甘肃省天水市第三中学2016-2017学年高二上学期入学考试数学试题Word版含答案

高二级开学考试 数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．若点(sin α，sin2α)位于第四象限，则角α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知α是第四象限角，tan(π－α)＝512，则sin α等于( )A.15 B ．－15 C.513 D ．－5133.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ) A.y=sin(2x-3π ),x∈R B.y=sin(2x +6π),x∈R C.y=sin(2x+3π),x∈R D.y=sin(2x+32π),x∈R4．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( )A.12B.33C.22D.325．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c 等于( )A ．(2,1)B ．(1,0)C ．(32，12)D ．(0，－1)6．已知向量a ＝(1,2)，a·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |等于( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．257．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－π2，0)时，f (x )＝sin x ，则f (－5π3)的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32D.328．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别为( )A ．2,0B ．2，π4C ．2，－π3D ．2，π610．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 11. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)， 则顶点D 的坐标为________12．在△OAB 中，M 是AB 的中点，N 是OM 的中点，若OM ＝2，则NO →·(NA →＋NB →)＝________.13．计算1s in10°－3sin80°＝________.(用数字作答)14．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }．③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点． ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图像．⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共5小题，共44分，其中15.16.17题各8分，其余各题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知α为第二象限角,且s in α=415,求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.16．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；17. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题： （Ⅰ）补全频率分布直方图；（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．18．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2，若a ＝(1,1)，b ＝(cos φ，－sin φ)，且a ⊥b ，又知函数f (x )的周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位得到g (x )的图像，求g (x )的单调递增区间．19.已知函数()a b f x =⋅,其中=(2cos ,3sin 2)a x x -，(cos ,1),b x x =∈R . （Ⅰ）求函数()y f x =的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()1f A =-，7a =，且向量(3,sin )m B =与向量(2,sin )n C =共线，求ABC ∆的面积.（第19题图）高二开学考试数学参考答案一．选择题 1-5：BDCAA 6-10：CDADC二．填空题 11.（2,2） 12 . -2 13. 4 14.①④三．解答题15. 解：==.当α为第二象限角,且sinα=时,sinα+cosα≠0,cosα=－, 所以==－.16. 解析(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6，∴cosθ＝a·b|a|·|b|＝－64×3＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)可先平方转化为向量的数量积． |a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.同理，|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝37.17．解：（Ⅰ）分数在[120，130）内的频率1(0.10.150.150.250.05)10.70.3-++++=-=，因此补充的长方形的高为0.03（Ⅱ）估计平均分为950.11050.151150.151250.31350.251450.05121x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2， 用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本， 需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m ，n ； 在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a ，b ，c ，d ；设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A ， 则基本事件共有{（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ），（n ，b ），（n ，c ），（n ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ）,（c ，d ）}，共15个．事件A 包含的基本事件有{（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ），（n ，b ），（n ，c ），（n ，d ）}共9个． ∴P （A ）＝915＝35． 18. 解析 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0. ∴a·b ＝cos φ－sin φ＝2(22cos φ－22sin φ)＝2cos(φ＋π4)＝0，∴φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∵函数f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，ω＝2.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin(2x ＋π4)．(2)由题意知，函数f (x )的图像向右平移π6个单位得到g (x )的图像，∴g (x )＝sin[2(x －π6)＋π4]＝sin(2x －π12)，∴g (x )的单调递增区间为2k π－π2≤2x －π12≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π24≤x ≤k π＋7π24，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递增区间为[k π－5π24，k π＋7π24](k ∈Z )．19．解:（Ⅰ）()(2cos ,3sin 2)(cos ,1)f x a b x x x =⋅=-⋅22cos 3sin 2cos 23sin 2112sin(2)6x x x x x =-=-+=--π令222()262k x k k z -+≤-≤+∈πππππ解得()63k x k k z -+≤≤+∈ππππ∴函数的单调递减区间为[,]()63k k k z -++∈ππππ（Ⅱ）()1f A =-12sin(2)16A ∴--=-π,即sin(2)16A -=π22()62A k k z ∴-=+∈πππ()3A k k z ∴=+∈ππ又0A <<π3A ∴=π7a =∴由余弦定理得22222cos ()37a b c bc A b c bc =+-=+-=① ∵向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线， ∴2sin 3sin B C =由正弦定理得23b c =② 由①②得3,2b c ==133323222ABC S ∆∴=⨯⨯⨯=。