几何基本图形分析法探索
初中几何基本图形分析法：第六讲直角三角形斜边上的中线
第六讲直角三角形斜边上的中线基本图形：图形性质：△ABC中，∠ACB=90°AD=BD<=>CD=AD=AB，AD=BD<=>∠DCA=∠DAC，∠BDC=2∠DAC，应用条件：出现了直角三角形斜边的中点，添线方法：添加直角三角形斜边上的中线，难度：★★权重：★★★应用条件：出现了线段之间的倍半关系，且倍线段是一个直角三角形的斜边，添线方法：取斜边的中点，再添加直角三角形斜边上的中线，难度：★★★★权重：★★★应用条件：出现了一个等腰三角形的底边再一个直角的直角边上，添线方法：将等腰三角形的一条腰延长到与另一条直角的边相交，难度：★★★★★★权重：★★★★★应用条件：出现了由线段的中点发出的两条相等线段，添线方法：将相等线段中的一条延长一倍后，联结成直角三角形斜边上中线的基本图形，难度：★★★★★★权重：★★例1，已知：△ABC中，∠ACB=90°，延长AB到D，AB=2CD，过D作DE∥CA交CB的延长线于E．求证：∠CDE=3∠ADE，分析：本题的条件中给出了AB=2CD，是两条线段之间的倍半关系，又因为∠ACB=90°，所以其中的倍线段AB就是直角△ABC的斜边，从而可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明，这是本题的第一个关键思维节点，就是由出现的两条线段之间的倍半关系，且的倍线段是一个直角三角形的斜边，就要想到应用或添加直角三角形斜边上的中线的基本图形进行证明，添加的方法就是将直角三角形斜边上的中线添上，由于图形中是有直角三角形而没有出现斜边上的中线，所以应将斜边上的中线添上，也就是取AB的中点F，联结CF，就可得AB=2CF，由条件AB=2CD，就有CD=CF，这是两条具有公共端点C的相等线段，它们可组成一个等腰三角形，应用等腰三角形的性质可得∠CDF=∠CFD，这是本题的第二个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要应用等腰三角形的性质进行证明，而由直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质又可得∠CFD=2∠BAC，所以∠CDF=2∠BAC，又因为ED∥CA，这两条平行线可以看作是被AD所截，∠EDA和∠BAC是一组同位角，所以可应用与同位角有关的平行线的基本图形进行证明，所以∠EDA=∠BAC，∠CDA=2∠EDA，从而就可得∠CDE=∠CDA+∠EDA=3∠ADE.例2，已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，AD⊥BC垂足是D，E是BC的中点．求证：DE=AB，分析一：本题给出了条件AD⊥BC，而要证明的结论DE=AB是两条线段之间的倍半关系，且其中的倍线段AB是直角△ABD的斜边，所以就可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明，现在图形中是有直角三角形，而没有斜边上的中线，于是要将斜边上的中线添上，这是本题的第一个关键思维节点，就是由出现的两条线段之间的倍半关系，且的倍线段是一个直角三角形的斜边，就要想到应用或添加直角三角形斜边上的中线的基本图形进行证明，添加的方法就是将直角三角形斜边上的中线添上，也就是取AB的中点F，联结DF，可得DF=AB，从而问题就转化成为应证DF=DE，而由所作的F是AB的中点和条件中给出的E是BC的中点，出现了两个中点，是多个中点问题，从而可应用三角形的中位线的基本图形的性质进行证明，这是本题的第二个关键思维节点，就是由出现的两个中点，是多个中点问题，从而想到可应用三角形的中位线的基本图形的性质进行证明，由于中点E、F所在线段BC、BA有公共端点B，可以组成三角形，所以E、F这两个中点的连线就是三角形的一条中位线，但现在图形中是有三角形而没有中位线，从而需将中位线添上，也就是联结EF，可得EF∥CA，这就是具体的添线方法，现在我们要证的性质是DF=DE，是两条具有公共端点D的相等线段，就可以组成一个等腰三角形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，又因为E、D、B成一直线，图形中出现了这个要证明的等腰三角形的顶角的外角，所以要证明DE=DF，就可以转化成要证它的等价性质∠FDB=2∠FEB，这是本题的第三个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要应用等腰三角形的性质进行证明，又因为由直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质，可得FD=FB，∠FDB=∠FBD，而由条件∠ABC=2∠ACB，所以问题就成为要证∠ACB=∠FEB，由于这两个角是FE、AC被BC所截得到的同位角，所以可应用与同位角有关的平行线的基本图形进行证明，由于已证EF∥CA，所以分析可以完成。
提高学生几何解题能力的探索
学 中注 意引导学 生归纳 、总结一 些 “ 基本 图形 ”及其结论 ，有 妨 引导学 生总结一 下都 － Ａ用哪 些知识解 决 问题 ，可 以有哪 些 ｑ￣ ． 了这些 知识的积 累 ，学生 在解题 时可 以很 快找 出解决 问题 的突 方 法解 决 问题 ．具 体 作 法 可 以 有 以 下 几种 ：
时是否还有 Ａ Ｅ等 于 Ｂ ？ Ｄ
Ｅ
Ｅ
Ｅ Ｇ 的形状 ，那 么它 的价 值 将远 ＦＨ
远 没有 体 现 出来 ．我在 此基 础 上又
设 计 了 以下 问 题 ：
变式 一 ：点 、Ｆ 、Ｈ分别是一 任意 四边形 Ａ Ｃ 的中 、Ｇ ＢＤ 点 ，四边形 Ｅ Ｇ Ｆ Ｈ是什么样 的四边形？ 变式二 ：若将题 目中的条件 “ 任意四边 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ”改 为 “ 矩 形 Ａ Ｃ ，则 四边 形 Ｅ Ｇ 将 有 何 变 化 ？ 改 为 “ 腰 梯 形 Ｂ Ｄ” ＦＨ 等 ＡＢ Ｄ 呢？改为 “ Ｃ” 菱形 ＡＢ Ｄ Ｃ ”呢？ 思考 ：当四边形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ满足条件
曹庆 丰 （ 南省安 阳市第三 十 三 中学） 河
在 初 中数 学 的学 习中 ，几何 问题一 直 是许 多 学 生 的 “ 软 肋” ，他们面对令人 眼花缭乱的几何图形 、繁杂多变 的条件 ，往
二 、 坚 持解 题 后 对 题 目进 一 步 挖 掘 和 引 申
在学生解完 题之后要 进一步 引导再 回味和引 申，对 题 目做 开
１ ．改 变题 目条 件
图 ２
使用教材 ”的指导思想是背道而驰的．我们应该 注意 到近几年许 多地 市的 中考题 是 由课本 上的例题 、习题 改编过来 的 ，因此 在
变式一 ：如果正三 角形换成正方形 （ 图 ３ ，Ａ 如 ） Ｅ等于 Ｂ Ｄ
高等数学教材解析几何
高等数学教材解析几何解析几何是高等数学中的一门重要学科，它是研究平面和空间中几何图形的性质和变换规律的数学分支。
作为高等数学教材的内容之一，解析几何既深刻又具体地描述了几何问题，并通过数学方法进行分析和求解。
本文将对高等数学教材中的解析几何进行详细解析，为读者解释其基本概念、常用方法以及应用场景。
1. 直线与平面在解析几何中，直线和平面是两个基本的几何要素。
直线可以通过方程、向量等方式表示，而平面则可以由点和法向量确定。
在教材中，我们学习了直线和平面的基本性质，并能够应用它们解决实际问题，比如求直线与平面的交点、直线在平面上的投影等。
2. 向量与坐标向量是解析几何的重要工具，它可以表示从一个点到另一个点的位移。
在高等数学教材中，我们学习了向量的定义、运算法则以及坐标表示方法。
通过向量，我们可以更加直观地理解几何图形之间的关系，并可以通过向量的性质进行证明和推导。
3. 直线与曲线的方程直线和曲线在解析几何中经常出现，并且可以通过数学方程进行表示。
对于直线而言，我们学习了直线的点斜式、截距式等不同的表示方法，并能够根据给定条件求出直线的方程。
而对于曲线，我们掌握了圆、椭圆、抛物线、双曲线等常见曲线的方程，并能够分析其性质和特点。
4. 空间几何与立体图形除了平面几何外，解析几何还包括了空间几何的内容。
在高等数学教材中，我们学习了空间中点、直线、平面的位置关系以及其方程表示。
此外，我们还研究了立体图形的性质，比如球、圆柱、锥体等，并能够通过解析几何的知识进行计算和推导。
5. 解析几何的应用解析几何不仅仅是一门抽象的数学学科，它也有着广泛的应用场景。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，解析几何都扮演着重要的角色。
通过解析几何的方法，我们可以分析和解决各种实际问题，比如物体的运动轨迹、工程结构的设计等。
总结起来，解析几何是高等数学教材中的一门重要学科，它通过数学方法来研究和解决几何问题。
通过学习解析几何，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和变换规律，并能够将其应用于实际问题的求解中。
课题：四边形专题——探索型问题教案
课题：四边形专题——探索型问题一、教学设计思考在数学课程标准中指出：“数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
”所以数学专题课同样要面向全体学生，要使各层次的学生对数学基础知识、基本技能和基本思想方法的掌握程度均有所提高，还要使尽可能多的学生形成较强的综合能力、创新意识和实践能力。
二、教材分析：本节课是九年制义务教育课程标准新教材八年级第二学期第四章的内容。
四边形和三角形一样，是基本的平面图形，是空间与图形部分的重要组成部分，平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的区别与联系对灵活的掌握及运用四边形的知识起着重要的作用。
特殊平行四边形概念、性质与判定是学好本章的关键，也是为学好整个平面几何打下一个坚实的基础，是本章的教学重点．与基本图形（矩形、菱形、正方形、三角形）的概念、性质及其相互关系随之而来的是几何证明，本节课的目的就是通过一组探索型问题的训练，掌握三角形、矩形、正方形之间的联系，能根据已知条件探索发现与之相应的结论．培养学生归纳、总结的能力，发展学生的合情推理能力，进一步学习有条理的思考与表达，理解推理与论证的基本过程，建构严谨的思维模式，树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。
三、学情分析：授课对象是八年级的学生，经过两年实验几何的学习、近一年论证几何的探索，学生已基本掌握了平行、垂直、相交、三角形等相关知识，并且有了一定的合情说理能力，经过学习，学生已经基本掌握了平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及它们的判定，但是对一些探索型问题掌握得还不是很好。
教学目标：1．使学生能根据已知条件探索发现与之相应的结论．2．学生根据已知条件进行合情推理得出结论，培养积极思维，勇于创新的精神和能力.3．通过探究过程，使学生体会数学知识间的内在联系，培养学生周密分析，严格论证的意识和能力，培养学生的合作意识和交流能力．教学重点：根据条件探索相应的结论.教学难点：寻求准确探索问题结论的方法.教学方式：学生探究与教师引导相结合．教学手段：多媒体计算机、实物投影仪.教学过程：一、创设情景、激发兴趣．上节课我们学习了“探索型问题”中的探索条件型的有关问题, （课件展示学生课间研究问题时的照片）在课间时我在四班看到有几个学生在研究以下两道习题，并问我它们还都属于“探索条件型”的问题吗？现在我们三班同学思考解答一下这两道题，并回答它们应该属于什么类型呢？活动一：自主学习，组织学生分析回答．（课件演示习题）1．如图1，已知，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB ,若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是___________．图1 图2 2．．在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，以AD 、BD 为边做平行四边形ADBF 。
小学数学几何图形知识点解析
（小学数学几何图形知识点解析）一、引言在小学数学教育中，几何图形是一个重要的知识点，它涉及到形状、大小、位置关系等基本概念，对于培养学生的空间观念和思维能力具有重要的作用。
本文将从多个角度解析小学数学几何图形的知识点，帮助教师更好地指导学生学习，同时提高学生的数学素养。
二、知识点解析1.认识基本几何图形在小学阶段，学生需要认识一些基本的几何图形，如长方形、正方形、三角形、圆形等。
这些基本图形的形状、大小、位置关系等概念是学习其他几何知识的基础。
在教学中，教师可以通过实物展示、图片展示、模型演示等方式，帮助学生形成直观的认识。
2.测量几何图形的相关概念测量几何图形的相关概念包括长度、宽度、高度、周长、面积等。
这些概念是几何学的基础，也是学生需要掌握的基本技能。
在教学中，教师可以引导学生使用测量工具（如直尺、卷尺、量角器等）进行实际测量，培养学生的动手能力和观察能力。
3.几何图形的基本性质几何图形的基本性质包括对称性、平移性、旋转性等。
这些性质是理解其他几何知识的基础，也是培养学生空间观念和思维能力的重要内容。
在教学中，教师可以引导学生通过观察、比较、分析等方法，发现不同几何图形的性质，提高学生的观察能力和分析能力。
4.几何图形的位置关系几何图形的位置关系包括平行的性质、垂直的性质、三角形的高和底等。
这些概念是解决实际问题的基础，也是培养学生空间观念和空间想象能力的重要途径。
在教学中，教师可以引导学生通过观察、实践等方法，理解不同位置关系的特点，提高学生的空间想象能力和解决问题的能力。
三、教学方法与策略1.实物展示法：通过展示实物或模型，让学生直观地认识几何图形的基本形状和性质。
2.实践操作法：引导学生通过实际操作（如测量、折叠、剪切等）来理解和掌握几何图形的相关概念和性质。
3.问题引导法：教师可以通过提出一系列问题，引导学生逐步理解和掌握几何图形的相关概念和性质。
4.小组合作法：鼓励学生以小组形式进行合作学习和探究，通过交流和讨论来加深对几何图形的理解和掌握。
解析几何的基本概念
解析几何的基本概念解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究几何图形的性质和关系，利用代数方法分析和解决几何问题。
本文将深入探讨解析几何的基本概念，包括直线、曲线、距离和角度等内容。
1. 直线与曲线直线是解析几何中最基本的图形，它由一组满足线性方程的点组成。
一般来说，直线可用一元一次方程表示，例如 y = kx + b，其中 k 和 b分别为直线的斜率和截距。
通过斜率可以判断直线的倾斜程度，当斜率 k 为正时，直线向右上方倾斜；当 k 为负时，直线向右下方倾斜；当 k 为零时，直线为水平线；当 k 为正无穷大或负无穷大时，直线为竖直线。
曲线是指不是直线的图形，常见的曲线有抛物线、椭圆、双曲线和圆等。
抛物线是一种 U 形的曲线，其方程通常形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 分别为抛物线的参数。
椭圆是一种类似于“椭圆形” 的曲线，它的方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
双曲线则是两个分离的曲线，其方程为 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
圆是一种具有对称性的曲线，其方程为 (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心的坐标，r 为半径。
2. 距离和角度在解析几何中，距离是指两点之间的长度。
当给定两个点的坐标(x1, y1) 和 (x2, y2) 时，可以利用勾股定理计算两点之间的距离。
距离公式如下所示：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]除了距离，解析几何中的另一个重要概念是角度。
角度用于衡量两条线段之间的夹角。
常见的角度单位有度和弧度。
在解析几何中，角的度数可用三角函数来表示，例如正弦、余弦和正切等。
例如，当给定一个角 A 时，可以通过正弦函数的值计算其正弦值 sin(A) = 对边/斜边。
3. 平面与空间解析几何研究的对象可以是平面或空间中的图形。
平面是指二维的空间，其中的点由两个坐标（x，y）确定。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形和其性质。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常见图形以及解析方法，帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、基本概念在空间解析几何中，我们使用坐标系来描述点、直线、平面等几何对象。
一般常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
直角坐标系中，我们使用三个坐标轴x、y、z来确定一个点的位置。
柱面坐标系中，我们使用极坐标和一个垂直轴来确定一个点的位置。
通过坐标系，我们可以得到点的坐标、距离和角度等信息。
二、常见图形1. 点：空间中的一个点可以通过其坐标表示。
例如，点A(2,3,4)表示空间中的一个点，它的x坐标为2，y坐标为3，z坐标为4。
2. 直线：空间中两个不重合的点可以确定一条直线。
直线可以用参数方程、对称式、一般式等形式表示。
3. 平面：平面是由三个不共线的点所确定的。
平面可以用一般式、点法式等形式表示。
4. 球：由空间中的一个固定点和到该点距离等于定值的所有点构成的集合称为球。
5. 圆柱体：由一个闭合的曲线和平行于该曲线的直线段所围成的曲面称为圆柱体。
圆柱体可以通过其底面半径、高和母线方程等参数表示。
三、解析方法在空间解析几何中，我们可以使用向量、点法式、平面截距式等方法来求解各种几何问题。
1. 向量：向量是空间解析几何中一个重要的工具。
它可以用来表示线段、直线的方向和长度等信息。
通过向量，我们可以进行向量加法、减法、内积、外积等运算，用来求解直线的夹角、垂直平分线等问题。
2. 点法式：点法式是求解平面方程的一种方法。
它通过平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
利用点法式，我们可以求解平面的交点、两平面的夹角等问题。
3. 平面截距式：平面截距式可以用来表示平面上与坐标轴相交的三个截距，通过截距可以确定平面的位置和方程。
我们可以利用平面截距式来求解平面的方程、直线与平面的交点等问题。
通过以上的解析方法，我们可以将空间解析几何中的各种问题转化为代数方程或方程组求解，从而得到几何图形的性质和关系。
浅谈如何利用作图来分析并解决几何问题
浅谈如何利用作图来分析并解决几何问题近几年渐渐淡化了尺规作图的直接考查，但是利用作图解决实际问题、几何问题，却不断出现在中考试卷中。
当然，在我们的教学过程中，不难发现一些用直接推理难以说明清楚，但是通过作图，却可以帮我们直观地解决。
在探究等腰三角形的存在性问题中，特别是综合特殊四边形、圆和抛物线等知识时，利用尺规作图，可以帮我们直观感知它的存在性与存在情况，在实际问题中可以帮我们准确找到符合的点的位置。
对于复杂的图形，通过“巧补图形”，就能使问题迎刃而解，达到事半功倍的效果。
这类题目，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，在近几年的中考试卷中常以压轴题出现。
下面就作图在这几个问题上的应用加以分析：一、用基本作图解释一些公理、定理例1.在全等三角形的判定条件中，我们都知道：若两个三角形有两组对应边以及其中一边所对的角对应相等，但这两个三角形不一定全等。
（即“边边角”不能推出全等）分析：但是这个公理的发现，通过逻辑推理，要说明清楚有点困难。
但是从几何作图来说明却是一目了然。
■已知：两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为其中一条边的夹角，画一个三角形。
步骤：1.画线段AB，使它等于线段a的长；2.画∠MAB=α；3.以B为圆心，线段b长为半径，作圆弧，与射线AM 交于两点C，C′。
从而，发现满足条件的三角形有两个△ABC、△ABC′，从而得出“边边角”不能推出全等。
二、用基本作图解决等腰三角形的存在性问题例2.如下图所示，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8。
动点P从点C出发C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止。
在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有个。
■分析：当△PMC为等腰三角形时，不外乎分三种情况，一是以点M为顶点，以MC、MP为腰；二是以C为顶点，CM、CP为腰；三是以P为顶点，PC、PM为腰。
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几何基本图形分析法探索
二期课改全面铺开已有两年多的时间了，我们作为首批新教材的实施者，其实更多的时候是在不断的摸索着前进。
今天，能有这样一个与大家交流的机会，我感到非常的荣幸。
希望我的这节课能够得到各位老师的批评指正！
一、设计背景
１、学生层面。
本节课的教学对象是我校初二年级的一个提高班，学习基础比较好。
通过初一的几何说理教学，学生对于一些基本的几何题已经掌握到了一定程度。
所以本节课是在原来的基础上做延伸。
２、知识层面。
初中几何是初中数学的重要组成部分，而几何证明又是整个几何部分的重中之重，起着承上启下的重要作用。
在初一的几何说理教学中，经常发现同学对于几何题往往只是停留在表面，对于图形之间的相互关联关注的比较少。
基于此，这节课的主要设计原则是想教会学生一种学习方法：即用联系、深入、发展的眼光去看问题，能够挖掘基本图形，并能用基本图形中所蕴涵的知识去解决新的问题。
３、课改层面。
二期课改重在提倡发挥学生的主体作用，提倡教育必须着眼于学生潜能的唤醒、开掘与提升，促进学生的自主发展。
所以这节课在设计的本意上我们也着重考虑了这方面因素。
二、设计思路
本节课的基本教学目标定位于复习全等三角形的证明。
在这个基础上，再
让学生去认识基本图形，并能利用基本图形中所蕴涵的结论去解决新问题，最终达到促进学生各方面能力的综合发展。
在题目的形式设计上，我以题组训练的方式出现。
从学生熟悉的一个图形出发，放手让学生独立完成对该题目的分析和证明，老师在中间又可以把相关的基本知识点做些复习和回顾。
在熟悉图形的基础上，注重图形中所隐含的其它结论。
让学生学会不要用孤立的眼光去看一道题，而是要学会去观察出结论之间的相互联系，能用联系的眼光去解决新的问题。
这是几何学习中一种非常重要的方法。
在该题组的最后，我又从运动的角度揭示出新的问题，并在设计上故意留下了悬念，给了学生一个开发思维的空间。
课进行到这里，基本都是符合学生的认知规律，对于提高班的学生接受起来也是比较容易的。
而在随后的课堂教学中，挖掘基本图形并能用基本图形中所蕴涵的结论回过去指导这个题组是整节课的重点之一。
对于这一重点的处理，我主要采用的方法是教师循序渐进的引导学生积极的参与，然后共同引出新知。
这一设计过程重在告知学生很多复杂的几何图形都有它的基本图形可以挖掘，如果在几何学习中能够经常性的关注到这一点，这对于我们今后学习几何将会有很大的帮助。
数学课是训练学生思维的课。
本节课的最后环节，在基本内容的安排上我设计了让学生思维跳跃的部分。
无论是基本条件的变更，还是最
后一题的多种方法证明，对于学生的思维能力都有一个非常高的要求。
同时也在告知学生：几何的学习是永无止尽的，希望同学们学习几何不要仅仅是为了完成一道题，而是应该从不同的角度去考虑问题。
三、教学反思
上完课后，我发觉自己在教学上还有许多需要改进的地方。
这也为我今后的教学提供了努力的方向。
1、对学生的关注度不够。
上课过程中，在某些环节的处理上显得比较急噪。
如在证明角平分线时，没有给学生过多的时间思考，反而是自己给出了证明方法。
这是不利于提高学生能力的。
其实在上课时，有同学已经想发表自己的见解了，而作为老师我却忽视了。
2、学生的参与面不广。
整节课给学生活动的时间比较少，基本上是以教师分析为主。
学生的思路总是跟着老师走，他们自己才能的发挥被抑制了。
3、对于某些教育教学细节的处理，也还有待进一步提高。