2012年全国高中数学联合竞赛(江西赛区)预赛于2012年9月23
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是 ◆答案：1- ★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=-2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=， 故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 52a c b a c A A B c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为 ◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M ==所以 1.M ≤=≤当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值 为 ◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为 正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠= ,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==, 故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥-又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为 ◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。
设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。
由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。
2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。
若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。
2012江西联考数学试题分析(黄健2012.4)
一、基本情况
数学（理科）试卷试题属性表
二、填空题
11 A 12 B 13 C 14 C 15 A 算法框图 直线，圆与不等式 演绎推理与类比 定积分与几何概率 5分 5分 5分 5分 0.33 8.29
极坐标与不等式（选做） 5 分
一、基本情况
数学（理科）试卷试题属性表
三、解答题
16 17 18 19 20 21 全卷 B A A C B C 三角式恒等变形 统计与随机变量的概率分布、 数学 期望 空间基本图形的位置关系和有关 数据计算 圆锥曲线及几何性质综合运用 函数与导数的应用 数列的综合运用 12 分 12 分 12 分 12 分 13 分 14 分 150 分 6.39 6.65 6.80 4.15 4.06 1.39 77.99 0.53 0.55 0.57 0.35 0.31 0.10 0.52
二.考查目标分析
●知识目标考查情况的分析： （1）文科 本以为是送分的第1题复数题并没有达 目的， 均分只有3.37分，说明不少学生复数最基本的代数 运算还存在问题；第8题中，有大约三分之一的学 生错选了B或C，即认为命题4是正确的，说明对“非 命题”的改写与真假判断掌握得不好。第16题三角 和18题立体几何题得分偏低，说明三角函数的图像 变换，以及立体几何的“存在性命题”的证明确实是 文科学生的软肋，必须在今后的复习中加强。而19 题数列的第1问看起来是送分题，只需要简单的解方 程运算即可，但是平均分也只有3.42分，说明我们 的学生运算能力还尚待提高。
二、填空题
11 A 12 B 13 C 14 C 15 A 问题 算法框图 直线，圆与不等式 演绎推理与类比 指数函数比较大小 绝对值不等式与恒成立 5分 5分 5分 5分 0.31 5分 7.68
全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题1、若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数，这种超级平方数的个数是 ．2、函数2281448y x x x x =----的最大值是 ．3、直线l 过点(1,2)M ，若它被两平行线4310x y ++=与4360x y ++=所截得的线段长为2，则直线l 的方程为 ．4、013sin10-= ． 5、满足21x x -≥的实数x 的取值范围是 ．6、若实数,,0x y z ≥，且30,350x y z x y z ++=+-=，则542T x y z =++的取值范围是 []．7、在前一万个正整数构成的集合{}1,2,,10000L 中，被3除余2，并且被5除余3，被7除余4的元素个数是 ．8、如图，正四面体ABCD 的各棱长皆为2，111,,A B C 分别是棱,,DA DB DC 的中点，以D 为圆心，1为半径，分别在面,DAB DBC 内作弧¼¼1111,A B B C ，并将两弧各分成五等分， 分点顺次为112341,,,,,A P P P P B 以及112341,,,,,B Q Q Q Q C ， 一只甲虫欲从点1P 出发，沿四面体表面爬行至点4Q ，则其 爬行的最短距离为 ．二、解答题9、正整数数列{}n a 满足：2112,1n nn a a a a +==-+；证明：数列的任何两项皆互质．10、（25分）H 为锐角三角形ABC 的垂心，在线段CH 上任取一点E ，延长CH 到F ，使HF CE =，作FD BC ⊥，EG BH ⊥，其中,D G 为垂足，M 是线段CF 的中点，12,O O 分别为,ABG BCH ∆∆的外接圆圆心，12,O O e e 的另一交点为N ；证明：()1、,,,A B D G 四点共圆；()2、12,,,O O M N 四点共圆；11、对于任意给定的无理数,a b 及实数0r >，证明：圆周()()222x a y b r -+-=上至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．12、从集合{}1,2,,36M =L 中删去n 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是2015的因数，求n 的最小值．2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题1、若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数，这种超级平方数的个数是 ． 答案：13个．解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．2、函数y 的最大值是 ．答案：解：y ===其定义域为68x ≤≤，当6x =时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为3、直线l 过点(1,2)M ，若它被两平行线4310x y ++=与4360x y ++=所截得的线，则直线l 的方程为 ．答案：715x y +=或者75x y -=．解：设l 的方程为2(1)y k x -=-，将此方程分别与4310x y ++=及4360x y ++=联立，解得交点坐标3758,3434k k A k k --+⎛⎫⎪++⎝⎭与312108,3434k k B k k --+⎛⎫⎪++⎝⎭，据AB ==()2225(1)234k k +=+，所以17k =，217k =-，分别代入所设方程，得到715x y +=或者75x y -=．4、01sin10-= ．答案：4．解：000000000001cos101sin 30cos10cos30sin102244sin102sin10cos102sin10cos10-=⋅=sin 2044sin 20=⋅=．5x ≥的实数x 的取值范围是 ．答案：1,2⎡-⎢⎣⎦．解：用图像法：令y =此为单位圆的上半圆，它与直线y x =交点，半圆位于交点左侧的图像皆在直线y x =上方；或者三角函数代换法：因11x -≤≤，令cos ,0x θθπ=≤≤，则sin y θ=x ≥，平方得221x ≤，则x ≤，又有cos 1x θ=≥-，因此1,x ⎡∈-⎢⎣⎦．6、若实数,,0x y z ≥，且30,350x y z x y z ++=+-=，则542T x y z =++的取值范围是 []．答案：[]120,130．解：()()()542433043T x y z x y z x y z x y z =++=+++++=+++ 因()()42380x y x y z x y z +=++++-=，所以110()T y z =++，20(3)()2()x y z x y z x z =+--++=-，则10x z -=，因,x z 非负，于是10x ≥，从而由30x y z ++=知，20y z +≤，得到110()130T y z =++≤， （当0,10,20z x y ===时取得等号）再由4280x y +=，0y ≥，则20x ≤，所以3010y z x +=-≥，于是110()120T y z =++≥，（当20,0,10x y z ===时取得等号），所以120130T ≤≤． 7、在前一万个正整数构成的集合{}1,2,,10000L 中，被3除余2，并且被5除余3，被7除余4的元素个数是 ．答案：95个．解：对于每个满足条件的数n ，数2n 应当被3,5,7除皆余1，且为偶数；因此，21n -应当是3,5,7的公倍数，且为奇数；即21n -是105的奇倍数，而当{}1,2,,10000n ∈L 时，{}211,2,,19999n -∈L ，由于在{}1,2,,19999L 中，共有190个数是105的倍数，其中的奇倍数恰有95个．8、如图，正四面体ABCD 的各棱长皆为2，111,,A B C 分别是棱,,DA DB DC 的中点，以D 为圆心，1为半径，分别在面,DAB DBC 内作弧¼¼1111,A B B C ，并将两弧各分成五等分， 分点顺次为112341,,,,,A P P P P B 以及112341,,,,,B Q Q Q Q C ， 一只甲虫欲从点1P 出发，沿四面体表面爬行至点4Q ，则其 爬行的最短距离为 ．答案：02sin 42．解：作两种展开，然后比较；由于¼11A B 被112341,,,,,A P P P P B 分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为012，¼11B C 被112341,,,,,B Q Q Q Q C 分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为012，若将DBC ∆绕线段DB 旋转，使之与DAB ∆共面，这两段弧均重合于以D 为圆心，半径为1的圆周，¼14PQ 对应的圆心角为081296⨯=，此时，点14,P Q 之间直线距离为02sin 48， 若将DAB ∆绕线段DA 旋转，DBC ∆绕线段DC 旋转，使之皆与DAC ∆共面，在所得图形中，¼14PQ 对应的圆心角为071284⨯=，此时，点14,P Q 之间直线距离为02sin 42， 所以最短距离是02sin 42．二、解答题9、正整数数列{}n a 满足：2112,1n nn a a a a +==-+；证明：数列的任何两项皆互质． 证：改写条件为 11(1)n n n a a a +-=-，从而111(1)n n n a a a ---=-，等等，据此迭代得111122111111(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +--------=-=-==-=L L L ，所以，1211n n n a a a a --=+L ，因此当k n <，(,)1n k a a =．10、（25分）H 为锐角三角形ABC 的垂心，在线段CH 上任取一点E ，延长CH 到F ，使HF CE =，作FD BC ⊥，EG BH ⊥，其中,D G 为垂足，M 是线段CF 的中点，12,O O 分别为,ABG BCH ∆∆的外接圆圆心，12,O O e e 的另一交点为N ；证明：()1、,,,A B D G 四点共圆；()2、12,,,O O M N 四点共圆；证：()1、如图，设EG DF K =I ，连AH ， 则因,AC BH EK BH ⊥⊥，AH BC ⊥，KF BC ⊥，得CA ∥EK ，AH ∥KF ，且 CH EF =，所以CAF ∆≌EKF ∆，AH 与KF 平行且相等，故AK ∥HF ，090KAB KDB KGB ∠==∠=∠，因此，,,,A B D G 四点共圆；()2、据()1，BK 为1O e 的直径，作2O e 的直径BP ，连12,,,CP KP HP O O ，则90BCP BHP ∠=∠=，所以CP ∥AH ，HP ∥AC ，故AHPC 为平行四边形，进而得， PC 与KF 平行且相等，因此对角线KP 与CF 互相平分于M ，从而12,,O O M 是KBP ∆三边的中点，KM ∥12O O ，而由090KNB ∠=，12O O BN ⊥，得KN ∥12O O ，所以,,M N K 共线，因此MN ∥12O O ，又由KBP ∆的中位线知211MO O B O N ==，因此四边形12O O MN 是等腰梯形，其顶点共圆．11、对于任意给定的无理数,a b 及实数0r >，证明：圆周()()222x a y b r -+-=上至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．证：对于点(),M a b ，用(),P M r 表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点()()0,0,2,2A B ，线段AB 中垂线l 的方程为:2x y +=,今在l上取点(11M +，再取r MA ==则以M为圆心、r 为半径的圆周上至少有,A B 这两个有理点；其次说明，对于任何无理点M 以及任意正实数r ，(),2P M r ≤；为此，假设有无理点(),M a b 及正实数r ，在以M 为圆心，r 为半径的圆周上，至少有三个有理点(),i i i A x y ，,i i x y 为有理数，1,2,3i =，则()()()()()()222222112233x a y b x a y b x a y b -+-=-+-=-+- ……①据前一等号得 ()()()22221212112212x x a y y b x y x y -+-=+-- ……② 据后一等号得 ()()()22222323223312x x a y y b x y x y -+-=+-- ……③记 ()22221122112x y x y t +--=，()22222233212x y x y t +--=，则12,t t 为有理数，若120x x -=，则由②，()121y y b t -=，因b 为无理数，得120y y -=，故12,A A 共点，矛盾！同理，若230x x -=，可得23,A A 共点，矛盾！ 若12230,0x x x x -≠-≠，由②、③消去b 得，()()()()()()12231223123212x x y y y y x x a t y y t y y -----=---=⎡⎤⎣⎦有理数，因a 为无理数，故得，()()()()122312230x x y y y y x x -----=，所以32121232y y y y x x x x --=--，则 123,,A A A 共线，这与123,,A A A 共圆矛盾！因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点．于是对于所有的无理点M 及所有正实数r ，(),P M r 的最大值为2．12、从集合{}1,2,,36M =L 中删去n 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是2015的因数，求n 的最小值．答案：17．解：因201551331=⨯⨯，M 中任两个元素之和不大于71，由于2015不大于71的正因数有1,5,13,31,65，在M 的二元子集中，元素和为5的有{}{}1,4,2,3； 元素和为13的有{}{}{}{}{}{}1,12,2,11,3,10,4,9,5,8,6,7；元素和为31的有{}{}{}{}{}{}{}1,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,,15,16L ； 元素和为65的有{}{}{}{}29,36,30,35,31,34,32,33；为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数；于是在图(),()A B 中各至少要删去4个数，图(),()C D 中各至少要删去2个数，图()E 中至少删去5个数，总共至少要删去17个数．另一方面，删去适当的17个数，可以使得余下的数满足条件；例如在图()A 中删去12,30,4,22，图()B 中删去11,29,3,21，()C 中删去23,5，()D 中删去24,6，()E 中删去13,14,15,31,32．这时图中所有的线段都已被断开．(E)(D)(C)(B)(A)26582123103629。
试卷、试题—--2012年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)
2012各省数学竞赛汇集2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为___12____.6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b Cc B a +=（2）22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
2012年全国高中数学联赛、广西高一、高二数
2012年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况通报2012年全国高中数学联赛、2012年广西高一、高二数学竞赛结果已揭晓，现将我市考生获奖情况通报如下（合浦县自治区、市级奖情况由合浦教研室另行通报），请各有关学校查阅。
附件一：2012年全国高中数学联赛获奖名单附件二：2012年广西高二数学竞赛获奖名单附件三：2012年广西高一数学竞赛获奖名单北海市数学学会二O一二年十二月附件一：2012年全国高中数学联赛获奖名单全国二等奖（10名）邓亮（廉州中学）李国卫（廉州中学）何意（北海中学）林新强（北海中学）沈小英（廉州中学）唐略钧（北海中学）朱家良（北海中学）吴毓俭（北海中学）苏振杰（廉州中学）叶柏宁（北海中学）自治区三等奖（37名）黄子睿（北海中学）罗圣治（北海中学）陈天浩（北海中学）张洪瑞（北海中学）荣靖（北海中学）廖秋衡（北海中学）张峻琦（北海中学）邱凌峰（北海中学）黎昌昊（北海中学）陈思含（北海中学）冯敏（北海中学）王永健（北海中学）陈文凯（北海中学）柳炎（北海二中）陈毓（北海中学）李世科（北海七中）伍开庆（北海七中）欧业宝（南康中学）李晓东（国发高中）周蒲淞（北海七中）周子民（北海二中）陈汉南（北海七中）江基政（北海七中）阮永林（北海七中）陈凤（南康中学）陈德康（南康中学）何德焱（北海七中）苏永宝（北海七中）谭燕玲（南康中学）谭维仁（北海七中）林兆铭（北海七中）冯钻（北海二中）张宝森（北海二中）苏小玲（北海五中）欧祥华（南康中学）罗翠（国发高中）邓振玲（国发高中）北海市三等奖（7名）钟德明（南康中学）李建钊（南康中学）罗勉（北海二中）郑朝仁（北海五中）李豪（北海五中）黄居岸（北海五中）杨萍（北海九中）附件二：2012年广西高二数学竞赛获奖名单自治区一等奖（17名）何丹昀（北海中学）黄锟（北海七中）蔡丽蓉（南康中学）叶愈林（北海中学）李泽受（北海中学）卜兴淳（北海中学）何泽维（南康中学）龙恒（北海中学）苏显东（北海中学）赖柏君（北海中学）邱天怡（北海七中）赖雄健（北海中学）刘颖（北海七中）李世靖（北海七中）裴耀建（北海中学）毛远华（北海中学）李艳鸿（国发高中）自治区二等奖（17名）颜以伦（北海中学）钟云肖（北海中学）周志杰（北海七中）伍新奎（北海中学）张义伦（北海中学）何文栋（北海中学）钟世军（北海五中）周业程（北海九中）陈明莉（北海七中）黄裕凯（北海七中）朱定诚（北海七中）李霖（南康中学）王天（北海七中）张正杰（北海七中）李小凤（北海五中）叶佳朋（北海二中）谢小琴（北海七中）北海市三等奖（13名）徐晖（北海五中）谭大坚（北海七中）雷朝锦（北海二中）叶明澣（北海九中）吴静（北海七中）林飞鹏（北海七中）蒋义琪（北海中学）冯月升（北海二中）张钦文（北海二中）梁振美（北海二中）利健霖（北海二中）潘小芳（北海五中）石夏榆（国发高中）附件三：2012年广西高一数学竞赛获奖名单自治区一等奖（40名）韦俊宝（北海中学）黎佳旻（北海中学）黄耀慷（北海中学）张俊滔（北海中学）邹玥虹（北海中学）蒋睿阳（北海中学）王静（北海中学）覃滢澜（北海中学）梁锋（北海中学）檀经考（北海中学）韩永平（北海九中）徐善斌（北海九中）原森（国发高中）罗诗岚（北海中学）杜佩钊（北海中学）郑蕾（北海七中）廖琼华（北海七中）颜大雄（北海中学）陈科涵（北海中学）张子吟（北海中学）黄启雯（南康中学）姚瑶（北海中学）周琳（北海中学）李世杰（北海七中）杨阳川（北海中学）姜明君（国发高中）赵一柽（北海中学）苏宇宙（国发高中）苏囿清（北海七中）林益民（北海中学）王心月（北海中学）杨有杰（北海七中）吴剑新（北海中学）廖伯龙（南康中学）刘泰成（南康中学）刘亚侃（北海二中）冯歆骅（北海中学）庞远雯（北海中学）程帅钦（北海七中）陈雪权（北海七中）自治区二等奖（42名）陈逸衡（北海中学）苏玮钊（北海中学）焦梦晓（北海七中）谭东海（北海七中）姚燕坤（北海七中）苏小红（北海二中）林荣海（北海二中）米诗烨（北海中学）李嘉雪（北海七中）秦文芳（北海二中）李子睿（北海中学）毛宏文（国发高中）熊昊（北海七中）庞万里（北海七中）吴信杰（北海七中）何营强（北海七中）李聪（南康中学）刘美伶（北海中学）于川（北海七中）黄振旺（北海七中）黄开潇（北海二中）陈聪（北海二中）莫谭秋（北海中学）陈海林（北海七中）陈思靖（北海中学）黄茂庭（北海中学）关安琪（北海七中）张运琳（北海七中）张德建（南康中学）陈虹（北海二中）陈岳（北海中学）李显明（北海七中）潘能毅（北海七中）廖栩笛（北海七中）林燕丽（北海七中）黎洪敏（南康中学）李佳欣（北海二中）姚逸凡（北海二中）顾祖瑶（北海中学）杨紫薇（北海七中）张智强（北海二中）吴辰涛（北海七中）北海市三等奖（23名）袁乔星（北海七中）毛自敏（北海中学）杨雅茹（北海中学）刘海意（北海九中）林庆文（北海二中）何皓（北海中学）赵夏苓（北海中学）邹佩珊（北海七中）黄安民（北海七中）曹子茵（北海七中）宋昊澄（国发高中）黄长浩（北海九中）林志娟（北海二中）陈剑辉（北海二中）曾全波（北海五中）吴丽华（北海七中）林美红（北海二中）毕怡（北海二中）林起明（北海中学）黄启明（北海二中）廖娇（北海九中）黎锐敏（北海七中）苏源君（北海七中）。
2012年全国高中数学联赛(江西赛区)获奖名单
2012年全国高中数学联赛（江西赛区）获奖名单姓名所在学校姓名所在学校一等奖（46名）车希明南昌大学附属中学肖敬松抚州市临川二中汪昱东南昌大学附属中学徐鹏昊抚州市临川二中乐慧南昌大学附属中学何雅欣抚州市临川二中周心涵江西师大附属中学周舟鹰潭一中杨博文江西师大附属中学张伟万年中学胡浩江西师大附属中学何杭峰婺源县天佑中学汪鸿锋江西师大附属中学童羽强玉山一中李金俊江西师大附属中学董阳洋鄱阳中学郑蔚宇江西师大附属中学邹玉鑫高安中学胡一凡江西师大附属中学周昕博吉安一中谢睿江西师大附属中学邹涵博吉安一中彭跃华江西师大附属中学李亮德吉安一中杨航远南昌二中龙阳祺吉安一中黎爱迪南昌二中蒋昱航新干中学章俊彦南昌十中谭裔泉赣县中学祖超新建二中郭长鹏吉安市白鹭洲中学陈鹏飞抚州市临川一中翟宇同景德镇一中陈章鑫抚州市临川一中余德钧景德镇一中王展鸿抚州市临川一中侯智健景德镇一中熊昊楠抚州市临川一中王新秀景德镇二中邹旭光抚州市临川二中蒋峥景德镇二中江相华鹰潭一中汪裕洲景德镇二中汤小涛鹰潭一中何声江西省萍乡中学二等奖（131名）张乐怡南昌大学附属中学肖子彤九江市第一中学李智禹南昌大学附属中学叶卓九江市第一中学袁浩南昌大学附属中学曹石炜九江市同文中学王竞成南昌外国语学校叶子豪九江市第一中学张海南昌外国语学校江思强九江市第一中学徐华韬江西师大附属中学曹奕晖万年中学胡家昊江西师大附属中学余奇万年中学白韡江西师大附属中学邵厚记乐平中学陈奕新江西师大附属中学周天洋上饶中学黄沄江西师大附属中学王俊瑜上饶县中学郭世捷江西师大附属中学郑煜明横峰中学陈际宇江西师大附属中学王长浩玉山一中江松江西师大附属中学陈煦玉山一中熊一帆江西师大附属中学杨雨濛横峰中学熊尉坤江西师大附属中学苏凯横峰中学张臻宸江西师大附属中学周围婺源县紫阳中学涂文涛南昌二中毕洪青婺源县天佑中学史斌华南昌二中江旭东婺源县天佑中学涂琰南昌二中程国根婺源县天佑中学张紫中南昌二中李观华婺源县紫阳中学徐可南昌二中黎强江西省宜春中学黄炜琛南昌十中叶成骥江西省大余中学邝明南昌十中黄昀辉江西省上高二中陈智杰新建一中陈长建江西省上高二中熊一远新建二中蔡明江西省宜丰中学何康进贤一中王鑫江西省宜丰中学周凯茂九江市第一中学李奇江西省丰城中学陈忞九江市第一中学张威东江西省丰城中学张梦琪江西省高安中学刘文江西省高安中学简炼江西省高安中学张传蔚吉安一中付佳伟江西省高安中学王怀瑾吉安一中谌宇翔江西省高安中学廖晨霏吉安一中兰敏琪江西省高安中学何川吉安一中刘宛星高安市第二中学傅洁洋吉安一中何思磊高安市第二中学刘红兵吉安一中吴旭抚州市临川一中饶云博吉安市白鹭洲中学林明慧抚州市临川一中刘艺璁吉安市白鹭洲中学赵霄抚州市临川一中李镜明吉安市白鹭洲中学熊博抚州市临川一中张传玉吉安市白鹭洲中学杨少栋抚州市临川一中李鹏新干中学刘赛抚州市临川一中李敏阳新干中学万吉林抚州市临川一中龙帆吉安县立中学程烟抚州市临川一中彭鹏吉安县立中学万宇翔抚州市临川一中邱榆清赣州中学刘光宇抚州市临川一中叶昌阳赣州中学吴绍佳抚州市临川一中叶振华赣州中学郑铉抚州市临川一中聂世琳赣州市第三中学胡宁宇抚州市临川二中马誉高江西省信丰中学王轶抚州市临川二中兰昱江西省信丰中学吴端洁抚州市金溪一中董政轩江西省南康中学刘修君江西省瑞金第一中学全启蒙景德镇一中刘熹吉安一中张建强景德镇一中钟晶安远县第一中学黄鹏飞景德镇二中欧阳扬安远县第一中学杨馨玥景德镇二中叶曦安远县第一中学刘文辉景德镇二中王嘉伟景德镇一中张泽宇景德镇二中吴泽浩景德镇一中罗怡悦鹰潭一中吴宇飞景德镇一中彭思胧鹰潭一中杨盛景德镇一中李如冰鹰潭一中陈书洁景德镇一中戴国梦鹰潭一中曹文博景德镇一中刘雨璇贵溪一中江文浩景德镇一中彭彦景新余市第四中学祝英杰景德镇一中贺林江西省莲花中学陈付恺景德镇一中刘驰新干中学徐正单景德镇一中三等奖（249名）胡文凯南昌大学附属中学胡金晶新建县一中喻历明南昌大学附属中学徐子昀新建县一中张蒙南昌大学附属中学谈超鹏新建二中余鹏南昌外国语学校熊待峰新建二中杨杰南昌外国语学校谌冲新建二中缪洋江西师大附属中学杨敏南昌县莲塘一中周思昊江西师大附属中学谌聪南昌县莲塘一中李旺江西师大附属中学谢星星进贤一中童乐棋江西师大附属中学李敏九江市第一中学魏鹏宇江西师大附属中学李天翊九江市第一中学陈鹏江西师大附属中学周明九江市第一中学曾姜杰江西师大附属中学熊静逸九江市第一中学黄天昊江西师大附属中学刘启元九江市第一中学徐炀炀江西师大附属中学夏轩九江市第一中学魏正威江西师大附属中学姜来九江市第一中学周博伦江西师大附属中学施正阳九江市同文中学万宇驰南昌二中丁代欣九江市同文中学郭志强南昌二中罗序凯都昌县第一中学王厚鑫南昌二中黄磊都昌县第一中学杨中仪南昌二中韩乐明修水县琴海学校潘曦宇南昌二中曹晟都昌县第一中学吴双南昌二中熊渊朴上饶市一中饶知非南昌二中廖译群上饶市一中刘怡慧南昌十中杨川上饶中学卢振元南昌十中郑迵之上饶中学王逸哲南昌十中程震上饶县中学曹文刚新建县一中肖正杰上饶县中学陈峰玉山一中甘世康上饶县中学饶旭东玉山一中杨游江西省高安中学童刘奕玉山一中刘志成江西省高安中学刘旋恺玉山一中金楠江西省高安中学孙云坡玉山一中李伟豪江西省高安中学汤俊杰万年中学罗尉江西省高安中学蔡佳文万年中学熊阳武高安市第二中学王峻万年中学吴横淼高安市第二中学李可欣万年中学肖鑫高安市第二中学王可万年中学卢慧洋江西省宜丰中学刘凯万年中学邢雨锟江西省宜丰中学张世红万年中学邬玮晗江西省宜丰中学何隽鹏万年中学周晨星江西省丰城中学张乐华余干中学肖杰明江西省丰城中学余学辉余干中学邹志文江西省丰城中学余学辉余干中学鄢锦涛江西省丰城中学张师镖余干中学金文强江西省丰城中学危江川弋阳县一中李逸恒江西省丰城中学蔡伟康铅山一中徐旭东江西省丰城中学章期文婺源县天佑中学柳宜芳江西省宜春中学胡靖远江西省高安中学钟祥林江西省宜春中学余可心江西省高安中学徐小东江西省樟树中学杨阳江西省高安中学陈世伦江西省樟树中学陈佳敏江西省高安中学南阳江西省樟树中学黄紫薇江西省高安中学熊航樟树中学欧阳熠江西省高安中学舒胜全靖安中学彭曦江西省高安中学丁林根江西省万载中学周安平江西省高安中学王烨廷奉新一中涂志飞抚州市崇仁一中洪俊抚州市临川一中潘振宇抚州市崇仁一中王文抚州市临川二中祝海杰抚州市崇仁一中朱光轩抚州市临川一中邱臻瑜抚州市南城一中周宝峰抚州市临川二中胡俊伟抚州市南城一中罗赖昊抚州市临川二中吴斌抚州市南城一中徐思航抚州市临川二中何川抚州市南城一中胡洪焜抚州市临川二中饶聪抚州市金溪一中胡斯特抚州市临川二中王洋洋抚州市乐安一中敖维抚州市临川二中张杨凡抚州市抚州一中过悦康抚州市南丰一中乐雨田抚州市东乡一中陈熙吉安市白鹭洲中学洪传旺抚州市临川一中彭昆福吉安市白鹭洲中学罗昆抚州市临川一中黄璜吉安市白鹭洲中学黄润乾抚州市临川一中王龙泉吉安市白鹭洲中学宋琦琪抚州市临川一中覃宇吉安市白鹭洲中学官兵兵抚州市临川一中王子菡吉安市白鹭洲中学廖志航抚州市临川一中龚新吉安市白鹭洲中学李婷抚州市临川一中朱彦修吉安市白鹭洲中学黄紫衡抚州市临川一中刘鹏华吉安市白鹭洲中学陈章兵抚州市临川一中刘永聪新干中学王梓如抚州市临川一中黄长安新干中学陈天抚州市临川一中胡志涛新干中学邹丽欣新干中学宋俊霖江西省瑞金第一中学曾梓藩新干中学刘亿江西省瑞金第一中学蔡天玥吉安一中罗驿江西省瑞金第一中学李振鸿吉安一中王永兴兴国平川中学匡载波吉安一中刘炫宇兴国县第一中学刘杰吉安一中曾昕江西省于都中学龚泽惠吉安一中胡伟龙江西省于都中学王文琪吉安一中廖伟江西省南康中学李达义吉安一中叶恢辉江西省信丰中学廖静峡江中学胡杨瑞昌市第二中学赵乘水遂川中学岳文骏鹰潭一中彭喆峡江中学蔡正煌鹰潭一中李伟杰永丰中学张雪明鹰潭一中刘芳芳吉水中学周贤鹰潭一中王建东赣州中学徐涵晨鹰潭一中涂倩赣州中学谢子颖鹰潭一中鲁凯赣州中学夏煜鹰潭一中毛谢阳赣州中学江珍珍鹰潭一中戴士修赣县中学桂勇超余江一中王志赣县中学汤泽勋余江一中朱磊赣县中学艾昭琳余江一中李泉赣州市第三中学艾昭琳余江一中廖利群赣州市第三中学易鸿林余江一中兰伟钦安远县第一中学王浩贵溪一中欧阳晨安远县第一中学周安心贵溪一中廖贵金安远县第一中学徐凯仁贵溪一中赖华山安远县第一中学汪雨轩贵溪一中钟小阳安远县第一中学邓俊辰德兴铜矿中学廖睿雯景德镇一中项钰珂景德镇二中项冲景德镇一中施嘉韡景德镇二中邱丰懿景德镇一中徐妙杰景德镇二中吴佳铭景德镇一中林文丰景德镇二中曹晟彬景德镇一中方梦坤浮梁一中陈浩景德镇一中王瑞灯乐平中学陈浩景德镇一中吴志伟景德镇一中周树杰景德镇一中黄林涛景德镇一中陈沛然景德镇一中谢佳鑫江西省萍乡中学刘宇邦景德镇一中张子帆江西省萍乡中学许君彦景德镇一中李杭锴江西省萍乡中学章安璃景德镇一中刘意萍乡市上栗中学张泽伟景德镇一中周雄萍乡市上栗中学梁瑾源景德镇一中唐威萍乡市芦溪中学张宇伟景德镇一中黄玮新余市第一中学干昊宇景德镇一中李孟栖新余市第一中学黄锦锋景德镇一中张洵新余市第四中学韩清杨景德镇一中刘鑫新余市第四中学李坤景德镇一中吴敏敏新余市第四中学刘乾昊景德镇一中帅凯鄱阳一中段旭辉鄱阳县博文中学。
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１． 设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ．解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- ２． 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan A B的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb ac A A B ca b ac b c a B B A b c a c b +-⋅+-=====+-+-⋅. ３．设,,[0,1]x y z ∈，则M=.解:不妨设01,x y z≤≤≤≤则M=所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M = 4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．解:如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解:由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）解:用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14kP ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。
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2012年全国高中数学联合竞赛(江西赛区)预赛获奖名单
各学校：
2012年全国高中数学联合竞赛(江西赛区)预赛于2012年9月23日在南大附中举行，现将我市获奖情况公布如下，凡获得二等奖（含二等奖）以上的同学，同时获得参加2012年10月14日（星期日）的决赛资格
一等奖
学校姓名年级江西师大附中胡一凡高三江西师大附中谢睿高三江西师大附中胡浩高三江西师大附中杨博文高三江西师大附中熊尉坤高三南昌大学附中汪昱东高三南昌大学附中乐慧高三南昌大学附中车希明高三江西师大附中白韡高三南昌二中涂文涛高三南昌外国语学校王竞成
江西师大附中陈际宇高三南昌县莲塘一中江金发高三江西师大附中周心涵高三南昌县莲塘一中罗刚高三江西师大附中汪鸿锋高三南昌三中杨晨高三南昌县莲塘一中涂俊高三南昌二中杨航远高一江西师大附中李金俊高三南昌二中陈子轩高三南昌二中史斌华高三江西师大附中熊一帆高三进贤一中谢星星高三江西师大附中邬军高二江西师大附中江松高三江西师大附中周思昊高二
学校姓名年级
南昌县莲塘一中喻祥敏高三
江西师大附中邹飞善高三
江西师大附中魏际维高三
江西师大附中胡家昊高三
南昌大学附中张乐怡高三
江西师大附中胡恩文高二
南昌外国语学校万直上
南昌外国语学校杨杰
南昌县莲塘一中杨敏高三
江西师大附中杨欢高二
江西师大附中缪洋高三
南昌大学附中李智禹高三
南昌县莲塘一中邹金伟高三
江西师大附中童乐棋高三
江西师大附中唐博浩高三
新建二中谌冲高三
江西师大附中徐炀炀高二
南昌县莲塘一中黄豪豪高三
江西师大附中黄沄高三
南昌二中徐可高三
江西师大附中陈奕新高三
南昌十中刘怡慧高二
安义中学杨城斌高三
南昌外国语学校杨文涛
南昌二中熊择正高三
南昌县莲塘一中吴天昊高三
南昌外国语学校余鹏
二等奖
学校姓名年级江西师大附中郑蔚宇高三进贤一中邬文亮高三江西师大附中黄天昊高二江西师大附中邓曲奇高三学校姓名年级南昌大学附中胡一文高三江西师大附中魏岭北高三江西师大附中徐浩岚高三南昌十中章俊彦高二
南昌县莲塘一中杨彰昭高三江西师大附中张臻宸高三南昌二中赵磊高三南昌十中李昌华高二南昌大学附中刘庆高三南昌大学附中周自超高三南昌外国语学校许悦
南昌二中骆明远
江西师大附中谢洪乐高二南昌县莲塘一中陈馨怡高三江西师大附中魏正威高三江西师大附中郭世捷高三南昌二中田润高三南昌大学附中黄雨昕高三南昌二中喻含笑高三江西师大附中彭跃华高三南昌二中郑蔡云高一江西师大附中徐华韬高三进贤一中何康高三南昌二中蔡钰芸高三南昌十中黄炜琛高二安义中学吴俊高三江西师大附中李旺高二南昌二中周豪高三南昌外国语学校吴凡
南昌二中郭志强高一南昌外国语学校刘心宇
南昌县莲塘一中邹俊诚高三南昌县莲塘一中伍信高三江西师大附中王裕康高三江西师大附中曾姜杰高三南昌大学附中张蒙
南昌外国语学校张海
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