《函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(5)》课件(北师大版必修4)
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必修4第一章三角函数函数y=Asin(ωx+ψ)的图像课件(北师大版)
(纵坐标不变)而得到的.
通常称周期的倒数f 1 为频率. T 2
2024年11月15日8时50分
知识应用
变式练习：
描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到
(1) y sin 4x. (2) y sin 1 x. 3
解：(1)函数y = sin4x的图像可以看作是将y = sinx的图像上所有点
2024年11月15日8时50分
知识应用
变式练习：
描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到
(1) y sin(x ). (2) y sin(x ).
6
3
解：(1)函数y = sin（x +π)的图像可以看作是将y = sinx的图像上所
6
有点向左平移π个单位长度而得到的. 6
(2)函数y = sin（x -π)的图像可以看作是将y = sinx的图像上所 3
2
说明它们与函数y=sinx的关系.
解:（1）列表.
x
0
2
3 2
2
y=sin x 0
1
0
1
0
y=2sin x 0
2
0
2
0
y= 1 sin x 2
0
1 2
0
1
0
2
2024年11月15日8时50分
新知探究 （2）画图 y
O
2024年11月15日8时50分
y 1 sin x 2
x 动态演示
新知探究
知识应用
变式练习：
描述下列曲线,可以由正弦曲线如何变换得到
(1) y 3 sin x.
(2) y 1 sin x.
2
3
(1)函数y 3 sin x的图像可以看作是将y sin x的图像上所有点 2
高一数学北师大版必修4课件1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
1 5
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一 图像变换
图像变换有两个途径 :途径一 :先相位变换,再周期变换;途径二 :先周期 变换,再相位变换. 【典型例题 1】 写出函数 y=2sin 3������ +
π 4
+1 的振幅、周期和初相,并
说明函数的图像可以由正弦曲线 y=sin x 经过怎样的变换得到. 思路分析:由 y=sin x 的图像变换到 y=Asin(ωx+φ)+k 的图像有两种变换 方法,即先进行相位变换,再进行周期变换,或先进行周期变换,再进行相位 变换.
π 4
+1.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(2)先进行周期变换,再进行相位变换 : y=sin x y=sin 3������ +
π 4
y=sin 3x
y=2sin 3������ + y=2sin 3������ +
π 4
π 4
+ 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
点评在三角函数的图像变换中,先平移变换后伸缩变换与
探究四
探究五
解:∵ y=3sin
π ������ 3 2
=-3sin
������ π 2 3
,
������ π 2 3
∴ 求原函数的递增区间,即求函数 y=sin 由 2kπ+ ≤ − ≤2kπ+ (k∈ Z), 得 4kπ+ ≤x≤4kπ+ ∴ y=3sin
π ������ 3 2 5π 3 11π (k∈Z). 3 π 2 ������ 2 π 3 3π 2
高中数学 北师大必修四 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
练习1：如图，某地一天从6～14时的温
度变化曲线近似满足函数: T/度
y Asin(x ) b. 30
这段曲线对应的函数 20
是什么？
10
O
6 10 14 t/h
A 1 30 10 10
2
1 T 1 • 2 14 6
2 2
8
b 1 30 10 20 (6,10) 6 3 3
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0), ( ,1),( ,0),( 3 ,1), (2 ,0)
函数 y sin 2x 、y sin 1 x与y sin x 的图象
2
间的变化关系. y
1
O
2
2
-1
y sin 2x
4 x
y sin 1 x 2
二、函数y=sinx(>0)图象: 周期变换
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
变式：画出函数y 2sin 1 x 的简图，
3 6 并说明它是由y sin x的图像经过怎样的变换而得到.
y Asin(x )，其中A 0, 0
A：振幅 (运动的物体离开平衡位置的最大距离) T：周期T＝ 2
(运动的物体往复运动一 次所需要的时间 )
f：频率f 1 ＝ T 2
高中数学 第1章 8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质课件 北师大版必修4
56π
43π
161π
73π
x－π3
0
π 2
π
3 2π
2π
y
35 3
1
3
(2)描点．
(3)作图如图所示．
周期 T＝2π，频率 f＝T1＝21π，相位 x－π3，初相－π3，最大 值 5，最小值 1，函数的减区间为 2kπ＋56π，2kπ＋161π(k∈Z)， 增区间为2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)．
A．y＝sin(x＋π6)
B．y＝sin(2x－π6)
C．y＝cos(4x－π3)
D．y＝cos(2x－π6)
[答案] D
[解析] “五点法”对应解方程．设 y＝Asin(ωx＋φ)，显然 A＝1，又图像过点(－π6，0)，(1π2，1)，
所以ωω××1π－2＋π6φ＋＝φπ2＝. 0，
解得 ω＝2，φ＝π3.所以函数解析
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
函数f(x)＝Asin(ωx－
π 6
)＋1(A>0，ω>0)的最大值
为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈(0，π2)，f(α2)＝2，求α的值．
[思路分析] (1)根据最大值求A，根据对称轴的条件，得
函数周期，从而求ω；
点，在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系
数法、逐一定参法或图像变换法来求解．
函数 y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，
则( )
A．ω＝π2，φ＝π4
B．ω＝π3，φ＝π6
C．ω＝π4，φ＝π4 [答案] C
D．ω＝π4，φ＝54π
高中数学必修四《函数的图象y=Asin(wx+φ)》PPT
向左(>0)或向右(<0)
平移 个单位
y sin(x ).( 0)
--- 相位变 换（平移变换）
A 对函数图象的影响
例3作函数 y = 2sinx及 y = 1 sinx的图象。
2
x
π
0
π
2
sinx
01
0
3π
2
2π
-1
0
2sinx 0 2 0
-2
0
1 sinx
0
1
0
-1
0
2
2
2
y sinx 纵坐标伸缩为原来的A倍 y Asinx.(A 0)
5
把C上所有的点 C
( A)向右平行移动 个单位长度.
5
(B)向左平行移动 个单位长度.
5
(C)向右平行移动2 个单位长度.
5
(D)向左平行移动2 个单位长度.
5
1.选择题 :已知函数y 3sin(x )的图象为C.
(2)为了得到函数y
3sin(
2x
5
)的图象,只要
5
把C上所有的点 B
( A)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
y sin(x ).( 0)
--- 周 期 变 换（伸缩变换）
对函数图象的影响
变式2：作函数 y = sin(2x - π ) 及 y = sin(2x + π )
的图象。
3
4
y
1 π O π
2
y = sin(2x - π )
3
x
8 1
6π
y = sin(2x + ) 4
y=sin2x
y sin x
高中数学 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件 北师大版必修4
3
)
0
3
7
5
3 12
6
π
3
2π
2
0 –3 0
X
6
O 12
7
3
12
5 6
-3
y tan x 3
例1.
y
y
3
sin(
2
x
)
3
3
61
5
6 y sin 2x
x
o
-1 y sin(2x ) y sin x
3
-3
y Asin( wx ) x0, )
( A)横坐标伸长到原来的4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的3 倍,纵坐标不变 4
(C)纵坐标伸长到原来的4 倍, 横坐标不变 3
(D)纵坐标缩短到原来的3 倍, 横坐标不变 4
例2
x+ 3
X Sin(X+ 3)
x-
4
X Sin(X- 4)
画出函数
Y=Sin
(X+
3
),X∈R
D．纵坐标缩短到原来的
1 4
倍,横坐标不变．
3、 要得到函数 y sin( 3x ) 的图象，
只需将函数 y sin 3x 的图象5 ( D )
A．向左平移个 B．向右平移个
5
单位 单位
C．向左平移个 5 单位
D．向右平移个 15 单位
15
4.要 得 到 函 数y sin(x )的 图 象,可 由y sin x
探究：
1、函数y=Asin(ωx+φ)的图象有什 么特征？
2019高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωxφ的图像与性质课件北师大版必修4
记为上“+”下“-”),即y=sin(ωx+φ)
y=sin(ωx+φ)+b.
一二三四
【做一做 1】 (1)函数 y=23sin x 的图像是由函数 y=sin x 图像上所
有点的
坐标变为原来的
倍而得到的.
(2)将函数 y=sin x 的图像向右平移π5个单位,将得到函数
的图像.
(3)把函数y=sin 3x图像上所有点的
值和最小值,通常称A为振幅.
2.在函数y=sin(x+φ)中,φ决定了x=0时的函数值,通常称φ为初
相,x+φ为相位.
3.在函数 y=Asin ωx(ω>0)中,ω 决定了函数的周期 T=2���π��� ,通常称周
期的倒数 f=1������ = 2���π��� 为频率.
【做一做 2】
函数 y=2sin
列表如下:
ωx+φ x y
0
-φω 0A
������
2 ������-2φ
2ω
π
������-φ ω 0
3������
2 3������-2φ
2ω -A
2π
2������-φ ω
0
这五个点为
P1
-
������ ������
,0
,P2
π-2������ 2������
,������
,P3
π-������ ������
2������-
π 3
(x∈R)
B.y=sin
������ 2
+
π 6
(x∈R)
C.y=sin
2������
+
π 3
高中数学第一章三角函数1.8.3函数y=asin(ωxφ)的图像与性质习题课课件北师大必修4
答案:x=
+ 6 , ������∈Z
π 1
π
【做一做 2-2】 函数 y=-sin
解析:令 2k π− 2 ≤ 2 ������ − 4k π− ≤x≤4k π+ π , ������∈Z.
π 2 3 2
1 π ������ 的递减区间为_________. 2 4 π π ≤2 k π + , ������∈Z, 得 4 2
������π
一
二
函数 图像的 对称性 最值
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 由 ωx+φ=kπ(k∈Z)可解得图像的对称中心的横坐标(纵 坐标为 0);图像的对称轴与 x 轴交点的横坐标可以由 π ωx+φ=kπ+ 2 , ������∈Z 解得 当 ωx+φ=2kπ+ 2 (������∈Z)时,ymax=A; 当 ωx+φ=2kπ+
(2)先伸缩后平移 ①画函数 y=sin x(x∈[0,2π])的图像; ②将其横坐标变为原来的 ������ (纵坐标不变), 得到函数������ = sin ������������的图像; ③将其纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变), 得到函数 y=A sin ωx 的图像; ④将其图像沿 x 轴平移
2π ������ π 2 π 2
由(ωx+φ)∈ 2������π- ,2������π +
π
(������∈Z)得到递增区间;
3π 2
由(ωx+φ)∈ 2������π + 2 ,2������π +
(������∈Z)得到递减区间
奇偶性
当 φ=kπ(k∈Z)时,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为奇函数; π 当 φ=kπ+ 2 (������∈Z)时,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为偶函数; 当 φ≠ 2 (������∈Z)时,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为非奇非偶函 数
高中数学北师大版必修4《第1章 8 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图像》课件
30
1．(变条件)将例 3 中的图像变为如图所示，试求函数的解析式． 31
[解] 法一：根据题意，A＝3，T＝56π－－π6＝π， ∴ω＝2Tπ＝2，将点 M1π2，3代入 y＝3sin(2x＋φ)中， 3＝3sin2×1π2＋φ， ∴sinπ6＋φ＝1， ∴6π＋φ＝π2，即 φ＝3π， 从而所求函数解析式为 y＝3sin2x＋π3.
③将 y＝sin12x－π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横 坐标不变)，就得到 y＝3sin12x－π4的图像．
22
法二：先伸缩再平移，过程如下：
①把 y＝sin x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标
不变)，得到 y＝sin12x 的图像；
②把 y＝sin
1 2x
[提示] 对于同一个 x，y＝2sin x 的函数值是 y＝sin x 的函数值的 2 倍，而 y＝12sin x 的函数值是 y＝sin x 的函数值的12.
8
1．函数 y＝2sin2x＋π5的周期、振幅依次是(
)
A．4π，－2
B．4π，2
C．π，2
D．π，－2
[答案] B
9
2．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数 f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
φ)图像的平移与伸缩变换．(重点) ＋φ)的图像的平移与伸缩变
3．掌握 A，ω，φ 对图像形状的 换，体会数学抽象素养.
影响．(难点)
2
1．参数 A，φ，ω，b 的作用(其中 A>0，ω>0)
参数
作用
A 和 b 决定了该函数的_值__域___和_振__幅__，通常称 A 为_振__幅__， A，b 值域为_[_－__A_＋__b_，__A_＋__b_] __
1．(变条件)将例 3 中的图像变为如图所示，试求函数的解析式． 31
[解] 法一：根据题意，A＝3，T＝56π－－π6＝π， ∴ω＝2Tπ＝2，将点 M1π2，3代入 y＝3sin(2x＋φ)中， 3＝3sin2×1π2＋φ， ∴sinπ6＋φ＝1， ∴6π＋φ＝π2，即 φ＝3π， 从而所求函数解析式为 y＝3sin2x＋π3.
③将 y＝sin12x－π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横 坐标不变)，就得到 y＝3sin12x－π4的图像．
22
法二：先伸缩再平移，过程如下：
①把 y＝sin x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标
不变)，得到 y＝sin12x 的图像；
②把 y＝sin
1 2x
[提示] 对于同一个 x，y＝2sin x 的函数值是 y＝sin x 的函数值的 2 倍，而 y＝12sin x 的函数值是 y＝sin x 的函数值的12.
8
1．函数 y＝2sin2x＋π5的周期、振幅依次是(
)
A．4π，－2
B．4π，2
C．π，2
D．π，－2
[答案] B
9
2．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数 f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
φ)图像的平移与伸缩变换．(重点) ＋φ)的图像的平移与伸缩变
3．掌握 A，ω，φ 对图像形状的 换，体会数学抽象素养.
影响．(难点)
2
1．参数 A，φ，ω，b 的作用(其中 A>0，ω>0)
参数
作用
A 和 b 决定了该函数的_值__域___和_振__幅__，通常称 A 为_振__幅__， A，b 值域为_[_－__A_＋__b_，__A_＋__b_] __
高中数学必修四1.5函数y=Asin(wx+φ)的图象上课课件
2
函数y = sin 1 2
x 的周期
T
=
2π 1
=
4π，先作
x0，4π 时的简图。
列表：
2
xy
2x
4
sin 2 x
0
4
2
0 32
4
2
0 y si1n 2x 0
3
x
4
33 2 2 1 x
22
－y1 sin 0x
2 sin 1 x
2
0 0 0
2 3
2 y sin 1 x 1 20
3 4
例６：如图所示，是一个质点的振动图像， 根据图像回答下列各问：
（1）振动的振幅___5_c_m_____。 （2）振动的频率___5_/4______。 （3）振动的周期___0_.8__s____。
课堂小结
由y = sinx 到y = Asin(ωx +)的图象变换，步骤如下：
步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 步骤5
6
12
3
12
6
（3）连线：
o
-π
ππ
6 12 3
（4）根据周期性将作出的简图左右扩大。 -3
7π
5π
x
12
6
π
函数 y=sinx（1）向左平移 3
y=sin(x+ π ) 的图象 3
1
（2）横坐标缩短到本来的 2 倍 纵坐标不变
y=sin(2x+
π
)
的图象
3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到本来的3倍
3
y=sinx
5
5
3
2
x
3
6
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典型题型 类型二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
例 4. 已知函数 f(x) ＝ Asin(ωx＋ φ) ， x∈R( 其中 A＞ 0 ， ω＞0,0＜φ＜
2 交点之间的距离为 2 2 M( ，－2)． 3 (1) 求f(x)的解析式；
)的图象与x轴的交点中，相邻两个 ， 且图像上一个最低点为
(2) 求f(x)的最大值以及达到最大值时x的集合； (3) 求f(x)的单调递增区间.
当堂检测
5.(2014· 济 南 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ)(x ∈ R ， ω ， π π A>0,0<φ<2)的最大值为 2，最小正周期为 π，直线 x＝6是其 图象的一条对称轴． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数
对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．
第三步：代入点求φ. 把图象上的一个取最值点代入(此时，A、ω已知)或代入图象 与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间还是在下降
区间上)
典型题型 类型二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
例 3 (2011 ～ 2012· 临沂高一检测 ) 设函数 f(x) ＝ sin(2x ＋ π φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝8. (1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间及最值； π [分析] 本题关键是对图象的对称轴为 x＝8这一条件的利 π π π 用，由图象一对称轴为 x＝8得：当 x＝8时 2x＋φ＝kπ＋2(k∈ Z)进而可求 φ 值．
π π g(x)＝fx－12－fx＋12的单调递增区间．
§8 求函数y=Asin(ωx＋ )的
解析式（五）
讲课人：张艳琴ຫໍສະໝຸດ 方法总结一.由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的方法 1.依次求参法
第一步：先根据最高点确定A的值． 第二步：求出周期，进而确定ω. 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个 对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个
当堂检测
4、已知正弦曲线y A sin( x )(其中A 0， 0， ) 2
图像上一个最高点是(2, 2 ),由这个最高点到相邻的最低点 时曲线与x轴交于点(6,0)， (1)求此函数的解析式;
y 2 sin( x ) 8 4
k k Z） (2)求此函数的对称轴方程. x 2 8（