(2021年整理)数学分析(3)试卷及答案

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数学分析（3）期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项:1. 考试时间：120分钟。

2. 试卷含三大题,共100分.3. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4. 遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分）1、 设z x u ytan =,则全微分=u d __________________________。

2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。

3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。

5、 设L 是从点(0，0）到点(1,1)的直线段,则第一型曲线积分⎰=L s x yd _____________。

6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ,则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________,其值为_____________。

7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。

二、计算题（每题8分，共56分）1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、 设),(2xyy x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。

3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

4、 求x x x e x xd sine 02⎰∞+---。

提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22.5、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。

6、 求曲面2222≤++z y x 与22y x z +≥所围成的立体体积.7、 计算y x z x z y z y x Sd d d d d d 333++⎰⎰,其中S 是球面2222R z y x =++)0(>R 的上半部分)0(≥z 的外侧。

三、证明题（每题10分，共20分）1、 试证:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0 ,0,0,),(2222222y x y x y x xy y x f 在原点)0,0(连续且偏导数存在，但在原点不可微，并且),(y x f x 和),(y x f y 在原点不连续。

2、 试证3222=++z y x 和1=++z y x 的交线在点)1,1,1(0-P 的邻域内能用一对方程)(x f y =和)(x g z =表示,并求x y d d 和xzd d ,以及交线在点0P 的法平面方程.数学分析3期末考试题一.选择题（每题4分，共16分)1.如果是偶函数且可导，则 （ ） A 。

0)0(='f B 。

0)0(=f C.1)0(='f D 。

1)0(=f2。

下列广义积分收敛的是 ( ） A.dx x x⎰+∞+021 B. dx x x ⎰+∞∞-+214cosC.)1(,11≤⎰+∞p dx x p D 。

)1(,)(ln 12≤⎰+∞p dx x x p3.下列说法错误的是 （ ) A.设2R E ⊂为任一有界无穷点集，则E 在2R 中至少有一个聚点.B.设{}2R P k ⊂为一个有界点列，则它必存在收敛子列。

C 。

2R E ⊂为有界闭集,则E 的任一无穷子集必有聚点. D 。

2R E ⊂为有界闭集,则E 不一定为一列紧集。

4。

下列说法正确的是( ）A 。

若级数∑n u 是发散的，则∑n u c 也是发散的.B.若级数∑n u 是收敛的，∑n v 是发散的,则+∑n u ∑n v 可以是收敛的。

C 。

若级数∑n u 和∑n v 是发散的，则+∑n u ∑n v 可以是收敛的。

D 。

若级数∑n u 和∑n v 是发散的，则n n v u ∑也是发散的。

二.填空题（每空3分，共15分）1．级数∑-nx n n2)1(的收敛半径为 ，收敛区间为 。

2．若xyz arctan =在)1,1(处可微，则=)1,1(x z , =)1,1(y z 。

3. 函数)sin(y x y z +=的全微分为 。

三.计算题(共40分）1．计算下列定积分(每题4分,共8分）（1）dx x x ⎰+-102211 （2)dx x xe e 21)(ln 1⎰2．求级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和函数(8分）3．把函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<--=,0,4,0,4)(ππππx x x f 展成傅立叶级数.(8分)4.求极限22)0,0()(1sin )(lim y x y x y x ++→，。

（8分）5．求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面方程和法线方程.（8分）四.讨论题和证明题（共29分）1．设,)(nx x x f nn -=讨论函数列{}{}n n f f '与在]1,0[∈x 的一致收敛性。

（9分)2。

设f 在],[a a -上可积，证明：（5分) (1）若f 为奇函数，则0)(=⎰-dx x f aa (2）若f 为偶函数，则dx x f dx x f aaa ⎰⎰=-0)(2)(3.证明不等式e dx e x <<⎰1021。

(5分)4．证明函数()y x f ,⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,2222222y x y x y x yx 在点)0,0(连续且偏导数存在，但在此点不可微。

（10分）2008—2009（一）《数学分析》(3—3)期末考试试卷B一. 选择题（每题3分,共27分)1．下列说法错误的是 （ ）A 2R 是开集但不是闭集B {}222(,)x y x y r +≤是闭集C {}22(,)1x y x y +<是开集D ∅是既开又闭的点集。

2. 设点P 是平面点集E 的边界点,CE 是E 关于全平面的余集，则（ ）A P 是E 的聚点B P 是E 的孤立点C P 是E 的内点D P 是CE 的边界点 3. L 为单位圆周122=+y x ，ds y L⎰的值为 （ )A 4B 3C 2D 14. 设L 是沿抛物线22y x =从原点到点B(1，2）的曲线，L xdy ydx +⎰的值为 （ ） A 0 B 2 C 1 D －25．y x y x xysin ),(),()11(lim ++∞+∞→的值等于 ( ） A 1 B 2 C 3 D 06。

若S 为柱面222R y x =+被平面0=z 和0)H(H >=z 所截取的部分,则dS yx S⎰⎰+221值等于 ( ） A RH 2π B R H π C 4H 3π DRH4π 7。

累次积分⎰⎰2x 00dy y x f dx ),(1交换积分顺序后，正确的是 ( )A ⎰⎰ydx y x f dy),(1 B ⎰⎰11),(ydx y x f dyC ⎰⎰ydx y x f dy 11),( D ⎰⎰01),(ydx y x f dy8。

曲面z=x y arctan 在点(1，1,4π)处的切平面方程是 （ ） A 22π=+-z y x B 22π=-+z y xC z y x +=+=+4)1(2)1(2πD z y x -=-=-4)1(2)1(2π9。

设,2yxeu = l 由起点P （1，0)到终点Q （3,-1)，则lu ∂∂｜P 等于 ( )A 0B 1C 2D 3二 计算题（每题8分， 共40分）1. 设z =f （xy xy,),求y x z ∂∂∂2。

2。

设222z y x u ++=,其中),(y x f z =是由方程xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，求x u3．设L 为任一包含原点的闭曲线，方向取正向，计算⎰+-Ly x ydxxdy 224. 计算⎰⎰⎰Vdxdydz z 2的值，其中V 是由2222R z y x ≤++与Rz z y x 2222≤++所围成的空间区域5。

计算曲面积分 dxdy z dzdx y dydz x S222++⎰⎰，其中S 是锥面 222z y x =+与平面h z =所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧.三 证明题 （共24分)1设22220;(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩讨论),(y x f 在（0,0)处是否连续，是否可微（10分)2. 讨论积分dy e I y x ⎰+∞-=02在)0(],[>a b a 上的一致收敛性（8分）3. 设),(y x f 为连续函数，且),(),(x y f y x f =，证明：dy y x f dx dy y x f dx xx⎰⎰⎰⎰--=1010)1,1(),( （6分）四．应用题(9分)求体积一定而表面积最小的长方体。

数学分析(3）期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项：5.考试时间：120分钟。

6. 试卷含三大题，共100分.7. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废!8. 遵守考试纪律。

一、填空题（每空3分，共24分）8、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。

9、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数,则=x u _________________________。

10、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。

11、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________. 12、 设L 是从点(0，0)到点（1,1）的直线段，则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。

13、 在xy 面上,若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。