数学培优之直线、平面平行的判定及其性质
（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理：·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.理解以下性质定理，并能够证明：·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.·垂直于同一个平面的两条直线平行.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.一、直线与平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理2．直线与平面平行的性质定理β=⇒b二、平面与平面平行的判定与性质1．平面与平面平行的判定定理b P=，证明两个平面平行2．平面与平面平行的性质定理,a b a γβγ==⇒∥证明线线平行3．平行问题的转化关系三、常用结论（熟记）1．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线． 3．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． 4．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 6．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．7．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 8．如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．考向一 线面平行的判定与性质线面平行问题的常见类型及解题策略： (1)线面平行的基本问题①判定定理与性质定理中易忽视的条件． ②结合题意构造图形作出判断． ③举反例否定结论或反证法证明． (2)线面平行的证明问题判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a b a b a ααα⊄⊂⇒,,∥∥)； ③利用面面平行的性质(a a αβαβ⊂⇒∥,∥)；④利用面面平行的性质(a a a a αβαβαβ⊄⊄⇒∥,,,∥∥). (3)线面平行的探索性问题①对命题条件的探索常采用以下三种方法： a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明；b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． ②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例1 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列命题： ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n .其中正确的有________．（填序号） 【答案】④1．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是A ．B ．C ．平面D ．平面典例2 如图，四棱锥中，，12AB BC AD ==，，，分别为线段，，的中点，与交于点，是线段上一点.（1）求证：平面；（2）求证：平面. 学#科网（2）如图，连接，，∵，分别是，的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面.又∵是的中点，是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.又∵，∴平面平面，又∵平面，∴平面.2．如图，在四棱锥中，平面是的中点.（1）求证:平面;（2）求三棱锥的体积.考向二面面平行的判定与性质判定面面平行的常见策略：(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).典例3 如图，直角梯形与梯形全等，其中，112AD AB CD===，且平面，点是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的距离．易知，由，得21111sin603232AE d CG AD DE ⨯⨯⨯︒⨯=⨯⨯⨯⨯，即2sin603CG AD DE d AE ⨯⨯==⨯︒， ∵平面平面，∴平面与平面3．如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，1AO ⊥底面ABCD ，1AB AA ==（1）证明：平面1A BD ∥平面11CD B ； （2）求三棱柱111ABD A B D -的体积．1．已知直线,m n 和平面α，满足,m n αα⊄⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．平面α与平面β平行的条件可以是 A ．α内的一条直线与β平行 B ．α内的两条直线与β平行C ．α内的无数条直线与β平行D ．α内的两条相交直线分别与β平行3．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是A．异面B．相交C．平行或相交D．平行4．下列命题中，错误的是A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面5．如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则HG与AB的位置关系是A．平行B．相交C．异面D．平行和异面6．设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A．，则B．，则C．,则D．，则7．在长方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形8．如图,正方体中,分别为棱的中点,则在平面内且与平面平行的直线A ．有无数条B ．有2条C ．有1条D ．不存在9．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，点E 在11A B 上，且11B E =，平面α∥平面1BC E （平面α是图中的阴影平面），若平面α平面111AA B B A F =，则AF 的长为A ．1B ．1.5C ．2D ．3 10．在正方体中,分别是棱的中点,是与的交点,平面与平面相交于,平面与平面相交于,则直线的夹角为 A ．π2B ．π6C ．π3D ．011．如图，直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形的内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为A ．B ．C ．2πD ．12．已知点S 是正三角形ABC 所在平面外一点，点D ，E ，F 分别是SA ，SB ，SC 的中点，则平面DEF 与平面ABC 的位置关系是________．13．如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中，E ,F ,G ,H 分别为CC',C'D',D'D ,CD 的中点,N 是BC 的中点,点M 在四边形EFGH 内运动,则M 满足 时,有MN //平面B'BDD'．14．下列四个正方体图形中,为正方体的两个顶点,分别为其所在的棱的中点,能得出AB ∥平面的图形的序号是 ．15．如图,已知空间四边形ABCD ,E ,F ,G ,H 分别是其四边上的点且共面,AC ∥平面EFGH ,AC =m ,BD =n ,当EFGH是菱形时,AEEB= .16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________.17．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 的中点，F 是AB的中点，112AC BC AA ===,. （1）求证：CF ∥平面1AB E ； （2）求三棱锥1C AB E -的高．18．如图,四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形，,,M N G 分别是,,AB AD EF 的中点.(1)求证: BE ∥平面DMF ; (2)求证:平面BDE ∥平面MNG .19．如图所示,斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点D ,D 1分别为AC ,A 1C 1上的点.(1)当1111A D D C 等于何值时,BC 1∥平面AB 1D 1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,求ADDC的值.20．如图,四边形中,===分别在上,,现将四边形沿折起,使.(1)若,在折叠后的线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由; (2)求三棱锥的体积的最大值,并求出此时点到平面的距离.1．（2016浙江理科）已知互相垂直的平面αβ,交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则 A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥lD ．m ⊥n2．（2016新课标全国Ⅱ理科）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）3．（2018江苏节选）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：11AB A B C 平面∥．4．(2017新课标全国Ⅱ理科节选)如图，四棱锥P −ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面P AB .5．（2017北京理科节选）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD AB=4．（1）求证：M为PB的中点.6．（2016山东理科节选）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB 是圆台的一条母线.（1）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.7．（2016新课标全国Ⅲ理科节选）如图，四棱锥P−ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，P A=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（1）证明MN ∥平面P AB .8．（2016四川理科节选）如图，在四棱锥–P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =∠PAB =90°，BC =CD =12AD .E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°．（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线∥CM 平面PBE ，并说明理由.1．【答案】C2．【解析】（1）取PB 中点M ,连接AM ,MN . ∵MN 是△BCP 的中位线,∴MN ∥BC ,且MN =BC .∴三棱锥N −ACD 的体积是. 学科#网3．【解析】（1）由题设知，BB 1∥DD 1，∴四边形11BB D D 是平行四边形， ∴11BD B D ∥.又BD ⊄平面11CD B ，11B D ⊂平面11CD B ， ∴BD ∥平面11CD B . ∵11A D =∥11B C =∥BC ，∴四边形11A BCD 是平行四边形， ∴11A B D C ∥.又1A B ⊄平面11CD B ，1D C ⊂平面11CD B ，【名师点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——割补法、等体积法．①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． ②等体积法：应用等体积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到，利用等体积法可以用来求解几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值．1．【答案】A【解析】若,m n αα⊄⊂，m n ∥，由线面平行的判定定理可得m α∥，若,m n αα⊄⊂，m α∥，则m 与n 可以是异面直线，所以“m n ∥”是“m α∥”的充分而不必要条件，故选A.2．【答案】D【解析】若两个平面α,β相交,设交线是l ,则有α内的直线m 与l 平行,得到m 与平面β平行,从而可得A 是不正确的;而B 中两条直线可能是平行于交线l 的直线,所以也不能判定α与β平行;C 中的无数条直线也可能是一组平行于交线l 的直线,因此也不能判定α与β平行.由平面与平面平行的判定定理可得D 项是正确的. 3．【答案】D【解析】在ABC △中，因为AD AEDB EC=，所以DE BC ∥，又BC ⊄平面α，DE ⊂平面α，所以BC ∥平面α，选D ． 4．【答案】C【解析】如果两个平面平行，则位于这两个平面内的直线可能平行，可能异面．8．【答案】A【解析】如图所示,延长D 1F 交直线DC 于点P ,连接PE 并延长,交DA 的延长线于点R ,连接RD 1,交AA 1于Q ,则QD 1是平面与平面的交线,在平面内,与直线QD 1平行的直线有无数条,由直线与平面平行的判定定理可知,这无数条直线与平面都平行,故答案为A ．9．【答案】A【解析】因为平面α∥平面1BC E ，平面α平面111AA B B A F =，平面1BC E平面11AA B B BE =，所以1∥A F BE .又1∥A E BF ，所以四边形1AEBF 是平行四边形，所以12A E BF ==，所以1AF =. 10．【答案】D【解析】如图所示，∵E ，F 分别是棱的中点,∴EF ∥AC ，则平面即平面EFCA 与平面相交于,即直线m ；由CF ∥OE ，可得CF ∥平面OD 1E ，故平面与平面相交于n 时，必有n ∥CF ，即m //n ,则直线的夹角为0.11．【答案】A【解析】因为AC ,所以平面.取中点N ,因为,所以平面，从而平面平面,即动点的轨迹为线段HF ,因此长度为4，选A ．12．【答案】平行13．【答案】M在线段FH上移动【解析】当M在线段FH上移动时,有MH//DD'.而HN//BD,∴平面MNH//平面B'BDD'.又MN⊂平面MNH,∴MN//平面B'BDD'.14．【答案】①④【解析】对于①,该正方体的对角面∥平面得出AB∥平面;对于②,直线与平面不平行;对于③,直线与平面不平行;对于④,直线与平面内的直线平行.15．【答案】m n【解析】∵AC∥平面EFGH,AC⊂平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EF, ∴AC∥EF.∴EB EF AB AC=.①由四边形EFGH是菱形知EH∥FG,EH⊄平面BCD,FG⊂平面BCD, ∴EH∥平面BCD．而EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴EH∥BD,∴AE EH AB BD=.②由①②得AE EH AC EB BD EF⨯=⨯.又EF=EH,AC=m,BD=n,所以AE mEB n=. 学#科网16．【答案】9 2AB的中点G，连接EG，FG．17．【解析】（1）如图，取1（2）∵三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，11AA BB ∥， ∴1BB ⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ， ∴1AC BB ⊥， ∵90ACB ∠=︒， ∴AC BC ⊥， ∵11BB BC B BB =⊂,平面1EB C BC ⊂,平面1EBC ， ∴AC ⊥平面1EBC ， ∵1CB ⊂平面1EBC ， ∴1AC CB ⊥，18．【解析】(1)连接AE ,则AE 必过DF 与GN 的交点O ,连接MO ,则MO 为ABE △的中位线, 所以BE MO ∥, 学科#网又BE ⊄平面,DMF MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为,N G 分别为平行四边形ADEF 的边,AD EF 的中点, 所以DE GN ∥,又DE ⊄平面,MNG GN ⊂平面MNG , 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点,所以MN 为ABD △的中位线,所以BD MN ∥, 又BD ⊄平面,MNG MN ⊂平面MNG , 所以BD ∥平面MNG ,又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线, 所以平面BDE ∥平面MNG .【名师点睛】在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定定理.（1）应用判定定理证明线面平行的步骤：上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．（2）利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤: 第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面； 第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．19．【解析】(1)如图所示,取D 1为线段A 1C 1的中点,此时1111A D D C=1.(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,且平面A 1BC 1∩平面BC 1D =BC 1,平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1=D 1O ,得BC 1∥D 1O , ∴11111A D AOD C OB=. 又平面AB 1D 1∩平面ACC 1A 1=AD 1,平面BDC 1∩平面ACC 1A 1=DC 1, ∴AD 1∥DC 1, ∴AD =D 1C 1,DC =A 1D 1,∴11111D C AD OBCD A D AO ===1. 20．【解析】(1)线段AD 上存在一点P ,使得CP ∥平面ABEF ,此时32AP PD =.在ACD △中,由余弦定理得cos ADC ∠=2222AD DC AC AD DC+-⋅=12, 学@科网∴sin ADC ∠=2ADC S △=1sin 2DC DA ADC ⋅⋅⋅∠=设点F 到平面ADC 的距离为h , 由于A CDF F ACD V V --=,即3=13ADC h S ⋅⋅△,∴h即点F 到平面ADC1．【答案】C【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，也可借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系． 2．【答案】②③④【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线面位置关系. 3．【解析】在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．4．【解析】（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ． 因为E 是PD 的中点， 所以EF ∥AD ，12EF AD =， 由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC ∥AD ， 又12BC AD =， 所以EF BC ∥，即四边形BCEF 是平行四边形， 所以CE ∥BF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故CE ∥平面PAB ．5．【解析】（1）如图，设,AC BD 交点为E ，连接ME .因为PD ∥平面MAC ，平面MAC 平面PDB ME =，所以PD ME ∥.因为四边形ABCD 是正方形， 所以E 为BD 的中点， 所以M 为PB 的中点.6．【解析】（1）设FC 的中点为I ,连接,GI HI ,7．【解析】（1）由已知得232==AD AM . 取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN ． 又BC AD //，故=TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT .31 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．8．【解析】（1）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.如图，延长AB ，DC ，相交于点M（M ∈平面P AB ），点M 即为所求的一个点.。
直线与平面平行的判定和性质
证明
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证明：连结BD
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直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这 条直线的平面和这个平面相交，那么这 条直线和交线平行.
已知：a∥α，a β,α∩β=b.
求证：a∥b
证明
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证明：
a b
b
b a
//
a
b
a∥b
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例2、在图所示的一块木料中，棱BC平
行于面A1C1
设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′ ∵a∥α,∴a∥b′（线面平行则线线平行） 又a∥b，∴b∥b′这与b∩b′=A矛盾. ∴假设错误，故b α.
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练习2、求证：如果一条直线和两个相交 平面都平行，这条直线和它们的交线平行.
已知：面α∩面β=l，a∥α，a∥β,求证： a∥l.
证明
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证明：设过a的平面γ交α于b，
∴PA∥面BDM. 又经过PA与点G的平面交面BDM于GH. ∴AP∥GH.
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4如图，平面MNPQ∥AC，BD∥面MNPQ. （1）求证：MNPQ是平行四边形； （2）如果AC=BD=a，求证：四边形 MNPQ的周长为定值； （3）如果AC=a,BD=b,AC与BD成θ角，求 四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时 M的位置.
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练习3、已知ABCD是平行四边形，点P是 平面ABCD外一点，M是PC的中点，在 DM上取一点G，过G和AP作平面交平面 BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明
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证明：连结AC，设AC交BD于O，连结MO. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴O是AC的中点，又M是PC的中点
∴MO∥PA，又MO 面BDM PA 面BDM.
第四节 直线、平面平行的判定与性质
[解题指导]
第(1)问
求什么 想什么 给什么 用什么
差什么 找什么
求证 EF∥平面 β，想到证明直线 EF 平行于平面 β 内 的一条直线或直线 EF 所在的平面与平面 β 平行 题目中给出平面 α∥平面 β，利用面面平行的性质定理 会得到线线平行，由此想到对“AB，CD 在同一平面 内”和“AB 与 CD 异面”两种情形分别进行证明 当 AB，CD 在同一平面内时，直接利用 AE∶EB＝CF∶ FD 可证得平行．当 AB 与 CD 异面时还差另一个平面， 因此可设平面 ACD∩平面 β＝HD，且 HD＝AC，由 此可证四边形 ACDH 是平行四边形，在 AH 上取一点 G，使 AG∶GH＝CF∶FD，由此可证
第(2)问
求什么 求 EF 的长，想到通过构造出三角形，利用余弦定 想什么 理求解
题目中给出 AC，BD 所成的角为 60°，E，F 分别是 给什么 AB，CD 的中点，以及 AC，BD 的长度，故由中点 用什么 可利用三角形的中位线转化长度，由 AC，BD 所成
平行四边形，∴AD1∥C1D. 又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1， ∴AD1∥平面BDC1.
(2)连接DD1，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平 面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝ DD1，∴BB1∥DD1， 又∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，∴BB1＝ DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形， ∴BD∥B1D1， 又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1， ∴BD∥平面AB1D1.
[过关集训]
1.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三
角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝
1 2
AD，
∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质新课讲解：1、直线与平面平行的判定及其性质（1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行⇒线面平行（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
线面平行⇒线线平行2、平面与平面平行的判定及其性质（两条相交直线即可代表一个平面）（1）两个平面平行的判定定理①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
线面平行→面面平行②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
线线平行→面面平行③垂直于同一条直线的两个平面平行.（2）两个平面平行的性质①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
面面平行→线面平行②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
面面平行→线线平行题型一：直线与平面平行的判定要点：利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
例1.(2011·天津改编)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，M 为PD 的中点。
求证：PB ∥平面ACM 。
变式练习1：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点。
求证：BD 1∥平面AEC 。
变式练习2：如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE 。
A B CD A 1B 1C 1D 1E例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.变式练习1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.题型二：平面与平面平行的判定例3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B。
第十九直线、平面平行的判定与性质 解析版
第十九讲：直线、平面平行的判定与性质【考点梳理】图形表示2. 平面与平面平行判定定理与性质定理图形表示，【典型题型讲解】考点一：线面平行的判定及性质【典例例题】例1．（2022·广东佛山·高三期末）如图，四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PA PB⊥，E是AD的中点.在线段BP上找一点M，使得直线//EM平面PCD，并说明理由；【解析】当点M为线段BP的中点时，直线//EM平面PCD，理由如下：如图所示：分别取PB ，PC 的中点M ，F ，连接EM ，DF ，FM ， 因为四边形ABCD ，E 是AD 的中点， 所以1,//2=DE BC DE BC ，1,//2FM BC FM BC =， 所以,//DE FM DE FM =， 所以四边形DEMF 是平行四边形，所以//EM DF ，又EM ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ， 所以//EM 平面PCD ；例2.如图，在三棱锥V ABC -中，VAB 和ABC 均是边长为4的等边三角形．P 是棱VA 上的点， 23VP VA =，过P 的平面α与直线VC 垂直，且平面α平面VAB l =．在图中画出l ，写出画法并说明理由；【解析】如图，在VAB 内过P 作//PN AB ，交VB 于N ，则直线PN 即为直线l ． 理由如下：取VC 的中点Q ，连结AQ ，BQ ， 因为VAB 和ABC 均为等边三角形，所以VA AC =，VB BC =，所以VC AQ ⊥，VC BQ ⊥，又因为AQ BQ Q =，所以VC ⊥平面ABQ ， 又因为VC ⊥平面α，所以平面α∥平面ABQ ， 又因为平面α平面VAB l =，平面ABQ 平面VAB AB =，所以//AB l ，所以直线PN 即为直线l ．【方法技巧与总结】（1）可以拿一把直尺放在这条直线PB 位置（与PB 平齐），（2）然后把直尺平行往平行平面ACE 方向移动，直到直尺第一次落在平面ACE 内停止，画出这条直线， 寻找是中位线或者平行四边形证明线线平行. 【变式训练】1．（2022·广东·金山中学高三期末）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC 、的中点．证明：//CE 平面PAB ；【解析】【详解】（1）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，E 为PD 的中点，所以EN 为PAD 的中位线，则可得//EN AD ，且12EN AD =；在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， //,BC EN BC EN ∴=，所以四边形ENBC 是平行四边形，//CE BN ∴，又BN ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， //CE ∴平面PAB ．2．（2022·广东揭阳·高三期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，33,DC AB AD AB ===∥,CD CD AD ⊥，平面PCD ⊥平面,ABCD E 为棱PC 上的点，且2EC PE =.求证：BE ∥平面PAD ；【解析】设点F 为PD 的一个三等分点，且2FD PF =，连接,EF AF ，如图所示.2,2EC PE FD PF ==//EF CD ∴，且13EF CD =又//AB CD ，且13AB CD =，从而可得//AB EF ，且AB EF =.综上可知四边形ABEF 是平行四边形.//BE AF ∴AF ⊂平面,PAF BE ⊄平面PAF ，//BE ∴平面PAD3．（2022·广东潮州·高三期末）如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB //CD ，1AD AB CD 22===，DAB 60︒∠=，点E ，F 分别为CD ，AP 的中点．(1)证明:PC //平面BEF ；【解析】证明：连接AC ，交BE 于H ，连接FH ， 点E 为CD 的中点，//AB CD ，12AB CD CE ∴==，CAB BCD ∠=∠，BHA CHE ∠=∠，ΔΔABH CEH ∴≅，AH CH ∴=，即点H 为AC 的中点，又F 为AP 的中点，//FH PC ∴，FH ⊂面BEF ，PC ⊄面BEF ，//PC ∴面BEF ．4.如图，1O ，O 分别是圆台上、下底的圆心，AB 为圆O 的直径，以OB 为直径在底面内作圆E ，C 为圆O 的直径AB 所对弧的中点，连接BC 交圆E 于点D ，1AA ，1BB ，1CC 为圆台的母线，1128AB A B ==．证明；1//C D 平面11OBB O ；【解析】连接1,DE O E ，C 为圆O 的直径AB 所对弧的中点，所以△BOC 为等腰直角三角形，即45OBD ∠=︒， 又D 在圆E 上，故△BED 为等腰直角三角形，所以//DE OC 且12DE OC =，又1CC 是母线且1112O C OC =，则11//O C OC ，故11//DE O C 且11DE O C =，则11DEO C 为平行四边形， 所以11//EO DC ，而1EO ⊂面11OBB O ，1DC ⊄面11OBB O ， 故1//C D 平面11OBB O ．5．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，四边形ABCD 为平行四边形，点E 为棱BC 的中点．求证：1//D E 平面11ABB A ；【解析】在四棱台1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，且112AB A B =，点E 为棱BC 的中点，连1A B ，如图，则有1112A D AD BE ==，11////A D AD BE ，即四边形11A D EB 为平行四边形， 则11//D E A B ，又1D E ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ， 所以1//D E 平面11ABB A ．6.在如图1所示的等腰梯形CDEF 中，2,2DE CD EF ===+,AD BC 折叠成如图2所示的四棱锥E ABCD -（,E F 重合），点,M N 分别为线段,AB DE 的中点．证明：MN ∥平面BEC ；【解析】证明：取EC 的中点G ，连接NG ，BG ， 因为点,M N 分别为线段,AB DE 的中点． 所以1//,2NG DC NG DC =，又1//,2AB DC MB AB =， 所以//,NG BM NG BM =， 所以四边形MBGN 是平行四边形， 所以//MN BG ，又MN ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， 所以MN ∥平面BEC ；7.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，,BC AD AB AD ⊥∥，1,2AB BC AD PA ==⊥底面ABCD ，过BC 的平面交PD 于M ，交PA 于N （M 与D 不重合）．求证：MN BC ；【解析】证明：在梯形ABCD 中，//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴//BC 平面PAD ．又BC ⊂平面BCNM ，平面BCNM ⋂平面PAD =MN ， 所以//MN BC ．8.如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径4AB =，母线PH =M 是PB 的中点，四边形OBCH 为正方形．设平面POH ⋂平面PBC l =，证明：l BC ∥； 【解析】因为四边形OBCH 为正方形，△BC OH ∥， △BC ⊄平面POH ，OH ⊂平面POH ，△BC ∥平面POH ． △BC ⊂平面PBC ，平面POH ⋂平面PBC l =，△l BC ∥． 【典型题型讲解】考点二：面面平行的判定和性质【典例例题】例1.如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD △平面ABCD ，PA ＝PD ，AB ＝AD ，PA △PD ，AD △CD ，△BAD ＝60°，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．证明：平面BMN △平面PCD ；【解析】证明：连接BD ，△AB ＝AD ，△BAD ＝60°，△△ABD 为正三角形．△M 为AD 的中点，△BM △AD ．△AD △CD ，CD ，BM △平面ABCD ，△BM △CD ．又BM ⊄平面PCD ，CD △平面PCD ， △BM △平面PCD ．△M ，N 分别为AD ，PA 的中点，△MN △PD ．又MN ⊄平面PCD ，PD △平面PCD ，△MN △平面PCD ．又BM ，MN △平面BMN ，BM ∩MN ＝M ，△平面BMN △平面PCD ．例2.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，120BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，PA =E ，F 分别是PC ，PD 的中点．已知BG BC λ=，若平面//EFG 平面PAB ，求λ的值；【解析】若平面//EFG 平面PAB ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，平面EFG ⋂平面PBC EG =，由面面平行的性质定理可知：//PB EG ， 于是CG CE GB EP =，由E 为PC 的中点知：G 为BC 的中点，故12BG BC =， 所以12λ=．【方法技巧与总结】证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．面面平行的定义可以推出线面平行，面面平行性质可以推出线线平行.【变式训练】1.在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：平面//EFG 平面ABC ．【解析】△AS AB =，AF SB ⊥，垂足为F ，△F 是SB 的中点，又因为E 是SA 的中点，△EF △AB ，△EF ⊄平面ABC ，AB 平面ABC ，△EF △平面ABC ；同理EG △AC ，△EG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，△EG △平面ABC ；又EF EG E =，△平面EFG △平面ABC ．2.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是棱1BB ，11B C ，1CC 的中点．证明：平面1A EF ∥平面1AD G ；【解析】证明：连接EG ，1BC ．因为E ，G 分别是棱1BB ，1CC 的中点，所以11EG B C ∥，11EG B C =．因为1111A D B C ∥，1111A D B C =，所以11EG A D ∥，11EG A D =，所以四边形11EGD A 是平行四边形，则11D G A E ∥．因为1D G ⊂平面1AD G ，1A E ⊄平面1AD G ，所以1A E ∥平面1AD G ．因为E ，F 分别是棱1BB ，11B C 的中点，所以1EF BC ∥．因为11AD BC ∥，所以1EF AD ∥．因为1AD ⊂平面1AD G ，EF ⊄平面1AD G ，所以EF ∥平面1AD G ．因为EF ⊂平面1A EF ，1A E ⊂平面1A EF ，且1A E EF E ⋂=，所以平面1A EF ∥平面1AD G ．3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点．求证：平面1//AEC 平面BDF ；【解析】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==． 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊂/平面BDF ， 所以1//EC 平面BDF ．同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊂/平面BDF ，所以//AE 平面BDF ．又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF4.在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB BC AA ===，P 为11A B 的中点．已知过点1A 的平面α与平面1BPC 平行，平面α与直线11,ABCD 分别相交于点M ，N ，请确定点M ，N 的位置；【解析】依题意，如图，平面//α平面1BPC ，平面α平面111ABB A A M =，平面1BPC ⋂平面11ABB A BP =，则1//A M BP ，在长方体1111ABCD A B C D -中，1//A P BM ，则有四边形1A PBM 为平行四边形， 于是得1111122BM A P A B AB ===，即点M 是棱AB 的中点，同理点N 是棱11C D 的中点，所以,M N 分别是棱11,AB C D 的中点．5.如图，在直棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，点G 是线段AF 上的动点．确定点G 的位置，使得平面1//AC E 平面1B CG ，并给予证明；【解析】证明：如图所示：取AB 中点D ，连结CD 交AF 于G ，即G 为ABC 的重心（或G 为线段AF 靠近F 的三等分点等）时，平面1//AC E 平面1B CG ．证明：连结DE ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，11A B 的中点，所以1//DE CC ，且1DE CC =，则四边形1DEC C 是平行四边形，故1//EC DC ．又DC ⊂平面1B CD ，1EC ⊄平面1B CD所以1//EC 平面1B CD ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，11A B 的中点，则1//B E AD 且1B E AD =，四边形1B EAD 是平行四边形，所以1//EA DB ．又1DB ⊂平面1B CD ，EA ⊄平面1B CD ，所以//EA 平面1B CD ．又EA ⊂平面1AC E ，1EC ⊂平面1AC E ，1EA EC E ⋂=，所以平面1//AC E 平面1B CG ．6.如图，在直棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，点G 是线段AF 上的动点．确定点G 的位置，使得平面1//AC E 平面1B CG ，并给予证明【解析】证明：如图所示：取AB 中点D ，连接CD 交AF 于G ，即G 为ABC 的重心（或G 为线段AF 靠近F 的三等分点等）时，平面1//AC E 平面1B CG ．证明：连接DE ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，11A B 的中点，所以1//DE CC ，且1DE CC =，则四边形1DEC C 是平行四边形，故1//EC DC ．又DC ⊂平面1B CD ，1EC ⊄平面1B CD所以1//EC 平面1B CD ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，11A B 的中点，则1//B E AD 且1B E AD =，四边形1B EAD 是平行四边形，所以1//EA DB ．又1DB ⊂平面1B CD ，EA ⊄平面1B CD ，所以//EA 平面1B CD ．又EA ⊂平面1AC E ，1EC ⊂平面1AC E ，1EA EC E ⋂=，所以平面1//AC E 平面1B CG ．【巩固练习】1．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ，由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ =====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH =，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==故选：C2．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E F ､分别为PB PC ､的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（ ）A ．直线AE 与直线BF 异面B ．直线AE 与直线DF 异面C ．直线EF平面PAD D ．直线EF 平面ABCD【答案】B【解析】由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接,,,AE EF BF DF ，易得,EFBC BC AD ，则EF AD ∥， 故,EF AD 共面，则,AE DF 共面，故B 错误；又F ∈面AEFD ，B ∉面AEFD ，F 不在直线AE 上，则直线AE 与直线BF 异面，A 正确；由EF AD ∥，EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，则直线EF 平面PAD ，C 正确；EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则直线EF平面ABCD ，D 正确．故选：B ． 3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），若1//D Q 平面1A PD ，则线段1D Q 长度的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．⎣C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎣⎦【答案】D【解析】如图，取1CC 中点E ，11B C 中点F ，连接11,,D E D F EF ，所以1//EF B C ，正方体中，易得11//B C A D ，所以1//EF A D ，因为EF ⊄平面1A PD ，1A D ⊂平面1A PD ，所以//EF 平面1A PD ，因为,P E 为11,BB CC 中点，所以11//D E A P ，因为1D E ⊄平面1A PD ，1A P ⊂平面1A PD ，所以1//D E 平面1A PD ，因为1EF D E E ⋂=，所以平面1//D EF 平面1A PD ，因为1//D Q 平面1A PD ，所以1D Q ⊂平面1D EF ，又Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），所以Q 在线段EF 上，可得11222D E D F EF ===，则当Q 在EF 中点时，DQ 4=当Q 在EF 两端时，DQ ，所以1D Q 长度的取值范围是⎣⎦． 故选：D ．4．已知点E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AA 1的中点，点M ，N 分别是线段D 1E 与C 1F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条【答案】D 【解析】如图所示，作平面KSHG△平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接MN，由面面平行的性质得MN△平面ABCD，由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，故选：D．二、多选题5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】对于选项A，OQ△AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB△CD△MQ，结合线面平行判定定理可知AB△平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB△CD△MQ，结合线面平行判定定理可知AB△平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB△CD△NQ，结合线面平行判定定理可知AB△平面MNQ：故D正确；故选：BCD三、填空题6．三棱锥A BCD -中，1AB CD ==，过线段BC 中点E 作平面EFGH 与直线AB 、CD 都平行，且分别交BD 、AD 、AC 于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为_________．【答案】2【解析】因为AB 平面EFGH ，平面ABC 平面EFGH EH =，AB 平面ABC ， 所以AB EH ，又点E 为BC 中点，所以EH 为三角形ABC 的中位线，故1122EH AB ==． 同理，12EF FG GH === 所以四边形EFGH 的周长为2．故答案为：27．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，若//PA 平面EBF ，则PF FC=_______【答案】12【解析】连接AC 交BE 于点M ，连接FM ，△//PA 平面EBF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面EBF EM =，△//PA EM ，又//AE BC ，△12PF AM AE FC MC BC ===． 故答案为：12．四、解答题8．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．求证：MN ∥平面11BCC B ；【解析】取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，又MK ⊄平面11CBB C ，1BB ⊂平面11CBB C ，故//MK 平面11CBB C ，,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11CBB C ，而NK MK K =，,NK MK ⊂平面MKN ，故平面//MKN 平面11CBB C ，又MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11CBB C9．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点．记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【解析】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面PAC ．10.如图，直三棱锥111ABC A B C -中，90ABC ∠=，12AB BC AA ==，E 是11A C 边的中点，过,,A B E 作截面交11B C 于点D ．求证：//DE AB ；【解析】证明：如图，在直三棱锥111ABC A B C -中， 因为11,⊄AB A B AB //平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ， 所以//AB 平面111A B C ，又AB 平面ABDE ，平面111A B C 平面=ABDE DE ， 所以//DE AB ．11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1BB 上，且12B E BE =，点F 是棱1DD 上的一个动点．点F 在什么位置时，1//B F 平面AEC ，并说明理由．【解析】点F 位于1DD 的三等分点（靠近D 点）时，1//B F 平面AEC ，理由如下： 以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为3a ，则()()()()10,0,0,3,0,,3,3,0,3,0,3A E a a C a a B a a ，设()0,3,F a t ， 故(3,3,0),(3,0,)AC a a AE a a == ，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，则33030AC m ax ay AE m ax az ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩ ，令1x =得：1,3y z =-=-， 所以()1,1,3m =--，因为()13,3,3B F a a t a =--，令()()()13,3,31,1,333330B F m a a t a a a t a ⋅=--⋅--=----=， 解得：t a =，所以当点F 位于1DD 的三等分点（靠近D 点）时，1//B F 平面AEC ．12.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2,1,AD PD CD PC ====E 为线段PC 上的点，且BC DE ⊥．（1）证明：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）若3CE CP =，且在线段BC 上存在一点Q ，使得//PA 平面DEQ ．请确定点Q 的位置．并证明你的结论．【解析】（1）证明：ABCD 为矩形BC CD ∴⊥又,BC DE CD DE D ⊥⋂=BC ∴⊥平面PCD ，BC ⊂平面ABCD∴平面PCD ⊥平面ABCD（2）取AC 三等分点H ，使得2AH CH =，连接,,EH EH PA EH ⊂∥平面,EHD PA ⊄平面,EHD 则//PA 平面EHD 延长DH 交BC 于点Q ，DHA QHC ∽，△12CQ CH AD AH ==，即1122CQ AD BC == Q ∴为BC 中点。
直线平面平行的判定及其性质
解析几何中的应用
在解析几何中，直线与平面的平行关系 也是非常重要的。例如，在求解一些涉 及平面解析几何的问题时，需要使用直 线与平面平行的判定定理和性质来解决
。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线与平面平行的判定定理的应用：在 解析几何中，利用直线与平面平行的判 定定理，可以用来判断一个点是否在一 条直线上，或者判断两个平面是否平行
直线与平面平行的判定定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都没有交 点。
直线与平面平行的判定定理的应用
在几何学中，这个定理经常被用来判断两条直线是否平行，或者一个平面是否平 行于另一个平面。
02
直线与平面平行的性质
直线平行于平面的性质
直线平行于平面，则 直线与平面内的任意 一条直线都平行。
直线平行于平面，则 直线与平面内的任意 一条直线都平行或异 面。
直线平行于平面，则 直线与平面内的任意 一条直线都没有公共 点。
平面平行于直线的性质
平面平行于直线，则平面与直 线的任意一条平行线都平行。
平面平行于直线，则平面与直 线的任意一条垂线都垂直。
平面平行于直线，则平面与直 线的任意一条垂线都垂直或平 行。
直线与平面平行的判定定理的应用：在空间几何中，利用直线与平面平 行的判定定理，即“如果直线与平面内的一条直线平行，则直线与该平
面平行”，可以用来判断建筑物的结构是否符合设计要求。
直线与平面平行的性质的应用：直线与平面平行的性质定理的应用，即 “如果直线与平面平行，则直线与平面的垂线互相垂直”，可以用来判 断建筑物的高度和角度是否符合设计要求。
直线平行于平面的判定定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都平行 。
直线、平面平行的判定及其性质 总结
线线平行→线面平行：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
【判定】线面平行→线线平行：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
【性质】线面平行→面面平行：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
【判定】面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
【性质】线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上。
公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上。
公理三：三个不共线的点确定一个平面。
推论一：直线及直线外一点确定一个平面。
推论二：两相交直线确定一个平面。
推论三：两平行直线确定一个平面。
公理四：和同一条直线平行的直线平行。
（平行线的传递性）异面直线定义：不平行也不相交的两条直线。
判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等。
(完整版)七年级数学培优-平行线四大模型
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
直线、平面平行的判定与性质课件
直线与平面平行的判定与性质
考向基础
直线与平面平行的判定与性质
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一
图形语言
符号语言
a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α
条直线平行,则该直线与此平面
平行.简称:线线平行,则线面平行
一条直线与一个平面平行,则过
a∥α,a⊂β,
这条直线的任一平面与此平面的
α∩β=b⇒a∥b
别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.
3.证明两个平面都垂直于同一条直线.(客观题可用)
4.证明两个平面同时平行于第三个平面.(客观题可用)
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
∴PQ∥平面BCE.
证法二:如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.
∴PM∥平面BCE,且
AP AM
=
,
PE MB
易知AE=BD,又AP=DQ,∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,
∵BC⊂平面BCE,MQ⊄平面BCE,
∴OB∥平面EFC,
∵OB∩OG=O,∴平面OBG∥平面EFC.
方法技巧
方法1
证明直线与平面平行的方法
1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明).
2.利用线面平行的判定定理.应用此法的关键是在平面内找与已知直线
平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）直线与平面平行的判断判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b 结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.知识点三、平面与平面平行的判定知识点四、平面与平面平行的性质二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.图形条件b为平面α内的任一直线，而l对这一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，mα，nα结论l⊥αl⊥α要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，二面角ABαβ－－. （简记P AB Q－－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l的射成的AOB∠叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“随意”“无数”等字眼）知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直1.如图，若Ω是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中EBB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1 D 1，则下列结论中不正确的是A. EH ∥FGB.四边形EFGH 是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台2能保证直线a 与平面α平行的条件是（ A ）⊄α,b ⊂α,a ∥b B .b ⊂α,a ∥bC. b ⊂α,c ∥α,a ∥b,a ∥cD. b ⊂α,A ∈a,B ∈a,C ∈b ,D ∈b 且AC ＝BD3下列命题正确的是（ D F ）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a ∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a 平行C. 若直线a ∥α,则平面α内任一条直线都与a 平行D. 若直线a ∥α,则平面α内有无数条直线与a 平行E. 如果a 、b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面F. 如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α,b ⊄α，那么b ∥α4在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥βB ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥nC ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥aD ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：EF ‖平面BCD8题图 9题图9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.课堂练习A 组、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111在长方体（1）作出过直线AC 且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E 、F 分别是A1B 和B1C 的中点，求证直线6. 在图中所示的一块木料中，棱BC 平行于平面A ’C ’ ．（1）要经过平面内的一点P 和棱BC 将木料据开，应怎样画线 （2）所画的线和平面AC 是什么位置关系C A ''EABCFE 1 A 1B 1C 1D 1D。