不等式选讲学案
【高考二轮课程】数学理科 第18讲 不等式选讲 学案
高考二轮复习第18讲不等式选讲一、高考回顾近几年对不等式选讲的考查，一般是第23题，分值为10分.内容题型都相对稳定,难度中档,重点考查含有绝对值的不等式的解法,含有绝对值函数的图像与性质及相关不等式的最值问题,考查利用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力.不等式选讲的内容包括:不等式的基本性质和基本不等式、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等。
高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。
二、知识清单1.思维导图2.知识再现1）．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2）．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3）．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4）．柯西不等式（1）柯西不等式的代数形式：对任意实数a ，b ，c ，d ，有(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当向量(a ，d )与向量(c ，d )共线时，等号成立)．（2）柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．（3）设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当向量(a 1，a 2，…，a n )与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立．三、例题精讲题型一 解绝对值不等式例1、设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.题型三不等式的证明与应用例3、设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．四、成果巩固题型一 解绝对值不等式1. C .[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式212x x +->2.已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）若的解集包含，求的取值范围.3.设函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的实数都有，求的取值范围.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.设函数()211=++-．f x x x（I）画出()=的图像；y f x（II）当[)+的最小值．+≤，求a b∈，，()x+∞f x ax b2.不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．题型三 不等式的证明与应用1.已知,,a b c 为正数,且满足1abc =. 证明：（1）222111a b c a b c ++≤++;（2）333()()()24a b b c c a +++++≥.2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．3.已知函数，记的最小值为. （Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若正实数，满足，求证：.4.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.五、课堂小结[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．。
高中数学 学案76不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用
学案76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标： 1.理解二元柯西不等式的几种不同形式.2.掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式.3.会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值．自主梳理1．算术——几何平均不等式(1)如果a ，b >0，那么____________，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)如果a ，b ，c >0，那么________________，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(3)对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立．2．柯西不等式(1)二维形式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥____________，当且仅当__________时，等号成立．(2)向量形式：设α、β是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当α，β共线时等号成立．3．三角形不等式设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2. 自我检测1．若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝s ，xy ＝p ，则下列命题中正确的序号是________． ①当且仅当x ＝y 时，s 有最小值2p ；②当且仅当x ＝y 时，p 有最大值s 24；③当且仅当p 为定值时，s 有最小值2p ；④若s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 有最大值s 24.2．若x ，y ∈R ，且满足x ＋3y ＝2，则3x ＋27y ＋1的最小值是________．3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x2＋4y 2)的最小值为________．4．函数y ＝3＋3x ＋1x(x <0)的最大值为________．5．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围为______________．探究点一 利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y ，a ，b ∈R ＋，且a x ＋by＝1，求x ＋y 的最小值．变式迁移1 若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．探究点二利用算术—几何平均不等式求最值例2如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．变式迁移2 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器高为h米，盖子边长为a米．(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)．探究点三 不等式的证明例3 (1)已知a 、b 、c 为正数，且满足a cos 2θ＋b sin 2θ<c .求证：a cos 2θ＋b sin 2θ<c . (2)设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(1a 2＋1b 2＋1c2)(a ＋b ＋c )2≥27.变式迁移3 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c )≥92.1．从形式结构上看，柯西不等式可简记为“方和积大于积和方”，相比算术—几何平均不等式而言，不要求各项均是正数，从而使用更广泛，在使用柯西不等式证明不等式和求最值时，要注意与柯西不等式的一般形式比较，根据需要，构造“积和方”或“方和积”．柯西不等式等号成立的条件比较特殊，要牢记．2．应用算术—几何平均不等式求最值，要积极创造条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于“和定积最大，积定和最小”，注意满足“一正二定三相等”三个条件，缺一不可．3．利用不等式解决实际问题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型或函数模型，最终通过解不等式或算术—几何平均不等式实施解题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为________．2．函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x <0)的值域是________．3．函数y ＝52x 2(25－2x )(0≤x ≤15)的最大值为_____________________________________．4．设a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值是________． 5．若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为________． 6．函数y ＝12－2x ＋x －1的最大值为________．7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．8．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则p ＝2x ＋y 的最大值是________．二、解答题(共42分)9．(12分)设a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .10．(14分)设x 、y 均大于0，且x ＋y ＝1，求证：(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252.11．(16分)某养殖厂需要定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小．学案76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用答案自主梳理1．(1)a ＋b 2≥ab (2)a ＋b ＋c 3≥3abc (3)a 1＝a 2＝…＝a n2．(1)(ac ＋bd )2 ad ＝bc (2)|α||β| 自我检测 1．④解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴x ＋y ≥2xy ，又x ＋y ＝s ，xy ＝p ，∴当s 一定，即x ＝y ＝s 2时，p 有最大值s 24；当p 一定，即x ＝y ＝p 时，s 有最小值2p . 2．7解析 3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7， 当且仅当“3x ＝27y ”即x ＝3y 且x ＋3y ＝2时，上式取“＝”，此时x ＝1，y ＝13.3．9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9， 当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．4．3－2 3 解析 ∵x <0，∴y ＝3＋3x ＋1x ＝3－[(－3x )＋(－1x)]≤3－2 3.当且仅当－3x ＝－1x，即x ＝－33时取等号．∴当x ＝－33时，函数y ＝3＋3x ＋1x有最大值3－2 3.5．[－25，25]解析 由柯西不等式得，[12＋(－1)2](a 2＋b 2)≥(a －b )2， ∴(a －b )2≤20，∴－25≤a －b ≤25，当且仅当“b ＝－a ”时上式“＝”成立．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a a 2＋b 2＝10得，⎩⎨⎧ a ＝5b ＝－5或⎩⎨⎧a ＝－5b ＝5. 课堂活动区例1 解题导引 由于a x ＋b y ＝1，则可以构造x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][(a x )2＋(b y)2]≥(a＋b )2的形式，从而利用柯西不等式求出最值．利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放缩时要注意等号成立的条件是否符合题意．解 ∵x ，y ，a ，b ∈R ＋，a x ＋by ＝1，∴x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][(a x )2＋(b y)2]≥(a ＋b )2.当且仅当x ·b y ＝y ·ax，即x y ＝a b时取等号． ∴(x ＋y )min ＝(a ＋b )2.变式迁移1 解 由柯西不等式得：(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1.∴4x 2＋9y 2≥12.当且仅当2x ×1＝3y ×1，即2x ＝3y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝1得⎩⎨⎧x ＝14y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12.例2 解题导引 运用算术—几何平均不等式解决应用问题的步骤是：(1)弄清量与量之间的关系，将要求最大值(或最小值)的变量表示为其他变量的函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为数学中的最值问题；(3)在定义域内求函数的最值；(4)根据实际意义写出正确答案．解 如图，设正六棱柱的底面B 1B 2B 3B 4B 5B 6的边长为x (0<x <1)，则OB 1＝B 1B 2＝x . 由A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为1，得OA 1＝A 1A 2＝1，所以A 1B 1＝OA 1－OB 1＝1－x . 作B 1C 1⊥A 1A 2于C 1.在Rt △A 1B 1C 1中，∠B 1A 1C 1＝60°，则容器的高B 1C 1＝A 1B 1sin 60°＝32(1－x )．于是容器的容积为V ＝f (x )＝Sh ＝(6·34x 2)·32(1－x )＝94x 2(1－x )(0<x <1)． 则f (x )＝94x 2(1－x )＝98·x ·x ·(2－2x )≤98·[x ＋x ＋(2－2x )3]3＝13. 当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时，V max ＝13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.变式迁移2 解 (1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得：⎩⎨⎧a 2＋4·12h ′a ＝2h 2＋14a 2＝h ′2，消去h ′.解得：a ＝1h 2＋1(h >0)．(2)由V ＝13a 2h ＝h3(h 2＋1)(h >0)，得：V ＝13(h ＋1h )，而h ＋1h ≥2h ·1h ＝2.所以0<V ≤16，当且仅当h ＝1h，即h ＝1时取等号．故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米．例3 证明 (1)由柯西不等式可得a cos 2θ＋b sin 2θ≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2]12(cos 2θ＋sin 2θ)12＝(a cos 2θ＋b sin 2θ)12<c .(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc >0， 从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2>0， 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c2>0， ∴(1a 2＋1b 2＋1c 2)(a ＋b ＋c )2≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2＝27.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 变式迁移3 证明 ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0， 1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c>0， ∴(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c )≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 课后练习区 1．8解析 y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x 2＋1x ＋16xx 2＋1≥216＝8.当且仅当x 2＋1x ＝16xx 2＋1，即x ＝2＋3时等号成立．2．[－3,0)解析 y ＝3x x 2＋x ＋1＝3x ＋1x＋1.∵x ＋1x ＝－[(－x )＋(－1x )]≤－2.∴x ＋1x ＋1≤－1.∴0>3x ＋1x＋1≥－3，即－3≤y <0.∴原函数的值域为[－3,0)． 3.4675解析 y ＝52x 2(25－2x )＝52x ·x (25－2x )，∵0≤x ≤15，∴25－2x ≥0，∴y ≤52[x ＋x ＋(25－2x )3]3＝4675.当且仅当x ＝x ＝25－2x ，即x ＝215时，y max ＝4675.4．4解析 ∵a －c a －b ＋a －cb －c＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2＝4，∴a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 又∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c 恒成立，∴4a －c ≥n a －c ，又∵a >c ，∴a －c >0，∴4≥n ，即n ≤4. 5.425解析 柯西不等式(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.①不等式①中当且仅当x 3＝y4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.6.15解析 函数的定义域为[1,6]． y 2＝(12－2x ＋x －1)2 ＝(2×6－x ＋1×x －1)2≤[(2)2＋12]×[(6－x )2＋(x －1)2]＝3×5＝15. ∴y 2≤15.∴y ≤15.当且仅当2×x －1＝1×6－x ，即x ＝83时等号成立．∴原函数的最大值为15. 7．8解析 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)． 则(－2)m ＋(－1)·n ＋1＝0,2m ＋n ＝1，m ，n >0. 1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n≥4＋2n m ·4m n ＝8，(m ＝14，n ＝12时取等号)即1m ＋2n 的最小值为8. 8.11解析 ∵(3x 2＋2y 2)[(23)2＋(12)2]≥(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤116×6＝11.∴－11≤2x ＋y ≤11，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧32x ＝223y3x 2＋2y 2＝6时，上式取“＝”．即⎩⎨⎧x ＝411y ＝311或⎩⎨⎧x ＝－411y ＝－311.∴x ＝411，y ＝311时，P max ＝11. 9．证明 由算术—几何平均不等式可得： a ＋b ＋c ≥33abc ，①a 2＋b 2＋c 2≥33a 2b 2c 2， ②①②相乘得(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc 即为所证结论．(12分)10．证明 方法一 要证(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252，只需证x 2＋y 2＋1x 2＋1y 2＋4≥252. (3分)∵x ＋y ＝1，即要证(1－2xy )＋1－2xy x 2y 2≥172，即要证4x 3y 3＋15x 2y 2＋4xy －2≤0， (5分)即要证(4xy －1)(x 2y 2＋4xy ＋2)≤0， (8分)即要证[4xy －(x ＋y )2](x 2y 2＋4xy ＋2)≤0， (10分)即要证(x －y )2(x 2y 2＋4xy ＋2)≥0.(12分) ∵x 、y 均大于0，x ＋y ＝1，故上式成立．故所证不等式(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252成立． (14分)方法二 ∵x ＋y ＝1，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝14，∴1xy≥4. (4分) 又∵(12＋12)[(x ＋1x )2＋(y ＋1y)2]≥(x ＋1x ＋y ＋1y )2(8分)＝(x ＋y ＋x ＋y xy )2＝(1＋1xy)2≥(1＋4)2＝25.(12分)即2[(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2]≥25.∴(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252. (14分)11．解 设该厂应隔x (x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的费用为y . ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)， (2分) ∴x 天饲料的保管与其他费用共是：6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)． (8分)从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417. (14分)当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值417.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小． (16分)。
选修《不等式选讲》全册教案
选修《不等式选讲》全册教案教案：不等式选讲课程概述：本教学选修课程《不等式选讲》是为了帮助学生掌握不等式的基本概念、性质和解题方法而设计的。
通过本课程的学习，学生将能够正确理解和应用不等式，提高其数学思维和解题能力，为后续学习提供基础。
教学目标：1.了解不等式的定义和基本概念；2.掌握不等式的性质和运算法则；3.掌握不等式的解法及其应用。
教学内容：第一章：不等式基本概念1.1不等式的定义及相关术语1.2不等式的表示方法第二章：不等式的性质和运算法则2.1不等式的性质2.2不等式的加减乘除法则2.3不等式的开方法则第三章：不等式的解法及其应用3.1一元一次不等式3.2一元二次不等式3.3绝对值不等式3.4复合不等式3.5应用题解析教学方法：本课程将采用讲授、示范演示和练习相结合的教学方法。
通过讲解相关概念和性质，展示解题方法和技巧，并通过练习题让学生进行巩固和实践。
教学步骤：第一课时1.引入不等式概念（10分钟）1.1通过实例引导学生思考不等式的概念；1.2解释不等式的定义和基本术语，如不等号、解集等。
2.不等式的表示方法（20分钟）2.1讲解不等式的数轴表示法；2.2演示不等式的文字表示法。
3.小结和练习（10分钟）3.1对本节课内容进行小结；3.2给学生布置与本节课内容相关的练习题。
第二课时1.不等式的性质（20分钟）1.1介绍不等式的传递性和加减乘除法则的运用；1.2示范演示相关例题。
2.不等式的解法（30分钟）2.1讲解一元一次不等式的解法；2.2分析一元二次不等式的解法；2.3展示绝对值不等式和复合不等式的解法。
3.小结和练习（10分钟）3.1对本节课内容进行小结；3.2给学生布置与本节课内容相关的练习题。
第三课时1.不等式的应用（20分钟）1.1分析一些与不等式相关的实际问题；1.2示范演示解决应用题。
2.综合练习（30分钟）2.1给学生布置一些综合练习题，涵盖前几节课的内容；2.2辅导学生解答练习题。
选修45《不等式选讲》全册教案
选修45《不等式选讲》全册教案教案题目：不等式选讲一、教学内容：本教学内容为45《不等式选讲》，包含了不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和不等式的应用等主要内容。
二、教学目标：1.了解不等式的基本概念及性质；2.掌握不等式的解集表示法；3.掌握一元一次不等式的解法及简单应用；4.掌握一元二次不等式的解法及简单应用；5.掌握绝对值不等式的解法及简单应用；6.能够运用不等式解决实际问题。
三、教学重点和难点：教学重点：不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式和一元二次不等式的解法。
教学难点：绝对值不等式的解法及应用。
四、教学方法：1.经典讲解法：通过教师讲解不等式的概念、性质和解法，引导学生理解并掌握相关知识点。
2.讨论交流法：通过引导学生进行讨论和交流，培养学生合作解决问题的能力。
3.实践操作法：通过实际问题的解决，让学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。
五、教学过程：1.针对不等式的基本概念及性质，教师通过举例和讲解，引导学生了解不等式的含义和不等式的常见性质。
2.针对不等式的解集表示法，教师通过讲解和练习题，帮助学生掌握不等式解集表示法的方法和技巧。
3.针对一元一次不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握一元一次不等式的解法和简单应用。
4.针对一元二次不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握一元二次不等式的解法和简单应用。
5.针对绝对值不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握绝对值不等式的解法和简单应用。
6.针对不等式的应用，教师通过实际问题的讲解和解决，引导学生运用所学知识解决实际问题。
七、教学评价：通过小组合作解题、课堂讨论、平时作业和期末考试等方式进行综合评价，评估学生对不等式相关知识的掌握情况和能力提升情况。
八、教学资源：1.教材：《不等式选讲》教材；2.多媒体教学设备；3.相关练习题和考试题。
九、教学反思：本次教案设计以教材为基础，以培养学生的综合应用能力为目标，通过不同的教学方法和教学环节，使学生掌握不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和不等式的应用等主要内容。
不等式选讲
学案75 不等式选讲 (二)不等式的证明导学目标： 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.2.会用比较法、综合法、分析法、数学归纳法证明比较简单的不等式．自主梳理1．证明不等式的常用方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是____与0比较大小或____与1比较大小．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或________，经过推理论证，最终指导出所要证明的不等式成立．(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________条件，到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．(4)反证法①反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．②反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．(5)放缩法①定义：证明不等式时，通过把不等式的一边适当地________或________以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立．这种方法称为放缩法．②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． (6)数学归纳法与自然数有关的不等式可考虑用数学归纳法证明． 自我检测1．已知M ＝a 2＋b 2，N ＝ab ＋a ＋b －1，则M ，N 的大小关系为________． 2．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为______________． 3．若a >0，b >0，给出下列四个不等式：①a ＋b ＋1ab ≥22；②(a ＋b )(1a ＋1b )≥4；③a 2＋b 2ab≥a ＋b ；④a ＋1a ＋4≥－2.其中正确的序号为______________．4．用数学归纳法证明(1＋13)(1＋15)(1＋17)…(1＋12k －1)>2k ＋12(k >1)，则当n ＝k ＋1时，左端应乘上________．这个乘上去的代数式共有因子的个数是________．5．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥(a ＋b 2)n(a ，b 是非负实数，n ∈N )时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1命题也成立的关键是______________．探究点一 比较法证明不等式例1 已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b .变式迁移1 (2011·福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．探究点二 用综合法证明不等式例2 设a 、b 、c 均为正数，求证： 12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .变式迁移2 设x 是正实数，求证： (x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.探究点三 用分析法证明不等式例3 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.变式迁移3 已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.探究点四 数学归纳法例4 用数学归纳法证明： 12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)．变式迁移4 用数学归纳法证明n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)转化与化归思想的应用例 (10分)已知f (x )＝x 2＋px ＋q .求证： (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.多角度审题 已知f (x )，要证f (1)＋f (3)－2f (2)＝2，只需化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明．求证|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12包括：|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中有一个大于等于12，其余两个小于12；三个中有2个大于等于12，另一个小于12；三个都大于等于12.如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑用反证法证明．【答题模板】证明 (1)∵f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2， ∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.[2分](2)假设|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2，[4分]而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝2， 与假设矛盾．[9分]∴|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.[10分]【突破思维障碍】根据正难则反的证明原则，|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|至少有一个不小于12的反面为|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|都小于12，所以用反证法证明只有一种情况，如果这一种情况不成立，则原命题成立．【易错点剖析】在证明(2)中如果不知道用反证法证，而是从正面分七种情况证明，往往会出现这样或那样的失误．1．证明不等式的常用方法有六种，即比较法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法，重点是前四种方法．2．比较法是证明不等式的一个最基本，最常用的方法．当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法；当被证的不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法．3．分析法执果索因，利于思考；综合法由因导果，宜于表达，适合人们的思维习惯，凡是能用分析法证明的不等式，一般可以用综合法证明．因此，我们做题时，通常先用分析法探求证题途径，在解答问题时用综合法书写． 4．放缩法就是利用不等式的传递性的方法，即要证a >b ，可以证a >c 且c >b .其中c 的确定是最困难的，要凭借对题意的分析和一定的解题经验．放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项，如⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>⎝⎛⎭⎫a ＋122；(2)将分子或分母放大(缩小)，如1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1(k ∈N *且k >1)等．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共42分)1．已知a 、b 、m ∈R ＋且a >b ，则a b 与a ＋mb ＋m的大小关系为________．2．设a ∈R 且a ≠0，以下四个式子中恒大于1的个数是________．①a 3＋1；②a 2－2a ＋2；③a ＋1a ；④a 2＋1a2.3．在下列不等式中，一定成立的是________(填序号)．①48a <84b ； ②a a b b >a b b a ； ③a 3>a 2－a ＋1；④(5＋2)m 2<m 2＋12－3. 4．如图所示，矩形OP AQ 中，a 1<a 2，b 1<b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“>”“<”或“＝”)5．已知P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，则P 、Q 的大小关系为________． 6．有一台天平，两臂长略有差异，其他均精确．现将一物体A 分别放在左、右托盘内各称一次，称得的结果分别为a 克和b 克，关于物体A 的质量，有下列一些说法：(1)物体A 的质量是a ＋b2克；(2)物体A 的质量介于a 克与b 克之间；(3)物体A 的质量大于a ＋b2克；(4)物体A 的质量大于2aba ＋b克．其中正确的说法是________．(将满足题意的所有序号填在题中横线上)7．设两个不相等的正数a ，b 满足a 3－b 3＝a 2－b 2，则a ＋b 的取值范围是________．二、解答题(共48分)8．(12分)若a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋b ＋12≤2.9．(12分)(2009·江苏)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.10．(12分)已知x ，y ，z 均为正数，求证： x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .11．(12分)用数学归纳法证明1·2＋2·3＋…＋n (n ＋1)>n (n ＋1)2.学案75 不等式选讲 (二)不等式的证明答案自主梳理1．(1)差 商 (2)定理 (3)充分 (5)①放大 缩小 自我检测 1．M ≥N解析 ∵M －N ＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0，当且仅当a ＝b ＝1时“＝”成立．∴M ≥N . 2．ab ≠1或a ≠－2解析 由x >y ，得a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0，所以有ab ≠1或a ≠－2.3．①②③④解析 ∵a >0，b >0，∴①a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥2·2ab ·1ab＝22；②(a ＋b )(1a ＋1b )≥4ab 1ab ＝4；③∵a 2＋b 22≥a ＋b2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝(a ＋b )·a ＋b 2≥(a ＋b )ab .∴a 2＋b2ab≥a ＋b ；④∵a >0，∵a ＋1a ＋4>0，∴④恒成立．4．(1＋12k ＋1)(1＋12k ＋3)…(1＋12k ＋1－1) 2k －1解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1＋12k ＋1)，最后一个是(1＋12k ＋1－1)，共有2k －2k －1＝2k －1项．5．两边同乘以a ＋b2解析 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要求证的(a ＋b 2)k ＋1.课堂活动区例1 解题导引 不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法．证明 ∵a b ＋ba －(a ＋b )＝(a )3＋(b )3－(a ＋b )ab ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab，又a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴a b ＋b a －(a ＋b )≥0.故a b ＋ba≥a ＋b .变式迁移1 解 ①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1，所以M ＝{x |0<x <1}． ②由①和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1. 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0， 故ab ＋1>a ＋b .例2 解题导引 本例不等式中的a 、b 、c 具有同等的地位，证明此类型不等式往往需要通过系数的变化，利用基本不等式进行放缩，得到要证明的结论．证明 ∵a 、b 、c 均为正数， ∴12⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b ， 当且仅当a ＝b 时等号成立；同理：12⎝⎛⎭⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c ， 当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝⎛⎭⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a， 当且仅当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．变式迁移2 证明 x 是正实数，由基本不等式知， x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3， 故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3 (当且仅当x ＝1时等号成立)．例3 解题导引 当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法．分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法．证明 欲证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a >b >0，∴只需证a －b 22a <a －b 2<a －b22b ，即a ＋b 2a <1<a ＋b 2b .欲证a ＋b 2a<1，只需证a ＋b <2a ，即b <a .该式显然成立．欲证1<a ＋b2b，只需证2b <a ＋b ，即b <a .该式显然成立．∴a ＋b 2a <1<a ＋b 2b 成立，且以上各步均可逆．∴(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b成立．变式迁移3 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，∵a >0，∴只需证⎝⎛⎭⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 从而只要证2 a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．例4 解题导引 用数学归纳法证明不等式，推导n ＝k ＋1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用．在证明过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩，建立关系．证明 (1)当n ＝2时，12>0，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2)时，原不等式成立． 即12＋13＋14＋15＋…＋12k －1>k －22， 则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝k －12＝(k ＋1)－22. ∴当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)知，原不等式对n ≥2的所有的自然数都成立， 即12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． 变式迁移4 证明 (1)当n ＝1时，显然命题成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立． 即k 2＋k <k ＋1，∴k 2＋k <(k ＋1)2. 则当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2 ＝k 2＋k ＋2k ＋2<(k ＋1)2＋2k ＋2＝k 2＋4k ＋3<k 2＋4k ＋4＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. ∴(k ＋1)2＋k ＋1<(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)知，原不等式对n ∈N *成立．即n 2＋n <n ＋1. 课后练习区 1.a b >a ＋m b ＋m解析 ∵a b －a ＋m b ＋m ＝ab ＋am －ab －bm b (b ＋m )＝m (a －b )b (b ＋m )>0，∴a b >a ＋m b ＋m . 2．1解析 只有a 2＋1a2≥2>1.3．④解析 取a ＝b ＝1，显然有48a 84b ＝⎝⎛⎭⎫484·44＝16>1，∴48>84，①不成立； ∵a a b b a b ba ＝⎝⎛⎭⎫ab a ·⎝⎛⎭⎫b a b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ， 当a <b <0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b<1，∴②不一定成立； ∵a 3－a 2＋a －1＝(a －1)(a 2＋1)， 当a <1时，③不成立；∵(5＋2)2＝7＋210，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝(2＋3)2＝7＋212，∴5＋2<12－3，又m 2<m 2＋1，∴(5＋2)m 2<m 2＋12－3，故④正确． 4．> 5．P <Q解析 将P 、Q 平方，比较大小． 6．(2)(4)解析 设物体A 的质量为x 克，天平左臂长m ，右臂长n ，则由题设，得 mx ＝na ， ① mb ＝nx . ②从而，由①②两式相除，得x b ＝ax，即x ＝ab .若a ＝b ，则由①②两式相乘，得m 2bx ＝n 2ax ，即m ＝n ，这与题设中“两臂长略有差异”相矛盾．于是，必有a ≠b ，从而a ＋b2>ab ，所以(1)(3)错误．由放缩法易知ab 必介于a ，b 之间，所以说法(2)正确． 又2ab a ＋b <2ab 2ab＝ab ，所以说法(4)正确． 7．(1，43)解析 ∵a 3－b 3＝a 2－b 2(a ≠b )，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2－ab ＝a ＋b ，∴ab ＝(a ＋b )2－(a ＋b )，又∵0<ab <(a ＋b 2)2，∴0<(a ＋b )2－(a ＋b )<(a ＋b 2)2，解之得1<a ＋b <43.8．证明 要证 a ＋12＋ b ＋12≤2成立，即证( a ＋12＋ b ＋12)2≤4，(2分)即证a ＋b ＋1＋2( a ＋12·b ＋12)≤4，(4分)∵a ＋b ＝1，故就是证 a ＋12· b ＋12≤1，(6分)即证ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14，(8分)只需证ab ≤(a ＋b 2)2，也就是证2ab ≤a 2＋b 2，这是显然成立的，故原不等式成立．(12分)9．证明 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a ) ＝(3a 2－2b 2)(a －b )．(8分)因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，(10分) 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.(12分)10．证明 因为x ，y ，z 均为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z，(3分) 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，(6分)当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.(12分) 11．证明 (1)当n ＝1时，2>1，命题成立．(2分)(2)假设n ＝k 时命题成立，即1·2＋2·3＋…＋k (k ＋1)>k (k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，1·2＋2·3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)>k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)>k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．(10分)综合(1)(2)，得对一切正整数n ，不等式都成立．(12分)。
山东省滕州市第一中学高二一部数学不等式选讲导学案1
高二、一部数学导学案（一）1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么2a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.在应用基本不等式时要注意什么?两个正数的算术平均数2b a +, 几何平均数ab , 平方平均数 , 3、设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值.☆探究：类比基本不等式：如果+∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立.如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立.☻建构新知：问题：已知,,a b c R +∈, 求证：3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-=定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 定理3的可以表述: 推论 对于n 个正数12,,,n a a a , 它们的 即 当且仅当a b c ==时, 等号成立. ☆案例学习：例1已知,,x y z R +∈, 求证：(1)3()27x y z xyz ++≥;(2)()()9x y z y z x y z x x y z++++≥;(3)222()()9x y z x y z xyz ++++≥．例2 求函数)0(,322>+=x xx y 的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法. 解一:3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y . ∴3min 43=y ． 解二:x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时, 633min 3242123221262==⋅=y ． 正解:课堂练习：1.若1,0,0=+>>b a b a ，则)11)(11(22--ba 的最小值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.92.若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为（ ）A ．3-1B ． 3+1C ． 23+2D ． 23-23、若14<<-x ，则22222-+-x x x 的最小值为（ ）7 C.1-D.1 4、函数)(,422+∈+=R x x x y 的最小值为（ ）A.6B.7C.8D.9 5、已知1273,023++=-+y x y x 则的最小值是（ ） A. 393 B. 221+ C. 6 D. 76、求下列函数的最值1︒、0>x 时, 求x x y 362+=的最小值．2︒、设]27,91[∈x ，求)3(log 27log 33x xy ⋅=的最大值．3︒、若10<<x , 求)1(24x x y -=的最大值．4︒、若0>>b a ，求)(1b a b a -+的最小值为.7、某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面 的长 度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶 和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用．（1）把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？。
高中数学人教版《不等式选讲》教案2023版
高中数学人教版《不等式选讲》教案2023版引言：高中数学的学习是培养学生科学思维和解决实际问题的能力的重要途径之一。
而《不等式选讲》作为数学教材的一部分，旨在帮助学生深入理解和掌握不等式的性质和运算，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
本教案将对《不等式选讲》的教学内容进行详细讲解，以帮助教师更好地进行教学。
一、教学目标在学习本篇教材后，学生应该能够:1. 掌握不等式的定义和性质，包括不等式的传递性、加法性和乘法性等；2. 理解不等式中的图像和解集，能够进行不等式的图像表示和解集求解；3. 熟练掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法和求解过程；4. 运用不等式解决实际问题，如应用不等式求解优化问题等。
二、教学内容1. 不等式的定义和性质1.1 不等式的基本概念1.2 不等式的传递性1.3 不等式的加法性1.4 不等式的乘法性2. 图像与解集的表示2.1 不等式的图像表示2.2 不等式的解集表示3. 一元一次不等式的解法3.1 一元一次不等式的基本性质 3.2 一元一次不等式的解法步骤3.3 一元一次不等式的应用举例4. 一元二次不等式的解法4.1 一元二次不等式的基本性质 4.2 一元二次不等式的解法步骤4.3 一元二次不等式的应用举例5. 应用题：不等式的优化问题5.1 抽象建模5.2 求解优化问题的一般步骤 5.3 应用实例分析与解答三、教学方法1. 讲授法：通过教师讲解不等式的定义、性质和解法等，提供基本知识和解题思路；2. 演示法：通过具体的图表、实例等展示不等式的图像表示和解集求解，让学生更直观地理解；3. 实践法：教师和学生一起进行不等式的练习和解题，培养学生的解决实际问题的能力；4. 讨论交流法：通过小组或全班讨论，帮助学生加深对不等式的理解，并提高问题解决能力。
四、教学步骤1. 引入介绍不等式的概念，引导学生思考不等式在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 掌握不等式的性质分别讲解不等式的传递性、加法性和乘法性，并通过例题和练习帮助学生掌握这些性质。
高中数学选修4-5不等式选讲导学案
高中数学选修4-5不等式选讲导学案§1.1.1不等式的基本性质☆学习目标：1.理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质;2.掌握比较两个实数大小的一般步骤知识情景：1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
2.实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知：abab0abab0abab0结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
3.不等式的基本性质：10.对称性：ab；20.传递性：ab,bc；30.同加性：ab；推论：同加性：ab,cd；30.同乘性：ab,c0，ab,c0；推论1：同乘性：ab0,cd0；推论2：乘方性：ab0,nN；推论3：开方性：ab0,nN；推论4：可倒性：ab0.☆比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)．☆案例学习：例1已知ab0,c0，求证：ccab．例2若a0ba，cd0，则下列命题中能成立的个数是()1adbc；2adbc0；3acbd；4adcbdcA.1B.2C.3D.4.例31若某y0，试比较某2y2某y与某2y2某y的大小；2设a0，b0，且ab，试比较aabb与abba的大小.例4若f(某)a某2c满足4≤f(1)≤1，1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.例5已知ab0，dc0，用不等式性质证明：abcd选修4-5练习§1.1.1不等式的基本性质练习1.（07届高三北京海淀第二学期期末）若ab0，则下列结论不正确的是()A.a2b2B.ab2bC.baab2D.abab2.设a,b(,0)，则“ab”是“a11abb”成立的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列不等式：其中正确的个数为()1某232某(某R)，2a5b5a3b2a2b3(a,bR)，3a2b22(ab1)．A.0B.1C.2D.34.在下列命题中真命题的个数有()①若ab0,cd0,那么ab;dc②②已知a,b,c都是正数，并且ab,则ambmab；③③23某4的最大值是243;④若a,bR，则a2某b2522abA.3个B.2个C.1个D.0个6.（06上海春）若a、b、cR,ab，则下列不等式成立的是()A.11abB.abC.22abc21c2130.同乘性：ab,c0，ab,c0；D.a|c|b|c|7.（06江西）若a0，b0，则不等式b1某a等价于()A.1b某0或0某1aB.1a某1bC.某1或某1abD.某1或某1ba8.（08北京文）若集合A{某|2某3}，B{某|某1或某4}，则集合AB 等于A．某|某3或某4B．某|1某3C．某|3某4D．某|2某19.给出下列条件①1ab；②0ab1；③0a1b．其中，log11bblogablogab成立的充分条件是（填所有可能的条件的序号）10.已知a,b,c满足：a、b、cR，a2b2c2，当nN，n2时，比较cn与anbn的大小.§1.1.2基本不等式学案（1）☆学习目标：1.理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;2.初步掌握不等式证明的方法知识情景：1.不等式的基本性质：10.对称性：ab；20.传递性：ab,bc；30.同加性：ab；推论：同加性：ab,cd；推论1：同乘性：ab0,cd0；推论2：乘方性：ab0,nN；推论3：开方性：ab0,nN；推论4：可倒性：ab0.2.比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)．建构新知：1．定理1如果a,bR,那么a2b22ab.当且仅当ab时,等号成立.证明:∵a2b22ab(ab)20,当且仅当ab时,等号成立.∴a2b22ab,当且仅当ab时,等号成立.2.定理2(基本不等式)如果a,bR,那么ab2ab.当且仅当ab时,等号成立.讨论:10.比较定理1与定理2,有哪些相同和不同20.如何证明基本不等式30.给出图形如右,你能解析基本不等式的几何意义吗40.怎样用语言表述基本不等式☆案例学习：例1在a0，b0的条件下，三个结论：其中正确的个数是（）①2abababaab2，②2b222，③b2aa2bab，A．0B．1C．2D．3例2设a,bR，求证：(1)ab2a2b222;(2)a2b2c2abbcac．例3(1)设某0,y0且某2y1，求11某y的最小值.；(2)设某、y是正实数，且某+y=5,则lg某+lgy的最大值是___________.(3)若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是例4一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有45cm2的面积，问应如何设计十字型宽某及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．§1.1.3基本不等式学案(2)三个正数的算术-几何平均不等式☆学习目标：1.理解并掌握重要的基本不等式;2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广;3.初步掌握不等式证明和应用知识情景：1．定理1如果a,bR,那么a2b22ab.当且仅当ab时,等号成立.2.定理2(基本不等式)如果a,bR,那么ab2ab.当且仅当ab时,等号成立.推论10.两个正数的算术平均数ab2,几何平均数ab,平方平均数,调和平均数2abab，从小到大的排列是:☆探究：类比基本不等式：如果a,bR,那么ab2ab.当且仅当ab时,等号成立.如果a,b,cR,那么.当且仅当时,等号成立.建构新知：问题：已知a,b,cR,求证：a3b3c33abc.当且仅当abc时,等号成立.证明:∵a3b3c33abc定理3如果a,b,cR,那么abc33abc,当且仅当abc时,等号成立.定理3的文字表述:推论对于n个正数a1,a2,,an,它们的即当且仅当abc时,等号成立.☆案例学习：例1已知某,y,zR,求证：(1)(某yz)327某yz;(2)(某yyzz某)(y某z某yz)9;(3)(某yz)(某2y2z2)9某yz．例2用一块边长为a的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？例3求函数y2某23某,(某0)的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.解一:y2某23某2某21某1某332某21某2某334.∴y3min34．解二:y2某233某22某2某26某当2某23某即3某122时,3ymin261222331226324．正解:§1.1.2基本不等式练习若a0,b0,ab1，则(1a21)(1b21)的最小值是（）A.6B.7C.8D.92.若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为（）A．3-1B．3+1C．23+2D．23-23.若关于某的不等式(1k2)某≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有（）A.2∈M，0∈M；B.2M，0M；C.2∈M，0M；D.2M，0∈M24.若4某1，则某2某22某2的最小值为（）A.2B.37C.1D.15.函数y2某24某,(某R)的最小值为（）A.6B.7C.8D.96.已知某3y20,则3某27y1的最小值是（）A.339B.122C.6D.77.求下列函数的最值（1）某0时,求y6某23某的最小值．（2）设某[1某9,27]，求ylog327log3(3某)的最大值．（3）若0某1,求y某4(1某2)的最大值．（4）若ab0，求a1b(ab)的最小值为.8.某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，求每次进货量应多少2.2.3含绝对值不等式的解法学案学习目标：1.由绝对值的几何意义掌握不等式某a和某>a(a>0)的解集2.了解其它类型含绝对值不等式的解法；3.渗透由特殊到一般的思想方法，寻求事物的一般规律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式选讲
1.绝对值不等式：
例1.（2013年高考福建）设不等式2x a -<（*a N ∈）的解集为A ，且
32A ∈，12
A ∉. （1）求a 的值；
（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值.
演变1.（2011年高考福建）设不等式|21|1x -<的解集为M ．
（1）求集合M ；
（2）若a b M ∈、，试比较1ab +与a b +的大小．
演变2.（2014年高考辽宁）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x
≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .
（1）求M ；
（2）当x M
N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.
例2.设函数()|24|1f x x =-+
（1）若关于x 的不等式()f x t ≥恒成立，求t 的取值范围；
（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围
演变1.（2012年高考辽宁）已知()|1|f x ax =+（a R ∈），不等式()3f x ≤的解集为 {|21}x x -≤≤.
（1）求a 的值；
（2）若|()2()|2
x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围.
例3.设函数()||3f x x a x =-+，其中0a ≠
（1）当2a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；
（2）若不等式()0f x ≤的解集包含{|1}x x ≤-，求a 的取值范围
演变1.（2012年高考新课标）已知函数()|||2|f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围
例4.（2013年高考新课标1）已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+
（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；
（2）设1a >-，且当1[,)22
a x ∈-
时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.
演变1.设函数()|2||2|f x x x a =++-
（1）当2a =时，求函数()f x 的值域；
（2）当4a <-时，若存在2x ≤-，使得()4f x x -≤成立，求实数a 的取值范围
例5.已知函数()|1||23|f x x x =--+
（1）若()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）对于任意非零实数m ，不等式|21||1|||()m m m f x -+-≥⋅恒成立，求实数x 的取值范围
演变1.设函数()12f x x x =-+-
（1）求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若不等式||||||()a b a b a f x ++-≥⋅（0a ≠，a b R ∈，）恒成立，求实数x 的取值范围
2.柯西不等式：
例1.（2014年高考新课标1）若0a >，0b >，且
ab b a =+11 （1）求33b a +的最小值；
（2）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.
演变1.（2013年高考新课标2）设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明：
（1）13ab bc ca ++≤；
（2）222
1a b c b c a
++≥.
例2.已知a 、b 为正实数
（1）求证：22
a b a b b a
+≥+； （2）若函数22
(1)1x x y x x
-=+-（01x <<）的最小值为t ，x y z t ++=，求222
23x y z ++的最小值.
演变1.已知a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，求证：
（1）
9111≥++c
b a ； （2）222111100()()()3a b
c a b c +++++≥.
演变2.已知a 、b 、c 为实数，且220a b c m +++-=，222111049
a b c m +++-= （1）求证：2
2
2211()4914a b c a b c ++++≥； （2）求实数m 的取值范围
3.综合应用：
例1.已知函数()|2||1|f x x x =+--
（1）求()f x 的值域；
（2）设233()ax x g x x
-+=（0a >），若对任意(0,)s ∈+∞，任意t R ∈，恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围
演变1.（2014年高考新课标2）设函数()1f x x x a a
=++-（0a >） （1）证明：()2f x ≥；
（2）若()35f <，求a 的取值范围.
例2.已知函数()|21||2|f x x x =---，不等式()0f x ≤的解集为M
（1）若关于x 的不等式()f x m ≤有解，求m 的取值范围；
（2）设a b M ∈，，22
1a b +=，若34a b t +≥恒成立，求t 的取值范围
演变1.（2014年高考福建）已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a .
（1）求a 的值； （2）若r q p ，，
为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .
演变2.（2012年高考福建）已知函数()|2|f x m x =--，m R ∈，且(2)0f x +≥的解集为
[1,1]-
（1）求m 的值；
（2）若,,a b c R ∈，且
11123m a b c ++=，求证：239a b c ++≥。