第三章 平面任意力系

平面汇交力系 平面力偶系
力，F R′ 力偶， 力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) 主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上) 主矩，作用在该平面上)
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。 平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢 主矢 与简化中心的位置无关。 与简化中心的位置无关。
结论： 结论 ： 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系 中各力对同一点的矩的代数和。 这就是平面任意力系的合力 中各力对同一点的矩的代数和 。 这就是平面任意力系的 合力 矩定理。 矩定理。
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.4 平行分布线荷载的简化
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载 分布荷载。 分布在较大范围内 ， 不能看作集中力的荷载称 分布荷载 。若分 布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行 布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力 ，则称此力系为平行 分布线荷载，简称线荷载。 分布线荷载，简称线荷载。 线荷载
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为 固定端或插入端支座。 固定端或插入端支座。
A
A
FA A MA
MA
FAy FAx A
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
实例
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.3 平面任意力系简化结果分析
四种情况： 四种情况：(1) F'R＝0，MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0， ， ， ， MO≠0 ; (4) F'R＝0，MO＝0 ， （1）平面任意力系简化为一个力偶的情形 ） F'R＝0，MO≠0
v m A = ∑ m A ( Fi ) = P2 × 6 = 50 × 6 = 300 N ⋅ cm
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
2、简化最终结果 、 主矢
R′ = 250 N
方向： 方向： α =36.9°
v y P2 v m B A P 1
A
v ′ Rv R
α C
v P3
x
主矩 LA = m A = 300 N ⋅ cm 最终结果： 最终结果： 合力大小： 合力大小： R = R′ = 250 N 位置图示： h = 方向: 方向 α =36.9° ° 点左还是右？ 在A点左还是右？ 点左还是右
第二节 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.2. 2 平衡方程
由于 所以
′ = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 , M O = ∑ M O ( Fi ) FR
∑ Fxi = 0
∑ Fyi = 0 ∑ M O ( Fi ) = 0
平面任意力系平衡的解析条件是： 即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面 内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零， 内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一 点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。 点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。 平面任意力系的平衡方程
Q = ql
1 Q = ql 2
Q l/2 l/2
q
Q q
2l
3
l
3
q2
q1
l
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
[例] 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离 例 图示力系，已知： 图中距离 v 单位cm。 单位 。 v y P2 R′ 点之矩？ 求：1、力系主矢及对 点之矩？ 、力系主矢及对A点之矩 v B 2、力系简化最后结果。 、力系简化最后结果。 P 1 α 解： 1、建立坐标系 、
第一篇 静力学
第三章 平面任意力系
平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡· 物体系统的平衡·静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.1 力的平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A的力 平行移到任一点B，但必 定理： 可以把作用在刚体上点 的力F平行移到任一点 ， 的力 平行移到任一点 须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点 须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力 对新作用点 B的矩。 的矩。 的矩
其中A、 两点的连线 不能垂直于投影轴x。 两点的连线AB不能垂直于投影轴 其中 、B两点的连线 不能垂直于投影轴 。 由后面两式知： 力系不可能简化为一力偶， 只能简化为过A 由后面两式知 ： 力系不可能简化为一力偶 ， 只能简化为过 A 、 B 两点 的一合力或处于平衡。再加第一条件， 的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。 则力系必平衡。
其中平面汇交力系的合力为 uur uu uur r uur uu uur r uur uu r FR′ = F1′ + F2′ + ⋅ ⋅ ⋅ + F ′ n = F1 + F2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Fn = ∑ Fi 平面力偶系的合成结果为
uu r uu r uu r uu r M O = M 1 + M 2 + ⋅⋅⋅ + M n = M O ( F1 ) + M O ( F2 ) + ⋅⋅⋅ + M O ( Fn ) = ∑ M O ( Fi )
第二节 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
求图示刚架的约束反力。 例1 求图示刚架的约束反力。 解：以刚架为研究对象，受力如图。 以刚架为研究对象，受力如图。
P A a q b P MA FAx A q FAy
∑ Fx = 0 : FAx − qb = 0
∑ Fy = 0 : FAy − P = 0
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的 主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。 主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。
MO
n uu r = ∑ M O ( F i ) = ∑ ( xi Fyi − yi Fxi ) n i =1 i =1
平面任意力系向作用面内任一点O简化， 平面任意力系向作用面内任一点 简化，可得一个力和一个力 简化 偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O 。这个力偶 这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心 的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关， 的矩等于该力系对于点 的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主 的主矩 矩和简化中心的位置有关。 矩和简化中心的位置有关。
uur uuu uuur r r r ′ ′ ′ FR = FRx + FRy = ∑ Fx i + ∑ Fy j
FR′ = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2
′ cos( FR , i ) = ∑ Fx FR′
∑ Fy ′ cos( FR , j ) = ′ FR
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
F3
四个力是否平衡？ 四个力是否平衡？
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化 3.1.4 平面任意力系简化结果分析
（2）平面任意力系简化为一个合力的情形 合力矩定理 ）平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理 如果主矩等于零，主矢不等于零， 此时平面力系简化为一 如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一 合力，作用线恰好通过简化中心。 合力，作用线恰好通过简化中心。 如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力。 如果主矢和主矩均不等于零 ， 此时还可进一步简化为一合力 。 如图
q
q
q1
梯形载荷
q2
均布载荷
三角形载荷
思考：均布载荷、三角形载荷、梯形载荷如何简化？ 思考：均布载荷、三角形载荷、梯形载荷如何简化？
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
简化中心：A点 简化中心
l 主矢: 主矢 R′ = ∫0 qdx = ql l 主矩: 主矩 L = m A = ∫0 x qdx = ql 2
有关， ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d 力平移的条件是附加一个力偶 ， 与 有关 ③力的平移定理是力系简化的理论基础。 力的平移定理是力系简化的理论基础。
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.2 平面任意力系向一点简化 主矢与主矩 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩 F1 y F2
∑ M A (F ) = 0 : 1 2 M A − Pa − qb = 0 2
解之得：
FAx = qb
FAy = P M A = Pa + 1 qb 2 2
第二节 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
求图示梁的支座反力。 例2 求图示梁的支座反力。 解：以梁为研究对象，受力如图。 以梁为研究对象，受力如图。
B F A
＝
F″ A
B
F′ M F
F′
＝
A
B
力的平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。 力的平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
说明： 说明 ①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力的平移定理揭示了力与力偶的关系： 力+力偶 力偶
L 300 = = 1.2cm R′ 250
第二节 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.2.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对 任一点的主矩都等于零。即
′ FR = 0 M O = 0
′ = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 FR M O = ∑ M O ( Fi )