四年级春季第八讲(排列组合)
排列组合教案模板小学
课时：2课时年级：小学四年级教材：《小学数学》四年级下册教学目标：1. 让学生理解排列组合的概念，掌握排列组合的基本方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
3. 提高学生解决实际问题的能力。
教学重点：1. 排列组合的概念和基本方法。
2. 应用排列组合解决实际问题。
教学难点：1. 排列组合的应用。
2. 复杂排列组合问题的解决。
教学过程：第一课时一、导入1. 通过生活中的实例，如排座位、排队等，引导学生思考排列组合的问题。
2. 提出问题：如何有序地排列这些物品？二、新授1. 介绍排列组合的概念。
2. 讲解排列组合的基本方法，如全排列、排列组合等。
3. 通过实例讲解排列组合的应用。
三、练习1. 基本练习：完成课本上的练习题，巩固排列组合的基本方法。
2. 综合练习：解决实际问题，如设计密码、排列字母等。
四、小结1. 回顾本节课所学内容，强调排列组合的概念和基本方法。
2. 提出思考问题，引导学生课后继续学习。
第二课时一、复习1. 复习上节课所学的排列组合概念和基本方法。
2. 通过提问，检查学生对排列组合的理解程度。
二、新授1. 讲解复杂排列组合问题的解决方法。
2. 通过实例讲解如何解决实际问题。
三、练习1. 基本练习：完成课本上的练习题，巩固复杂排列组合问题的解决方法。
2. 综合练习：解决实际问题，如设计密码、排列字母等。
四、小结1. 回顾本节课所学内容，强调复杂排列组合问题的解决方法。
2. 提出思考问题，引导学生课后继续学习。
教学反思：本节课通过讲解排列组合的概念和基本方法，以及应用排列组合解决实际问题，使学生掌握了排列组合的相关知识。
在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重启发式教学，引导学生主动思考。
2. 结合实际生活，让学生感受到排列组合在生活中的应用。
3. 通过练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
4. 及时总结，帮助学生形成完整的知识体系。
小学趣味数学课件排列组合入门
学习资料与书籍推荐
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排列数：从n个元素中取出m个元 素的排列数表示为A(n,m) = n! / (n-m)!。
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组合：从n个不同元素中取出m个 元素（m≤n），不考虑顺序，叫做 从n个元素中取出m个元素的组合。
组合数：从n个元素中取出m个元 素的组合数表示为C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
小学趣味数学课件的教学建 议
第五章
结合实际，注重实践
结合生活实例，帮助学生理解抽象概念 引导学生动手操作，培养实践能力 创设趣味情境，激发学生的学习兴趣 注重与实际应用的联系，培养学生的数学应用能力
循序渐进，逐步提高
教学内容应由浅入深，先从基础概念入手，逐步引导学生理解排列组合的原理。
教学方法要多样化，利用图形、游戏、故事等形式激发学生的学习兴趣。
小学趣味数学课件的设计思路应注重培养学生的逻辑思维，通过有趣的 排列组合游戏，引导学生逐步掌握数学中的逻辑关系。
在设计课件时，应充分考虑小学生的认知特点，采用生动形象的图片、 动画等形式，引导学生观察、思考、推理，从而培养他们的逻辑思维。
课件内容应由浅入深，逐步引导学生掌握排列组合的基本概念和原理， 并通过实际操作和练习，加深学生对数学逻辑的理解和应用。
排列与组合的关系：排列是从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，组合是从n个不 同元素中取出m个元素的所有组合的个数。
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
排列组合讲解ppt课件
知识铺垫
首先来了解下什么是两种计数原理?两种计数原理其实就是加法原理和乘法原 理，那么什么时候用加法?什么时候用乘法呢?标准就是判断你所要用的这种方 法能否独立完成一件事，如果可以那就用加法，如果不能那就用乘法。例如： 小王想要从甲到乙地，如果坐火车有3列车可选，如果做汽车有5班车可选，问 小王从甲到乙一共有多少种到达的方式?答案很显然是3+5=8，为什么用加法 呢?因为要完成的从甲地到乙地，首先3列火车可以独立完成，5班汽车也可独 立完成，每一种方式都能够独立完成这件事情则用加法。如果题目改成：小王 从甲到乙地，有3列火车可以从甲到丙地，有5班汽车可以从丙地到乙地，问小 王从甲到乙地一共有多少种方法?答案却为3×5=15，此时为什么用乘法了呢? 因为仅仅3列火车不能够独立完成小王从甲到乙地这件事情，要想完成还需要 从丙地中转后到乙地，所以分步完成用乘法。
例题展示
如果掌握了排列组合的题型特征和解题方法，你会发现这种题型还是 很好掌握的，希望同学们日后多多加强此类题型的练习，做到举一反 三。
谢谢
知识铺垫
为了方便各位更加深刻的理解和把握好两种计数原理，我们要从两道经典例题入手， 一起来看例题展示
例题展示
【例题1】小王外出游玩，准备选择一家宾馆进行入住，现在有7家经济型宾馆，5家 舒适型宾馆，3家豪华型宾馆可供小王选择，那么小王共有多少种不同的选择方式? A.12B.15C.18D.24 【答案】B 【中公解析】根据题目的描述可知，此题是在解决小王选择一家宾馆进行入住有多 少种不同的选择方式的事情。且小王可以选择3种类型的宾馆，如果只选择其中一种 类型的宾馆，比如选择豪华型宾馆能完成我们需要解决的事情，每一类选法都可完 成这件事情，故需分类。共有7+5+3=15种，答案为B。 【例题2】南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。 现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法?
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题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
排列组合四年级公式
排列组合四年级公式排列组合是数学中一个重要的概念，也是四年级数学学习的一部分。
通过排列组合，我们可以计算出一组元素的不同排列和组合的方式，从而解决各种问题。
在本文中，我将为你详细介绍排列组合的四年级公式。
排列组合问题通常涉及到从给定的元素集合中选取若干个元素，然后按照一定的顺序排列或者不排列的方式组合。
在四年级，我们主要学习到了两个公式，即排列公式和组合公式。
首先，让我们来了解一下排列公式。
排列公式主要用于计算从给定的元素集合中选取若干个元素，并按照一定的顺序排列的方式。
排列公式的一般形式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n表示元素的总个数，r表示选取的元素个数，"!"表示阶乘运算。
接下来，我们通过一个例子来理解排列公式的应用。
假设有5个不同的字母，要从中选取3个字母，按照一定的顺序排列，求排列的总数。
根据排列公式，我们可以得到：P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60因此，从5个字母中选取3个字母并按照一定的顺序排列的方式总共有60种。
接下来，让我们来了解一下组合公式。
组合公式主要用于计算从给定的元素集合中选取若干个元素，并不考虑元素的顺序的方式。
组合公式的一般形式为：C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)其中，n表示元素的总个数，r表示选取的元素个数，"!"表示阶乘运算。
同样，我们通过一个例子来理解组合公式的应用。
假设有5个不同的字母，要从中选取3个字母，不考虑字母的顺序，求组合的总数。
根据组合公式，我们可以得到：C(5, 3) = 5! / (3! × (5 - 3)!) = 5! / (3! × 2!) = 5 × 4 / 2 = 10因此，从5个字母中选取3个字母并不考虑字母的顺序的方式总共有10种。
小学四年级数学上册教案认识简单的排列组合
小学四年级数学上册教案认识简单的排列组合本文为《小学四年级数学上册教案：认识简单的排列组合》一、教学目标通过本课的学习，使学生能够：1. 认识排列组合的概念；2. 掌握简单的排列组合方法；3. 运用排列组合解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和创造力。
二、教学重难点重点：掌握简单的排列组合方法，运用排列组合解决实际问题。
难点：培养学生的逻辑思维和创造力。
三、教学准备教师：教案、黑板、彩色粉笔。
学生：教材、练习册、铅笔、橡皮擦。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师以实际生活中的例子引入排列组合的概念，激发学生的学习兴趣，并启发他们思考排列组合的意义。
2. 逐步讲解（20分钟）教师通过示例和图示，详细讲解排列组合的定义和基本概念，引导学生理解每个概念的意义和作用。
3. 练习与巩固（25分钟）教师出示一些实际问题，引导学生利用排列组合的方法解决。
学生通过练习巩固所学的知识，并培养灵活运用排列组合方法的能力。
4. 拓展与应用（15分钟）教师提供更复杂的问题，让学生运用排列组合的方法解决。
同时，鼓励学生提出自己的问题，并通过排列组合的思维解决。
5. 总结与反思（10分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并让学生进行反思，巩固所学知识。
六、课堂小结通过本节课的学习，学生认识了简单的排列组合，掌握了相关的方法，并能够运用于解决实际问题。
七、课后作业完成练习册上相关的练习题，并总结本节课所学的内容。
八、板书设计课题：小学四年级数学上册教案：认识简单的排列组合教学目标：1. 认识排列组合的概念；2. 掌握简单的排列组合方法；3. 运用排列组合解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和创造力。
九、教学反思通过本节课的教学，学生对排列组合有了初步的认识，并能够运用所学的方法解决简单的问题。
在今后的教学中，可以通过更多的实例和练习来加深学生对排列组合的理解，培养他们的逻辑思维和创造力。
同时，对于学习较快的学生，可以提供更复杂的排列组合问题进行拓展和挑战。
超级排列小学四年级数学整数排列组合
超级排列小学四年级数学整数排列组合超级排列-小学四年级数学整数排列组合整数排列与组合是小学数学中的重要知识点之一，通过学习整数排列与组合，我们可以培养学生的观察与逻辑推理能力，帮助他们解决实际生活中的问题。
本文将介绍小学四年级数学中的整数排列组合知识点，并结合实例讲解相关概念和解题方法。
一、整数排列整数排列是指将一组数字按照一定的顺序进行排列的过程。
例如，对于数字1、2、3，可以得到以下6个排列组合：1、2、31、3、22、1、32、3、13、1、23、2、1可以看出，数字的排列顺序不同，得到的排列也不同。
在小学数学中，我们常用阶乘的概念来表示整数的排列数目。
n的阶乘表示将1到n的连续整数相乘的积，记作n!。
例如，5的阶乘表示为5!，等于1乘2乘3乘4乘5，即5!=1×2×3×4×5=120。
二、整数组合整数组合是指从一组数字中任选出若干个数字进行组合的过程。
在整数组合中，数字的顺序不重要。
例如，对于数字1、2、3，可以得到以下4个组合：1、2、31、21、32、3可以看出，在整数组合中，只要包含相同的数字，就视为相同的组合。
在小学数学中，我们常用组合数的概念来表示整数的组合数目。
组合数用C(n,m)表示，表示从n个数字中选取m个数字进行组合的方式数目。
计算组合数可以使用组合数公式：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)三、整数排列组合的应用整数排列组合在解决实际问题中起到重要的作用。
例如，我们有5个不同的数字，需要找到它们的排列数目，可以使用排列数的概念求解。
又如，我们有7个人，需要从中选取3人进行组合，可以使用组合数的概念求解。
应用实例1：有3个小朋友排队等公交车，他们穿着红、黄、蓝三色衣服，如果要求每个小朋友穿一种颜色的衣服，那么有多少种不同的排队方式？解题思路：对于第一个小朋友，有3种选择；对于第二个小朋友，有2种选择；对于第三个小朋友，只有1种选择。
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第八讲 排列组合一、三个核心思想：1、确定分类分步策略2、特殊优先3、对应与转化二、已学方法（请同学们复习一下寒假班第五、六讲） 1、排除法 2、捆绑法 3、插空法 4、直排法 5、挡板法三、例题讲解 （一）组数问题对于组数问题，我们以前学过加乘原理可以解决。
结合排列可以简化部分过程，关键仍然是关注“特殊”数位，即先确定哪一位。
例1 由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数 （1）四位数有多少个？ （2）四位奇数有多少个？ （3）四位偶数有多少个？解析： (1)四位数分千位，百位，十位，个位，千位最特殊，不能为0，则第一步，先确定千位，可供选择的数只有5个（2,5,6,7,8），方法有15A 种；第二步，剩下百位，十位，个位没有什么限制，即从剩下的5个数字中任选3个随便排，那么方法有35A 种。
运用乘法原理，共有 15A ·35A =5×5×4×3=300（个）（2）因为是奇数，个位特殊，其次，千位也特殊，不能为0，第一步，确定个位，第二步，确定千位，第三步，确定百位和十位。
得到12A ·14A ·24A =2×4×4×3=96（个）（3）四位数共300个（第一问），其中奇数96个（第二问），则偶数为300‐96=204个。
若用排列方法单独计算也可以。
个位只能在0,2,6,8中选择，而0不能为首位，故分成两种情况，个位选0，共有35A =60（个），个位从2,6,8中选，共有13A ·14A ·24A =3×4×4×3=144（个），共计60+144=204（个）。
（提高）学案1 由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数 （1）整数有多少个？（2）是5的倍数的三位数有多少个？ 解析：（1）整数包括一位整数、两位整数、三位、四位、五位、六位。
依次求出 相加即可。
一位整数：16A =6个两位整数：15A ·15A =5×5=25（个）三位整数：15A ·25A =5×5×4=100（个） 最后相加：1631个 四位整数：15A ·35A =5×5×4×3=300（个） 五位整数：15A ·45A =5×5×4×3×2=600（个） 六位整数：15A ·55A =5×5×4×3×2×1=600（个）（2）是5的倍数，则个位特殊，选0或5，而0又不能放首位，故将个位的0和5按类区分，最后相加。
个位为0：个位就0这一种选法。
百位和十位随便排，故25A = 5×4=20（个） 个位为5：个位就5这一种选法。
百位除0和5以外还有4种选法，十位除5和百位的数以外也还有4种选 法，最后是14A ·14A =4×4=16（个）共计 20+16=36（个）。
（尖子）学案4 如1447,1005,1231这三个数字有许多相同之处：它们都是四位数，最高位都是1，都恰有2个相同数字，一共有多少个这样的数？ 解析：“1”特殊，因为首位一定是1，那么我们会想到相同的数字可能还是1，也可能不是1。
因此我们根据相同数字是不是1，将本题分为两类。
（1） 若相同数字为1： 特殊优先，第一步，看另一个1，只能在百，十，个位，因此有3种排法，第二步，还有两个位置，从0—9十个数中选除1外的不同的两个数随便排，即 29A =9× 8=72。
乘法原理：3×72=216个。
（2）若相同数字不为1：第一步，相同数字有9种选择，且它们的位置是从3个（百、十、个）中选2个，选出来就可以，不用再随便排（因为这2个数字是相同的），用组合。
第二步，选 出第四个数即可，这个数只有剩下的8种选法啦。
19C ·23C ·18C =9×3×8=216（个）。
共计216+216=432个。
（二）排除法的应用当发现直接求解涉及的分类很多，不妨用整体减去不要的分类，可以简化计算。
例2 一个小组共10名学生，其中4名女生，6名男生，现从中选出3名代表，其中至少有一名女生共有多少种选法？解析：直接求解：至少一名女生，包括三类情况， （1）1名女生，2名男生：14C ·26C =60（种）（2）2名女生，1名男生：24C ·16C =36（种） （1）3名女生，0名男生：34C =4（种）共计：60+36+4=100（种）排除法：从10名学生中选3名代表，再减去没有女生的选法不就是“至少有一名女生”的方法了吗？310C -36C =100（种）（尖子）学案2 正八边形的中心和顶点共9个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个？正九边形的中心和顶点共10个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个？解析：（1）构成三角形的要求是三个不共线的点。
9个点中任选3个的方法有39C =84（种），其中四条对角线上的三个点是共线的，减出去就可以了，所以84‐4=80（种）（2）正九边形的中心和顶点共10个点中没有共线的3个点，所以就是310C =120（种）（三）对应与转化思想（提高）学案3 圆周上有十个点，任两点之间连一条弦，这些弦在圆内共有多少个交点？ 解析：怎么样找圆内的交点呢？发现两条交叉的线有一个交点，即一个四边形对应一个交点，那么题目转为为找有多少个四边形。
410C =210（个）（四）多面手问题例6 某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 解析：对于多面手问题，我们一般按照多面手的名数来分类，但本题发现多面手太多，按多面手的名数来分类不是很简单。
本题中只会日语的人很少，我们不妨从只会日语的来分类。
（1）0名只会日语的：第一步，日语导游只能从4名多面手中选3名 。
第二步，英语导游可从3名只会英语的和剩下的1名多面手共4人种选3名。
即 34C ·34C =16（种）（2）1名只会日语的：第一步：从2名只会日语的选出1名；第二步：再从4名多面手中选出2名当日语导游 ；第三步：从3名只会英语和剩下的2名多面手中选出3名英语导游。
即12C ·24C ·35C =120（种）（3）2名只会日语的：第一步，2个只会日语的全部选出有1种选法。
第二步，从4名多面手中再选出1名日语导游。
第三步：从3名只会英语和剩下的3名多面手中选出3名英语导游。
即22C ·14C ·36C =80（种）共计：16+120+80=216（种）（五）其它例题例3 在图中1×5的格子中填入1,2,3,4,5,6,7,8中的5个数，要求：填入的数各不相同并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大，共有多少种不同的填法？解析：从8个数里选出5个数后，才方便根据题目要求进行填数。
假设取1,2,3,4,5.易发现，5最大，它必须填在黑格里，那么黑格就还剩一个了，是填4吗？发现不一定，也可以填3。
那么就分为两类考虑。
第一类：黑格里填5和4。
又分两小类，左5右4或左4右5，这两小类是对称的，所以我们算出一类，再乘2就可以了。
以左5右4为例，剩下的三个白格中填1,2,3，随便放，没有任何限制条件，那么是33A =6（种），第一类共有6×2=12（种）第二类：黑格里填5和3。
同样分为左5右3或左3右5。
以左5右3为例，剩下的4只能放在5的一旁，不能和3相邻，剩下1,2可以随便放，那么有2种，第二类共有2×2=4（种）两类相加，一共有12+4=16（种）不同的填法。
如果不选1,2,3,4,5，选的是别的数呢？发现不管怎么选，选出来的五个数字按大小肯定分为老大，老二，老三，老四，老五，填入方格中时都可参照上述1,2,3,4,5的方法，一定是16种填法。
从8个数里选5个的方法有58C =56（种），那么本题共56×16=896（种）填法。
例4 从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛，在下列条件下，分别有多少种选法？ （1）恰有3名女生入选 （2）至少有两名女生入选（3）某两名女生，某两名男生必须入选（4）某两名女生，某两名男生不能同时入选 （5）某两名女生，某两名男生最多入选两人解析：（1）先选3名女生，再选5名男生：38C ·510C =14112（种）（2）排除法：用整体减去“没有女生”和“只有一名女生”的情况即可71018810818C C C C •−− =42753（种） （3）特定要选4名同学，那么不用按性别来区分，而要按“特殊的4名”和“不特殊的14名”来思考问题。
特殊的4名同学占了4个名额，再从其余14名中选4名就可以了。
那么就是414C =1001（种）（4）排除法：从整体中减去这4人同时入选的方法414818C C −=42757（种） （5）直接分类：这4人没人入选，有1人入选，有2人入选。
14814C C + ·24714C C +·614C =34749（种）例5 用2,4,6三个数字来构造六位数，但是不允许有两个连着的2出现在六位数中，问这样的六位数有多少个？解析：2不能连着，但有几个2呢？不知道，所以我们应该先分类；其次，2必须隔开，联想寒假的插空法，先留空，再插空。
（1）0个2：每一位都有4和6两种选择，那么26=64（个）（2）1个2：先给2留空，用4和6组成一个5位数，25=32（个）,6个空选一个有6种方法，所以6×32=192（个）C=160（个） （3）2个2：先用4和6组成一个4位数，再在5个空中任选2个：24·25C=32（个） （4）3个2：先用4和6组成一个3位数，再在4个空中任选3个：23·34不能有4个或以上的2，所以共有64+192+160+32=448个。