数学培优之直线、平面平行的判定及其性质

（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理：·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.理解以下性质定理，并能够证明：·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.·垂直于同一个平面的两条直线平行.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.一、直线与平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理2．直线与平面平行的性质定理β=⇒b二、平面与平面平行的判定与性质1．平面与平面平行的判定定理b P=，证明两个平面平行2．平面与平面平行的性质定理,a b a γβγ==⇒∥证明线线平行3．平行问题的转化关系三、常用结论（熟记）1．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线． 3．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． 4．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 6．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．7．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 8．如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．考向一 线面平行的判定与性质线面平行问题的常见类型及解题策略： (1)线面平行的基本问题①判定定理与性质定理中易忽视的条件． ②结合题意构造图形作出判断． ③举反例否定结论或反证法证明． (2)线面平行的证明问题判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a b a b a ααα⊄⊂⇒,,∥∥)； ③利用面面平行的性质(a a αβαβ⊂⇒∥,∥)；④利用面面平行的性质(a a a a αβαβαβ⊄⊄⇒∥,,,∥∥). (3)线面平行的探索性问题①对命题条件的探索常采用以下三种方法： a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明；b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． ②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例1 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列命题： ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n .其中正确的有________．（填序号） 【答案】④1．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是A ．B ．C ．平面D ．平面典例2 如图，四棱锥中，，12AB BC AD ==，，，分别为线段，，的中点，与交于点，是线段上一点.（1）求证：平面；（2）求证：平面. 学#科网（2）如图，连接，，∵，分别是，的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面.又∵是的中点，是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.又∵，∴平面平面，又∵平面，∴平面.2．如图，在四棱锥中，平面是的中点.（1）求证:平面;（2）求三棱锥的体积.考向二面面平行的判定与性质判定面面平行的常见策略：(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).典例3 如图，直角梯形与梯形全等，其中，112AD AB CD===，且平面，点是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的距离．易知，由，得21111sin603232AE d CG AD DE ⨯⨯⨯︒⨯=⨯⨯⨯⨯，即2sin603CG AD DE d AE ⨯⨯==⨯︒， ∵平面平面，∴平面与平面3．如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，1AO ⊥底面ABCD ，1AB AA ==（1）证明：平面1A BD ∥平面11CD B ； （2）求三棱柱111ABD A B D -的体积．1．已知直线,m n 和平面α，满足,m n αα⊄⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．平面α与平面β平行的条件可以是 A ．α内的一条直线与β平行 B ．α内的两条直线与β平行C ．α内的无数条直线与β平行D ．α内的两条相交直线分别与β平行3．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是A．异面B．相交C．平行或相交D．平行4．下列命题中，错误的是A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面5．如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则HG与AB的位置关系是A．平行B．相交C．异面D．平行和异面6．设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A．，则B．，则C．,则D．，则7．在长方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形8．如图,正方体中,分别为棱的中点,则在平面内且与平面平行的直线A ．有无数条B ．有2条C ．有1条D ．不存在9．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，点E 在11A B 上，且11B E =，平面α∥平面1BC E （平面α是图中的阴影平面），若平面α平面111AA B B A F =，则AF 的长为A ．1B ．1.5C ．2D ．3 10．在正方体中,分别是棱的中点,是与的交点,平面与平面相交于,平面与平面相交于,则直线的夹角为 A ．π2B ．π6C ．π3D ．011．如图，直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形的内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为A ．B ．C ．2πD ．12．已知点S 是正三角形ABC 所在平面外一点，点D ，E ，F 分别是SA ，SB ，SC 的中点，则平面DEF 与平面ABC 的位置关系是________．13．如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中，E ,F ,G ,H 分别为CC',C'D',D'D ,CD 的中点,N 是BC 的中点,点M 在四边形EFGH 内运动,则M 满足 时,有MN //平面B'BDD'．14．下列四个正方体图形中,为正方体的两个顶点,分别为其所在的棱的中点,能得出AB ∥平面的图形的序号是 ．15．如图,已知空间四边形ABCD ,E ,F ,G ,H 分别是其四边上的点且共面,AC ∥平面EFGH ,AC =m ,BD =n ,当EFGH是菱形时,AEEB= .16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________.17．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 的中点，F 是AB的中点，112AC BC AA ===,. （1）求证：CF ∥平面1AB E ； （2）求三棱锥1C AB E -的高．18．如图,四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形，,,M N G 分别是,,AB AD EF 的中点.(1)求证: BE ∥平面DMF ; (2)求证:平面BDE ∥平面MNG .19．如图所示,斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点D ,D 1分别为AC ,A 1C 1上的点.(1)当1111A D D C 等于何值时,BC 1∥平面AB 1D 1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,求ADDC的值.20．如图,四边形中,===分别在上,,现将四边形沿折起,使.(1)若,在折叠后的线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由; (2)求三棱锥的体积的最大值,并求出此时点到平面的距离.1．（2016浙江理科）已知互相垂直的平面αβ,交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则 A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥lD ．m ⊥n2．（2016新课标全国Ⅱ理科）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）3．（2018江苏节选）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：11AB A B C 平面∥．4．(2017新课标全国Ⅱ理科节选)如图，四棱锥P −ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面P AB .5．（2017北京理科节选）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD AB=4．（1）求证：M为PB的中点.6．（2016山东理科节选）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB 是圆台的一条母线.（1）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.7．（2016新课标全国Ⅲ理科节选）如图，四棱锥P−ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，P A=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（1）证明MN ∥平面P AB .8．（2016四川理科节选）如图，在四棱锥–P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =∠PAB =90°，BC =CD =12AD .E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°．（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线∥CM 平面PBE ，并说明理由.1．【答案】C2．【解析】（1）取PB 中点M ,连接AM ,MN . ∵MN 是△BCP 的中位线,∴MN ∥BC ,且MN =BC .∴三棱锥N −ACD 的体积是. 学科#网3．【解析】（1）由题设知，BB 1∥DD 1，∴四边形11BB D D 是平行四边形， ∴11BD B D ∥.又BD ⊄平面11CD B ，11B D ⊂平面11CD B ， ∴BD ∥平面11CD B . ∵11A D =∥11B C =∥BC ，∴四边形11A BCD 是平行四边形， ∴11A B D C ∥.又1A B ⊄平面11CD B ，1D C ⊂平面11CD B ，【名师点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——割补法、等体积法．①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． ②等体积法：应用等体积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到，利用等体积法可以用来求解几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值．1．【答案】A【解析】若,m n αα⊄⊂，m n ∥，由线面平行的判定定理可得m α∥，若,m n αα⊄⊂，m α∥，则m 与n 可以是异面直线，所以“m n ∥”是“m α∥”的充分而不必要条件，故选A.2．【答案】D【解析】若两个平面α,β相交,设交线是l ,则有α内的直线m 与l 平行,得到m 与平面β平行,从而可得A 是不正确的;而B 中两条直线可能是平行于交线l 的直线,所以也不能判定α与β平行;C 中的无数条直线也可能是一组平行于交线l 的直线,因此也不能判定α与β平行.由平面与平面平行的判定定理可得D 项是正确的. 3．【答案】D【解析】在ABC △中，因为AD AEDB EC=，所以DE BC ∥，又BC ⊄平面α，DE ⊂平面α，所以BC ∥平面α，选D ． 4．【答案】C【解析】如果两个平面平行，则位于这两个平面内的直线可能平行，可能异面．8．【答案】A【解析】如图所示,延长D 1F 交直线DC 于点P ,连接PE 并延长,交DA 的延长线于点R ,连接RD 1,交AA 1于Q ,则QD 1是平面与平面的交线,在平面内,与直线QD 1平行的直线有无数条,由直线与平面平行的判定定理可知,这无数条直线与平面都平行,故答案为A ．9．【答案】A【解析】因为平面α∥平面1BC E ，平面α平面111AA B B A F =，平面1BC E平面11AA B B BE =，所以1∥A F BE .又1∥A E BF ，所以四边形1AEBF 是平行四边形，所以12A E BF ==，所以1AF =. 10．【答案】D【解析】如图所示，∵E ，F 分别是棱的中点,∴EF ∥AC ，则平面即平面EFCA 与平面相交于,即直线m ；由CF ∥OE ，可得CF ∥平面OD 1E ，故平面与平面相交于n 时，必有n ∥CF ，即m //n ,则直线的夹角为0.11．【答案】A【解析】因为AC ,所以平面.取中点N ,因为,所以平面，从而平面平面,即动点的轨迹为线段HF ,因此长度为4，选A ．12．【答案】平行13．【答案】M在线段FH上移动【解析】当M在线段FH上移动时,有MH//DD'.而HN//BD,∴平面MNH//平面B'BDD'.又MN⊂平面MNH,∴MN//平面B'BDD'.14．【答案】①④【解析】对于①,该正方体的对角面∥平面得出AB∥平面;对于②,直线与平面不平行;对于③,直线与平面不平行;对于④,直线与平面内的直线平行.15．【答案】m n【解析】∵AC∥平面EFGH,AC⊂平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EF, ∴AC∥EF.∴EB EF AB AC=.①由四边形EFGH是菱形知EH∥FG,EH⊄平面BCD,FG⊂平面BCD, ∴EH∥平面BCD．而EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴EH∥BD,∴AE EH AB BD=.②由①②得AE EH AC EB BD EF⨯=⨯.又EF=EH,AC=m,BD=n,所以AE mEB n=. 学#科网16．【答案】9 2AB的中点G，连接EG，FG．17．【解析】（1）如图，取1（2）∵三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，11AA BB ∥， ∴1BB ⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ， ∴1AC BB ⊥， ∵90ACB ∠=︒， ∴AC BC ⊥， ∵11BB BC B BB =⊂,平面1EB C BC ⊂,平面1EBC ， ∴AC ⊥平面1EBC ， ∵1CB ⊂平面1EBC ， ∴1AC CB ⊥，18．【解析】(1)连接AE ,则AE 必过DF 与GN 的交点O ,连接MO ,则MO 为ABE △的中位线, 所以BE MO ∥, 学科#网又BE ⊄平面,DMF MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为,N G 分别为平行四边形ADEF 的边,AD EF 的中点, 所以DE GN ∥,又DE ⊄平面,MNG GN ⊂平面MNG , 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点,所以MN 为ABD △的中位线,所以BD MN ∥, 又BD ⊄平面,MNG MN ⊂平面MNG , 所以BD ∥平面MNG ,又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线, 所以平面BDE ∥平面MNG .【名师点睛】在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定定理.（1）应用判定定理证明线面平行的步骤：上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．（2）利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤: 第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面； 第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．19．【解析】(1)如图所示,取D 1为线段A 1C 1的中点,此时1111A D D C=1.(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,且平面A 1BC 1∩平面BC 1D =BC 1,平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1=D 1O ,得BC 1∥D 1O , ∴11111A D AOD C OB=. 又平面AB 1D 1∩平面ACC 1A 1=AD 1,平面BDC 1∩平面ACC 1A 1=DC 1, ∴AD 1∥DC 1, ∴AD =D 1C 1,DC =A 1D 1,∴11111D C AD OBCD A D AO ===1. 20．【解析】(1)线段AD 上存在一点P ,使得CP ∥平面ABEF ,此时32AP PD =.在ACD △中,由余弦定理得cos ADC ∠=2222AD DC AC AD DC+-⋅=12, 学@科网∴sin ADC ∠=2ADC S △=1sin 2DC DA ADC ⋅⋅⋅∠=设点F 到平面ADC 的距离为h , 由于A CDF F ACD V V --=,即3=13ADC h S ⋅⋅△,∴h即点F 到平面ADC1．【答案】C【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，也可借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系． 2．【答案】②③④【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线面位置关系. 3．【解析】在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．4．【解析】（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ． 因为E 是PD 的中点， 所以EF ∥AD ，12EF AD =， 由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC ∥AD ， 又12BC AD =， 所以EF BC ∥，即四边形BCEF 是平行四边形， 所以CE ∥BF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故CE ∥平面PAB ．5．【解析】（1）如图，设,AC BD 交点为E ，连接ME .因为PD ∥平面MAC ，平面MAC 平面PDB ME =，所以PD ME ∥.因为四边形ABCD 是正方形， 所以E 为BD 的中点， 所以M 为PB 的中点.6．【解析】（1）设FC 的中点为I ,连接,GI HI ,7．【解析】（1）由已知得232==AD AM . 取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN ． 又BC AD //，故=TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT .31 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．8．【解析】（1）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.如图，延长AB ，DC ，相交于点M（M ∈平面P AB ），点M 即为所求的一个点.。