导数与定积分练习题
导数、定积分习题
神木七中高三数学导学案（理科）班级： 姓名： 学习小组： 主备人：赵超 审核人： 编号：411．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为 y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在 点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－122．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2 4．已知直线y ＝kx ＋1与y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则3k －2b ＋a 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．25．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．26．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．(x －1)3＋3(x －1)B ．2(x －1)2C ．2(x －1)D ．x －18．点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B.32 C.52D.2 9．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)10．在R 上可导的函数f (x )的图像如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)11. 若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，2)12. 已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．⎠⎜⎜⎛－π2 π2 (1＋cos x)d x 等于( ) A ．π B ．2 C ．π－2 D ．π＋214. 已知f(x)为偶函数且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛-66f(x)d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．1615. 已知t 若>0，⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A . 1 B . 2 C ．4 D . 4或2 16. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1≤x<0)，cos x (0≤x ≤π2)的图形与x 轴所围成封闭图形的面积为( ) A .32 B ．1 C ．2 D .1217. 函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝e x －e ，则f ′(1)＝________.18. 设函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x ＋10在x 1，x 2处取得极值，则x 21＋x 22等于________． 19. 若f(x)是一次函数，且⎠⎛01f(x)d x ＝5，⎠⎛01xf(x)d x ＝176，那么⎠⎛12f (x )x d x 的值是________． 20. 由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积是________．21. 在直角坐标平面内，由直线x ＝1，x ＝0，y ＝0和抛物线y ＝－x 2＋2所围成的平面区域的面积是________．22．(2011·辽宁)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤2x －2.23．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设g (x )＝f ′(x )·e －x ，求函数g (x )的极值．。
高二数学__导数、定积分测试题(含答案)
高二数学 导数、定积分测试题一、选择题(共10小题，每小题4分,共40分)1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ） A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-13. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则(1)(1)3limx f x f x x→--+= ( )A ．3B ．23- C ．13 D ．32- 4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是 （ ） A.0 B.1 C.3 D.6 5．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 （ ） A.4 B. 52C.3D.27．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程为（ ） A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 （ ） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J11设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数 y =f ′(x)的图象可能是12．f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足（ ）A 、f (x )=g (x )B 、f (x )－g (x )为常数函数C 、f (x )=g (x )=0D 、f (x )+g (x )为常数函数二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)13．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________。
例说定积分与导数的交汇性试题
ｏ＜一 ， 以当 ａ＝一 ３所 ３时 ｓ取得极小值 ， 即最小值 ， 时 ｂ 此
０
＝
２ ０ ５最小值 ｜ 一 ） ÷ 。 — ＝， ｓ ３＝ （
ｏ
点评
本题综 合考查 了利 用定积 分求 曲面 的面积 以
（ ， ）且 与 曲线 Ｙ＝ 一 ＋ １２ ，
２ 有 一 个 交 点 的 横 坐 标 为
（由ｙ 一 ｚ（ ｆ：， ２ ｆ 。 一 ＋ ｏ ） ｘ １）
所 以 Ｉ ０ ＝１＋ ， 为 一１ ＜１ ＝ ，２ ｔ因 ＜ｔ ，
点， 再用定积 分的方法表示 出面积 ｓ ０ 和 Ｔ ｎ ， 后求 和 （） （ ）然
Ｕ＝Ｓ ＋ｒ， 最后利用导数求 出 Ｕ的最小值 。
所 以直 线 ｆ ：与 ｆ（ ）的 图像 的 交 点 横 坐 标 分 别 为
数学导 学
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侧 定 积 分
。 苍 杨洲
定积分 的重要应用之一 是求 曲面的面积 ， 导数 的重要
应用之一是求 函数 的极值 、 值 ， 这两 者整 合到一 起就 最 把 得到 了这样 的一类试题 ： 一步 利用定积 分求 出动曲线 围 第
＝
÷ ， ） 。 ） … ’ （ （ 一
＿ 。 （口＜０ ； ）
＝
由㈤＝ 得＝或＝ ， 厂 ４ ＝ ￡ ｔ ２０ ０ ÷ 又 为 ［÷时（≤ 因当 ０ ］ ｏ ， 厂） ； 当 【， －） ； ，）：寺 ＝ 。 ｚ １ 尸 ≥所 （ ）１ １］ （ ０ 以 ｔ 时
１ ｏ
及利用导数求解 函数 的最值 问题 ， 由几个简 单问题组 合 是
而 成 的 中等 难 度 的 试 题 。
导数的概念及计算、定积分检测题
导数的概念及计算、定积分检测题（试卷满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2等于( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2.(2020·沈阳一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝xD ．y ＝－2x解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x .3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末解析：选D ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.4.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛0 1 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪1＝13.5.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B. [－1,0] C. [0,1]D. ⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 设P (x 0，y 0)，P 点处切线倾斜角为α， 则0≤tan α≤1，由f (x )＝x 2＋2x ＋3，得f ′(x )＝2x ＋2， 令0≤2x 0＋2≤1，得－1≤x 0≤－12.故选A.6.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 021(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选D ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…， ∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 021＝505×4＋1，∴f 2 021(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x .7．已知函数f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选C 由f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x ，得f ′(x )＝x sin x ＋12x 2cos x ＋cos x －x sin x＝12x 2cos x ＋cos x . 由此可知，f ′(x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、B.又f ′(0)＝1，故选C.8．[数学抽象、逻辑推理]若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.二、填空题（每小题5分，共25分）9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，cos x ，0≤x ≤π2，则f (x )与x 轴围成封闭图形的面积为________． 解析：S ＝⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋∫π20cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋sin x |π20＝12＋1＝32. 答案：3210．(2020·重庆质检)若曲线y ＝ln (x ＋a)的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋e b ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln (x ＋a)，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b＝a e －2.∵b>0，∴a>2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)11.若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay(a>0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P(x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e .答案：2e12.如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f (x )x，则g ′(4)＝________.解析：g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2.由已知图象可知，直线l 经过点P (0,3)和Q (4,5)， 故k 1＝5－34－0＝12. 由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4,5)在曲线y ＝f (x )上，所以f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′(4)－f (4)42＝4×12－542＝－316.答案：－31613．设函数F (x )＝ln x ＋a x (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞三、综合题（3个题，共35分）14．（11分）已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.15.（12分）设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2. (1)求x <0时，f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当x <0时，－x >0， f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2. ∴当x <0时，f (x )的表达式为f (x )＝－2x 2. (2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x >0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件．16．（12分）已知函数f (x )＝ax ＋bx (x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．16.解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －bx 2(x ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝34，3×2－4f (2)＋4＝0.即⎩⎨⎧a －b 4＝34，5－2⎝⎛⎭⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20， 曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20(x －x 0)． 即y ＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0. 即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫0，2x 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0,2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0,0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪2x 0＝2. 即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．。
导数与定积分练习题
导数、定积分练习题1. 函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，也无最小值D ．无最大值，但有最小值2. 函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1,5]的最小值和最大值为( )A ．－2,6B ．－3，－2C ．2,6D ．－3,63.函数f (x )＝x ＋4x ，x ∈[1,4]的最大值为________．4.函数y ＝x ln x 在[1,3]内的最小值为________．5. 已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4. (1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最值．6. 求函数f (x )＝x 3－5x 2＋8x －4在[0,3]上的值域．7.已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2，2]上有最小值－37，求a 的值并求f (x )在[－2,2]上的最大值．8. 在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ；②n 个小曲边梯形的面积和小于S ；③n 个小曲边梯形的面积和大于S ； ④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定A ．1B ．2C ．3D ．49. 函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n]上( ) A ．f (x )的值变化很小 B ．f (x )的值变化很大 C ．f (x )的值不变化 D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小10. 当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n]上的值，可以用哪个值近似代替( ) A ．f (1n ) B ．f (2n ) C ．f (i n) D ．f (0)11. 用定积分表示下列阴影部分的面积． (1) (2) (3)S ＝________. S ＝________. S ＝________.12. 积分⎠⎛01d x 的值等于( ) A ．0 B ．1 C.12D ．213. 已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b f (x )d x ＝10，则⎠⎛ab g (x )d x 等于( ) A ．8 B ．10 C ．18D ．不确定14. 已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于__________．15. 已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________.。
导数与定积分
a
成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质 kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝______a________ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝___a_________a_________；
a
所以
S＝
2(－x2＋2x＋1－
0
1)dx＝2(－ 0
x2＋2x)dx＝－x33＋x2
|20
＝－83＋4＝43.
bf(x)dx
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋___c________(其中 a<c<b)．
a
a
4．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)， 那么bf(x)dx＝___F_(_b_)_－__F_(_a_) __，这个结论叫做微积分基本定理，
（4）2 1- x dx 0
二、定积分几何意义
1、(十二15)直线y 4x与曲线y 4x3在第一象限内 围成的封闭图形的面积； 2、(四14)由直线y 0, x e, y 2x及曲线y 2 所围成
x 的封闭图形的面积.
3、(二14)定积分 1 x(2 x)dx __________ 0
a
又叫做牛顿莱布尼茨公式． 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数． 为了方便，常把 F(b)－F(a)记作_F__(x_)__ba___，即abf(x)dx＝F(x)ba＝ F(b)－F(a)．
一、定积分的计算
（1）（2 x2 2x 1）dx; 1 2 (2)0 (sin x a cosx)dx 2; x2，x∈[0，1]， (3)设 f(x)＝ 1，x∈（1，e] (e 为自然对数的底数)， x e 则 0 f(x)dx 的值为________．
导数与定积分分类练习(无答案)
导数与微积分综合题【基本公式】1、平均变化率：2、瞬时变化率：3、导数的定义导数的几何意义： 导数的物理意义： 4．常用的导数公式：（1）若f (x )=c , 则f ′(x )= ;（2）若*)()(Q x x f ∈=αα,则f ′(x )= ; （3）若f (x )=sin x ,则f ′(x )= ;（4）若f (x )=cos x,则f ′(x )= ;（5）若x a x f =)(,则f ′(x )= (a >0);（6）若x e x f =)(,则f ′(x )= ;（7）若x x f a log )(=,则f ′(x )= (a >0,a ≠1);（8）若x x f ln )(=,则f ′(x )= 5．导数运算的法则：（1）)]()([x g x f ±′= （2）)]()([x g x f ′= （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f ′= （g(x)≠0）（4）)]([x cf ′=6．定积分的定义： 定积分的性质：（1）⎰⎰=babadxx f cdx x cf )()(（c 为常数）（2）)(),(x g x f 可积，则[]⎰⎰⎰+=+bababadxx g dx x f dxx g x f )()()()( （3）⎰⎰⎰+=bacabcdx x f dx x f dx x f )()()(7．常见函数的原函数：⎰=dx ___________⎰=cdx ___________⎰=dx x n_____________⎰=xdx sin ________⎰=xdx cos _________⎰=dx x1________⎰=xdx ln ___________⎰=dx a x___________8、微积分基本定理：牛顿一莱布尼茨公式：若函数f 在[]b a ,上连续，存在原函数F ，即()()[]b a x x f x F ,,∈='，则f 在[]b a ,上可积，则_____________________9、连续曲线()x f y =在[]b a ,上形成的曲边梯形面积为_____________________10、连续曲线()x f y =与()x g y =在[]b a ,上围成图形面积为___________（a ，b 为交点的横坐标）【练习】一、恒成立问题 1. 已知函数321()23f x x bx x a=-++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围．2. 已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.3.(重庆理 20)已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值–3–c ，其中a,b,c 为常数。
导数与定积分(一)：高考数学一轮复习基础必刷题
导数与定积分（一）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．已知991001101,,ln100100a b e c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．b a c<<2．曲线sin y x =，[0,2]x πÎ与x 轴所围成的面积是（）A ．0B ．2C ．4D ．π3．已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量y （件）与商品售价x （元）的关系为e x y -=，则当此商品的利润最大时，该商品的售价x （元）为（）A ．5B ．6C ．7D ．84．21232x dx x -+=+⎰（）A ．22ln +B ．32ln -C ．62ln -D ．64ln -5．数列{}n a 为等差数列，且2020202204a a x π+=⎰，则()2021201920212023a a a a ++=（）A ．1B ．3C ．6D ．126．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数2()af x x x=+（a R ∈）的图像不．可能．．是（）A ．B ．C ．D ．7．设函数()()211ln 2f x x a x a x =-++有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,0-B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知21232m x dx =-⎰，则4()(2)m m x y x y ++-中33x y 的系数为（）A ．80-B ．40-C ．40D ．80二、填空题9．211x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰＝________．10．若211(2)3ln 2mx dx x+=+⎰，则实数m 的值为____________.11．设R a ∈，若不等式ln xa x>在()1,x ∈+∞上恒成立，则a 的取值范围是______.三、解答题12．已知函数21(log )f x x x=-（1）求()f x 的表达式；（2）不等式2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．13．求由曲线2y x=与直线3x y +=所围图形的面积．14．已知函数3()2f x x ax b =++在2x =-处取得极值．（1）求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在[0,4]内有零点，求实数b 的取值范围．15．已知函数()ln f x ax x x =+的图像在e x =（e 为自然对数的底数）处取得极值.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()(1)f x k x >+在[e,)+∞恒成立，求k 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】【分析】利用两个重要的不等式1x e x ≥+，ln 1≤-x x 说明大小即可【详解】先用导数证明这两个重要的不等式①1x e x ≥+，当且仅当0x =时取“=”()1x y e x =-+'1x y e =-()',0,0x y ∈-∞<，函数递减，()'0,,0x y ∈+∞>函数递增故0x =时函数取得最小值为0故1x e x ≥+，当且仅当0x =时取“=”②ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取“=”()ln 1y x x =--'11y x=-()'0,1,0x y ∈>，函数递增，()'1,,0x y ∈+∞<函数递减，故1x =时函数取得最大值为0，故ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取“=”故991009911100100e->-+=1011011ln 1100100100c =<-=故选：C 2．C 【解析】根据积分的几何意义化为求20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰可得结果.【详解】曲线sin y x =，[0,2]x πÎ与x 轴所围成的面积20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰20cos cos x xπππ=-+(cos cos 0)cos 2cos πππ=--+-(11)1(1)=---+--4=.故选：C 【点睛】结论点睛：由上下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =及两条直线x a =与x b =()b a >所围成的平面图形的面积为[]21()()baS f x f x dx =-⎰.3．A 【解析】【分析】根据题意求出利润函数的表达式，结合导数的性质进行求解即可.【详解】根据题意可得利润函数()()4e xf x x -=-，()e x f x -'=()()4e 5e x x x x ----=-，当5x >时，0,()f f x '<单调递减，当05x <<时，0,()f f x '>单调递增，所以当5x =时，函数()f x 取最大值，故选：A ．4．D 【解析】先求出不定积分，再代入上下限来求定积分.【详解】由题，2211231d 2d 22x x x x x --+⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰⎰21[2ln(2)]x x -=-+(4ln 4)(2ln1)6ln 4=----=-.故选：D 【点睛】本题考查定积分的运算，属于基础题.【解析】【分析】根据定积分的几何意义求20202022a a +，再应用等差中项的性质求目标式的值.【详解】∵0x ⎰表示半径为2的四分之一圆面积(处于第一象限)，∴20202022044a a x π+==⎰，又{}n a 为等差数列，∴20212020202224a a a =+=，则()220212019202120232021312a a a a a ++==.故选：D.6．A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，分类0a =，0a <和0a >三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数2()()af x x a R x=+∈的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞关于原点对称，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于原点对称，当0a =时，函数2()f x x =且(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，图象如选项B 中的图象；当0a <时，若0x >时，函数2()a f x x x =+，可得322()0x af x x-'=>，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增，此时选项C 符合题意；当0a >时，若0x >时，可得2()a f x x x =+，则3222()2a x af x x x x -'=-=，令()0f x '=，解得x =当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以选项D 符合题意.故选：A.【解析】【分析】求出导函数()()()1x x a f x x--'=，分a 的符号，以及a 与1的大小关系讨论函数的单调性，从而分析其零点情况，得出答案.【详解】由()()211ln 2f x x a x a x =-++()0x >，则()()()()11x x a a f x x a x x--'=-++=，①0a <时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以，要使函数()f x 有2个零点，则()10f <，所以有102a -<<，②0a =时，()212f x x x =-在()0,∞+上只有1个零点，不符合题意，③01a <<时，()f x 在()0,a 上递增，在(),1a 上递减，在()1,+∞上递增，因为()21ln 02f a a a a a =--+<，所以()f x 在()0,∞+上不可能有2个零点，不符合题意，④1a =时，()f x 在()0,∞+上递增，不可能有2个零点，不符合题意，⑤1a >时，()f x 在()0,1上递增，在()1,a 上递减，在(),a +∞上递增，因为()1102f a =--<，所以()f x 在()0,∞+不可能有2个零点，综上，1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()f x 有两个零点.故选：B ．8．C 【解析】【分析】先计算积分得到m =1，利用二项式展开式对33x y 的构成进行分类，求出33x y 的系数.【详解】32232222213321122322(32)2(32)2[(3)|]2[(3)|]1m x dx x dx x dx x x x x =-=-+-=-+-=⎰⎰⎰，则45()(2)()(2)m m x y x y x y x y ++-=+-，5(2)x y -的通项公式555155(2)()(1)2r r r r r r r r r T C x y C x y ---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅，则两个通项公式为5615(1)2r r r r r r x T C x y --+⋅=-⋅⋅⋅⋅，当3r =时3335440C x y -⋅⋅=-，55115(1)2r r r r r r y T C x y --++⋅=-⋅⋅⋅⋅，当2r =时2335880C x y ⋅⋅=，则33x y ⋅的系数为408040-+=.故选：C.【点睛】方法点睛：在与二项式定理有关的问题中，主要表现为一项式和三项式转化为二项式来求解；若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题.9．3ln 2+2【解析】【分析】直接利用微积分基本原理求211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值.【详解】根据题意得211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=221113ln |ln 22(0)ln 2222x x +=+-+=+.故答案为3ln2+2【点睛】本题主要考查微积分基本原理求定积分，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.10．1【解析】【分析】先求12mx x+的原函数()F x ,再令(2)(1)3ln 2F F -=+即可.【详解】易得12mx x+的原函数2()ln F x x mx =+,所以211(2)(2)(1)3ln 2mx dx F F x +=-=+⎰,即ln 243ln 2m m +-=+,故1m =故答案为1【点睛】本题主要考查定积分的基本运算,属于基础题型.11．1e>a 【解析】【分析】构造ln ()xf x x=，利用导数求其最大值，结合已知不等式恒成立，即可确定a 的范围.【详解】令ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=且()1,x ∈+∞，若()0f x '>得：1e x <<；若()0f x '<得：e x >；所以()f x 在(1,e)上递增，在(e,)+∞上递减，故1()(e)ef x f ≤=，要使ln xa x >在()1,x ∈+∞上恒成立，即1e>a .故答案为：1e>a .12．（1）；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）令，利用换元法进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．试题解析：（1）令，则，则，即；（2）22112(2)(222t t tt tm o -+-≥即1112(2)(2(20222t tt t t t tm +-+-≥1[1,2],202t tt ∈-> 2(21)t m ∴≥-+所以对于上恒成立；因为，即，所以考点：1．函数的解析式；2．不等式恒成立问题．13．32ln 22-．【解析】【分析】联立方程组，求得积分上限和下限，结合微积分基本定理，即可求解.【详解】由方程组32x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1x =或2x =，由定积分的几何意义，可得面积为2221123=[(3)](32ln )|2ln 222x S x dx x x x --=--=-⎰.14．（1）6a =-；（2）1616b - ．【解析】【分析】（1）由题意可得(2)1220f a -=+='，从而可求出a 的值；（2）先对函数求导，求得函数的单调区间，从而可由函数的变化情况可知，要函数()y f x =在[0,4]内有零点，只要函数在[0,4]内的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式组可得答案【详解】解：（1）23()32,()2f x x a f x x ax b =+=++'在2x =-处取得极值，∴(2)1220f a -=+='，∴6a =-．经验证6a =-时，()f x 在2x =-处取得极值．（2）由（1）知32()12,()3123(2)(2)f x x x b f x x x x =-+=-=-+'，∴()y f x =极值点为2，2-．将x ，()f x ，()'f x 在[0,4]内的取值列表如下：x0(0,2)2(2,4)4()'f x /-0+/()f x b极小值16b -16b +由此可得，()y f x =在[0,4]内有零点，只需max min ()160,()160,f x b f x b =+⎧⎨=-⎩∴1616b -．15．(1)2a =-(2)ee 1k <-+【解析】【分析】（1）由(e)0f '=求得a 的值.（2）由()(1)f x k x >+分离常数k ，通过构造函数法，结合导数求得k 的取值范围.(1)因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++，因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处取得极值，所以(e)20f a '=+=，2a ∴=-，经检验，符合题意，所以2a =-；(2)由（1）知，()2ln f x x x x =-+，所以()1f x k x <+在[e,)+∞恒成立，即2ln 1x x x k x -+<+对任意e x ≥恒成立.令2ln ()1x x xg x x -+=+，则2ln 1()(1)x x g x x +-'=+.设()ln 1(e)h x x x x =+-≥，易得()h x 是增函数，所以min ()(e)e 0h x h ==>，所以2ln 1()0(1)x x g x x +-'=>+，所以函数()g x 在[e,)+∞上为增函数，答案第9页，共9页则min e ()(e)e 1g x g ==-+，所以e e 1k <-+.。
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导数与定积分练习题
一、填空题
1、已知0||2||≠=b a ，且关于x 的函数x b a x a x x f ⋅++=23||2
131)(在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为
2、已知直线y=kx 是y=lnx 的切线，则k 的值为
3、y 2=x 与y=x 2所围成图形的面积（阴影部分）是
4、函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，
0)()1(<'-x f x ，设).3(),2
1(),0(f c f b f a ===则,,a b c 的大小关系为 5、设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤
时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 6、过点（1，1）且与曲线3x y =相切的切线方程为
7、计算0⎰的结果是
8、已知点P 在曲线y=41
x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则倾斜角a 的取值范围是
9、已知曲线1y x
=与2y x =，则两曲线在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是___________________
10、设函数32()2310f x x x x =+++在1x ，2x 处取得极值，则2212x x +=
11、已知函数x f x f x x f x ∆-∆+=→∆)1()21(lim
,)(02则= 12、函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则,a b 的值为
13、若),1()2ln(2
1)(2+∞-++-=在x b x x f 上是减函数，则b 的取值范围是 14、已知函数223)(a x ax x x f +++=有两个极值点，则实数a 的取值范围为
15、三次函数b bx x x f 22)(3+-=在[1，2]内恒为正值的充要条件为
16、设函数)(],2,2[,32
1)1ln()(2x f x x e x x f x 若-∈+-+=的最大值为M ，最小值为m ，则m M +等于
17、函数f （x ）=x 3－bx 2+1有且仅有两个不同零点，则b 的值为
18、若设函数*)()(1,12)()(N n n f x x f tx x x f m ∈⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+='+=则数列的导数的前n 项的和
为 19、设函数32sin 3cos ()tan 32f x x x θθθ=++，其中θ∈5[0,]12
π，则导数)1(f '的取值范围是
20、已知函数)(62
131)(23R x x ax x x f ∈+-=，若它的导函数+∞'=,2[)(在x f y ）上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是
二、解答题
1、设a 为实数，函数()22x f x e x a =-+,x R ∈.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+.
2、已知函数0,1)63()1(3)(23<++++-=m x m x m mx x f 其中。
（1）若)(x f 的单调增区间是（0，1）求m 的值。
（2）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。
3、已知()2(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x g x e -=，()()()x f x g x φ=⋅ ⑴当1a =时，求()x φ的单调区间；
⑵求()g x 在点()0,1处的切线与直线1x =及曲线()g x 所围成的封闭图形的面积；
⑶是否存在实数a ，使()x φ的极大值为3？若存在，求出a 值；若不存在，请说明理由。