定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ) )(2122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1.利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ,两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2.利用定积分的几何意义,证明下列等式: ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3.估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4.根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5.计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6.计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7.当x 为何值时,函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值? 8.计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ,其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ,l 为正整数,且l k ≠,试证下列各题: ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
导数与定积分单元测试
导数与定积分测试卷 一、 选择题(共10小题,每小题5分,共50分) 1.曲线2)(3 -+=x x x f 在点P 处的切线平行于直线14-=x y ,则点P 的坐标为( ) )0,1.(A )8,2.(B )0,1.(C 和)4,1(-- )8,2.(D 和)4,1(-- 2.若2)(0'-=x f ,则=--+→h h x f h x f h ) ()(000 lim ( ) 2.-A 4.-B 6.-C 8.-D 3.函数13)(3 +-=x x x f 在]0,3[-上的最大、最小值分别是( ) 1,1.-A 17,1.-B 17,3.-C 19,3.-D 4.若函数b bx x x f 33)(3 +-=在)1,0(内有极小值,则b 的取值范围是( ) 10.<b C 2 1.< b D 5.由曲线x x f = )(和3 )(x x g =所围成图形的面积可用定积分表示为( ) dx x dx x A ? ? + 1 3 1 . dx x dx x B ? ?- 1 1 03 . dx x dx x C ? ? - - 1 1 3 . dx x dx x D ? ? - 1 3 1 . 6.设))(()(),...,()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+,则=)(2011x f ( ) x A sin . x B sin .- x C cos . x D cos .- 7.设653 1)(2 3+++= x ax x x f 在区间]3,1[上为单调函数,则实数a 的取值范围为( ) ),5.[+∞- A ]3,.(--∞ B ),5[]3,.(+∞- ?--∞C ]5, 5.[- D 8.已知函数2 2 3 )(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10,则b a +的值为( ) 07.或-A 16-.或B 0.C 7.-D 9.设)100)...(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则=)1(' f ( ) 99.-A ! 100.-B ! 100.C ! 0.D 10.由曲线1,2,===y x e y x 围成的区域的面积为( ) e e A -2 . 1.2 --e e B 3.2 -e C e D -3.
定积分的证明题
定积分的证明题https://www.360docs.net/doc/5e19090792.html,work Information Technology Company.2020YEAR
题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :400=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴<=∈-?=??→→→∞ →∞→π π ξξξ π π ξπ ξξπ xdx dx x n n n n n n n n n n Q 题目3证明题 一般 。 使内至少存在一点证明:在,内可导,且在设函数0) (f ],[0 )(0)(],[)(=' ==?ξξb a dx x f a f b a x f b a 解答_ 。 使,在一点应用罗尔定理,可知存上,在区间,使 存在一点由积分中值定理,在0) (b)(a,) (a ,] [0 ) (0 ))( ()( ),(11111='?∈=∴=-=?ξξξξξξξf a f a b f dx x f b a b a 题目4证明题 一般 。 为正整数时证明:当, 设?? =+=a na dx x f n dx x f n a x f x f 0 0 )()( )()( 解答_
定积分单元测试题
定积分单元测试题 一、填空题 1、 dx x ? +4 1 1=___________。 2、广义积分43 x dx - +∞ =? 3、________1 1 02=+?dx x x 。 4、()________1202 =-?dx x 。 5、设 ()32 1 2-=? -x dt t f x ,则()=2f 。6、=+? 3 1 ln 1e x x dx 。 7、()=?? ????++++??-dx x x x x x π πcos 113sin 222 4 。8、x dt t x x ?→0 20cos lim =____________ 9、12 12|| 1x x dx x -+=+? 。 10、= -?dx x 201. 11、2 22sin 1cos x x dx xdx π π-+=+? 12、已知()2 cos ,x F x t dt =?则()F x '= 13、已知()2 x t x F x te dt -=?,则()F x '= 二、单项选择 1、若连续函数 ()x f 满足关系式()2ln 220+?? ? ??=?x dt t f x f ,则()x f 等于( )。 (A )2ln x e ; (B ) 2ln 2x e ; (C ) 2ln +x e ; (D ) 2ln 2+x e 。 2、设 )(x f 连续,则=-?x dt t x tf dx d 0 22)(( ) (A ))(2x xf ; (B ))(2x xf -; (C ))(22x xf ; (D ))(22x xf -。 3、设 )(x f 是连续函数,且?+=10 )(2)(dt t f x x f ,则)(x f =( ) (A )1-x ; (B )1+x ; (C)1+-x ; (D )1--x 。 4、设()()x a x F x f t dt x a = -?,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →=( ) (A )a (B ))(a af (C ))(a f (D )0 5、 =?dt e dx d b x t 2( ) (A)2x e (B)2x e - (C)22x b e e - (D)2 2x xe - 6、=-+?→x dt t x x cos 1)1ln(lim 2sin 0 ( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 7、反常积分收敛的是( )
定积分及其应用练习 带详细答案
定积分及其应用 题一 题面: 求由曲线2(2)y x =+与x 轴,直线4y x =-所围成的平面图形的面积. 答案:323 . 变式训练一 题面: 函数f (x )=???? ? x +2(-2≤x <0),2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) A.5 2 B .2 C .3 D .4 答案:D. 详解: 画出分段函数的图象,如图所示,则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2+∫π 202cos x d x =2+2sin x |π20=4. 变式训练二 题面: 由直线y =2x 及曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为( ) A .2 3 B .9-2 3 C.353 D.323 答案: 详解:
注意到直线y =2x 与曲线y =3-x 2的交点A ,B 的坐标分别是(-3,-6),(1,2),因此结合图形可知,由直线y =2x 与曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为??-3 1 (3-x 2-2x )d x =? ????3x -13x 3-x 2??? 1 -3 =3×1-13×13-12- ? ?? 3× -3 -13× -3 3 ]- -3 2 =323,选D. 题二 题面: 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ). A .1 B .1 C .1 D .17 变式训练一 题面: 函数f (x )=sin(ωx +φ)的导函数y =f ′(x )的部分图象如图所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,A ,C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.
(完整版)定积分典型例题精讲
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?,2 1 2 x e dx ?,1 2 (1)x dx +?. 分析 对于定积分的大小比较,可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小. 解法1 在[1,2]上,有2 x x e e ≤.而令()(1)x f x e x =-+,则()1x f x e '=-.当0x >时,()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)f x f >,可知在[1,2]上,有1x e x >+.又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?,从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???. 解法2 在[1,2]上,有2 x x e e ≤.由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+.注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?.因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??. 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值. 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值.
定积分练习习题及标准标准答案.doc
第五章 定积分 (A 层次 ) 1. 2 sin x cos 3 xdx ; 2 . x 2 a 2 x 2 dx ; 3 . 3 dx ; a 1 x 2 1 x 2 1 4. 1 xdx ; 4 5. 5 4x 1 dx ; 1 dx ; x 1 6. 3 1 x 1 4 e 2 7. 1 dx ; dx ; 9 . 1 cos2xdx ; 8 . x 2 2x 2 x 1 ln x 2 10. x 4 sin xdx ; 11 . 2 4 cos 4 xdx ; 12 . 3 sin 2 x dx ; 5 x 2 5 x 4 2x 2 1 13. 3 x dx ; 14 . 4 ln x dx ; 15 . 1 xarctgxdx ; 2 1 4 sin x x 16. 2 e 2x cosxdx ; 17 x sin x 2 dx ; 18 e . 0 . 1 sin ln x dx ; 0 19. 2 cos x cos 3 xdx ; 20 . 4 sin x dx ; 21 . x sin x dx ; 4 0 1 sin x 0 1 cos 2 x 1 1 x 1 x 2 2 x ln dx ; 23 . 24 . 2 ln sin xdx ; 22. 0 1 x 1 x 4 dx ; 0 25. dx dx 0 。 1 x 2 1 x (B 层次 ) y t x 所决定的隐函数 对 的导数 dy 。 1.求由 cos 0 y x e dt tdt dx 2.当 x 为何值时,函数 I x x te t 2 dt 有极值? 3. d cos x 2 dt 。 cos t dx sin x 4.设 f x x 1, x 1 2 ,求 f x dx 。 1 2 , x 1 0 2 x x arctgt 2 5. lim 0 dt 。 x 2 x 1
导数与定积分测试题
高二理科数学导数与定积分测试题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) 1. ?1 0dx e x =( ) A. 1 B. 1-e C.e D.1+e 2. 曲线2)(3-+=x x x f 的一条切线平行于直线14-=x y ,则切点P 0的坐标为( ) A .(0,-1)或(1,0) B .(1,0)或(-1,-4) C .(-1,-4)或(0,-2) D .(1,0)或(2,8) 3. 函数)1()1()(2-+=x x x f 在1=x 处的导数等于( ) A. 1 B.2 C.2 D.4 4. 函数x x x x f -+=23)(的单调递减区间是( ) A. )31,1(- B. )1,31(- C. )31,1(-- D. )1,31 ( 5. 若2 09,T x dx T =?则常数的值为( ) A. 9 B.-3 C. 3 D. -3或3 6.已知函数x x x f ln )(=,则函数)(x f ( ) A. 在e x = 处取得极小值 B. 在e x = 处取得极大值 C.在e x 1 = 处取得极小值 D. 在e x 1 = 处取得极大值 7.函数f(x)在其定义域可导,)(x f y =的图象如右图所示,则导函数)('x f 的图象为( ) 8.若函数a x x x x f +++-=93)(23在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为( ) A.-5 B.7 C.10 D.-19 9.已知k x kx x f 22)(2++=在(1,2)存在单调递增区间,则k 的取值围是( ) A. 21 1-<<-k B. 21 1->-k D. 21 -第五章定积分综合练习题
第五章定积分综合练习题 一、填空: 1、函数)(x f 在],[b a 上有界是 )(x f 在],[b a 上可积的 条件,而) (x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的 条件; 2、由定积分的几何意义,则 ? -1 21dx x = ; 3、设 ,18)(31 1 =? -dx x f ,4)(3 1 =?-dx x f 则=?3 1 )(dx x f ; 4、正弦曲线 x y sin =在 ],0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积 是 ; 5、某汽车开始刹车,其运动规律为,510)(t t v -=问从刹车开始到停车,汽车驶过的距离是 ; 6、?=x tdt y 02sin ,则4 π= 'x y = ; 7、估计定积分? +4 /54 /2)sin 1(ππdx x 的值的范围是: ; 8、比较下列两个积分值的大小:? 2 1 ln xdx ?2 1 2)(ln dx x ; 9、)(x f ''在],[b a 上连续,则=''? b a dx x f x )( ; 10、无穷积分? +∞ 1 dx x p 收敛,则p 的取值范围是 . 二、计算下列各导数. 1、 ?+2 211x x dt t dx d 2、?? ???==??t t udu y udu x 00sin cos ,求dx dy . 三、计算下列各定积分. 1、 dx x x )1(2 1 +? 2、dx x ?+3 31211 3、dx x ?--2121211
4、 dx x ? 40 2 tan π 5、dx x x x ?-+++0 122 41133 6、dx x ?π20sin 四、求极限 2 )sin(0 2lim x tdt x x ?→. 五、用换元积分法求下列定积分: 1、?-+1 12 ) 511(1 dx x 2、?2 /6 /2 cos ππ udu 3、?+2 1 ln 1e x x dx 4、 ? -π θθ0 3 )sin 1(d 5、? -2 2 2dx x 6、? +41 1x dx 六、用分部积分法求下列定积分: 1、 ? e xdx x 1 ln 2、? 2 /30 arcsin xdx 3、?-1 dt te t 七、求定积分 ?10 dx e x 八、求定积分 ?2 /0 cos πxdx e x 九、求定积分 ? π 3cos 2sin xdx x . 十、求定积分 ? 4 /0 4tan πxdx . 十一、设 ,0 ,0,1)(2???≥<+=-x e x x x f x 求?-2 )1(dx x f . 十二证明:若函数)(x f 在],[a a -上连续,则?-=--a a dx x f x f 0)]()([. 十三证明:??+=+1 1 12211x x t dt t dt . 十四、判定无穷积分 ? +∞ 1 41 dx x 的收敛性,如果收敛,计算其值.