计算流体力学2
计算流体力学的求解步骤
计算流体力学的求解步骤
计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称 CFD）是通过计算机数值计算和图像显示，对包含有流体流动和热传导等相关物理现象的系统所做的分析。
其求解步骤通常包括以下几个方面：
1. 建立物理模型：根据实际问题建立相应的物理模型，包括流动区域、边界条件、流体性质等。
2. 数学模型：将物理模型转化为数学模型，通常使用 Navier-Stokes 方程等流体动力学基本方程来描述流体的运动和行为。
3. 网格生成：将计算区域划分为离散的网格单元，以便在每个网格点上进行数值计算。
4. 数值方法：选择合适的数值方法，如有限差分法、有限体积法或有限元法等，对数学模型进行离散化，将其转化为代数方程组。
5. 求解算法：使用适当的求解算法，如迭代法或直接解法，求解代数方程组，得到各个网格点上的流体变量的值。
6. 结果可视化：将计算得到的结果以图形或图表的形式展示出来，以便对流体的流动情况进行分析和评估。
7. 结果验证：将计算结果与实验数据或其他可靠的参考数据进行比较，验证计算结果的准确性和可靠性。
8. 优化与改进：根据结果验证的情况，对物理模型、数学模型、网格生成、数值方法或求解算法等进行优化和改进，以提高计算精度和效率。
需要注意的是，计算流体力学的求解步骤可能因具体问题和应用领域的不同而有所差异。
在实际应用中，还需要根据具体情况选择合适的软件工具和计算平台来执行上述步骤。
高等计算流体力学讲义(2)
高等计算流体力学讲义（2）第二章 可压缩流动的数值方法§1. Euler 方程的基本理论 0 概述在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier －Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。
其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。
所以，本章主要研究无粘的Euler 方程的解法。
在推广到Navier －Stokes 方程时，只需在Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。
Euler 方程是一种典型的非线性守恒系统。
下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler 方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。
1非线性守恒系统和Euler 方程一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式=∂∂+∂∂xF tU ，0,>∈t R x（1）其中U 称为守恒变量，是有m 个分量的列向量，即T m u u u U ),...,(21=。
T m f f f F ),...,(21=称为通量函数，是U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：0)(lim=→U F U即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。
守恒律的物理意义设U 的初始值为：0(,0)(),U x U x x =∈R 。
如果0()U x 在x ∈R 中有紧支集（即0U 在有限区域以外恒为零），则0(,)()U x t dx U x dx =⎰⎰RR。
即此时虽然(,)U x t 的分布可以随时间变化，但其总量保持守恒。
多维守恒律可以写为)(=++∙∇+∂∂k H j G i F tU（2）守恒律的空间导数项可以写为散度形式。
守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式)(=∂∂+∂∂xU U A tU （3）A 是m m ⨯矩阵，称为系数矩阵或Jacobi 矩阵，其具体形式为111122221212.........m m m m mm f f f u u u f f f u u u A f f f u u u ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦（4），容易验证：F U Axx∂∂=∂∂，通常也记F A U∂=∂。
第二章--计算流体力学的基本知识
第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
流体力学中的流体流量与流速计算
流体力学中的流体流量与流速计算流体力学是研究流体在运动过程中的性质和行为的学科。
其中，流体流量和流速是流体力学中的重要概念，用于描述流体运动的特征和量度。
本文将介绍流体流量与流速的概念及计算方法。
一、流体流量的概念及计算方法流体流量是指单位时间内通过某一截面的流体体积。
按照定义，流体流量的计算公式为：Q = A * v其中，Q表示流体流量，A表示截面面积，v表示流速。
二、流速的概念及计算方法流速是指单位时间内流体通过一个截面的体积。
流速的计算公式可以根据具体情况而定，以下是常见的几种计算方法：1. 定常流的流速计算在定常流动情况下，流体的质量流率和体积流率保持不变。
流速的计算公式为：v = Q / A其中，v表示流速，Q表示流体流量，A表示截面面积。
2. 非定常流的流速计算在非定常流动情况下，流体的流速可能随时间和空间的变化而变化。
针对不同的情况，可以采用不同的方法计算流速，如通过流速图、针对特定位置的流速计算等。
三、流体流量与流速的应用流体流量和流速是流体力学中的基本概念，广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 水泵和液压系统的设计在水泵和液压系统的设计中，流体流量和流速是重要的设计参数。
通过合理计算流体流量和流速，可以确定水泵和液压系统的工作参数，确保其正常运行。
2. 水流和气流的测量与控制在环境监测、水利工程、能源利用等领域，对水流和气流的测量与控制是常见需求。
通过准确计算流体流量和流速，可以帮助实现对水流和气流的精确测量和控制。
3. 管道流量的计算与优化对于管道流动问题，合理计算流体流量和流速有助于分析和优化管道系统的性能。
通过调整管道直径、流速等参数，可以实现管道系统的节能、减压等目标。
四、总结流体流量和流速是流体力学中的重要概念，用于描述流体运动的特征和量度。
在实际应用中，合理计算流体流量和流速，可以帮助我们设计、控制和优化各类流体系统。
因此，对于流体力学中的流体流量与流速的计算方法和应用有深入的了解，对于工程实践具有重要意义。
流体力学计算公式
流体力学计算公式流体力学是研究流体的运动规律和性质的一门学科，广泛应用于工程和科学领域中。
在流体力学的研究过程中，有许多重要的计算公式和方程被提出和应用。
下面是一些重要的流体力学计算公式。
1.压力力学方程:压力力学方程是描述流体力学中流体静压力分布和变化的方程。
对于稳定的欧拉流体，方程为:∇P=-ρ∇φ其中，P是压力，ρ是流体的密度，φ是流体的势函数。
2.欧拉方程:欧拉方程用于描述流体的运动,它是流体运动的基本方程之一:∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇P+g其中，v是流体的速度，P是压力，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
3.奇异体流动方程:奇异体流动是流体与孤立涡流动的一种类型，其方程为:D(D/u)/Dt=0其中，D/Dt是对时间的全导数，u是速度向量。
4.麦克斯韦方程:5.纳维-斯托克斯方程:纳维-斯托克斯方程是描述流体的动力学行为的方程，它是流体力学中最重要的方程之一:∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇P+μ∇²v其中，v是速度矢量，P是压力，ρ是密度，μ是动力黏度。
6.贝努利方程:贝努利方程描述了在不可压缩流体中流体静力学的变化。
贝努利方程给出了伯努利定律，即沿着一条流线上的速度增加，压力将降低，反之亦然。
贝努利方程的公式为:P + 1/2ρv^2 + ρgh = const.其中，P是压力，ρ是密度，v是流体速度，g是重力加速度，h是流体高度。
7.流量方程:流量方程用于描述流体在管道或通道中的流动。
Q=A·v其中，Q是流量，A是截面积，v是流速。
8.弗朗脱方程:弗朗脱方程是描述管道中流体流动的方程，其中考虑了摩擦阻力的影响:hL=f(L/D)(v^2/2g)其中，hL是管道摩擦阻力头损失，f是阻力系数，L是管道长度，D 是管道直径，v是流速，g是重力加速度。
以上是一些重要的流体力学计算公式。
这些公式和方程在流体力学中具有广泛的应用，是工程和科学领域中进行流体流动分析和计算的基础。
流体力学体验阻力-流动阻力与计算(2)
2
当流体从管道流入断面很大的容器中或气体流入大气时，
A1 1 0， A2
1。这是突然扩大的特殊情况，称为出口阻力系数。
直角出口
A2 1.0 k 1 A 1
2
圆角出口
A2 1.0 k 1 A 1
2
A2 1.0 k 1 A 1
确定了流态的判别方法。
(a)
层流状态
(b)
过渡状态 湍流状态
(c)
雷诺实验表明：
① 当流速大于上临界流速时为 湍流；当流速小于下临界流速时 为层流；当流速介于上、下临界 流速之间时，可能是层流也可能 是湍流，这与实验的起始状态、 有无扰动等因素有关，不过实践 证明，是湍流的可能性更多些。 ② 在相同的管径下用不同的液 体进行实验，所测得的临界流速 也不同，粘性大的液体临界流速 也大；若用相同的液体在不同管 径下进行试验，所测得的临界流 速也不同，管径大的临界流速反 而小。
管道入口的形状对阻力系数的影响：
直角进口
圆角进口
0.5
0.2 ~ 0.04
内插进口
圆弧进口
0.8
~ 0.04 0 .2 ~ 0.2 04
渐缩管
渐缩管的形状由缩小面积比 A1 A2和收缩角 确定。 渐缩管流动时损失形式以沿程损 失为主，不存在流线脱离壁面的问题。
u u u
称为时均速度，定义为：
时间t1内，速度的平均值
u u u
1 u t1
t1 0
udt
u u u
湍流中某一点瞬时速度可 用下式表示：
u u u
p p p
雷诺应力
流体力学流速计算公式
流体力学流速计算公式一、伯努利方程推导流速公式（理想不可压缩流体定常流动）1. 伯努利方程。
- 对于理想不可压缩流体作定常流动时，在同一条流线上有p+(1)/(2)ρ v^2+ρ gh = C（p是流体压强，ρ是流体密度，v是流速，h是高度，C是常量）。
- 假设水平流动（h_1 = h_2），则方程变为p_1+(1)/(2)ρ v_1^2=p_2+(1)/(2)ρ v_2^2。
- 由此可推导出流速公式v_2=√(v_1^2)+(2(p_1 - p_2))/(ρ)。
2. 适用条件。
- 理想流体（无粘性），实际流体在粘性较小时可近似使用。
- 不可压缩流体，像水在大多数情况下可视为不可压缩流体，气体在低速流动时也可近似为不可压缩流体。
- 定常流动，即流场中各点的流速等物理量不随时间变化。
3. 示例。
- 已知水管中某点1处的压强p_1 = 2×10^5Pa，流速v_1 = 1m/s，另一点2处的压强p_2 = 1.5×10^5Pa，水的密度ρ = 1000kg/m^3。
- 根据v_2=√(v_1^2)+(2(p_1 - p_2))/(ρ)，将数值代入可得：- v_2=√(1^2)+frac{2×(2×10^{5-1.5×10^5)}{1000}}- 先计算括号内的值：2×(2×10^5-1.5×10^5)=2×5×10^4=10^5。
- 则v_2=√(1 + 100)= √(101)≈10.05m/s。
二、连续性方程推导流速公式（不可压缩流体定常流动）1. 连续性方程。
- 对于不可压缩流体的定常流动，有S_1v_1 = S_2v_2（S_1、S_2分别是流管中两个截面的面积，v_1、v_2是相应截面处的流速）。
- 由此可推导出流速公式v_2=(S_1)/(S_2)v_1。
2. 适用条件。
- 不可压缩流体，如液体或低速流动的气体。
计算流体力学的数学模型与方法
计算流体力学的数学模型与方法计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）是研究流体运动的力学现象而采用的计算方法。
它结合了数学模型和计算方法，通过数值计算和模拟的手段，来解决流体问题。
本文将从数学模型和计算方法两个方面，探讨计算流体力学的基本原理与应用。
一、数学模型数学模型是计算流体力学的基础，它描述了流体运动的基本方程和边界条件。
常用的数学模型包括Navier-Stokes方程、动量守恒方程、质量守恒方程和能量守恒方程等。
1. Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是描述流体的速度和压力随时间和空间变化的方程。
其一般形式为：\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0\]其中，$\rho$表示流体的密度，$\mathbf{v}$表示流体的速度。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动中动量的变化。
它可以表示为：\[\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau}\]其中，$p$表示压力，$\mathbf{\tau}$表示粘性应力张量。
3. 质量守恒方程质量守恒方程描述了流体质量的守恒。
它可以表示为：\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0\]4. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体能量的守恒。
它可以表示为：\[\frac{\partial (\rho e)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho e \mathbf{v}) =\nabla \cdot (\lambda \nabla T) + \nabla \cdot (\mathbf{\tau \cdot v}) + \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{g}\]其中，$e$表示单位质量流体的总能量，$T$表示温度，$\lambda$表示热导率。
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计算流体力学
当来流Ｍ数小于0.2时，为不可压流动，以下为二 种不可压粘性流动控制方程。
2）流函数-涡量方程: (( ) ) ( )( ) F 2 t
2
0
计算流体力学
2.4
常用的模型方程
●流体力学基本方程大都为复杂、非线性方程（组）， 从数值计算角度分析研究比较困难。并且迄今为止还没有 形成成熟的理论。 ●为了认识基本方程的数学性质，常用一些简单的线性 数学方程作为替代进行研究。 ●这些方程具有基本方程的某些特征，称之为模型方程
1）对流方程： 0
上述基本方程构成了Navier-Stokes(简称NS)方程 。
计算流体力学
在三维直角坐标系下Navier-Stokes方程为：
U E F G E v Fv Gv t x y z x y z
u U v w Et
2
(a v )
2 2
2 y
2
(a w )
2 2
2 z 2
上式中: α为音速; V
2 x
2
2 2 2 2uv 2uw 2vw 0 xy xz yz
3）不可压流全位势方程：
2 y
2
2 z
与以上四式组合在一起并写成矩阵形式可得
u x a1 b1 c1 d1 f u 1 a b c d y f 2 2 2 2 2 dx dy 0 0 v du x 0 0 dx dy v dv y
动方程和能量方程可推得：
u v (1 M ) 0 x y
2
u v 0 x y
M 为自由来流马赫数。确定以上流动的类型。
计算流体力学
xx
u v w [4 2( )] 3 x y z
xy yx
yz zy
u v [ ] y x
v w [ ] z y
yy
3
[4
v w u 2( )] y z x
zz
w u v [4 2( )] 3 z x y
最高阶偏导数与偏导数项的乘积）
计算流体力学
◇拟线型线性方程（组）的数学性质
以下列拟线性方程组为例
u u v v a1 b1 c1 d1 f1 x y x y
u u v v a2 b2 c2 d 2 f2 x y x y
式中，系数项 将下式：
( V ) 0 t
u j u DV F p [ ( i ) V ] ij Dt x j x j xi
D V2 (e ) F V ( ij V ) (kT ) q Dt 2
计算流体力学
（2.23）
令矩阵[A]为上式的系数矩阵，即：
a1 b1 c1 d1 a b c d A 2 2 2 2 dx dy 0 0 0 0 dx dy
并将[A]矩阵的第一列用(2.23) 式右侧矢量替代构成矩阵[B]
f1 b1 c1 d1 f b c d B 2 2 2 2 du dy 0 0 dv 0 dx dy
b b2 4ac dy / dx 2a
令： b2 4ac ，如果在 xy平面内某一点有： D 1）D 0 ，则偏微分方程组(2.21)有两条各不相同特征线，称方程为双 曲型；
2）D 0 ，则偏微分方程组(2.21)只有一条特征线，称方程为抛物型；
3）D 0 ，偏微分方程组(2.21)没有特征线，称方程为椭圆型。 双曲型、抛物型和椭圆型实际上是直接借用以下二次曲线性质
0 0 0 xx xz xy E Gv yz Fv yy v xy yz zz xz T T T u xz v yz w zz k u xx v xy w xz k u xy v yy w yz k z x y
平面流动速度与流函数涡量关系: u
v u ,v , y x x y
计算流体力学
2.3 无粘流数学模型
1） 欧拉方程：
U E F G 0 t x y z
2
2）全位势方程： (a
u )
2
2 x
上式可变成：
W W 1 K M 0 x y
1
上式中 N K
M 矩阵的特征值决定偏微分方程组类型。如果特征
值全是实数，方程组为双曲型；如果特征值全为复数，方程组为椭圆型。
[例] 二维无旋、无粘定常可压缩流，流场中有一细长体，如机翼翼型。
u 如果在上游有一小扰动，扰动速度分量为： , v 。根据连续方程、运
xz zx
u w [ ] z x来自上述方程组不封闭，还需要补充数学关系式： １）状态方程： e
２）物性系数与状态参数关系： ( , T), k k( , T)
p RT (r 1) (r 1)
2．2 不可压缩非定常粘性流数学模型
计算流体力学
第二章 流体力学数值计算数学模型及定解条件
☆本章所涉及的基本方程有两类： ●流体力学基本方程，基本出发点：质量守恒、动量守恒和能 量守恒 ●简化模型方程：具有流体力学基本方程的某些特性，用于对 所对应的流体力学方程理论分析 2．1 可压缩非定常粘性流数学模型 连续方程： 运动方程： 能量方程：
☆ab曲线是任意选定的，其选择不影响计算结 果。 ☆但如果选择的方向使得
u 则无法采用(2.24)计算 值 x
ef 称为通过P点的特征线
A 0
图2.1 特征线示意图
计算流体力学
所谓特征线即为通过xy平面内某点P的曲线，沿此曲线方向无法确定 u和v的偏导数值。因此可通过求解：
A 0
确定特征线。由
由上式可确定xy平面内每一点的特征线斜率，从而确定特征线。如果令：
a (a1c2 a2c1 ) b (a1d 2 a2 d1 b1c2 b2c2 ) c (b1d 2 b2 d 2 )
则上式可写成： 即：
计算流体力学
a(dy / dx)2 b(dy / dx) c 0
计算流体力学
2．5偏微分方程的数学性质及其与流体运动的关系
流体力学基本方程及模型方程属偏微分方程（组），由于 方程的复杂性通常无法采用积分方法求精确解，但可将其离
散进行数值求解。
流体力学方程（组）的数值求解需符合流动的物理规律， 同时边界条件的给定也要遵循流动的物理规律，因此首先需 了解方程的数学性质。 2．5．1 拟线性偏微分方程组的分类 ◇拟（准）线性方程组 对于流体力学控制方程，所有最高阶偏导数项都是线性 的（这些项前仅有一个系数项，系数项是变量的函数、没有
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
计算流体力学
2．5．2 偏微分方程组分类的通用方法
以上根据Gramer法则给出了拟线性方程组类型的确定方法。下面介 绍另一种方程组类型通用确定方法。为简单起见，假设方程组(2.21)右 端项为0，即： u u v v a1 b1 c1 d1 0 x y x y （2.29） u u v v a2 b2 c2 d 2 0 x y x y 定义矢量： u
计算流体力学
根据Gramer法则，有
u B x A
同理可求出
(2.24)
u v v , , y x y
du,dv,dx,dy计算： 在xy平面内任一点P，过P点作一曲线ab， 如果点2无限接近于P点，则：
dx x2 xp ; dy y2 y p ; du u2 u p ; dv v2 vp
★这个方程和伯格斯方程同属双曲—抛物型方程，但它是 线性的，比较简单。 ★当β=0时，退化成双曲型方程，当α=0时，则变成抛物 型方程 4）抛物型方程：
2 t x 2
计算流体力学
5）椭园型方程：
f
★称为泊松方程，其右端函数项f为已知； ★若f=0,则成为拉普拉斯方程。
a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d 2 A 0 dx dy 0 0 0 0 dx dy
展开得：
(a1c2 a2 c1 ) ( dy)2 ( a1d2 a2 d1 b1c2 b2 c2 ) dxdy (b1d 2 b2 d 2 )(dx)2 0
进一步可得
(a1c2 a2c1 )(dy / dx)2 (a1d2 a2 d1 b1c2 b2 c2 ) dy / dx (b1d2 b2 d2 ) 0
t
x
★此方程是双曲型方程，形式类同于一维欧拉方程 。
计算流体力学
2 2）伯格斯（Burgers）方程 ： 2 2 t x x
★是一个非线性方程，具有NS方程类似的性态，式中系数 β相当于流体的粘性系数。 3）对流—扩散方程 ：
2 2 t x x
u 2 u p E uv uw ( E t p )u v uv 2 F v p vw ( E t p )v w uw G vw w 2 ( E p)w t