平行四边形典型例题

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创作编号:

GB8878185555334563BT9125XW

创作者:凤呜大王*

平行四边形典型例题

1.已知如图12-1-19,所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE 上AD于E,OF⊥BC于F.

求证:四边形AECF是平行四边形

错证:在△AOE和△COF中

∵OE⊥AD,OF⊥BC ∴∠AEO=∠CFO=90°

∵四边形ABCD为平行四边形

∴OA=OC,AD∥BC ∴∠EAC=∠ACF

∴△AOE≌△COF(AAS)∴OF=OE

∴四边形AECF是平行四边形

错误分析:上面证明由OF=OE,OA=OC不能说明EF与AC互相平分,因为原题设中没有说明E、O、F三点共线,因此先证E、O、F三点共线.

正确证明:在△AOE和△COF中

∵OE⊥AD OF⊥BC ∴∠AEO=∠CFO=90°

∵四边形ABCD为平行四边形

∴OA=OC,AD∥BC ∴∠EAC=∠ACF

∴△AOE≌△COF(AAS)∴OF=OE

又∵AD∥BC,OE⊥AD,OF⊥BC

∴E、O、F三点共线

∴四边形AECF是平行四边形

2.如图12-1-22所示,现有一块等腰直角三角形的铁板,通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形,请你设计一种最简单的方案,并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形.

分析:运用三角形全等,平行四边形的识别方法来解答,在证明时不要忽略证明F,E,D共线.

解:取AC、BC的中点E、D连结ED,则沿ED切割下来,如图使点E不变,点C 与点A重合,再焊接上去最简单.

证明:在Rt△ABC中∵AC=BC ∴∠B=45°

又∵E、D分别为AC、BC的中点

∴EC=DC ∴∠CED=∠CDE=45°

∴∠AEF=∠CED=45°∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED=180°

∴F、E、D在一条直线上∵∠EAF=∠C=90°∴AF∥CD

又∵AF=CD=DB ∴四边形AFDB是平行四边形,且∠B=45°

3.如图12-1-23,在□ABCD的对角线上取两点E、F,且BF=DE,请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形,并指出哪种方法最简便.

分析:可证两组对边分别相等,也可证对角线互相平分.

证明方法(一)

在△ABF和△CDE中,AB=CD,BF=DE,∠ABF=∠CDE.

∴△ABF≌△CDE ∴AF=CE

同理可证AE=CF,故四边形AECF是平行四边形

方法(二)

连AC交BD于O

在□ABCD中,OA=OC,OB=OD

∵BF=DE ∴OE=OF ∴四边形AECF为平行四边形

4.如果一块木板两边是线段,把两把曲尺的一边紧靠木板边缘,再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等,就可以判断木板的两个边缘是否平行,这是为什么?

分析:这是一道生活实践题,运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题,此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行.

解:如果曲尺的刻度相等,则木板的两个边缘就平行,因为,两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形,当曲尺的刻度相等,则四边形中就有一组对边平行且相等,所以四边形为平行四边形,则木板的两边缘平行.

如果曲尺的刻度不相等,则木板的两个边缘就不平行,因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形.

5.已知如图12-1-4所示,□ABCD中,AB的延长线上取一点E,使BE=AB,在CE上取一点M使CM=CD,连结DM并延长交AE的延长线于点F

求证:BD=BF

分析:由于BD,BF是△BDF的两边,所以要证BD=BF,可由证△BDF中∠BDF =∠F入手,易知∠F=∠CDM=∠CMD=∠EMF,故只要证BD∥CE,由此由证法一又注意到BF=BE+EF,易知BE=AB=CD=CM,EF=EM,故BF=CE,从而只要证BD=CE,由此有证法二.

证法(一):∵四边形ABCD为平行四边形∴AB CD

又∵E点在AB延长线上,且BE=AB ∴AB CD

∴四边形BECD是平行四形∴BD∥CE ∴∠BDF=∠EMF ∵∠EMF=∠CMD ∴∠BDF=∠CMD

又∵CM=CD ∴∠CMD=∠CDM ∴∠BDF=∠CDM

创作编号:

GB8878185555334563BT9125XW

创作者:凤呜大王*

∵AF∥CD ∴∠CDM=∠F ∴BDF=∠F

即BD=BF

证法(二):∵四边形ABCD为平行四边形∴AB CD

又∵E点在AB延长线上且BE=AB ∴BE CD

∴四边形BECD是平行四边形∴BD=CE,BE=CD

又∵∠EMF=∠CMD,CD=CM ∴∠CMD=∠CDM

∴∠EMF=∠CDM ∵BE∥CD ∴∠F=∠EMF ∴EF=EM

∴BF=BE+EF=CD+EM=CM+EM=CE=BD

即BF=BD

习题精选

一、填空题

1.过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线,垂足为E、F,则四边形AECF是 .

2.延长△ABC的中线AD到E,使DE=AD 则四边形ABEC

是四边形.

3.在四边形ABCD中∠A=50°欲使四边形为平行四边形,则∠

B= ,∠C=,∠D= .

4.在四边形中,任意相邻两个内角互补,则这个四边形

是四边形.

5.如图12-1-29,在□ABCD中,E、F为AB、CD的中点,连结DE、EF、BF则图中共有

个平行四边形.

6.在□ABCD中连结BD作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,连结CE、AF,点P、Q在线段BD上,且BP=DQ,连结AP、CP、AQ、CQ,MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC,那么图中平行四边形(除□ABCD 外)有个,它们是 .

二、判断题

1.平行四边形的对边分别相等()

2.平行四边形的对角线相等()

3.平行四边形的邻角互补()

4.平行四边形的对角相等()

5.平行四边形的对角线互相平分一组对角()

6.对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等()

三、选择题

1.能判断四边形是平行四边形的条件是()

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