新教材2020人教B版数学必修第二册课时分层作业21 向量的概念

课时分层作业(二十一) 向量的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A ．向量A
B →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →
所在的直线
B ．长度相等的向量叫相等向量
C ．零向量长度等于0
D ．共线向量是在一条直线上的向量
C [向量AB →∥C
D →包含AB →的基线平行于CD →的基线和AB →的基线与CD →
的基线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A ，B ，D 项均错．]
2．下列结论正确的是( )
A ．向量必须用有向线段来表示
B ．表示一个向量的有向线段是唯一的
C ．有向线段AB →和BA →
是同一向量
D ．有向线段AB →和BA →
的大小相等
D [向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A 错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B 错误；有向线段AB →和BA →的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C 错误，D 项正确．]
3.如图，设O 是正方形ABCD 的中心，则：①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →
与CD →共线；④AO →＝BO →
.下列选项正确的是( )
A ．①②④
B ．①③④
C ．①②③
D ．②③④
C [AO →与OC →方向相同，大小相等，所以①正确；AO →与AC →方向相同，所以AO →
∥AC →，所以②正确；因为AB ∥CD ，所以AB →与CD →共线，③正确；因为AO →与BO →方
向不同，所以AO →＝BO →错误．故选C.]
4．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，图中与CA →
共线的向量有
( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
C [与CA →共线的有AC →，DF →，F
D →
.]
5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →
，则四边形ABCD 的形状为( )
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．等腰梯形 C [由BA →＝CD →，可知四边形ABCD 为平行四边形，又因为|AB →|＝|AD →
|，所以四边形ABCD 为菱形．]
二、填空题
6．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →
是共线向量，则m ＝________.
0 [因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB →与BC →不共线，又因为m ∥AB →且m ∥BC →
，所以m ＝0.]
7．给出以下四个条件：①a ＝b ；②|a|＝|b|；③a 与b 的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)
①③④ [共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显符合要求的只有①③④.]
8．如图所示，已知AD ＝3，B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
AC →，CA →，BD →，DB →，AD →，DA →
[满足条件的向量有以下几类：
模长为2的向量有：AC →，CA →，BD →，DB →；
模长为3的向量有：AD →，DA →.]
三、解答题
9.O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与AO →，BO →
相等的向量；
(2)找出与AO →
共线的向量；
(3)找出与AO →模相等的向量；
(4)向量AO →与CO →
是否相等？
[解] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →
.
(2)与AO →共线的向量有：BF →，CO →，DE →
.
(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →
.
(4)向量AO →与CO →
不相等，因为它们的方向不相同．
10．如图所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →
＝DC →且CN →＝MA →，求证：DN →＝MB →.
[证明] 因为AB →＝DC →
，
所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ，
所以四边形ABCD 是平行四边形，
所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .
又因为DA →与CB →的方向相同，
所以CB →＝DA →.
同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，
所以CM →＝NA →.
因为|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，
所以|MB →|＝|DN →|.
又DN →与MB →的方向相同，
所以DN →＝MB →.
[等级过关练]
1．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，关于四边及对角线所在的向量，以下说法错误的是( )
A ．与A
B →相等的向量只有一个(不含AB →
)
B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →
)
C.BD →的模恰为DA →模的3倍
D.CB →与DA →
不共线
D [两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同
或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．]
2．下列结论中，正确的是( )
A ．2 020 cm 长的线段不可能表示单位向量
B ．若O 是直线l 上的一点，单位长度选定，则l 上有且只有两点A ，B ，使得OA →，OB →
是单位向量
C ．方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D ．一个人从点A 向东走500米到达B 点，则向量AB →
不可能表示这个人从点A 到点B 的位移
B [一个单位长度取2 020 cm 时，2 020 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量是平行的，故
C 错误；位移既有大小又有方向，可以用向量表示，故
D 错误．]
3．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)
(1)两个单位向量不可能平行；
(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
(3)当两个向量a ，b 共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a ＞b .
(1)(2)(3) [(1)错误，单位向量也可以平行；
(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；
(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．]
4.如图所示，E 1，E 2，F 1，F 2，G 1，G 2，H 1，H 2分别是矩形ABCD 所在边上
的三等分点，若|AB →|＝6，|AD →
|＝3，则以图中16个点中的任意两点为始点和终点
的所有向量中，模等于2且与AB →
平行的向量有________个，模等于1的向量有________个，模等于5的向量有________个．
24 24 36 [与AB →平行包括与AB →同向和反向，因而模等于2且与AB →
平行的向量个数为12×2＝24，模等于1的向量有12×2＝24个，模等于5的向量有9×4＝36个．]
5．已知飞机从A 地按北偏东30°方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km
到达D 地．画图表示向量AB →，BC →，CD →，并指出向量AD →
的模和方向．
[解] 以A 为原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系．
据题设，B 点在第一象限，C 点在x 轴正半轴上，D 点在第四象限，向量AB →，
BC →，CD →
如图所示，
由已知可得，
△ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.
又∠ACD ＝45°，CD ＝1 000 2 km.
所以△ADC 为等腰直角三角形，
所以AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°.
故向量AD →的模为1 000 2 km ，方向为东南方向．。