北京理工大学高等流体力学-计算流体力学共161页文档
高等计算流体力学讲义(3)
高等计算流体力学讲义（3）§2 Riemann 问题1．预备知识：Euler 方程解的结构我们讨论Euler 方程解的结构。
在上一节，我们已经得到，在均熵流动条件下，有const R =±，沿au dt dx±= （1） 其中 a u R 12-±=±γ。
且全场 S const =。
（2）在这种情况下，Euler 方程的光滑解有如下几种可能。
1）在求解域中，Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均不为常数。
这是最一般的情况，Euler 方程的解比较复杂，通常无解析解。
2）均匀流：Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均为常数。
此时，令R R ±±=， 有：0000()/21()4u R R a R R γ+-+-=+-=-，可见，此时流动是均匀的。
3）简单波：有一个Riemann 不变量在某区域内为常数（00R R or R R ++--==）。
以0R R ++=的情况为例。
此时021R u a R γ++=+=-。
（3） 且沿dxu a dt=-，有 21u a const γ-=-。
这个常数具体的数值与特征线的起点有关。
由此我们知道，沿dxu a dt=-，有00()/21()4u R const a R const γ++=+-=-。
这说明，沿dxu a dt=-，u 和a 均为常数，即特征线是直线。
由均熵条件，密度ρ和压力p 沿特征线dx u a dt =-也为常数。
参见上图，由于u a u -<，所以流线dx u dt=（或流体质点）从左侧穿过特征线dxu a dt=-，这种简单波称为左简单波或向后简单波。
简单波可以分为压缩波和稀疏波（膨胀波）两类。
设流线与dxu a dt=-交点处，流线的切线方向为ξ 。
把（3）式沿ξ求方向导数，得：201u a ξγξ∂∂+=∂-∂ 当0uξ∂>∂，有()0,0,0,0a p u c ρξξξξ∂∂∂∂-<<<>∂∂∂∂。
高等计算流体力学讲义(2)
高等计算流体力学讲义（2）第二章 可压缩流动的数值方法§1. Euler 方程的基本理论 0 概述在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier －Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。
其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。
所以，本章主要研究无粘的Euler 方程的解法。
在推广到Navier －Stokes 方程时，只需在Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。
Euler 方程是一种典型的非线性守恒系统。
下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler 方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。
1非线性守恒系统和Euler 方程一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式=∂∂+∂∂xF tU ，0,>∈t R x（1）其中U 称为守恒变量，是有m 个分量的列向量，即T m u u u U ),...,(21=。
T m f f f F ),...,(21=称为通量函数，是U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：0)(lim=→U F U即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。
守恒律的物理意义设U 的初始值为：0(,0)(),U x U x x =∈R 。
如果0()U x 在x ∈R 中有紧支集（即0U 在有限区域以外恒为零），则0(,)()U x t dx U x dx =⎰⎰RR。
即此时虽然(,)U x t 的分布可以随时间变化，但其总量保持守恒。
多维守恒律可以写为)(=++∙∇+∂∂k H j G i F tU（2）守恒律的空间导数项可以写为散度形式。
守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式)(=∂∂+∂∂xU U A tU （3）A 是m m ⨯矩阵，称为系数矩阵或Jacobi 矩阵，其具体形式为111122221212.........m m m m mm f f f u u u f f f u u u A f f f u u u ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦（4），容易验证：F U Axx∂∂=∂∂，通常也记F A U∂=∂。
《高等流体力学》第1章 流体运动学
§1-2 迹线与流线
一、迹线：流体质点运动形成的轨迹。 拉格朗日法中质点运动方程就是迹线参数方程：
xα = xα ( b1 , b2 , b3 , t )
对于给定的 b1 , b2 , b3 消去t可得迹线方程。 欧拉法：由速度场来建立迹线方程： 迹线的微元长度向量：d r = v ( x1 , x2 , x3 , t ) dt 二、流线：其上任一点的切线方向为速度方向。
任意坐标平面内：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ
当α=β时，εαβ退化为线变 ∂v3 ∂v1 ∂v2 ε 33 = ε 22 = 形速率，因此可以把角变 ε11 = ∂x1 ∂x2 ∂x3 形、线变形速率统一起来
流体微元的旋转角速度 对比：
2
1 ∂v2 ∂v1 1 ∂v2 ∂v1 )+ ( ) ωπ 4 = ( − − 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x2 ∂x1
A1 A2
因A1与A2是任取的，故在同一时刻，沿同一涡管各 界面的涡通量不变—涡管通量守恒。 结论： (1)对于同一微元涡管，面积越小，流体旋转角速度 越大； (2)涡管截面不可能收缩到零。
1 ∂vβ ∂vα aαβ = ( )= ωγ = − −aβα 2 ∂xα ∂xβ
二、变形率张量和涡量张量 前面得到了变形率张量和涡量张量：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ Байду номын сангаасαβ 1 ∂vβ ∂vα ( )= = − − aαβ 2 ∂xα ∂xβ
在任意坐标平面中：
2
∂v2 ∂v1 ∂vn ∂v2 ∂v1 2 2 = cos θ + sin θ cos θ − − sin θ ∂l ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
高等计算流体力学讲义(1)
(8)
∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ = ξ xx + η xx + ξ x [ 2 ξ x + ηx ] +ηx[ ξx + 2 ηx ] ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂η ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ 2 = ξ xx + η xx + 2 (ξ x ) + 2 ξ xη x + 2 (η x ) 2 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
2、度量系数及其计算方法
在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数： ξ x , ξ y ,η x ,η y 。这些系数 称为坐标变换公式(5)对应的度量系数（metrics）。我们看到，为了求解计算平 面中的偏微分方程，如(9)式，必须确定度量系数（有时还包括 ξ xx , ξ xy , ξ yy ,η xx ,η xy ,η yy 等）的离散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一 般情况下，我们只知道坐标变换关系(5)、(6)的离散表达式，度量系数一般也要 通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造 ξ x , ξ y ,η x ,η y 的差分近似是不容易 的。以 ξ x 为例，根据偏导数的意义， ξ x 为 y 保持不变时 ξ 随 x 的变化，如图 2 所示，网格点 P 处的 ξ x 的计算公式应为：
不计质量力的情况下，在直角坐标系中，守恒型 N－S 方程可以写为下列 向量形式： ∂U ∂ ( F − Fv ) ∂ (G − G v ) ∂ ( H − H v ) + + + =0， (1) ∂t ∂x ∂y ∂z 其中
ρu ρv ρw ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ρu + p ⎟ ⎜ ρ vu ⎟ ⎜ ρ uw ⎟ F = ⎜ ρ uv ⎟ G = ⎜ ρ v 2 + p ⎟ H = ⎜ ρ vw ⎟ ， ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ρ uw ⎟ ⎜ ρ vw ⎟ ⎜ ρw + p ⎟ ⎜ ( ρ E + p)u ⎟ ⎜ ( ρ E + p )v ⎟ ⎜ ( ρ E + p) w ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 ⎛ ⎞ 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ xy τ xx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ ⎜ ⎟ τ xy yy G = Fv = ⎜ v ⎜ ⎟， ⎟ τ τ yz xz ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T ∂ ∂T ⎜ uτ xy + vτ yy + wτ yz + k ⎟ ⎜ uτ xx + vτ xy + wτ xz + k ⎟ ∂y ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ τ xz ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ zy Hv = ⎜ ⎟。 τ zz ⎜ ⎟ ⎜ ∂T ⎟ ⎜ uτ xz + vτ zy + wτ zz + k ⎟ ∂z ⎠ ⎝ 如果忽略 N－S 方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为 Euler 方程：
化工原理 - 北京理工大学.
经积分 即
p2 p1 g
z1
z2
p z g
p2 p1 gz
静力学基本方程
平衡方程的物理意义
1．总势能守恒
式中的 p/ρ和 zg 分别表示单位质量流体所具有的静压能和位能。 在同一种静止流体中不同高度上的微元其静压能和位能各不相同 ，但其总势能保持不变。
2．等压面 在静止的、连续的同一种液体内，处于同一水平面上各点的静压 强相等（静压强仅与垂直高度有关，与水平位置无关）。
式中
ρi --- 各纯组分的密度，kg/m3； ai --- 各纯组分的质量分率。
3．气体的密度
• 其值随温度和压强而变。当可当作理想气体处理时，可用下式计算，即
或
式中 p ---气体的绝对压强，Pa； T ---热力学温度，K； M ---气体的摩尔质量，kg/kmol； R ---气体通用常数，其值为8.314kJ/(kmol·K)。 下标0表示标准状态。
三．流体质点：Βιβλιοθήκη 质点: 含有大量分子的流体微团。 流体分子自由程 < 流体质点尺寸 < 设备大小 流体内部无数质点运动的总和，构成了流体的流动； 流体质点成为研究流体宏观运动规律的考察对象。
四．作用在流体上的力
外界作用于流体上的力有两种，即质量力和表面力。
1．质量力（又称体积力）
质量力作用于流体的每个质点上，并与流体的质 量成正比，对于均质流体也与流体的体积成正比。
本章重点讨论不可压缩性牛顿型流体在管内流动的有关问题。
1. 流体静力学基本方程
1-1 流体的密度：
1．定义和单位 单位体积流体所具有的流体质量称为密度，以ρ表示，单位为 kg/m3
式中
流体的压缩性
计算流体力学课件-part1
2024/2/28
19
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的概念
➢完整方程
连续方程
动量方程
能量方程
2024/2/28
20
❖Computational Fluid Dynamics
沿特征线，扰动波的幅值不变，传播速度为c
则在t>0时，传播过程如下图：
2024/2/28
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❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
➢单波方程
➢c>0时，传播沿x正向 ➢C<0时，传播沿x负向 ❖扰动波以有限速度传播是双曲型方程的重要 特征（波形和波幅可能会变化，此处为什么不 变？）
如何表达初始形状三角形
如何存储数据 如何积分
数值积分，HOW？
如何显示结果
TECPLOT
尝试改变几个常数，看看结果有何变化，常数反映了什么？
2024/2/28
22Biblioteka ❖Computational Fluid Dynamics
回顾
控制方程
模型方程
➢NS ➢EULER ➢Impressible NS ➢RANS
➢单波方程可以模拟EULER方程的一些特征
2024/2/28
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❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
计算流体力学第一章 绪论(1)
求D的特征值,得:
1 1 1 2 ( ) ( )( ) 0 u ua ua 1 1 1 1, 2 , 3 4 u ua ua
为四个实根，即方程在 x-t平面为双曲型； 所以Euler 方程可以在时间座标方向推进， 而在定常问题中能否推进计算，必须根据 流动是否为超音速（M与1的关系）来定。
2013-7-16 21
f x g x h x p x u x v x
h 0 y f 0 y 1 p f (uh vf ) y y h g (uf vg ) y y f h
v 0 0 v 0 B 0 0 v 0 0 p
0 0 1 v
v u v v 2 2 u u a u2 a 2 u( u 2 a 2 ) 2 uv a v 0 2 2 1 u2 a 2 u a (u2 a 2 ) CA B v 1 0 0 u u va 2 u uv 0 2 2 2 2 2 2 u a u a u a
题的离散化数值解。
★数值解而不是解析解 ★计算理论和计算技术起关键作用
★与计算机的发展紧密相关
2013-7-16 2
2．计算流体力学、理论流体力学、实验流体 力学是流体力学研究工作的三种主要手段―― 既互相独立又相辅相成 ▲ 理论分析具有普遍性――各种影响因 素清晰可见、为实验和计算研究提供依据
▲实验研究仍是研究工作的基石，数值 研究的许多方面都密切依赖于实验研究：实 验提供数据；计算结果需由实验验证；观察 实验现象分析实验数据以建立计算模型等等
降阶法,令：
u v f x y u g y
计算流体力学
T ( x , y ) X ( x )Y ( y ) T xx Y X T yy X Y Y X X Y 0 X / X Y / Y X 2 X 0 X( 0 ) 0 X( 1 ) 0
Parabolic
(2)
– 4ac < 0.
Elliptic
Note : 分型只依赖最高阶导数。 分型的依据实际是他们的特征曲线的性质.
2.2 线性和非线性
为什么会有这样的分类标准? 根据特征线来确定. 特征线(characteristic curves): 二个自变量的二阶偏微分方程的特征方程： ady2-bdxdy+cdx2=0 b b 2 -4ac dy/dx a(dy/dx)2-b(dy/dx)+c=0 2a 特征方程的积分曲线称为特征线. 实特征线的个数决定了方程的类型 双曲：全部为实特征线；椭圆：没有实特征线 定义: 如果对算子 L( ) ，L(αu+βv)=αL(u)+βL(v) 成立（α，β常数） ，称算子 L为线性算子。 例如： 2u 2u L (u ) x 2 y 2 线性算子： 非线性算子： 线性方程（c为常数）： 非线性方程：
(27)
(28)
可以按照前面的办法(计算b2-4ac)对方程分类并给出 特征线方程. 对于方程组还可以给出一种替代的方程 类型定义方法和特征线产生方法，它基于方程的系 数矩阵特征值 将上面的方程组写成矩阵形式:
定义: • 双曲型：n阶矩阵 A 有n个不相等的实特征值 • 抛物型：矩阵 A 至少有一个实特征值，但是实特 征值个数< n
北理工-《流体力学》课程总复习PPT课件
关于流场的一些基本概念
28
迹线和流线
迹线(Pathline):单
个质点在连续时间 过程内流动轨迹线 ，迹线是拉格朗日
A A A A
法描述流动的一种 A
t2时刻 A
方法。
t1时刻
关于流场的一些基本概念
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迹线和流线
流线(Streamline):是某一 时刻在流场中画出的一条
uC
uD
空间曲线，在该时刻，曲
1
独立思考，事实求是，锲而不舍，以勤补拙
《流体力学》课程总复习
黄彪 机械与车辆学院热能与动力工程系
2
考试： 时间: 1月11日 上午 9:50-11:50 地点: 信1002 平时与作业:25%, 考试:75%
答疑： 时间: 1月8日 14:00-16:00（周四） 1月9日 14:00-16:00（周五）
212121limttxxutt????212121limttyyvtt????212121limttzzwtt????duvwdttxyz????????????ijkxyz??????????duvwdtxyzt???????????????????????vddtt物质导数物理意义表示跟踪一个运动的流体微团的时间变化率当地导数物理意义表示固定点处的时间变化率由物理场的非定常性引起迁秱导数物理意义表示流体微团从一点运动到另一点流场空间不均匀性引起的时间变化率28关于流场的一些基本概念迹线和流线迹线pathline
流体力学是一门宏观力学，研究的是流体宏观的 平衡和运动规律，对微观的分子热运动不感兴趣 。流体微团须满足：1）在宏观上体积无穷小；2 ）在微观上体积无穷大。
6
流体的主要物理属性 • 密度与重度； •压缩性和膨胀性；
流体力学(1)
● 1700-1782年：伯努力通过实验建立了运动流体位 能、压力能和动能相互转换的“伯努 力方程”（可求工程中流体的速度、 压力、位置）。
● 1707-1783年：欧拉导出了“理想流体平衡和运动微 分方程”。
绪论
“平衡微分方程”---流体平衡时反映质量力和表面力 之间的关系（用来推导流体静力 学基本方程）。
“运动微分方程”---流体运动时反映质量力、表面力 和加速度之间关系的规律（用来 推导伯努力方程）。
● 19世纪初：纳维尔和斯托克斯导出了粘性流体运动 力、质量力、粘性力和加速度之间关系 的 “纳-斯微分方程”（N-S 方程），用 来推导“圆管中流体层流运动速度分布 规律”、“缝隙流速度分布规律”等）。
三、“不可压缩流体”模型 — 对流体物理性质的简化 ● 认为：不可压缩流体的密度为常数。
● 意义： （1）液体压缩性非常小，视为不可压缩，则密度不变； （2）气体具有压缩性，但一般通风（ v 68 m且压s 力
和温度变化不大）视§1－2 流体的密度和重度
○ 流体静力学：研究静止流体内部的压力分布规律。 （应用：如测压管测压力原理）
○ 流体动力学：研究运动流体的压力分布、速度分布、 与固体之间的摩擦力和流动损失等。
（应用：如流量计测流量原理）
绪论
● 流体力学的发展
● 公元前287-212年：阿基米德论述了“浮力定律”。
● 1623-1662年：证明了平衡流体中压力传递规律的 “帕斯卡定律”。
第一章 流体及其物理性质
§1－3 流体的压缩性和膨胀性
当需要求流体密度、体积的变化量时要用到。 因密度随温度和压力变化（分子间有间隙）。