高中数学比赛课件人教A版高中数学必修4 精选优课课件 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1
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高中数学 2.42.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4
第二十一页，共33页。
跟踪 训练
∵π4≤θ≤π2， ∴当 θ＝π4时，csions θθ＝1，即D→E·D→C的最大值为 1. 答案：1 1
第二十二页，共33页。
题型2 判断(pànduàn)三角形形状
例2 已知△ABC 中，A→B＝A→C＝4，且A→B·C→A＝－8，试判断 △ABC 的形状．
第二章 平面向量 2．4 平面向量的数量积 2．4.1 平面向量数量积的物理(wùlǐ)背景
及其含义
第一页，共33页。
栏 目 链 接
第二页，共33页。
1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的
关系．
2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．
栏 目
链
3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角
目 链
接
(2)当 θ＝π 时，a 与 b___反__向_(_f_ǎ；n xiànɡ)
(3)当 θ＝π2时，a 与 b___垂_直__(_c_h，uíz记hí)__a_⊥__b___．
第五页，共33页。
基础
梳理
2．已知两个___非_零____向量 a 与 b，我们把数
量_|a_|_|b_|c_o_s_θ_叫做 a 与 b 的数量积(或内积)记作
第十三页，共33页。
自测 自评
1．已知|a|＝4，|b|＝2 且 a 与 b 的夹角为 60°，
则 a·b＝________.
栏 目 链 接
答案：4
第十四页，共33页。
自测 自评
2．已知 a·b＝12，且|a|＝3，|b|＝5，则 b 在 a 方向上的投
影为________．
栏 目 链 接
答案：4
＝－6e21＋e1·e2＋2e22＝－27，
人教A版数学必修4PPT课件平面向量4
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① e1 ，e2 是两个不共线的向量； ② a 是平面内的任意向量； ③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做这一平面内所有向量 的一组基底.
一对实数
1, 2，使
a
1 e1
2
e
.
2
不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小. ——冰心
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3.已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底， 那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 ( C)
A．e1 和 e1＋e2 B．e1－2e2 和 e2－2e1 C．e1－2e2 和 4e2－2e1 D．e1＋e2 和 e1－e2 【解析】分析四个选项知，在 C 中，4e2－2e1＝ －2(e1－2 e2)．∴e1－2 e 2 与 4 e 2－2 e 1 共线，应选 C.
种表示是否唯一？请说明理由.
1.理解平面向量的基底的意义与作用. （重点） 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他 向量都能够用基底来表达． （难点） 3.初步利用定理解决问题（如相交线交成线段 比的问题等）.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量共线的向量 e1,e2 与该
平面内的任一向量 a 之间的关系.
a
e1
e2
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
a 1e1 2 e2
说明：① e1 ，e2 是两个不共线的向量； ② a 是平面内的任意向量； ③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做这一平面内所有向量 的一组基底.
一对实数
1, 2，使
a
1 e1
2
e
.
2
不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小. ——冰心
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3.已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底， 那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 ( C)
A．e1 和 e1＋e2 B．e1－2e2 和 e2－2e1 C．e1－2e2 和 4e2－2e1 D．e1＋e2 和 e1－e2 【解析】分析四个选项知，在 C 中，4e2－2e1＝ －2(e1－2 e2)．∴e1－2 e 2 与 4 e 2－2 e 1 共线，应选 C.
种表示是否唯一？请说明理由.
1.理解平面向量的基底的意义与作用. （重点） 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他 向量都能够用基底来表达． （难点） 3.初步利用定理解决问题（如相交线交成线段 比的问题等）.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量共线的向量 e1,e2 与该
平面内的任一向量 a 之间的关系.
a
e1
e2
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
高一数学人教A版必修4课件：第二章 平面向量
第二章 平面向量章末复习课内容索引0102理网络明结构探题型提能力0304理网络·明结构探题型·提能力题型一 数形结合思想在向量中的运用解析 建立如图所示的直角坐标系.答案 C反思与感悟 数形结合是求解数学问题最常用的方法之一，其大致有以下两条途径：(1)以数解形，通过对数量关系的讨论，去研究图形的几何性质.(2)以形助数，一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在不少章节都有广泛的应用.答案 C题型二 基底思想在解题中的应用则易知OM⊥BC.答案 反思与感悟 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.这样，几何问题就转化为代数问题.题型三 向量坐标法在平面几何中的运用例3 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，因为BB′、CC′为AC、AB边的中线，反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这种解题方法具有普遍性.解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知-2呈重点、现规律1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.。
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第二章 平面向量
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
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课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
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温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ， 则m· n＝________.
第二章
2.4 2.4.2
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思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
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命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题． 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完 全代数化，并将数与形紧密结合起来． 主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
2.4 2.4.2
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新课引入
第二章
2.4 2.4.2
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向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画 卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问 题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量 的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你 能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起 进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第二章 平面向量2.4.2 精品
教案·课堂探究
平面向量数量积的坐标运算 自主练透型
(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(3，4)，求 a·b，(a－b)·(2a＋3b)． (2)已知向量 a 与 b 同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求： ①向量 a 的坐标； ②若 c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解析： (1)法一：∵a＝(1，2)，b＝(3，4)， ∴a·b＝(1，2)·(3，4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42) ＝－54. 法二：∵a＝(1，2)，b＝(3，4)，∴a·b＝11. ∵a－b＝(1，2)－(3，4)＝(－2，－2)， 2a＋3b＝2(1，2)＋3(3，4) ＝(2×1＋3×3，2×2＋3×4)
设 m、n 的夹角为 θ，
则 cos θ＝|mm|·|nn|＝
－3×7＋（－4）×1 （－3）2＋（－4）2 72＋12
＝ －25 ＝－ 25 2
22.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝34π，
即 m，n 的夹角为34π.
[拓展练]☆ 3．已知△ABC 中，A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，BC 边上的高为 AD. (1)求证：AB⊥AC； (2)求点 D 和向量A→D的坐标； (3)设∠ABC＝θ，求 cos θ.
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学案·新知自解
1．理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算． 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积 两个向量的数量积等于它们__对__应__坐___标__的__乘__积___的和，即 a·b ＝__x_1x_2_＋__y_1_y_2 __
数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），
则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， （ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
高中数学人教A版必修4 平面向量专题复习PPT全文课件
途径二：“形”“数”相守 找坐标
高中数学【人教A版必修】4 平面向量专题复习PPT全文课件【完 美课件 】
y A
B (O) C 2
x
图13
高中数学【人教A版必修】4 平面向量专题复习PPT全文课件【完 美课件 】
练习1、【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1
AD=2，
APABAD
动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若
（五）等与不等寻定值
极化恒等式
2
2
4a b a b a b
绝对值三角不等式
因对任意实数 m,n，恒有 m n m n 成立
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（五）等与不等寻定值
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（五）等与不等寻定值
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数缺形时少直观， 形少数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休．
(2013 年浙江省数学竞赛)已知直线 AB 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点, M 为 AB的
中点, C 为抛物线上一个动点,若C0 满足 C0AC0B min CACB ,则下列一定成立的是
()
A. C0M AB C. C0 A C0B
纵观近五年的高考试题，平面向量的考查主要体现在2 个方面：
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（2） a b 0
（3） cos
4.平面向量的数量积的坐标表示
设向量a ( x1 , y1 ),b ( x2 , y2 ),则a b
导学案习题
(1)已知 a 4, b 8, a与b 的夹角为 120， a b
- 16
( 2) 已知a ( 2,3), b ( 4,7), 则a在b上的投影为
（1） a b b a (2)(a b) c a c b c (3)( a) b (a b) a ( b)
3.平面向量的数量积的性质 设a, b是非零向量， 是a与b 的夹角，则
（ 1 ）若a与b 同向，则a b 若a与b反向，则a b 特别地a a ，
D．1
提高练习
（1）、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8， 6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是
矩形
a= (1，2)， b= (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行，则k = - 1.
（2）、已知
平面向量的数量积
考纲要求
(1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义。 (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 (3)掌握平面向量的数量积的坐标表达式，会进行 平面向量的数量积的运算。 (4)能运用平面向量的数量积表示两个向量的夹角， 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
基础知识
1.平面向量的数量积的概念
65 5
（3）设有非零向量 a, b, c, 则以下四个结论 （ 1 ） a (b c) a b a c; (2)a (b c) (a b) c (3)a c b c, 则a b; (4)a b b a
其中正确的序号是 （ 1 ）（4）
当k为何值时(a 2b) (k a b) ? - 7
作业：
1.设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)， c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________. 2.已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)， 若a· b＝1，则x等于 ( ) A．－1
1 B． 2
C.
1 2
0， ， （ 1 ）设两个非零向量 a和b, 是a与b的夹角，其范围是
b cos叫做b在a上的投影。 a b cos叫做a与b的数量积。 记做a b, 即a b a b cos
（2）几何意义： a b等于 a 与b在a方向上的投影b cos的积
2.平面向量的数量积的运算律
（4）已知a (2,3),b (2,4),则(a b) (a b)
-7
考点聚焦 考点1 平面向量的数量积与向量的模
例1.平面向量a与bb
37
考点2 平面向量的数量积与向量的夹角及垂直
例2.已知 a 4, b 8, a与b的夹角是 120 ,