Bézier样条曲线改进的近似弧长参数化方法
三次有理Bézier曲线的形状调整方法
三次有理Bézier曲线的形状调整方法
韩旭里;肖鸣宇
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2005(041)015
【摘要】给出了两类调整三次有理Bézier曲线形状的方法.一类方法是使曲线通过给定的插值点,从而实现曲线的形状调整.另一类方法是将曲线上的点作为控制多边形两边连线段上的分点,通过调整分线段的比例,实现对曲线的形状调整.针对不同情况,分别给出了权因子的计算公式.计算方法简单,使用方便,并使三次有理Bézier曲线的形状调整更加具体和明确.同时,由计算结果得到了任意三次有理Bézier曲线不相交的充分必要条件.
【总页数】4页(P70-72,119)
【作者】韩旭里;肖鸣宇
【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083;中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.拟三次Bézier曲线的形状调整 [J], 韩西安;马逸尘;黄希利
2.四次有理Bézier曲线的形状调整 [J], 朱承学;李崧
3.空间有理三次Bēzier曲线参数化方法 [J], 卢红建
4.局部形状可调整的三次有理B样条插值曲线 [J], 韩旭里;李明珠;任叶庆
5.带一个形状参数的有理三次三角Bézier曲线 [J], 樊文;洪玲;邢燕
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Bezier曲线参数化高精度插补的研究与实现
Bezier曲线参数化高精度插补的研究与实现郭峰;李伟;张来宾;姚政【摘要】给出了Bezier曲线的基本理论,利用差分插补方法来预估参数,结合机床实际加工过程中所必需满足的条件,对进给速度、机床最大加速度、最大弓高误差分别约束的参数进行比较,优化出最小的参数值,进行插补计算,很好地满足现代CNC机床的高精度加工的控制要求.再利用C++ builder开发软件完成了对三次Bezier曲线的插补仿真,给出了插补算法流程图及插补实例,验证了算法的可行性,在CAM中具有很高的使用价值.【期刊名称】《机械制造》【年(卷),期】2012(050)006【总页数】3页(P31-33)【关键词】Bezier曲线;CNC插补;优化参数【作者】郭峰;李伟;张来宾;姚政【作者单位】滕州市产品质量监督检验所山东滕州277500;山东理工大学机械工程学院山东淄博255049;滕州市产品质量监督检验所山东滕州277500;山东理工大学机械工程学院山东淄博255049【正文语种】中文【中图分类】TH1611 概述现代数控加工逐渐向高速高精度的方向发展，数控系统的插补算法在很大程度上影响着加工的精度，仅具有圆弧和直线插补的数控系统已不能满足一些高精度加工的场合，例如飞机机翼和轮船螺旋桨的加工制造，这些工件的加工往往是三次曲线、五次曲线甚至更高次的曲线，用传统的加工方法通常要借助于CAM离线编程，即把要加工的曲线曲面离散成一条条微小的直线段或圆弧，然后在数控机床上用直线和圆弧插补来完成工件的加工。
为了克服离线编程中的缺点，现代数控系统开始采用参数曲线插补。
参数曲线插补可以直接将曲线传到CNC中，不必将曲线分解成微小线段，从而使CAD/CAM 和CNC之间的信息流连续。
因此，开发具备曲线参数插补的CNC系统就成为解决高速、高精度加工的关键问题之一。
在工程中，三次曲线最常用，因为低于三次的多项式在控制曲线形式时不够灵活，而高于三次的多项式又会增加不必要的摆动和更多的计算量。
基于Bezier曲线的翼型参数化及前尾缘处理方法研究
基于Bezier曲线的翼型参数化及前尾缘处理方法研究方凌;杨波;高天泽【摘要】An approach based on Bezier-curve is proposed for the parameterizing of various types of airfoils by using of MATLAB software. Specially, a simple and convenient method is discussed, which can be adopted to smooth the leading and the trailing edges. Comparing with some traditional parametrized curve results in different orders, the method described in this paper is proved to be correct and effective in the process of parametrization.%本文基于Bezier 曲线，采用MATLAB 软件，对翼型的参数化展开研究。
同时，针对翼型的前缘、尾缘在参数化过程中出现的尖点问题提出了平行点处理方法，以提高参数化精度，准确地表达翼型的几何特征。
本文对几种翼型在不同阶次下的参数化曲线结果进行了误差分析，通过与原始数据的对比，进一步证明了本文提出的翼型参数化方法具有精度高，实用性强的特点。
【期刊名称】《风机技术》【年(卷),期】2016(000)006【总页数】8页(P19-26)【关键词】翼型;Bezier 曲线;参数化;前尾缘光滑处理;误差分析【作者】方凌;杨波;高天泽【作者单位】上海交通大学燃气轮机研究院;上海交通大学燃气轮机研究院;上海交通大学燃气轮机研究院【正文语种】中文【中图分类】TH452;TK05叶片是叶轮机械的主要部件，叶型参数是影响叶轮机械性能的主要因素之一。
Bezier曲线B样条曲线
是一种特殊情况
Y
0 X
5.1 曲线的参数表 示
• 向量P与时间t有关: P=P(t),就是说P是时 间t的函数。用坐标表示为 :
• 若把参数t 换成一个普通意义的参数u， 则曲线的参数形式为:
• 例如:
是一条空
• 间曲线的参数形式。
• 注: 这是一条以点(0,1,3)为起点，
(3,2,5)为终点的线段
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
• 3）三次Bezier曲线 • 当n=3时为三次Bezier曲线，此时P(t)为三
次多项式，有四个控制点，由于三次Bezier 曲线是用3根折线定义的3阶曲线，则有:
用矩阵表示为:
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
且第一点和最后一点在曲线上，第一条和最
后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处
的切线方向。 Bezier曲线通常由特征多边形
的n+1个顶点定义一个n次多项式，即给定空
间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，
n），则Bezier参数曲线上各点坐标的参数方
程其式中参(插数t的值取值公范式围为)[是 0,1]: ,i是有序集0~n中的一个整数值，表示 顶点顺序号。
但从计算机图形学和计算几何的角度来看, 还
是使用参数表示较好, 因为采用参数方法表示
曲线和曲面, 可以将其形状从特定坐标系的依
附性中解脱出来, 很容易借助计算机得以实现。
• 一个动点的u轨1 迹可以用位置向量P来描述，
如• 注下:图这所里示讨: 论的动点轨u2 迹是
Z
u
在三维空间中所表示的 曲线, 平面轨迹曲线只
是一个Bezier曲线特征多边形顶点的
一类基于有理Bezier的曲线曲面修正方法的开题报告
一类基于有理Bezier的曲线曲面修正方法的开题报告一、研究背景由于曲面在工业设计中具有广泛的应用，因此曲面的修正技术一直是曲面研究的热点之一。
虽然现有的曲面修正方法已经可以实现较高的精度和鲁棒性，但在某些特定情况下，仍存在一些问题，例如被修正曲面与原曲面的结构差异较大，导致修正后的曲面与原曲面之间的过渡不连续等问题。
因此，本次研究将探索一种基于有理Bezier的曲线曲面修正方法，旨在提高曲面修正的效率和精度。
二、研究目的和意义本次研究的目的在于探讨一种新型的曲面修正方法，通过优化有理Bezier曲线的控制点和权值，实现修正后的曲面与原曲面之间的过渡更加连续，结构更加相似，从而提高曲面修正的效率和精度。
该研究对于工业设计领域具有一定的实际应用价值，可以提高曲面修正制造的精度和效率，降低制造成本，同时也有助于更好地解决曲面修正过程中的一些常见问题。
三、研究内容和方法本次研究将围绕有理Bezier曲线曲面修正展开，具体内容和方法如下：1. 对有理Bezier曲线和曲面的理论进行深入探究，了解其基本原理以及修正过程中的限制因素。
2. 分析现有曲面修正方法的优点和不足，找到优化空间和研究难点。
3. 设计有理Bezier曲线曲面修正算法，通过优化曲线的控制点和权值来实现曲面的修正。
4. 编写程序进行数值模拟实验，比较有理Bezier曲线曲面修正方法和其他常用方法在效率和精度方面的差异。
5. 将实验结果与实际应用场景相结合，对研究结果进行验证和总结。
四、研究进展和计划目前，我们已经完成了有理Bezier曲线曲面修正方法的理论分析和算法设计，并开始进行数值模拟实验。
在接下来的研究中，我们将按照计划进一步完善算法，分析实验数据，并对研究结果进行验证和总结。
预计在未来6个月内完成该研究计划的所有任务，形成一篇高质量的开题报告。
5Bezier曲线与曲面2-CAD
第八讲第5章Bézier曲线和曲面张汉茹航宇学院本章内容提要5.1 Bézier曲线的定义5.2 Bézier曲线的几何性质5.3 Bézier曲线的几何作图法5.4 Bézier曲线的改进和使用5.5 Bézier曲线的合成5.6 Bézier曲面是伯恩斯坦基函数和控制顶点的位置矢量的线性组合，是采用逼近的方式来构造曲线的。
∑()() (01)ni i ,n i=0r u =P B u u≤≤P 0P P 2P 3讨论——上次课的延续和本次课的引言1.Bézier 曲线,()(1),0,1,...,i in ii n nB uC u u i n-=-=1) 曲线的起点和终点通过控制多边形的首末顶点;2) 曲线在起点和终点处分别同特征多边形的第一和最后一条边相切;3) 曲线在端点处的二阶导数只与相临的3个顶点有关。
P02. Bézier曲线端点性质有:5.3 Bézier 曲线的几何作图法1ii i+1()= (1-)+i =0,1,2,,n -1P u u P uP 110010010()= (1-)+()= +(-)i =0P u u P uP P u P u P P 则当i ＝０时有：当特征多边形顶点(P i , i=0,1,2, …,n)给定时,为求出曲线上的任意一点，Bézier 给出了一种几何作图方法。
这种作图法给Bézier 曲线的生成提供了一个形象的几何解释。
对于u ∈[0,1]，给定参数值u ，在特征多边形的每条边上找一个分割点，使分割后的两段线段的比值为u :(1-u ),对于以P i 和P i+1为端点的第i+1条边，分点P i 1(u)的位置矢量为P 0P 1P 2P 3P 00P 10P 20P 30P 01P 11P 21P 02P 12分割过程：分割递推算法：P i j =(1-u )P i j-1+u P i+1j-1 P i 0=P ij=1,2, …,n; i=0,1, …,n -jP 0P 2P 1P 3P 11P 01P 21P 03=r (1/3)P 02P 12u =1/3下图为当u=1/3时，对应的曲线上的点的几何作图法：r(1/3)r(0)r(1)5次Bézier曲线的分割过程：Bézier曲线的离散生成Bézier曲线的收敛性：对控制多边形的分割产生的多边形序列一致收敛于r≤≤()(01)u uBézier 曲线是采用逼近而不是插值的方式来构造曲线,不用考虑切矢和扭矢。
Bézier曲线的近似弧长参数化方法
关 键 词 参 数 化 ； 法 ；６ｉ 曲 线 ； 理 Ｂ ｚ ｒ 算 Ｂｚｒ ｅ 有 ｂｉ 曲线 ｅ
中图法分类号 Ｔ ３１ Ｐ ９
Ａｎ Ａｐ ｒ ｘ ｍａ ｅＡｒ — ｎ ｔ ｒ ｍｅｅ ｉ ａ ｉｎ Ｍ ｅ ｈ ｄ ｆ ｒＢ６ ｉｒＣｕ ｖ ｓ ｐ ｏ ｉ ｔ ｅ Ｌｅ ｇ ｈ Ｐａ ａ ｔｒｚ ｔｏ ｔ ｏ ｏ ｚｅ ｒ ｅ
Ｂａ Ｈｏ ｇ １ ） Ｙｅ Ｚ ｅ ｇ ｉ Ｚ ａ ｇ Ｓ ｕ ｉ ｇ ｉ ｎ ｗｕ ， ２ ｈｎｌ ） ｎ ｈ ｎ ｈ ｌ ￣） ｎ
（ ａ ｕ ｔ ｃ ｎｅ Ｆ ｃｌ ｏ ｙ ｆＳ ｉ ｃ ，Ｎｏ ｔｗｅｔ ｎＰ ｌｔｃ ｎｃ ｌＵ ｉｅｓ ｙ，ｘｉ 口 ｅ ｒｈ ｓ ｒ ｏ ｅ ｉ ｎ ｖ ｒｉ ｅ ｙ ｈ ａ ｔ ’” ７０７ ） １０ ２ （ ｅ ａ ｔ ｎ ｆ Ｍａｈ ｍａ ｉ ，Ｘ ａ ｙ ｎ ｏ ｍａ ｉ ｒｉ Ｘｉｎ ａ ｇ ７ ２ ０ ） Ｄ ｐ ｒｍｅ ｔ ｔｅ ｔ ｓ ｉｎ ａ ｇ Ｎ ｒ ｌＵｎｖ ｓ ｙ， ａ ｙ ｎ １ ０ ０ ｏ ｃ ｅ ｔ
条 新 曲线 ， 近 似 弧 长 的 中点 对 应 于 新 的全 局 参 数 区 间 的 中点 ； 新 生 成 的 Ｂ ｅ 曲线 不 断重 复 上 述 工作 ， 终 得 到 其 对 ＆ｉ ｒ 最
一
条 分 段 Ｂ 曲线 ． 该 曲线 表 示 为 Ｂ样 条 曲线 的 形 式 便 得 到 一 条 近 似 弧 长 参 数 化 曲线 ． ６ｉ ｅ 将
摘
要
通 过 求 出 曲线 近 似 二 分 之 一 弧 长 的点 及 其 相应 的 参 数 值 ， 将 曲 线 分 割 为 ２段 Ｂ ｚ ｒ 线 ， ２段 曲线 的 可 ６ｉ 曲 ｅ 这
弧 长 近 似 相 等 ， 且 都 具 有 单 位 长 度 的 参 数 区间 ； 这 ２段 曲线 看 作 一 个 整 体 并 对 它 们 的 参 数 进 行 全 局 化 ， 得 到 一 而 将 可
带形状参数Bézier型曲线及曲面的研究的开题报告
带形状参数Bézier型曲线及曲面的研究的开题报告一、选题背景Bézier型曲线及曲面是计算机图形学中常用的描述工具，其在三维建模、动画制作、工程设计等领域中得到了广泛应用。
可是，当前的Bézier型曲线及曲面的研究多数集中于基于控制点的标准形型，而忽略了形状参数的影响。
事实上，形状参数的引入常常决定了曲线及曲面的形态，因此研究Bézier型曲线及曲面的形状参数具有深远的理论与实际意义。
二、研究内容和方法本研究旨在探究Bézier型曲线及曲面的形状参数对曲线及曲面形态的影响，并尝试设计基于形状参数的自适应控制算法。
具体研究内容包括：1. 形状参数的基本概念及其在Bézier型曲线及曲面中的应用。
2. 分析形状参数对Bézier型曲线及曲面形态的影响特征，建立形状参数与曲线及曲面形态之间的映射关系。
3. 设计基于形状参数的自适应控制算法，实现基于用户输入的形状参数逼近目标形态的Bézier型曲线及曲面。
本研究将采用理论分析和计算机模拟相结合的方法，结合实际应用场景进行实验验证。
三、预期成果1. 提出一种新的Bézier型曲线及曲面形态描述方法，并建立形状参数与形态之间的映射关系。
2. 设计并实现基于形状参数的自适应控制算法，能够根据用户输入的形状参数逼近目标形态的Bézier型曲线及曲面。
3. 在三维建模、动画制作、工程设计等领域中进行应用实验，验证所提出方法的有效性与实用性。
四、研究意义本研究可以为计算机图形学领域的相关研究提供新的思路和方法，拓展Bézier型曲线及曲面的描述能力，提高其在实际应用中的精度和灵活性，增强设计师和工程师的创造力和实践能力。
此外，本研究也可以促进形状参数在其他数学领域的应用和发展，具有一定的学术价值和社会影响力。
基于轮廓重心参数调整的Bezier曲线拟合方法
基于轮廓重心参数调整的Bezier曲线拟合方法郦悦华;吴继伟【摘要】传统的3次Bezier曲线拟合方法在拟合汉字轮廓曲线时,迭代次数多,效率较低.针对拟合的效率,设计了一种基于3次Bezier曲线的汉字曲线轮廓拟合新方法.该方法的核心是简单高效的参数迭代算法.在3次Bezier曲线控制点的求取方法上,采用最小二乘法拟合;在参数的优化问题上,用过型值点重心的直线与拟合曲线间的交点求解参数,迭代优化参数取值.该迭代算法占用资源少,运算量小,计算简便.实验结果表明,针对一般型值点和汉字轮廓特征点的曲线拟合,在相同精度要求下,该算法迭代次数少,收敛速度快,能达到更好的拟合效果.【期刊名称】《微型电脑应用》【年(卷),期】2015(031)001【总页数】5页(P17-21)【关键词】Bezier曲线拟合;最小二乘法;型值点重心迭代;汉字曲线轮廓描述【作者】郦悦华;吴继伟【作者单位】同济大学,控制科学与工程系,上海,201801;同济大学,控制科学与工程系,上海,201801【正文语种】中文【中图分类】TP311.13在图形工程实践中，经常需要将由型值点用参数多项式曲线来逼近，从而达到容易造型和修改的目的。
目前，型值点拟合的基本方法是采用3次Bezier曲线拟合。
Bezier曲线以其优良的性质，在诸多形式的参数多项式曲线中独树一帜，一经问世，就受到工业界的重视和广泛应用。
用Bezier曲线拟合型值点的算法，能使拟合后的曲线光顺。
文献[1-3]提供了大量的实践证明，这种方法是完全可行的。
目前，汉字曲线轮廓字形广泛使用3次Bezier曲线描述。
原因有二：一是Bezier 曲线具有良好的直观性和局部修改性，方便交互式地修改曲线的形状；二是Bezier曲线与其它曲线一样也具有仿射变换不变性，这使得对字形作任意放大和缩小变换时，曲线均能精确地描述字形轮廓。
汉字曲线轮廓字库连续性好，字形美观而且变化丰富，缩放后可保证文字质量，汉字曲线轮廓字库需要较少的存储空间，在工业界广泛应用[4-6]。
基于给定精度的空间B样条曲线弧长分段点求取方法
基于给定精度的空间B样条曲线弧长分段点求取方法作者：丁立军戴曙光穆平安侯文玫来源：《计算机应用》2013年第05期摘要：对B样条等参数曲线按弧长精确分段，是沿曲线路径加工、检测中的一个重要问题。
通过对B样条曲线弧长计算方法以及弧长计算误差与分段精度的关系进行分析，通过建立弧长分段点搜索区间及弧长二分法确定符合精度要求的弧长分段点。
实验证明该方法是解决参数曲线弧长精确分段的有效方法。
关键词：B样条参数曲线；弧长；分段点；精度0引言按特定参数曲线路径对某个被测参数进行检测涉及到一类问题，如：对于路径曲率变化较大的情形，常常需要按曲率变化情况合理布置检测点[1]；而在某些特定情况下的应用，如：按等分弧长进行恒速插补加工或检测[2]、对某些特定弧长位置点进行定位和检测等问题则需要以弧长作为定位或分段依据，并应满足一定的定位精度要求。
同时，以弧长为参数的检测点求取及定位误差计算对检测结果的后续准确建模和分析评价也是非常重要的。
目前曲线的分段方法中，以弦长近似代替弧长分段[3-4]和近似弧长参数化法[5-7]分段是较常用的方法。
对于空间参数曲线弧长计算方法，文献[8]中用Bezier曲线逼近弧长曲线的计算公式，通过建立参数与曲线弧的关系求取曲线的近似弧长；文献[9]通过对Bezier样条曲线近似弧长参数化法来求取曲线的弧长；文献[10]对NURBS曲线进行离散，对各相邻离散点连线，通过弦与对应曲率圆弧的弓高来估算曲线弧长的离散误差。
这些算法的主要问题是弧长计算误差难以直接计算和控制，对后续的检测误差精确分析与建模造成困难。
本文采用基于B样条曲线参数域积分求取弧长，并建立曲线分段误差与计算误差的关系模型，采用二分法求取精确分段点，从而保证了曲线路径弧长分段点的精确定位。
5结语沿曲线路径对表面加工误差的检测中，在检测路径中按曲线弧长对分段点进行准确定位是保证检测点合理分布以及测量数据后续精确建模和误差分析的关键技术之一。