos π6t >0，2k π－π2<π6t <2k π＋π2（k ∈Z ），即12k －3<t <12k ＋3（k ∈Z ）． 又0≤t ≤24．所以0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t <15．根据表格，确立y ＝A cos ωt ＋b 的模型，求出A ，T ，b ，推出ω，利用t ＝0时，y 为1.5，t ＝3，y ＝1.0，求出b ，即可求出拟合模型的解析式． 三、学业达标（一）选择题1．电流I （A ）随时间t （s ）变化的关系是I ＝3sin100πt ，t ∈[0，＋∞），则电流I 变化的周期是（ ）A ．150B ．50C ．1100D ．100解析：T ＝2π100π＝150． 答案：A2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由图可知－3＋k ＝2，则k ＝5，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8．答案：C3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y （每平方米的价格，单位：元）与第x 季度之间近似满足y ＝500sin （ωx ＋φ）＋9500（ω>0），已知第1季度和第2则此楼群在第3季度的平均单价大约是（ ） A ．10000元B ．9500元C ．9000元D ．8500元解析：因为y ＝500sin （ωx ＋φ）＋9500（ω>0），所以当x ＝1时，500sin （ω＋φ）＋9500＝10000；当x ＝2时，500sin （2ω＋φ）＋9500＝9500，即⎩⎨⎧sin 2ω＋φ＝0，sinω＋φ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z .易得3ω＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ．又当x ＝3时，y ＝500sin （3ω＋φ）＋9500，所以y ＝9000． 答案：C4．如图，单摆离开平衡位置O 的位移s （单位：cm ）和时间t （单位：s ）的函数关系为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为（ ）A ．2sB ．1sC ．12sD ．14s解析：由题意，知周期T ＝2π2π＝1（s ），从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s ． 答案：C （二）填空题5．设某人的血压满足函数式p （t ）＝115＋25sin （160πt ），其中p （t ）为血压（mmHg ），t 为时间（min ），则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T ＝2π160π＝180（分），f ＝1T ＝80（次/分）．答案：806．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s （单位：cm ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式是s ＝A sin （ωt ＋φ），0<φ<π2，函数图象如图所示，则φ＝________．解析：根据图象，知⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1112，0两点的距离刚好是34个周期，所以34T ＝1112－16＝34．所以T ＝1，则ω＝2πT ＝2π．因为当t ＝16时，函数取得最大值，所以2π×16＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π6．答案：π67．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f （x ）＝________．解析：由题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6，周期T ＝2×（7－3）＝8，所以ω＝2πT＝π4．所以f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋φ＋6．又当x ＝3时，y ＝8， 所以8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，结合|φ|<π2可得φ＝－π4，所以f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6．答案：f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6（三）解答题8．弹簧振子以O 为平衡位置，在B ，C 两点间做简谐运动，B ，C 相距20cm ，某时刻振子处在B 点，经0．5s 振子首次到达C 点，求：（1）振动的振幅、周期和频率；（2）弹簧振子在5s 内通过的路程及位移． 解析：（1）设振幅为A ，则2A ＝20cm ，所以A ＝10cm ．设周期为T ，则T2＝0．5s ，所以T ＝1s ，所以f ＝1Hz ．（2）振子在1s 内通过的距离为4A ，故在5s 内通过的路程s ＝5×4A ＝20A ＝20×10＝200（cm ）．5s 末物体处在B 点，所以它的位移为0cm ．9．交流电的电压E （单位：V ）与时间t （单位：s ）的关系可用E ＝2203sin （100πt ＋π6）来表示，求：（1）开始时电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解析：（1）当t ＝0时，E ＝1103（V ）， 即开始时的电压为1103V ．（2）T ＝2π100π＝150（s ），即时间间隔为0．02s ． （3）电压的最大值为2203V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值． 尖子生题库：10．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80mmHg 为标准值，设某人的血压满足方程式P （t ）＝115＋25sin （160πt ），其中P （t ）为血压（mmHg ），t 为时间（min ），试回答下列问题：（1）求函数P （t ）的周期； （2）求此人每分钟心跳的次数； （3）画出函数P （t ）的草图；（4）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．解析：（1）由于ω＝160π代入周期公式T＝2πω，可得T＝2π160π＝180（min），所以函数P（t）的周期为180min．（2）函数P（t）的频率f＝1T＝80（次/分），即此人每分钟心跳的次数为80．（3描点、连线并左右扩展得到函数P（t）的简图如图所示．（4）此人的收缩压为115＋25＝140（mmHg），舒张压为115－25＝90（mmHg），与标准值120/80mmHg相比较，此人血压偏高．。
人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)
3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。
高一数学必修一教案《函数模型及其应用》
高一数学必修一教案《函数模型及其运用》【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，坚强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！作者高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其运用》》期望对你的学习有帮助！【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发觉或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的运用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。
在一个具体问题的解决进程中，学生可以从知道知识升华到熟练运用知识，使他们能辩证地看待知识知道与知识运用间的关系，与所学的函数知识前后牢牢相扣，相辅相成。
;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正知道函数模型的运用和在运用进程中函数模型的建立与解决问题的进程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中发掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。
同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的挑选与建立。
由于建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和运算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析进程来挑选适当的函数模型和函数模型的构建进程。
在这个进程中，要使学生侧重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。
【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本进程.(2)了解函数模型的广泛运用(3)通过学生进行操作和探究提高学生发觉问题、分析问题、解决实际问题的能力(4)提高学生探究学习新知识的爱好,培养学生,勇于探索的科学态度【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本进程,了解函数模型的广泛运用【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本进程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究进程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本进程中让学生亲身体验函数运用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的爱好,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的运算速度④运算终止后不进行检验针对上述可能显现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用运算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应运算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应当是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行挑选从而引出检验.【教学用具】多媒体辅助教学(ppt、运算机)。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。
1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。
（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。
1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。
（2）函数模型在实际问题中的应用实例。
第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。
2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。
2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。
（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。
第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。
3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。
3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。
（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。
第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。
4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。
4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。
（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。
第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。
5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。
（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。
5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。
（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。
高中数学人教A版必修1教案-3.2_函数模型及其应用_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标解应用题的一般思路2. 教学重点/难点解应用题的一般思路3. 教学用具4. 标签教学过程2.解应用题的一般程序(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模”是关键的一关。
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。
(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。
3．常见函数模型(1)应用的模型解决有关增长率及利息等问题。
(2)分段函数模型。
(3)应用二次函数模型解决有关最值问题。
(4)数列模型。
二．题型剖析例1：书P30例1。
（增长率）练习．（成才之路P99变式2）某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”（m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。
（1）根据题中条件填空，m= （元/担）（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。
解:设平方和为y例2：书例2（分段函数）例3：书例3（二次不等式）练习（基本不等式）：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为3150px2的厂房，工程条件：（1）修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，（2）用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？三．小结1．解应用题的一般步骤：审题、建模、求模、作答2．常见函数模型及应用。
高一数学必修一 教案 3.4 函数的应用(一)
3．4 函数的应用(一)学习目标初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．知识点一一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.知识点二二次函数模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．知识点三幂函数模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．预习小测自我检验1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行于x 轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线．2．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y (g/m 3)与大气压强x (kPa)成正比例函数关系．当x ＝36 kPa 时，y ＝108 g/m 3，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝3x (x ≥0)B ．y ＝3xC ．y ＝13x (x ≥0)D ．y ＝13x答案 A一、一次函数模型的应用实例例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大． 解 设每天从报社买进x 份(250≤x ≤400)报纸；每月所获利润是y 元，则每月售出报纸共(20x ＋10×250)份； 每月退回报社报纸共10×(x －250)份．依题意得，y ＝(0.40－0.24)×(20x ＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x －250)． 即y ＝0.16(20x ＋2 500)－0.16(10x －2 500)， 化简得y ＝1.6x ＋800，其中250≤x ≤400， 因为此一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)的k ＝1.6>0， 所以y 是一个单调增函数，再由250≤x ≤400知， 当x ＝400时，y 取得最大值， 此时y ＝1.6×400＋800＝1 440(元)．所以买进400份所获利润最大，获利1 440元． 反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y (元)是行李质量x (kg)的一次函数，其图象如图所示．(1)根据图象数据，求y 与x 之间的函数关系式． (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ 解 (1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 由图象可知，当x ＝60时，y ＝6； 当x ＝80时，y ＝10.所以⎩⎪⎨⎪⎧60k ＋b ＝6 ，80k ＋b ＝10.解得k ＝15，b ＝－6.所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧15x －6，x >30，0，x ≤30.(2)根据题意，当y ＝0时，x ≤30.所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg. 二、二次函数模型的应用实例例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y 只和实际蓄养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值) (1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围． 解 (1)根据题意，由于最大蓄养量为m 只，实际蓄养量为x 只，则蓄养率为x m ，故空闲率为1－x m，由此可得y ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫1－x m(0<x <m )．(2)对原二次函数配方，得y ＝－k m(x 2－mx )＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km4.即当x ＝m 2时，y 取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量， 即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km4， 所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．跟踪训练2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 解 由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元， 在此情况下的日均销售量为480－40(x －1)＝(520－40x )(桶)． 令520－40x >0，则0<x <13.y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200＝－40(x －6.5)2＋1 490,0<x <13. 易知，当x ＝6.5时，y 有最大值．所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润． 三、幂函数与分段函数模型例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元． 答案 125解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费． ①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？ ③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？解 设上网时间为x 分钟，由已知条件知所付费用y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x <1，0.5x ，1≤x ≤60，30，60<x ≤500，30＋0.15x －500，x >500.①当x ＝20×60＝1 200，即x >500时，应付y ＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．②90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由30＋0.15(x －500)＝90可得，上网时间为900分钟．③令60＝30＋0.15(x －500)， 解得x ＝700.故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月使用量不超过700分钟)时选择手机上网． 反思感悟 (1)处理幂函数模型的步骤 ①阅读理解、认真审题．②用数学符号表示相关量，列出函数解析式． ③根据幂函数的性质推导运算，求得结果． ④转化成具体问题，给出解答． (2)应用分段函数时的三个注意点①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )． (1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解 (1)根据题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋200⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45－2t ＋200，31≤t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， 当t ＝20时，S 的最大值为6 400.②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，当t＝31时，S的最大值是6 210.因为6 210<6 400，所以当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A．200副B．400副C．600副D．800副答案 D解析每天的利润W(x)＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)＝5x－4 000.令W(x)≥0，∴5x－4 000≥0，解得x≥800.所以为了不亏本，日产手套至少为800副．2．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A．100 km B．125 kmC．150 km D．225 km答案 C解析t＝2时，汽车行驶的路为s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．3．按复利计算利率的储蓄，存入银行5万元，年息为6%，利息税为20%,4年后支取，可得利息税为人民币( ) A ．5(1＋0.06)4万元 B ．(5＋0.06)4万元 C ．[(1＋0.06)4－1]万元 D ．[(1＋0.06)3－1]万元 答案 C解析 由已知4年利息和为5×(1＋6%)4－5，扣除20%的利息税，即得利息税为人民币5×[(1＋6%)4－1]×20%＝(1＋6%)4－1＝(1＋0.06)4－1.4．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______ m. 答案 3解析 设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2， 则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x＝－2(x －3)2＋18,0<x <6， 所以当x ＝3时，S 有最大值为18.5．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解 设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680,0≤x ≤210.∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴当x ＝210时，R (x )max ＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．1．知识清单：实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型．2．方法归纳：解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原． 3．常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域．1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2 000，x ∈N *) B ．y ＝0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *) C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2 000，x ∈N *) D ．y ＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *) 答案 D解析 由题意知，变速车存车数为(2 000－x )辆次， 则总收入y ＝0.5x ＋(2 000－x )×0.8 ＝0.5x ＋1 600－0.8x＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *)．2．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本( ) A ．18% B ．20% C ．24% D ．36%答案 B解析 设平均每年降低成本x ， 则(1－x )2＝0.64，得x ＝0.2＝20%.3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量的收入是( )A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元答案 B解析 设y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入(1,800)和(2,1 300)，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝500，b ＝300.所以y ＝500x ＋300，当x ＝0时，y ＝300.4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x <10，x ∈N *，2x ＋10，10≤x <100，x ∈N *，1.5x ，x ≥100，x ∈N *.其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( ) A ．15 B ．40 C ．25 D ．130 答案 C解析 令y ＝60，若4x ＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意，故拟录用人数为25.5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A．30元B．42元C．54元D．越高越好答案 B解析设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)(162－3x)．上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.所以当x＝42时，利润最大．6．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产机器________台．答案50解析设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500.故当x＝50台时，获利润最大．7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________________．答案 y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，0≤x ≤30，2，30<x <40，110x －2，40≤x ≤60解析 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，0≤x ≤30，2，30<x <40，110x －2，40≤x ≤60.8．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率相同，则2020年预计经营总收入为________万元． 答案 1 300解析 设从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率为x . 由题意，得2019年经营总收入为40040%＝1 000(万元)，则有1 000(1＋x )2＝1 690. 解得x ＝0.3，故2020年预计经营总收入为 1 000(1＋0.3)＝1 300(万元)．9．某游乐场每天的盈利额y 元与售出的门票张数x 之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？ 解 (1)由图象知，当x ∈[0,200]时，可设y ＝kx ＋b ， 代入点(0，－1 000)和(200,1 000)， 解得k ＝10，b ＝－1 000， 从而y ＝10x －1 000，x ∈[0,200]．当x ∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2 000)， 解得k ＝15，b ＝－2 500，x ∈(200,300]． 从而y ＝15x －2 500，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1 000，x ∈[0，200]，15x －2 500，x ∈200，300].(2)每天的盈利额超过1 000元，则x ∈(200,300]， 由15x －2 500>1 000得，x >7003，故每天至少需要卖出234张门票．10．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．(1)设甲地调运x 台至B 地，该公司运往A ，B 两地的总运费为y 元，求y 关于x 的函数解析式； (2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？ 解 (1)甲地调运x 台到B 地， 则剩下(6－x )台电脑调运到A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N )，则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，所以y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6)．(2)若使y≤1 000，即20x＋960≤1 000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N，所以0≤x≤2，x∈N.所以x＝0,1,2，即有3种调运方案．11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( )A．①B．①②C．①③D．①②③答案 A解析由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( ) A ．3人 B ．4人 C ．5人 D ．6人答案 B解析 水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ， 当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，28965≈4.4，故至多可供4人洗澡．13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x ，y 应分别为________．答案 15,12解析 由题干图知x ，y 满足关系式x 20＝24－y16，即y ＝24－45x ，矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫24－45x ＝－45(x －15)2＋180，故x ＝15，y ＝12时，S 取最大值．14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米． 答案 14.59 9解析 设出租车行驶x 千米时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋ 2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋ 2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6， 解得x ＝9.15．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－30答案 A解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.16．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解 (1)设旅行团人数为x ，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，x ∈N *，900－10x －30，30<x ≤75，x ∈N *，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，x ∈N *，1 200－10x ，30<x ≤ 75，x ∈N *.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，x ∈N *，x 1 200－10x －15 000，30<x ≤75，x ∈N *.即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，x ∈N *，－10x －602＋21 000，30<x ≤75，x ∈N *.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上单调递增， 当x ＝30时，S 取最大值12 000.又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上的对称轴为x ＝60， 当x ＝60时，S 取最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．。
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§3.2函数模型及应用实例
一．知识要点
1．几种常见函数模型：一次函数模型，二次函数模型，指数函数模型，分段函数模型2．用数学方法解决实际问题的步骤：
实际问题——> 数学问题——> 数学问题的解——> 实际问题的解
求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
因此，
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
二．基础练习
1．在一定范围内，某种产品的购买量为y吨，与单价x元之间满足一次函数关系。
如果购买1000吨，每吨为800元，如果购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该为（） A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元
2．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式2
0.1203000
y x x
=-++，若每台售价为25万元，则生产者不亏本时（即销售收入不少于总成本）的最得产量为（）台
A. 100
B. 120
C. 50
D. 200
3．一种产品的年产量原来为a件，在今后的m年内，计划使年产量平均比上一年增加p％，则年产量y随年数x变化的函数关系式为
4．往外地投送平信，每封信不超过20克付邮费0.8元，超过20克而不超过40克付邮费1.6元，以此类推，每增加20克需增加0.8元（信的质量在100克内），若信的质量大于100克且不超过200克时，每100克付邮资2元，如果某人所寄信的质量为72.5克，则他应付邮费元，设一封x克（0<x≤200）的信函应付邮费为y元，则写出以x为自变量的函数y的解析式5．孙小凯(班级一学生,刚好早晨迟到)早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。
如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（）
三．例题选讲
例题1．如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7，腰长为22，当一条垂直于底边BC （垂足为E ）的直线l 从左到右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BE ＝x ，试写出途中阴影部分的面积y 与x 的函数关系式
例题2．某工厂今年1．2．3月生产某种产品分别为1万件．1.2万件．1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用二次函数2
()f x px qx r =++(其中p q r 、、为常数，且0p ≠)或指数型函数()x g x a b c =+ （其中a b c 、、为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由
四．提高练习
1．一辆中型客车的营运总利润y （单位：万元）与营运年数x （x ∈N ）的变化关系如表所示，则
2．某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。
写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。
五．真题演练
1．（2006韶关一中模拟题）某工厂有一段旧墙长14m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房，工程条件是：
(1) 建1m 新墙的费用为a 元；(2) 修1m 旧墙的费用为
4a 元；(3) 拆去1m 的旧墙，用可得的建材建1m 的新墙的费用为2
a 元，经讨论有两种方案： ①利用旧墙一段x m （0＜x ＜14）为矩形一边；
②矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？
试比较①②两种方案哪个更好。