4,
b a b a --=??
-=?3a =-1b ==≤4==1t =max
4=
如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：OCB D ∠=∠．
3.（2014 辽宁理 22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，
EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂
直EP ，垂足为F .
（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC BD =，求证：AB
ED =.
6.（2014 新课标1理22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证
明选讲
如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且C
B C E =.
（1）证明：D
E ∠=∠；
（2）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.
9.（2014 新课标2理22）（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲 如图P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相
交于点B ，
C ，2PC PA =，
D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点
E .
证明：（1）BE EC =；
A
O
B
C
D
A
B
P
C
G
F
E
D
（2）2·2AD DE PB =.
11.（2014 新课标2理24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数
()1
f x x x a a
=+
+-()0a >. （1）证明：()2f x …；
（2）若
()35f <，求a 的取值范围.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°.以⊙O 为圆心，OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与O 相切；
(II)点C ,D 在⊙O 上，且A ,B ,C ,D 四点共圆，证明：AB ∥CD .
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）
。在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
（II ）直线C 3的极坐标方程为，其中满足tan=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。 （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.
（I ）在答题卡第（24）题图中画出y= f (x )的图像； （II ）求不等式∣f (x )∣﹥1的解集。
高考数学选做题(选修4-4,选修4-5)知识网络与方法清单
专题01 坐标系 【知识网络】 【考情分析】 考纲要求 ①理解坐标系的作用。 ②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 ③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行坐标和直角坐标的互化。 ④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 ⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。 考情分析 高频考点 常见曲线的极坐标方程、直角坐标和极坐标的互化 考查形式 通过近几年高考命题趋势看，本部分重点考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，常见曲线的极坐标方程也是考查的重点，主要考查基础知识、基本技能， 题型一般为解答题，难度中等． 命题角度 结合直线与圆、圆锥曲线、三角函数及恒等变换、向量等知识考查 常见题型 解答题 备考要求 对知识点进行归纳整理、掌握常见曲线的极坐标方程、直角坐标和极坐标之间的互化公式及其运用等． 【知识详单】 1.平面直角坐标系的作用 通过平面之间坐标系，实现了平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而使得数与形的结合． 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换． (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在 变换φ：? ???? x ′＝λx ，λ>0 y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中 的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 坐标系 直角坐标系 柱坐标系和球坐标系 极坐标系 极坐标方程及其应用 极坐标和极坐标系的概念 直角坐标和伸缩变换 极坐标与直角坐标的互化
2020高考文科数学各类大题专题汇总
2020高考文科数学各类大题专题汇总 一、三角函数 二、数列 三、立体几何 四、概率与统计 五、函数与导数 六、解析几何 七、选做题 大题专项练(一)三角函数 A组基础通关 1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值. 因为c cos B+(b-2a)cos C=0, 所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0, 所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C, 所以sin(B+C)=2sin A cos C. 又因为A+B+C=π, 所以sin A=2sin A cos C. 又因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以cos C=. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由(1)知,C=,
所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab. 又c=2,所以4=a2+b2-ab. 又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=×4×sin. 2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°. (1)若∠AMB=60°,求BC; (2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ. 由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°. 在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2. 在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2. (2)因为∠DCM=θ, 所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°. 在Rt△MCD中,MC=; , 在Rt△MAB中,MB= °- 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=cos θ, 整理可得tan θ=.
高考数学选做题精编WORD版
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高考数学选做题 1．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> . （Ⅰ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集； （Ⅱ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明： （Ⅰ）若ab cd > ,> >a b c d -<-的充要条件. 3．若,0,0>>b a 且 ab b a =+1 1 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 4．设函数1 ()||||(0)f x x x a a a =+ +-> （1）证明：()2f x ≥； （2）若(3)5f <，求a 的取值范围． 5．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （Ⅱ）设1a >-，且当1 [,)22 a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围。 6．已知函数()f x =|||2|x a x ++-. (Ⅰ)当3a =-时，求不等式 ()f x ≥3的解集； (Ⅱ) 若()f x ≤|4|x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题. 7． （本小题满分10分）选修4-5不等选讲 设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。 8．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤ 13 ； （Ⅱ）222 1a b c b c a ++≥ 9．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
最近三年数学选做题(理科)
选修4－4：坐标系与参数方程 1.（2016年全国I ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 （t 为参数，a ＞ 0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 2.（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α =??=?（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率． 3、（2014 辽宁理 23）（分10分） 将圆22 1x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原 来的2倍，得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 4、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? ??? ? =+=t y t x 23211 （t 为参数）椭圆C 的参数方程为???==θ θ sin 2cos y x （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. .
选修4－4：坐标系与参数方程答案 1.解：⑴ cos 1sin x a t y a t =?? =+? （t 均为参数）∴()2 221x y a +-= ① ∴1C 为以()01， 为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵ 24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθ ρρθ==+=， 224x y x ∴+=即()2 224x y -+= ② 3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=∴1a = 2.解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=， 由222 cos sin x y x y ρρθρθ?=+? =??=? 可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=． ⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=， 由垂径定理及点到直线距离公式知：2 2 6102521k k ?? -=- ? ?+?? ， 即22369014 k k = +，整理得2 53k =，则153k =±． 3.
2019年高考文理数学选做题练习
绝密★启用前 2019年高考选做题练习 数学（文）试卷 考试时间：120分钟 满分150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1.在直角坐标系xOy 中，过点P (1,2)的直线l 的参数方程为1122x t y ?=+?? ??=+??（t 为参数）.以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求 11PM PN +的值. 答案及解析： 1.（1 ）由已知得1122x t y ? -=?? ??-=??，消去t 得21)y x -=-， 即 20y -+=， 所以直线l 20y -+-=；┄┄┄2分 曲线C ：4sin ρθ=得2 4sin ρρθ=，因为2 2 2 x y ρ=+，sin y ρθ=，所以2 2 4x y y +=， 整理得2 2 (2)4x y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2 2 (2)4x y +-=；┄┄┄5分 （2）解：把直线l 的参数方程11222 x t y ? =+?? ??=+??（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得： 221(1))422 t ++=，即230t t +-=， 设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12121 3 t t t t +=-?? ?=-?，┄┄┄8分 所以11PM PN +1212 PM PN t t PM PN t t ++==? ?1212t t t t -==? =。┄┄┄10分 2.已知函数()222f x x x =--+. （1）求不等式()6f x ≥的解集； （2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围. 答案及解析： 2.解:（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥?-+≥2x ?≤-，故2x ≤-； 当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥?-≥2x ?≤-，故x ∈?； 当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥?-≥10x ?≥，故10x ≥； 综上可知：()6f x ≥的解集为(,2][10,)-∞+∞；┄┄┄5分 （2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-?? =--<），以直角坐标系的原 点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C 的极坐标方程为8sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线M 的普通方程； （2）若圆C 与曲线M 的公共弦长为8，求r 的值. 答案及解析： 3.（1）由8sin ρθ=，得2 8sin ρρθ=， 所以2 2 80x y y +-=， 即()2 2 416x y +-=， 故曲线C 的直角坐标方程为()2 2 416x y +-=.
精品专题05直击高考选做题集训-一本通之备战2019高考数学(理)选做题
专题05 直击高考选做题集训 1．（2018新课标Ⅰ卷）[选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程. 【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆． 由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线． 记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ． 由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，所以 2|2|21k k -+=+，故43k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =- 时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，所以 2|2|21k k +=+，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k = 时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23 y x =- +． [选修4—5：不等式选讲] 已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.
最近三年数学选做题理科
选修4-4:坐标系与参数方程 1. （2016年全国I ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为t =（t （y = 1.十aslnt r 为参数，a> 0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p =4cos 0 . （I）说明C是哪种曲线，并将C的方程化为极坐标方程；（II ）直线C3的极坐标方程为0二a 0，其中a 0满足tan a 0=2，若曲线C与C2的公共点都在C3上，求a. 2. （2016年全国II ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x 6）2寸25 . （I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（n）直线I的参数方程是x tcos（t为参数），1与C交于A,B两点，|AB| ?.帀，y tsi n 求l的斜率. 3. （2014辽宁理23 ）（分10分）将圆x2 y2 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （1）写出C的参数方程；（2）设直线I ：2x y 2 0与C的交点为RF2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段RF2的中点且与|垂直的直线的极坐标方程. 4、（2016江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 A，B两点，求线段AB的长. 为参数）椭圆C的参数方程为x cos y 2sin （为参数）.设直线l与椭圆C相交于 x 1 -t (t
选修4-4:坐标系与参数方程答案 1.解：⑴ x acost （ t 均为参数）??? x 2 y y 1 asint a 2 ① 二C i 为以 0，1为圆心，a 为半径的圆.方程为 2 2 y 2y 1 a 0 sin 2 2 sin 1 a 2 0即为C 1的极坐标方程 ⑵G : 4cos 两边同乘得2 4 cos Q 2 x 2 y 2， cos x x 2 y 2 4x 即 x C 3 :化为普通方程为y 2x 由题意: C i 和C 2的公共方程所在直线即为 C 3 ①一②得：4x 2y 1 a 2 0，即为 C 3 二 1 a 2 0 ??? a 1 2.解：⑴整理圆的方程得 2 2 x y 12 11 0， 3. 2 2 x 由 cos sin 2 y x 可知圆C 的极坐标方程为 y 2 12 cos 11 0 ? ⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为 由垂径定理及点到直线距离公式知: 36k 2 2 丘 2 ，整理得F 5，则k 4.解：椭圆 2 C 的普通方程为X 2冷1， kx y 0， 6k 1 k 2 15 3 25 10 2 2 将直线I 的参数方程 1 -t 2 2 ，代入 2 2 y 彳 x 7 1, 得 （1 1，即 7t 2 16t 0,解得 t 1 ， t 2 16 7 所以AB |t 1 t 2| 16 7
高考数学全国一卷选做题汇编(2011-2019)
历年高考选做题汇编 2019年 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1） 222111 a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 2221141t x t t y t ?-=??+??=?+? ，2cos sin 110ρθθ+=
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． ⑴求的直角坐标方程； ⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知． ⑴当时，求不等式的解集； ⑵若时不等式成立，求的取值范围．
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? （θ为参数），直线l的参数方 程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数） （1）若a=?1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l a. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
2020届高考数学(理)二轮重点突击专题卷(11)选做题
重点突击专题卷（11）选做题 1、已知关于x 的不等式()110ax ax a a -+-≥> （1）当 1a =时,求此不等式的解集; （2）若此不等式的解集为R,求实数a 的取值范围 2、已知函数()31f x x m x m =----． （1）若1m =，求不等式()1f x <的解集； （2）对任意的R x ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围． 3、已知函数()212f x x x a =-+-. (1)当1a =时,求()3f x ≤的解集; (2)当[]1,2x ∈时,()3f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围. 4、设函数()|1|,()|24|f x x g x x =-=-. （1）求不等式()()f x g x >的解集； （2）若存在R x ∈，使得不等式2(1)()1f x g x ax ++<+成立，求实数的取值范围. 5、设函数()214?f x x x =+--. 1.解不等式()2f x >; 2.求函数()y f x = 的最小值. 6、选修4-5 不等式选讲 已知函数()311f x x x =-++ 1.解不等式()5f x ≥ 2.若函数()f x 的最小值为m ,且42log (23)log (3)a b m +=,(0,0)a b >>,求ab 的最大值. 7、在极坐标系中，直线:cos 3l ρθ=，P 为直线l 上一点，且点P 在极轴上方，以OP 为一 边作正三角形OPQ (逆时针方向)，且OPQ △(1)求点Q 的极坐标； (2)求OPQ △外接圆的极坐标方程，并判断直线l 与OPQ △的外接圆的位置关系.
2014高考数学选做题汇编
2014高考选做题汇编 1 （辽宁）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED. 解.（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠ DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PFA . 由于AF 垂直EP ，所以∠PFA =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ，DC . 由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°， 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB . 2（辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C 的参数方程； （2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 解.（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =??=? 由2 21 1 1x y += 得2 2()12y x +=，即曲线C 的方程为22 14 y x + =.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ??? ＝＝ （t 为参数）. (Ⅱ)由2 214220 y x x y ?+ =???+-=? 解得：10x y =??=?，或02x y =?? =?. 不妨设12 (1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12 k =，于是所求直线方程为11 1()22 y x -=-， 化极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即3 4sin 2cos ρθθ = -. 3（辽宁）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+， 记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ； （2）当x M N ∈时，证明：221 ()[()]4 x f x x f x +≤ . 解.（Ⅰ）33,[1,) ()1,(,1)x x f x x x -∈+∞?=?-∈-∞? 当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤ ，故413 x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<； 所以()1f x ≤的解集为4 {|0}3 M x x =≤≤.
高考文科数学大题题型及其特点
文科数学题型及其特点 1.全国卷文科数学卷概述 高考数学全国卷一共考22道题，选择题12道，填空题4道，解答题5道，选做题1道。 2.高考全国卷数学题型 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-12题，满分60分。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13-16题，满分20分。 三、解答题：每小题满分12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17-21题，满分60分。 22-24题，满分10分。 考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。其中22小题为选修4-1：几何证明；23小题为选修4-4：坐标系与参数方程；24小题为选修4-5：不等式选讲。 3.高考全国卷新课标Ⅰ数学命题规律 （1）函数与导数：2—3个小题，1个大题，客观题主要以考查函数的基本性质、函数图像及变换、函数零点、导数的几何意义、定积分等为主，也有可能与不等式等知识综合考查;解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式等的应用问题。 （2）三角函数与平面向量：小题一般主要考查三角函数的图像与性质、利
用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简、平面向量的基本性质与运算.大题主要以正、余弦定理为知识框架，以三角形为依托进行考查(注意在实际问题中的考查)或向量与三角结合考查三角函数化简求值以及图像与性质.另外向量也可能与解析等知识结合考查. （3）数列：2个小题或1个大题，小题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题;解答题以考查等差(比)数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推为主. （4）解析几何：2小1大，小题一般主要以考查直线、圆及圆锥曲线的性质为主，一般结合定义，借助于图形可容易求解，大题一般以直线与圆锥曲线位置关系为命题背景，并结合函数、方程、数列、不等式、导数、平面向量等知识，考查求轨迹方程问题，探求有关曲线性质，求参数范围，求最值与定值，探求存在性等问题.另外要注意对二次曲线之间结合的考查，比如椭圆与抛物线,椭圆与圆等. （5）立体几何：2小1大，小题必考三视图，一般侧重于线与线、线与面、面与面的位置的关系以及空间几何体中的空间角、距离、面积、体积的计算的考查，另外特别注意对球的组合体的考查.解答题以平行、垂直、夹角、距离等为考查目标. 几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主。 （6）概率与统计：2小1大，小题一般主要考查频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、独立性检验、几何概型和古典概型、抽样(特别是分层抽样)、排列组合、二项式定理第几个重要的分布.解答题考查点比较固定，一般考查离散型随机变量的分布列、期望和方差.仍然侧重于考查与现实生活联系紧密的应用题，体现数学的应用性. （7）不等式：小题一般考查不等式的基本性质及解法(一般与其他知识联系，比如集合、分段函数等)、基本不等式性质应用、线性规划;解答题一般以其他知识(比如数列、解析几何及函数等)为主要背景，不等式为工具进行综合考查,一般较难。 （8）算法与推理：程序框图每年出现一个，一般与函数、数列等知识结合，难度一般;推理题偶尔会出现一个. （9）选考：几何证明主要考查圆内接四边行、圆的切线性质、圆周角与弦
2020高考文科数学大题专项训练：选做题
选做题 A组基础通关 1.(2019辽宁沈阳东北育才学校八模)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|. (1)求f(x)≥3的解集; (2)记函数f(x)的最小值为M,若a>0,b>0,且a+2b=M,求的最小值. 由f(x)≥3,得 或或 即- - 或-或 解得x≤-或x≥, ∴不等式f(x)≥3的解集为-∞,-∪,+∞. (2)∵f(x)=|x-1|+|x+1|≥|(x-1)-(x+1)|=2, ∴f(x)的最小值M=2,∴a+2b=2, ∵a>0,b>0, ∴5+≥5+2=, 当且仅当即a=b=时等号成立, ∴的最小值为. 2.(2019江西赣州5月适应性考试)已知函数f(x)=|x+1|+2|x-1|. (1)求不等式f(x)≤4的解集;
(2)若函数y=f(x)图象的最低点为(m,n),正数a,b满足ma+nb=4,求的取值范围. 当x≤-1时,f(x)=-3x+1≤4,得x≥-1,所以x=-1, 当-10,b>0, 所以(a+2b)4+≥(4+2)=2, 当且仅当a=2b=2时等号成立, 所以的取值范围为[2,+∞). 3.(2019河北石家庄一模)已知函数f(x)=---的定义域为R; (1)求实数m的取值范围; (2)设实数t为m的最大值,若实数a,b,c满足a2+b2+c2=t2,求的最小值. 由题意可知2|x-3|-|x|≥m恒成立,令g(x)=2|x-3|-|x|, 去绝对值号,可得g(x)=2|x-3|-|x|=--- 画图可知g(x)的最小值为-3,所以实数m的取值范围为m≤-3;
高考数学总复习选做题专项练习
选做题题型专练 1、在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x t y kt ==??? (t 为参数),直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+=????? (m 为参数),设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时, P 的轨迹为曲线 C . (1)写出 C 的普通方程; (2)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 ( )3:cos sin 0l ρθθ+=,M 为3l 与 C 的交点,求M 的极径. 2、设函数()()11f x ax x x =++-∈R ． （1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集； （2）对任意实数[]2,3x ∈，都有()23f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围． 3、在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++= 1.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； 2.直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα =??=?错误!未找到引用源。（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点 , ||AB =,求l 的斜率。 4、已知函数12f x x x =+--（ ）．
（1）求不等式1f x ≥（）的解集； （2）若不等式2–f x x x m ≥+（ ）的解集非空，求m 的取值范围 5、在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =??=+? (t 为参数,0a >).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=. 1.说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程; 2.直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a. 6、已知函数11()22 f x x x =+ +-,不等式()2f x <的解集为M . 1.求M; 2.当,a b M ∈时,证明: 1a b ab +<+. 7、在平面直角坐标系中,已知曲线:2sin x C y αα?=??=??(a 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线():2cos sin 6l ρθθ-=. (1)写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； (2)在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，求最大距离及此时P 点的坐标。
高考数学选做题练习
N 14.如图，从圆O 外一点 A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知 AD =，6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离 为 ． 14．如图4，PT 为圆O 的切线，T 为切点，3 ATM π ∠=，圆O 的面积为2π，则PA = ． 如图3，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB=4，30ACB ∠=o ，则圆O 的面积等于 . 如图2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4， AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。 15．点,,A B C 是圆O 上的点， 且0 4,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于_____． 14.如图，已知Rt ABC ?的两条直角边AC ,BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm . 14.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P. 若PB=2，PD=6，则BC AD 的值为 . 14．如右图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，? =∠25MAB ，则=∠D ． A 图4
15.在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则 =||AB ______ _． 14．（坐标系与参数方程选做题）曲线2cos 4 π ρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方 程为 。 15．在极坐标系中，曲线3=ρ截直线1)4 cos(=+π θρ所得的弦长为 ． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-??=+?为参数与直线2, :12. x s l y s =?? =-?（s 为参数）垂直，则k = ． 15.直线3470x y +-=截曲线cos , 1sin x y αα =?? =+?（α为参数）的弦长为_____ ______. 15.在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线() 6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值 是 . 15．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是
选做题全国高考文科数学历年试题分类汇编
全国高考文科数学近三年试题分类汇编 大题分类之选做题 （1）坐标系与参数方程 1.（2015卷1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ= ∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ?的面积. 2.（2015卷2）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα =??=?（t 为参数，且0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:C ρθ= （1）求23,C C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于A ，1C 与3C 相交于B ，求AB 的最大值. 3.（2016卷1）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程cos 1sin x a t y a t =??=+? （t 为参数，且0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ= （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求0α. 4.（2016年卷2）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22 (6)25x y ++=
（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=?? =?（t 为参数），l 与C 相交于,A B 两点，AB =l 的斜率. 5.（2017年卷1）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程3cos sin x y θθ=?? =?（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a t y t =+??=-?（t 为参数）， （1）若1a =-，求C 与l 交点的坐标；（2）若C 上的点到l ，求a . 6.（2017年卷2）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ= （1）M 为曲线1C 的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ?=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2, )3π，点B 在曲线2C 上，求OAB V 的面积的最大值. 7.（2017年卷3）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的的方程为2x t y kt =+??=?（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+???=?? （m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹方程为C
江苏省高考数学 真题分类汇编 选做题
十四、选做题 1、（2008江苏卷21）（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分． A ．选修4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求 证：2 ED EB EC =． B ．选修4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵A=?? ? ? 2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程． C ．选修4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2 213 x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． D ．选修4—5 不等式证明选讲 设a ，b ，c 为正实数，求证：333 111 23abc a b c +++≥． 答案： B C E D A
2、（2009江苏卷21）[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A.选修4 - 1：几何证明选讲 如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD. 求证：AB ∥CD. 【解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。 证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB 。再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA 。因此∠DBA=∠CDB ，所以AB ∥CD 。 B. 选修4 - 2：矩阵与变换 求矩阵3221A ??=???? 的逆矩阵. 【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。 解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ??? ???则3210,2101x y z w ?????? =?????? ?????? 即323210,2201x z y w x z y w ++????=? ??? ++????故321,320, 20,21, x z y w x z y w +=+=????+=+=?? 解得：1,2,2,3x z y w =-===-，
高考数学全国卷1选做题汇编(2011~2019)
高考选做题汇编 2019年 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1） 222111 a b c a b c ++≤++； （2）3 3 3 ()()()24a b b c c a +++≥++． 2018年 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ．以坐标原点为极点，轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ． 2221141t x t t y t ?-=??+??=?+? ，2cos sin 110ρθθ+=
⑴求的直角坐标方程； ⑵若与 有且仅有三个公共点，求 的方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知． ⑴当时，求不等式 的解集； ⑵若 时不等式 成立，求的取值范围． 2017年 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos , sin ,x y θθ=??=? （θ为参数），直线l 的参数方 程为 4, 1,x a t t y t =+?? =-? （为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标； （2）若C 上的点到l a. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
2020届高考二轮数学选做题题型专练(Word版含答案)
2020届高考数学查漏补缺之选做题题型专练 1、在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x t y kt ==?? ? (t 为参数),直线2l 的参数方程为 2x m m y k =-+=?? ? ?? (m 为参数),设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时, P 的轨迹为曲线 C . (1)写出 C 的普通方程; (2)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设( )3:cos sin 0l ρθθ+=,M 为3l 与 C 的交点,求M 的极径. 2、设函数()()11f x ax x x =++-∈R ． （1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集； （2）对任意实数[]2,3x ∈，都有()23f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围． 3、在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++= 1.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； 2.直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα =??=?（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点 , ||AB =,求l 的 斜率。 4、已知函数12f x x x =+--（ ）．
（1）求不等式1f x ≥（）的解集； （2）若不等式2–f x x x m ≥+（ ）的解集非空，求m 的取值范围 5、在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =??=+? (t 为参数,0a >).在以坐标原 点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=. 1.说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程; 2.直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a. 6、已知函数11 ()22 f x x x =++-,不等式()2f x <的解集为M . 1.求M; 2.当,a b M ∈时,证明: 1a b ab +<+. 7、在平面直角坐标系中,已知曲线:2sin x C y α α?=??=?? (a 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系,直线():2cos sin 6l ρθθ-=. (1)写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； (2)在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，求最大距离及此时P 点的坐标。
