最近三年数学选做题理科
浙江近五年高考理科数学试题及参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“1x >”是“2x x >”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分不必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ） A ．126ωϕπ==， B ．123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，（3）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-=Ｄ．230x y +-=（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ） Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．6（5）已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68D ，0.84（6）若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 （7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b（8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）（9）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（ ） Ａ．2Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．3（10）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ） A ．(][)11--+∞，，∞B ．(][)10--+∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z = ． （12）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 ． （13）不等式211x x --<的解集是 ．（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）． （15）随机变量ξ的分布列如下：ξ 1-0 1Pabc其中a b c ，，成等差数列，若13E ξ=，则D ξ的值是 ． （16）已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=．若对于β内异于y x O y x O y x O yxO A ． B ． C ． D．O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥，则二面角AB αβ--的大小是．（17）设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （18）（本题14分）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．（20）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．（21）（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k ka a -，是关于x 的方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+⎪⎝⎭， EDCMA（第19题）BAyxO B（第20题）(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤． （22）（本题15分）设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间；（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）A （2）D （3）D （4）B （5）A （6）B （7）C （8）D （9）B （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． （11）1 （12）725-（13）{}02x x << （14）266（15）59（16）90（17）403m ≤≤三、解答题（18）解：（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=+，2BC AC AB +=，两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：（I ）证明：因为AC BC =，M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥． 又EA ⊥平面ABC ， 所以CM EM ⊥．（II ）解：过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 交延长交ED 于点F ，连结MF ，MD ．FCM ∠是直线CM 和平面CDE 所成的角． 因为MH ⊥平面CDE ，所以MH ED ⊥， 又因为CM ⊥平面EDM ， 所以CM ED ⊥，则ED ⊥平面CMF ，因此ED MF ⊥．设EA a =，2BD BC AC a ===，在直角梯形ABDE 中，22AB a =，M 是AB 的中点， 所以3DE a =，3EM a =，6MD a =，得EMD △是直角三角形，其中90EMD =∠， 所以2EM MDMF a DE==．在Rt CMF △中，tan 1MFFCM MC==∠， 所以45FCM =∠，故CM 与平面CDE 所成的角是45． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C xyz -，设EA a =，则(2)A a 00，，，(020)B a ，，，(20)E a a ，，．(022)D a a ，，，(0)M a a ，，． （I ）证明：因为()EM a a a =--，，，(0)CM a a =，，，所以0EM CM =， 故EM CM ⊥．（II ）解：设向量001y z ()，，n =与平面CDE 垂直，则CE ⊥n ，CD ⊥n ，EDC MABE H即0CE =n ，0CD =n ．因为(20)CE a a =，，，(022)CD a a =，，，所以02y =，02x =-， 即(122)=-，，n ，2cos 2CM CM CM ==，n n n， 直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM 夹角的余角， 所以45θ=，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45．（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．（Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2214x b +=，解得21221x b =±-，， 所以1212S b x x =- 221b b =-2211b b +-=≤．当且仅当22b =时，S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，2241k b ∆=-+，EDCMAByzx211||1||AB k x x =+-2222411214k b kk -+=+=+． ②设O 到AB 的距离为d ，则21||Sd AB ==， 又因为2||1b d k=+，所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=， 解得212k =，232b =，代入①式检验，0∆>，故直线AB 的方程是 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =--．21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．（I ）解：方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =，当1k =时，1232x x ==，， 所以12a =；当2k =时，16x =，24x =， 所以34a =；当3k =时，19x =，28x =， 所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =， 所以712a =．（II ）解：2122n n S a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n ++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++， 所以112116T a a ==， 2123411524T a a a a =+=． 当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-++， 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥2311111662622n⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥ 1116626n=+>， 同时，(1)5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤31511112492922n ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤ 515249224n =-<． 综上，当n ∈N*时，15624n T ≤≤． 22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．（I ）解：316433x y x =-+．由240y x '=-=，得2x =±．因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0， 当(22)x ∈-，时，0y '<， 当(2)x ∈+∞，时，0y '>，故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，， 单调递减区间是(22)-，． （II ）证明：（i ）方法一：令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则 223()h x x t '=-，当0t >时，由()0h x '=，得13x t =，当13()x x ∈+∞，时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意固定的0x >，令232()()(0)3t h t g x t x t t ==->，则 11332()()3h t t x t -'=-，由()0h t '=，得3t x =． 当30t x <<时，()0h t '>． 当3t x >时，()0h t '<，所以当3t x =时，()h t 取得最大值331()3h x x =． 因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立．（ii ）方法一：8(2)(2)3t f g ==． 由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立．即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立． 下面证明0x 的唯一性： 当02x ≠，00x >，8t =时，300()3x f x =，0016()43x g x x =-，由（i ）得，30016433x x >-， 再取30t x =，得30300()3x x g x =，所以303000016()4()33x x x g x x g x =-<=， 即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立． 故有且仅有一个正实数02x =，使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意00x >，0016()43x g x x =-， 因为0()t g x 关于t 的最大值是3013x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是：300161433x x -≥， 即200(2)(4)0x x -+≤，①又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =，所以有且仅有一个正实数02x =，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式34π3V R =()()()P A B P A P B =其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率：()(1)k kn k n n P k C p p -=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则a =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．已知U =R ，{}|0A x x =>，{}|1B x x =-≤，则()()UUA B BA =（ ）A ．∅B ．{}|0x x ≤C ．{}|1x x >-D ．{}|01x x x >-或≤3．已知a b ，都是实数，那么“22a b >”是“a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） A ．15-B ．85C ．120-D ．2745．在同一平面直角坐标系中，函数3πcos 22x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（[02π]x ∈，）的图象和直线12y =的交点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．46．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++=（ ） A ．16(14)n--B ．16(12)n-- C ．32(14)3n -- D ．32(12)3n --7．若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是（ ） A ．3B ．5C ．3D ．58．若cos 2sin 5αα+=-，则tan α=（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-9．已知，a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0--=a c b c ，则c 的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．2D ．2210．如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两条平行直线2008年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）第Ⅱ卷（共100分）注意事项：A B P α（第10题）1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知0a >，若平面内三点23(1)(2)(3)A a B a C a -，，，，，共线，则a = ． 12．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．13．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若(3)cos cos b c A a C -=，则cos A = ．14．如图，已知球O 的面上四点A B C D ，，，，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3DA AB BC ===，则球O 的体积等于 ．15．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[03]，上的最大值为2，则t = ． 16．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）17．若00a b ，≥≥，且当001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，，≥≥≤时，恒有1ax by +≤，则以a b ，为坐标的点()P a b ，所形成的平面区域的面积等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本题14分）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，90BCF CEF ∠=∠=，3AD =，2EF =．（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60？19．（本题14分）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79． （Ⅰ）若袋中共有10个球，ABCD （第14题）D A BEF C（第18题）（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．20．（本题15分） 已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和到直线58y =-距离相等的点的轨迹． l 是过点(10)Q -，的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A B ，在l 上，MA l ⊥，MB x ⊥轴（如图）．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求出直线l 的方程，使得2QBQA为常数．21．（本题15分）已知a 是实数，函数()()f x x x a =-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[02]，上的最小值． （ⅰ）写出()g a 的表达式；（ⅱ）求a 的取值范围，使得6()2g a --≤≤．22．（本题14分）已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22*111()n n n a a a n +++-=∈N ．记：12n n S a a a =+++，112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++．AB OQyxlM （第20题）求证：当*n ∈N 时， （Ⅰ）1n n a a +<； （Ⅱ）2n S n >-； （Ⅲ）3n T <2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分 1．A 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11．12+ 12．8 13．33 14． 9π215．1 16．40 17．1 三、解答题18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，可得四边形BCGE 为矩形，又ABCD 为矩形， 所以AD EG∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ．D A B EFCHG由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．在Rt EFG △中，因为3EG AD ==，2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．于是33sin 2BH BE BEH =∠=．因为tan AB BH AHB =∠，所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60．方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -．设AB a BE b CF c ===，，，则(000)C ，，，(30)A a ，，，(300)B ，，，(30)E b ，，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，，(300)CB =，，，(00)BE b =，，，所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．（Ⅱ）解：因为(30)EF c b =--，，，(30)CE b =，，， 所以0EF CE =，||2EF =，从而23()03()2b c b c b -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，，解得34b c ==，．所以(330)E ，，，(040)F ，，． 设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE =，0n EF =，DA BEFCyz x解得33(13)n a=，，． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，，， 所以2||331|cos |2||||427BA n a n BA BA n a a <>===+，，得到92a =． 所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60． 19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则2102107()19xC P A C -=-=，得到5x =．故白球有5个．（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是ξ 0 1 2 3P112 512 512 112ξ的数学期望155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得25y n =， 所以2y n <，21y n -≤，故112y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则23()551y P B n =+⨯- 231755210+⨯=≤． 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n ． 故袋中红球个数最少．20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则2213||28NP x y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，N 到直线58y =-的距离为58y +．由题设得22135288x y y ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+． （Ⅱ）解法一：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而2||1|1|QB k x =++．在Rt QMA △中，因为222||(1)14x QM x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，2222(1)2||1x x k MA k⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+． 所以222222(1)||||||(2)4(1)x QA QM MA kx k +=-=++ . 2|1||2|||21x kx QA k++=+，222||2(1)112||||QB k k x QA k x k+++=+．当2k =时，2||55||QB QA =，从而所求直线l 方程为220x y -+=．AB OQ y xl M解法二：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而2||1|1|QB k x =++．过Q (10)-，垂直于l 的直线11:(1)l y x k=-+． 因为||||QA MH =，所以2|1||2|||21x kx QA k++=+，222||2(1)112||||QB k k x QA k x k+++=+．当2k =时，2||55||QB QA =，从而所求直线l 方程为220x y -+=．21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分． （Ⅰ）解：函数的定义域为[0)+∞，，3()22x a x af x x x x--'=+=（0x >）． 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[0)+∞，．若0a >，令()0f x '=，得3ax =， 当03ax <<时，()0f x '<， 当3ax >时，()0f x '>． ()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增， 所以()(0)0g a f ==．AB OQ yxl M Hl 1若06a <<，()f x 在03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在23a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增， 所以2()333a a a g a f ⎛⎫==-⎪⎝⎭． 若6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减， 所以()(2)2(2)g a f a ==-．综上所述，002()06332(2)6a a ag a a a a ⎧⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-⎩，≤，，，，≥． （ii ）令6()2g a --≤≤． 若0a ≤，无解．若06a <<，解得36a <≤． 若6a ≥，解得6232a +≤≤． 故a 的取值范围为3232a +≤≤．22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．满分14分．（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当1n =时，因为2a 是方程210x x +-=的正根，所以12a a <．②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<，因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++， 所以12k k a a ++<．即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．根据①和②，可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立．（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =-，，，（2n ≥）， 得22231()(1)n n a a a a n a ++++--=．因为10a =，所以21n n S n a =--．由1n n a a +<及2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <，所以2n S n >-．（Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得111(2313)12k k ka k n n a a ++=-+≤，，，，≥所以23421(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++≤≥，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤≥， 故当3n ≥时，21111322n n T -<++++<，又因为123T T T <<， 所以3n T <．绝密★考试结束前2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
2023年高考全国甲卷理科数学+答案解析
2023年高考理科数学(全国甲卷)一、选择题1.设集合{31,},{32,}A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，U 为整数集，()A B =U ð（）A.{|3,}x x k k =∈ZB.{31,}x x k k Z =-∈∣C.{32,}xx k k Z =-∈∣ D.∅2.若复数()()i 1i 2,R a a a +-=∈，则=a （）A.-1 B.0·C.1D.23.执行下面的程序框遇，输出的B =（）A.21B.34C.55D.894.向量||||1,||a b c ==-=，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉= （）A.15-B.25-C.25D.455.已知正项等比数列{}n a 中，11,n a S =为{}n a 前n 项和，5354S S =-，则4S =（）A.7B.9C.15D.306.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.17.“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为，其中一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A.15B.5C.5D.59.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.3010.已知()f x 为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数，则() y f x =与1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.411.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4,3,45AB PC PD PCA ===∠=︒，则PBC 的面积为（）A.B.C. D.12.己知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（）A.25B.302C.35D.352二、填空题13.若2π(1)sin 2y x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．14.设x ，y 满足约束条件2333231x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+，则z 的最大值为____________．15.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为CD ，11A B 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．16.在ABC 中，2AB =，60,BAC BC ∠=︒=，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则AD =_________．三、解答题17.已知数列{}n a 中，21a =，设n S 为{}n a 前n 项和，2n n S na =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18.在三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1A C ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）求证：1AC A C =；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g ）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i ）求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k 0.100.050.010()20P k k ≥ 2.7063.8416.63520.设抛物线2:2(0)C y px p =>，直线 2 10x y -+=与C 交于A ，B 两点，且||AB =．（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，0MF NF ⋅=，求MNF 面积的最小值．21.已知3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）若8a =，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．四、选做题22.已知(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，||||4PA PB ⋅=．（1）求α的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．23.已知()2||, 0 f x x a a a =-->．（1）解不等式()f x x<（2）若()y f x =与坐标轴围成的面积为2，求a ．2023年高考理科数学(全国甲卷)答案解析一、选择题1.A 因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，(){}|3,U A B x x k k ==∈Z ð．故选：A ．2.C因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.3.B当1n =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112n =+=；当2n =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213n =+=；当3n =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314n =+=；当4n =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.4.D 因为0a b c ++= ，所以a b c +=-r r r ，即2222a b a b c ++⋅= ，即1122a b ++⋅=rr ，所以0a b ⋅=.如图，设,,OA a OB b OC c === ,由题知，1,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高22,22OD AD ==,所以23222CD CO OD =+=+=,1tan ,cos 3AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a cbc ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-24215=⨯-=.故选:D.5.C由题知()23421514q q q q q q ++++=++-,即34244q q q q +=+,即32440q q q +--=,即(2)(1)(2)0q q q -++=.由题知0q >,所以2q =.所以4124815S =+++=.故选:C.6.A 报名两个俱乐部的人数为50607040+-=，记“某人报足球俱乐部”为事件A ,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B ，则505404(),()707707P A P AB ====，所以4()7()0.85()7P AB P BA P A ===∣.故选:A .7.B当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选：B8.D 由e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离55d ==，所以弦长45||5AB ===.故选：D 9.B记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有51260⨯=种.故选：B.10.C因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.11.C 法一：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以AC BD ==DO CO ==，又3PC PD ==，PO OP =，所以PDO PCO ≅ ，则PDO PCO ∠=∠，又3PC PD ==，AC BD ==PDB PCA ≅ ，则PA PB =，在PAC △中，3,45PC AC PCA ==∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯⨯=，故PA =，则PB =，故在PBC 中，43,P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以22sin 3PCB ∠=，所以PBC的面积为1122sin 34223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯=法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以AC BD ==在PAC △中，3,45PC PCA =∠=︒，则由余弦定理可得2222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯⨯=，故PA =，所以22217cos 217PA PC AC APC PA PC +-∠==-⋅，则17cos 3317PA PC PA PC APC ⎛⎫⋅=∠=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+ ，所以()()22PA PCPB PD +=+ ，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅ ，则()217923923cos m m θ++⨯-=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+-=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+-⋅∠，即23296cos m m θ=+-，则26cos 230m m θ--=②，两式相加得22340m -=，故PB m ==故在PBC 中，43,P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以22sin 3PCB ∠=，所以PBC 的面积为11sin 34223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯=故选：C.12.B方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tan tan 2PF F F PF S b b θ∠== ，由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====+，解得：1tan 2θ=，由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===-=，所以，12121116222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯ ，解得：23p y =，即2399162p x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因此302OP ==．故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212OP PO PF PF ==+ ，即1213022PO PF PF =+=．故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：221221PF PF +=，由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知12F F=，解得：302OP =．故选：B ．二、填空题13.【答案】2【解析】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为：2.14.【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：1515.【答案】12【解析】设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取AB ，1BB 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，2222222EF FG EG =++=，即2R =，则球心O 到1BB的距离为OM ==，所以球O 与棱1BB 相切，球面与棱1BB 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1216.【答案】2【解析】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：13212AD b +===+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==，解得：62sin 4B =，2sin 2C =，因为1>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．三、解答题17.【答案】（1）1n a n =-（2）()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为2n n S na =，当1n =时，112a a =，即10a =；当3n =时，()33213a a +=，即32a =，当2n ≥时，()1121n n S n a --=-，所以()()11221n n n n n S S a na n a ---==--，化简得：()()121n n n a n a --=-，当3n ≥时，131122n n a a an n -====-- ，即1n a n =-，当1,2,3n =时都满足上式，所以()*1N n a n n =-∈．（2）因为122n n n a n +=，所以12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得，123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+-⎝=-⎭⨯-⨯ ，11122nn ⎛⎫⎛⎫=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，*N n ∈．18.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】（1）如图，1AC ⊥ 底面ABC ，BC ⊂面ABC ，1A C BC ∴⊥，又BC AC ⊥，1,A C AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=,BC ∴⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于O ，又平面11ACC A 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ，1A O ∴⊥平面11BCC B 1A 到平面11BCC B 的距离为1，11∴=A O ，在11Rt A CC △中，111112,AC AC CC AA ⊥==，设CO x =，则12C O x =-，11111,,AOC AOC ACC △△△为直角三角形，且12CC =，22211CO A O A C +=，2221111A O OC C A +=，2221111A C A C C C +=，2211(2)4x x ∴+++-=，解得1x =，111AC A C A C ∴===1AC AC ∴=（2）111,,AC A C BC A C BC AC =⊥⊥ ，1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△1BA BA ∴=，过B 作1BD AA ⊥，交1AA 于D ，则D 为1AA 中点，由直线1AA 与1BB 距离为2，所以2BD =11A D = ，2BD =，1A B AB ∴==，在Rt ABC △，BC ∴==，延长AC ，使AC CM =，连接1C M ，由1111,CM A C CM A C =∥知四边形11A CMC 为平行四边形，11C M A C ∴∥，1C M ∴⊥平面ABC ，又AM ⊂平面ABC ，1C M AM∴⊥则在1Rt AC M △中，112,AM AC C M AC ==，1AC ∴=，在11Rt AB C △中，1AC =，11B C BC ==1AB ∴==又A 到平面11BCC B 距离也为1，所以1AB 与平面11BCC B1313=.19.【答案】（1）分布列见解析，()1E X =（2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能【解析】（1）依题意，X 的可能取值为0,1,2，则022020240C C 19(0)C 78P X ===，120224010C C 20(1)C 39P X ===，202020240C C 19(2)C 78P X ===，X12P197820391978所以X 的分布列为：故192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=.（2）（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6, ，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m<m ≥合计对照组61420实验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20.【答案】（1）2p =（2）12-【解析】（1）设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px-+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p -+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==，所以A B AB y ==-==，即2260p p --=，因为0p >，解得：2p =．（2）因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n --=，所以，12124,4y y m y y n +==-，22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0MF NF ⋅=，所以()()1212110x x y y --+=，即()()1212110my n my n y y +-+-+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=，将12124,4y y m y y n +==-代入得，22461m n n =-+，()()22410m n n +=->，所以1n ≠，且2610n n -+≥，解得3n ≥+或3n ≤-．设点F 到直线MN 的距离为d，所以d =12MN y y ==-=1==-，所以MNF的面积()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-，而3n ≥+或3n≤-，所以，当3n =-时，MNF的面积(2min 212S =-=-21.【答案】（1）答案见解析.（2）(,3]-∞【解析】（1）326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x'+=-22244cos 3sin 32cos cos cos x x x a a x x+-=-=-令2cos x t =,则(0,1)t ∈则2223223()()t at t f x g t a t t '-+-==-=当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t '+--+====当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭.当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭.所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减（2）设()()sin 2g x f x x=-()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t''+-=-=--=-=+-+-设223()24t a t t tϕ=+-+-322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t tϕ'--+-+=--+==->所以()(1)3t a ϕϕ<=-.1︒若(,3]a ∈-∞,()()30g x t a ϕ'=<-≤即()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以()(0)0g x g <=.所以当(,3],()sin 2a f x x ∈-∞<,符合题意.2︒若(3,)a ∈+∞当22231110,333t t t t ⎛⎫→-=--+→-∞ ⎪⎝⎭,所以()t ϕ→-∞.(1)30a ϕ=->.所以0(0,1)t ∃∈,使得()00t ϕ=,即00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '=.当()0,1,()0t t t ϕ∈>,即当()00,,()0,()x x g x g x '∈>单调递增.所以当()00,,()(0)0x x g x g ∈>=,不合题意.综上,a 的取值范围为(,3]-∞.四、选做题22.【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-=【解析】（1）因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．（2）由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．23.【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）263【解析】（1）若x a ≤,则()22f x a x a x =--<,即3x a >,解得3a x >,即3a x a <≤,若x a >,则()22f x x a a x =--<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）2,()23,x a x a f x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩.画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ADO △与ABCABC 的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a 所以21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅== ,解得263a =。
三年高考：数学(理)真题分项版解析—— 专题16 选修部分
三年高考（2019-2019）数学（理）试题分项版解析第十六章 选修部分一、选择题1. 【2019，安徽理4】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．22 【答案】D ．考点：1．极坐标方程、参数方程与平面直角方程之间的转化；2．圆中弦长的求解． 【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：222,tan yx y xρθ+==.另外，求圆中弦长问题，只需要找出直角三角形（三边为半径、圆心到弦的距离、半弦）的勾股定理关系即可.2. 【2019高考北京理第3题】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x 所表示的曲线为圆心在)2,1(-，半径为1的圆，其对称中心为)2,1(-，逐个代入选项可知，点)2,1(-满足x y 2-=，故选B. 考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.名师点睛：本题考查参数方程，本题属于基础题，参数方程主要考查互化问题，本题是参数方程化为普通方程，利用平方关系消去参数化为普通方程，把参数方程化为普通方程需要注意的是变量的取值范围；另一种是把普通方程化为参数方程.3. 【2019湖北卷10】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[- 【答案】B考点：函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.【名师点睛】将含绝对值的函数、函数的奇偶性、分段函数和不等式等内容联系在一起，凸显了知识之间的联系性、综合性，体现了函数思想、转化与化归的数学思想在函数问题中的应用，能较好的考查学生的作图能力和综合能力.其解题的关键是正确地画出分段函数的图像并通过函数图像建立不等关系.二、填空题1.【2019高考安徽，理12】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 . 【答案】6【考点定位】1.极坐标方程与普通方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：222,tan yx y xρθ+==.圆上的点到直线的距离最大值或最小值，要考虑到圆的半径加上（或减去）圆心到直线的距离.2. 【2019高考广东卷.理.14】 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________. 【答案】()1,1.【解析】曲线1C 的极坐标方程为()2sin cos ρθρθ=，化为普通方程得2y x =，曲线2C 的普通方程为1y =，联立曲线1C 和2C 的方程得21y x y ⎧=⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，因此曲线1C 和2C 交点的直角坐标为()1,1.【考点定位】本题考查极坐标与参数方程的相互转化以及曲线的交点坐标求解，属于中等题. 【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程和两曲线的交点，属于中等题．解决此类问题的关键是极坐标方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．3. 【2019高考广东卷.理.15】 (几何证明选讲选做题)如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF .图3FEDCBA【答案】9【解析】由于四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，因此CDF AEF ∆∆，由于2EB AE =，所以1133AE AB CD ==，因此3CD AE=，故2239CDF CD AEF AE ∆⎛⎫=== ⎪∆⎝⎭的面积的面积.【考点定位】本题考查相似三角形性质的应用，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是相似三角形的性质定理，属于中等题．解题时一定要抓住重要字眼“面积”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是相似三角形的性质定理，即相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方．4. 【2019年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2 【解析】试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为10x -=过圆22(1)1x y -+=圆心，因此2AB =，故填：2.考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式θρθρsin ,cos ==y x 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝θρθρsin ,cos ==y x 以及22y x +=ρ，)0(tan ≠=x xyθ，同时要掌握必要的技巧.5.【2019高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 .【答案】2． 【解析】依题直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为2d==，故应填入2．【考点定位】极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想．【名师点睛】本题主要考查正弦两角差公式，极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于容易题，解答此题在于准确把极坐标问题转化为平面直角坐标问题，利用平面几何点到直线的公式求解．6. 【2019高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE=2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．7. 【2019高考广东，理15】（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .【答案】8．【解析】如下图所示，连接OC ，因为//OD BC ，又B C A C ⊥，所以OP AC ⊥，又O 为AB 线段的中点，所以1122OP BC ==，在R t O C D ∆中，122OC AB ==，由直角三角形的射影定理可得2OC OP OD =⋅即222812OC OD OP===，故应填入8．【考点定位】直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理运用，属于中档题，解答平面几何问题关键在于认真审题分析图形中的线段关系，适当作出辅助线段，此题连接OC ，则容易得到Rt OCD ∆，并利用直角三角形的射影定理求得线段OD 的值．8. 【 2019湖南11】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 【答案】()cos sin 1ρθθ-=【考点定位】极坐标 参数方程【名师点睛】本题主要考查了只需的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给直线与圆几何关系求解得到直线方程，根据极坐标定义写出对应的极坐标方程即可，难度不大，属于基础题目.9. 【 2019湖南12】如图3，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，AB =BC =O 的半径等于________.图 3【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,因为AO BC ⊥且AO 为圆半径,所以BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32.E【考点定位】勾股定理 双割线定理【名师点睛】本题主要考查了平面几何选讲部分的勾股定理、双割线定理，解决问题的关键是根据所给几何关系运用勾股定理、双割线定理进行推理计算即可得到所求圆的半径.10. 【 2019湖南13】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________.【答案】3-【解析】因为等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以51,33-为方程23ax -=的根,即52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式 绝对值方程【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式，解决问题的关键是根据不等式的解集结合不等式对应的绝对值方程联立方程求解即可得到a 值，属于绝对值不等式部分的常考题目，属于基础题目.11. 【2019高考陕西版理第15题】（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______.【答案】3 【解析】试题分析：由四边形BCFE 为圆内接四边形AEF C ⇒∠=∠，AFE B ∠=∠AEF ACB ⇒∆∆⇒12AE EF AC BC ==，又因为6BC =，所以3EF =，故答案为3. 考点：几何证明；三角形相似.【名师点晴】本题主要考查的是几何证明，属于容易题.此类问题一般都综合了有关圆的相关定理，同时又考察相似三角形有关定理，但难度一般都不大，解题注意整合已知条件，严密推理. 凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．12. 【2019高考陕西版理第15题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______.【答案】1考点：极坐标方程；点到直线距离.【名师点晴】本题主要考查的是极坐标系与参数方程，属于容易题.此类问题一般主要是极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，解题时主要是熟记有关互化公式，有的题目会考察到其中参数实际的几何意义13. 【2019高考重庆理第14题】过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC分别交圆于B 、C ， 若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________. 【答案】4 【解析】 试题分析：由切割线定理得：2PA PB PC =⋅,设PB x =，则||9PC x =+所以，()369,x x =+即29360x x +-=，解得：12x =-（舍去），或3x =又由是圆的切线，所以ACP BAP ∠=∠,所以ACP BAP ∆∆、||||||PA AB AC PC ∴=,所以86412AB ⨯== 所以答案应填：4.考点：1、切割线定理；2、三角形相似.【名师点睛】本题考查三角形外接圆直径的证明，相交弦定理，切割线定理，解题时要认真审题，注意圆的性质的灵活运用．14. 【2019高考重庆理第15题】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,02ρθθρθπ-=≥≤<，则直线l 与曲线C 的公共点的极径=ρ________.考点：参数方程与极坐标.【名师点睛】本题考查参数方程，及坐标方程的运用，两点间的距离公式，属于基础题，正确将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程是解决问题的关键．15. 【2019高考重庆，理14】如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA =6，AE =9，PC =3，CE :ED =2:1，则BE =_______.题（14）图【答案】2【解析】首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3CE ED ==，再相交弦定理有AE EB CE ED ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 【考点定位】相交弦定理，切割线定理.【名师点晴】平面几何问题主要涉及三角形全等，三角形相似，四点共圆，圆中的有关比例线段（相关定理）等知识，本题中有圆的切线，圆的割线，圆的相交弦，由圆的切割线定理和相交弦定理就可以得到题中有关线段的关系．16. 【2019高考重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【解析】直线l 的普通方程为2y x =+，由2c o s24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．17. 【2019高考重庆，理16】若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______.【答案】4a =或6a =-【考点定位】绝对值的性质，分段函数.【名师点晴】与绝对值有关的问题，我们可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把问题转化为不含绝对值的式子（函数、不等式等），本题中可利用绝对值定义把函数化为分段函数，再利用函数的单调性求得函数的最小值，令此最小值为5，求得a 的值．18.【2019高考北京理第9题】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭到直线ρsin θ＝2的距离等于__________．【答案】1 【解析】试题分析：在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为，1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1. 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化.【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离.19.【2019高考北京，理11】在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ=的距离为 ．【答案】1【解析】先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点定位：本题考点为极坐标方程与直角坐标方程的互化及求点到直线距离，要求学生熟练使用极坐标与直角坐标互化公式进行点的坐标转化及曲线方程的转化，熟练使用三个距离公式，包括两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离.【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离.20. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则=PB .【答案】4 【解析】试题分析：由切割线定理得4)31(12=+⨯=⋅=QD QC QA ，所以2=QA ，所以4==PA PB .考点：圆的切线长定理，切割线定理，容易题.几何证明选讲一般考查圆的性质等简单的知识，主要以填空题的形式出现，难度一般较小.【名师点睛】本题考查圆的切线长定理、切割线定理，夯实基础，注重基础知识的运用，其难度虽不大，但充分体现了数学学科知识间的内在联系，能较好的考查学生对基本知识的识记能力和灵活运用能力.其解题的关键是合理地运用切割线定理.21. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷16】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为 . 【答案】)1,3( 【解析】试题分析：由⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx 消去t 得)0,0(322≥≥=y x y x ，由2=ρ得422=+y x ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+222234yx y x 得1C 与2C 的交点坐标为)1,3(. 考点：参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化，主要以填空题的形式出现，难度一般较小.【名师点睛】以圆的极坐标方程和直线的参数方程为载体，重点考查了极坐标与直角坐标的转化、直线与圆的位置关系等内容，渗透着化归与转化的数学思想，能较好的考查学生基础知识的识记能力、综合运用能力.22. 【2019高考湖北，理15】（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21 【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线， 由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为3BC PB =， 所以224PB PA =，即PB PA 2=， 由PAB ∆∽PCA ∆，所以21==PA PB AC AB . 【考点定位】圆的切线、割线，切割线定理，三角形相似.【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．23. 【2019高考湖北，理16】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB = . 【答案】52【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离.【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错.24. 【2019上海,理7】已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 . 【答案】13【解析】令0θ=，则(3cos0sin 0)1ρ-=，13ρ=，所以所求距离为13. 【考点】极坐标.【名师点睛】设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角θ叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．25.【2019高考陕西版理第15题】（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最小值为______.【解析】试题分析：由柯西不等式得：22222()()()a b m n ma nb ++≥+，所以2225()5m n +≥，得225m n +≥≥.考点：柯西不等式.【名师点晴】本题主要考查的是柯西不等式，属于容易题,解题时关键是充分利用已知条件225,5a b ma nb +=+=，结合柯西不等式可得22222()()()a b m n ma nb ++≥+，则问题可解三、解答题1.【2019江苏，理21A 】[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明OCB D ∠=∠【答案】见解析．【解析】由题意，D B ∠=∠，又∵OC OB =，∴OCB B ∠=∠，∴OCB D ∠=∠. 【考点定位】圆周角定理. 【名师点晴】(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2. 【2019江苏，理21B 】[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值. 【答案】72． ABDCO【解析】由题意得22224y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩，解得124x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴72x y +=.【考点定位】矩阵的运算.【名师点晴】求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵a b c d ⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦的特征值λ满足()0()()0abf a d bc cd λλλλλ--==⇒---=--，属于λ的特征向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足x x A y y λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2)求特征向量和特征值的步骤： ①解()0abfcdλλλ--==--得特征值；②解()0()0a x by cx d y λλ--=⎧⎨-+-=⎩，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．7. 【2019江苏，理21C 】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程1222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于AB 两点，求线段AB 的长【答案】【解析】直线l 的普通方程为1(2)0x y -+-=，即3y x =-，与抛物线方程联立方程组解得111,2,x y =⎧⎨=⎩229,6x y =⎧⎨=-⎩，∴AB ==. 【考点定位】直线的参数方程.【名师点晴】1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．3. 【2019江苏，理21D 】[选修4-5：不等式选讲]已知0,0x y >>，证明22(1)(1)9x y x y xy ++++≥ 【答案】见解析．【解析】∵0,0x y >>，∴21x y ++≥21x y ++≥∴22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=. 【考点定位】算术平均值－几何平均不等式． 【名师点晴】两个常用基本不等式(1)柯西不等式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(2)平均值不等式：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立．4. 【2019江苏，理23】已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()222f f πππ+的值；（2）证明：对任意*n N ∈，等式1()()4442n n nf f πππ-+=都成立. 【答案】(1)1-；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知102sin cos sin ()'()()'x x x f x f x x x x===-， 21223cos sin sin 2cos 2sin ()'()()'x x x x xf x f x x x x x x==-=--+， 所以124()2f ππ=-，23216()2f πππ=-+，故122()()222f f πππ+1=-.（2）由（1）得01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，两边求导可得122()()cos()sin sin()2f x xf x x x x ππ+=+=-=+，类似可得2333()()sin()2f x xf x x π+=+， 下面我们用数学归纳法证明1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对一切*n N ∈都成立，【考点定位】复合函数的导数，数学归纳法.【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k N *∈，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立； ③由①②得出结论．5. 【2019江苏高考，21】A （选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆【答案】详见解析 【解析】试题分析：利用等弦对等角，同弧对等角，得到ABD E ∠=∠,又公共角BAE ∠，所以两三角形相似试题解析：因为C AB =A ，所以D C ∠AB =∠． 又因为C ∠=∠E ，所以D ∠AB =∠E ， 又∠BAE 为公共角，可知D ∆AB ∽∆AEB ． 【考点定位】相似三角形【名师点晴】1.判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”． 2.借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． B （选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1． 【解析】试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值A（第21——A 题）试题解析：由已知，得2ααA =-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦． 从而矩阵A 的特征多项式()()()21fλλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量 【名师点晴】求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵a b c d ⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦的特征值λ满足()0()()0abf a d bc cd λλλλλ--==⇒---=--，属于λ的特征向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足x x A y y λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2)求特征向量和特征值的步骤： ①解()0abfcdλλλ--==--得特征值；②解()0()0a x by cx d y λλ--=⎧⎨-+-=⎩，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．C （选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.【解析】试题分析：先根据222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径.试题解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系x y O ．圆C 的极坐标方程为240ρθθ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C ． 【考点定位】圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化【名师点晴】1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行． D （选修4—5：不等式选讲） 解不等式|23|3x x ++≥【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或【考点定位】含绝对值不等式的解法【名师点晴】①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．6. 【2019高考陕西，理22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】故D D 3E =AE -A =，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.【名师点晴】本题主要考查的是直径所对的圆周角、弦切角定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．7. 【2019高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【答案】（I ）(223x y +-=；（II ）()3,0．【解析】试题分析：（I ）先将ρθ=两边同乘以ρ可得2s i nρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则C P =，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I ）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22+x y =，所以(22+3x y -=.(II)设1(32P +，又，则|PC |== 故当0t =时，C P 取最小值，此时P 点的直角坐标为()3,0.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质. 【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数的几何意义和二次函数的性质，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．8. 【2019高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II + 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II ，试题解析：（I ）由||x a b +<，得b a x b a --<<-。
2023年全国甲卷理科高考数学试卷附详解
2023年全国甲卷理科高考数学真题试卷广西、贵州、四川、云南、西藏适用. 一、选择题.1. 设集合{31,},{32,}A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣∣,U 为整数集,则)(B A C U （ ） A. {|3,}x x k k =∈Z B. {31,}x x k k Z =-∈∣ C. {32,}x x k k Z =-∈∣D. ∅2. 若复数()()i 1i 2,R a a a +-=∈,则=a （ ） A. -1B. 0C. 1D. 23. 执行下面的程序框遇,输出的B =（ ）A.21B. 34C. 55D. 894. 向量1,2a b c ===,且0a b c ++=,则cos ,a c b c 〈--〉=（ ）A. 15-B. 25-C.25D.455. 已知正项等比数列{}n a 中,11,n a S =为{}n a 前n 项和,5354S S =-,则4S =（ ） A. 7B. 9C. 15D. 306. 有50人报名足球俱乐部,60人报名乒乓球俱乐部,70人报名足球或乒乓球俱乐部,若已知某人报足球俱乐部,则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ） A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.17. 22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=的（ ）A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>其中一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ,B两点,则||AB =（ ）A.15B.C.D.9. 有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120B. 60C. 40D. 3010. 已知()f x 为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数,则() y f x =与1122y x =-的交点个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 411. 在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,4,3,45AB PC PD PCA ===∠=︒,则PBC ∆的面积为（ ）A.B.C.D. 12. 己知椭圆22196x y +=,12,F F 为两个焦点,O 为原点,P 为椭圆上一点,123cos 5F PF ∠=,则||PO =（ ） A.25B.C.35D.二、填空题.13. 若2π(1)sin 2y x ax x ⎛⎫=-+++⎪⎝⎭为偶函数,则=a ________． 14. 设x ,y 满足约束条件2333231x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,设32z x y =+,则z 的最大值为____________．15. 在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为CD ,11A B 的中点,则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．16. 在ABC ∆中,2AB =,60,BAC BC ∠=︒=,D 为BC 上一点,AD 为BAC ∠的平分线,则AD =_________．三、解答题.17. 已知数列{}n a 中,21a =,设n S 为{}n a 前n 项和,2n n S na =． （1）求{}n a 的通项公式;（2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18. 在三棱柱111ABCA B C 中,12AA =,1A C ⊥底面ABC ,90ACB ∠=︒,1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）求证：1AC A C =;（2）若直线1AA 与1BB 距离为2,求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ,求X 的分布列和数学期望; （2）测得40只小鼠体重如下（单位：g ）：（已按从小到大排好） 对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i ）求40只小鼠体重的中位数m ,并完成下面2×2列联表：（ii ）根据2×2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：20. 已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点,且||AB = （1）求p ;（2）设C 的焦点为F ,M ,N 为C 上两点,0MF NF ⋅=,求MNF ∆面积的最小值． 21. 已知3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）若8=a ,讨论()f x 的单调性;（2）若()sin 2f x x <恒成立,求a 的取值范围．四、选做题.22. 已知(2,1)P ,直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,α为l 的倾斜角,l 与x 轴,y 轴正半轴交于A ,B 两点,||||4PA PB ⋅=．（1）求α的值;（2）以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求l 的极坐标方程． 23. 已知()2,0f x x a a a =-->． （1）求不等式()f x x <的解集;（2）若曲线()y f x =与坐标轴所围成的图形的面积为2,求a ．2023年全国甲卷理科高考数学真题解析一、选择题.1. A解:因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ,U Z =.所以)(B A C U ={|3,}x x k k =∈Z ． 故选：A ． 2. C解:因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a+-=-++=+-=所以22210a a =⎧⎨-=⎩,解得：1a =. 故选：C. 3. B解：当1n =时,判断框条件满足,第一次执行循环体123A =+=,325B =+=,112n =+=;当2n =时,判断框条件满足,第二次执行循环体358A =+=,8513B =+=,213n =+=;当3n =时,判断框条件满足,第三次执行循环体81321A =+=,211334B =+=,314n =+=;当4n =时,判断框条件不满足,跳出循环体,输出34B =． 故选：B. 4. D解:因为0a b c ++=,所以→→→-=+c b a即2222a b a b c ++⋅=,即2211=⋅++→→b a ,所以0a b ⋅=. 如图,设,,OA a OB b OC c ===由题知,1,OA OB OC OAB ===是等腰直角三角形AB 边上的高,22OD AD ==所以22CD CO OD =+==1tan ,cos3AD ACD ACD CD ∠==∠= 2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-24215=⨯-=. 故选:D. 5.C解:由题知()23421514q q q q q q++++=++-即34244q q q q +=+,即32440q q q +--=,即(2)(1)(2)0q q q -++=.由题知0q >,所以2q .所以4124815S =+++=. 故选:C. 6. A解：报名两个俱乐部的人数为50607040+-=记“某人报足球俱乐部”为事件A ,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B 则505404(),()707707P A P AB ====所以4()7()0.85()7P AB P BA P A ===∣. 故选:A . 7.B解:当22sin sin 1αβ+=时,例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠ 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=;当sin cos 0αβ+=时,2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知,22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件. 故选：B. 8. D解:由e =则222222215c a b b a a a+==+=解得2ba= 所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =则圆心(2,3)到渐近线的距离d ==所以弦长||5AB ===. 故选：D. 9. B解:不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e假设a 连续参加了两天社区服务,再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务,共有24A 12=种方法.同理：,,,b c d e 连续参加了两天社区服务,也各有12种方法. 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.10. C解:因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以()sin 2f x x =-而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点.作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==,即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系当3π4x =-时,3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭; 当3π4x =时,3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,13π13π412428y -=⨯-=<;当7π4x =时,7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,17π17π412428y -=⨯-=>;所以由图可知,()f x 与1122y x =-的交点个数为3. 故选：C. 11. C解:连结,AC BD 交于O ,连结PO ,则O 为,AC BD 的中点,如图因为底面ABCD 为正方形,4AB =,所以AC BD ==则DO CO == 又3PC PD ==,PO OP =,所以PCO PDO ∆≅∆,则PDO PCO ∠=∠又3PC PD ==,AC BD ==所以PDB PCA ≅,则PA PB =在PAC △中,3,45PC AC PCA ==∠=︒则由余弦定理可得2222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯⨯=故PA =则PB故在PBC ∆中,43,P PB C C B ===所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯又0πPCB <∠<,所以sin 3PCB ∠==所以PBC 的面积为11sin 34223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 故选：C. 12. B解:设12π2,02F PF θθ∠=<<,所以122212tantan 2PF F F PF S b b θ∠== 由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====+,解得：1tan 2θ= 由椭圆方程可知,222229,6,3a b c a b ===-=所以,12121116222PF F p p SF F y y =⨯⨯=⨯=⨯,解得：23p y =即2399162p x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,因此2OP ===． 故选：B ．二、填空题.13. 2解:因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数,定义域为R ,所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭ 则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝,故2a =.此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-== 又定义域为R ,故()f x 为偶函数. 所以2a =. 故答案为：2. 14. 15解:作出可行域,如图由图可知,当目标函数322zy x =-+过点A 时,z 有最大值.由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩,即(3,3)A所以max 332315z =⨯+⨯=. 故答案为：15. 15. 12解:不妨设正方体棱长为2,EF 中点为O ,取AB ,1BB 中点,G M ,侧面11BB C C 的中心为N ,连接,,,,FG EG OM ON MN ,如图由题意可知,O 为球心,在正方体中,EF ==即R =.则球心O 到1BB的距离为OM == 所以球O 与棱1BB 相切,球面与棱1BB 只有1个交点.同理,根据正方体的对称性知,其余各棱和球面也只有1个交点. 所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为：12. 16. 2 解:如图所示：记,,AB c AC b BC a ===方法一：由余弦定理可得,22222cos606b b +-⨯⨯⨯= 因为0b >,解得：1b =由ABCABDACDSSS=+可得1112sin 602sin 30sin 30222b ADAD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 解得：1212AD+===+． 故答案为：2．三、解答题.17. 1）1n a n =-（2）()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【小问1详解】 因为2n n S na =当1n =时,112a a =,即10a =; 当3n =时,()33213a a +=,即32a =当2n ≥时,()1121n n S n a --=-,所以()()11221n n n n n S S a na n a ---==-- 化简得：()()121n n n a n a --=-,当3n ≥时,131122n n a aa n n -====--,即1n a n =- 当1,2,3n =时都满足上式,所以()*1N n a n n =-∈．【小问2详解】因为122n n n a n +=,所以12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2311111112(1)22222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+-⎝=-⎭⨯-⨯ 11122nn ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,*N n ∈．18. （1）证明见解析 （2）13【小问1详解】 如图1A C ⊥底面ABC ,BC ⊂面ABC1AC BC ∴⊥,又BC AC ⊥,1,AC AC ⊂平面11ACC A ,1AC AC C ⋂= BC ∴⊥平面ACC 1A 1,又BC ⊂平面11BCC B∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于O ,又平面11ACC A 平面111BCC B CC =,1AO ⊂平面11ACC A 1A O ∴⊥平面11BCC B1A 到平面11BCC B 的距离为1,11∴=AO 在11Rt ACC △中,111112,ACAC CC AA ⊥== 设CO x =,则12C O x =-11111,,AOC AOC ACC △△△为直角三角形,且12CC =22211CO A O A C +=,2221111A O OC C A +=,2221111AC AC C C += 2211(2)4x x ∴+++-=,解得1x =.111AC AC AC ∴===1AC A C ∴=.【小问2详解】111,,AC AC BC AC BC AC =⊥⊥ 1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△ 1BA BA ∴=过B 作1BD AA ⊥,交1AA 于D ,则D 为1AA 中点由直线1AA 与1BB 距离为2,所以2BD =11A D =,2BD =,1A B AB ∴=在Rt ABC △,BC ∴==延长AC ,使AC CM =,连接1C M由1111,CM AC CM AC =∥知四边形11ACMC 为平行四边形11C M AC ∴∥,1C M ∴⊥平面ABC ,又AM ⊂平面ABC 1C M AM ∴⊥则在1Rt AC M △中,112,AM AC C M AC ==,1AC ∴=在11Rt AB C △中,1AC =,11BC BC ==1AB ∴==又A 到平面11BCC B 距离也为1所以1AB 与平面11BCC B=. 19. （1）分布列见解析,()1E X = （2）（i ）23.4m =;列联表见解析,（ii ）能 【小问1详解】依题意,X 的可能取值为0,1,2则022020240C C 19(0)C 78P X ===,120224010C C 20(1)C 39P X ===,202020240C C 19(2)C 78P X === 所以X 的分布列为：故192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=. 【小问2详解】（i ）依题意,可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排后第20位与第21位数据的平均数由于原数据已经排好,所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可.可得第11位数据为14.4,后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,故第20位为23.2,第21位数据为23.6 所以23.223.623.42m +==故列联表为：（ii ）由（i ）可得,240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 20. （1）2p =（2）12-【小问1详解】 设()(),,,A A B B A x y B x y由22102x y y px-+=⎧⎨=⎩可得,2420y py p -+=,所以4,2A B A B y y p y y p +== 所以A B AB y y ==-==即2260p p --=,因为0p >,解得：2p =．【小问2详解】因为()1,0F ,显然直线MN 的斜率不可能为零 设直线MN ：x my n =+,()()1122,,,M x y N x y由24y x x my n⎧=⎨=+⎩可得,2440y my n --=,所以,12124,4y y m y y n +==- 22161600m n m n ∆=+>⇒+>因为0MF NF ⋅=,所以()()1212110x x y y --+= 即()()1212110my n my n y y +-+-+=亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=将12124,4y y m y y n +==-代入得22461m n n =-+,()()22410m n n +=->所以1n ≠,且2610n n -+≥,解得3n ≥+3n ≤- 设点F 到直线MN 的距离为d ,所以d =12MN y y ==-=1==-所以MNF的面积()2111122S MN d n =⨯⨯=-=- 而3n ≥+3n ≤-所以当3n =-,MNF的面积(2min 212S =-=-21.（1）答案见解析 （2）(,3]-∞ 【小问1详解】326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x'+=- 22244cos 3sin 32cos cos cos x x xa a x x+-=-=- 令2cos x t =,则(0,1)t ∈则2223223()()t at t f x g t a t t '-+-==-=当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t'+--+==== 当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭. 当1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭,即π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭. 所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 【小问2详解】 设()()sin 2g x f x x =-()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t''+-=-=--=--=+-+-设223()24t a t t tϕ=+-+-322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t tϕ'--+-+=--+==-> 所以()(1)3t a ϕϕ<=-.1︒若(,3]a ∈-∞,()()30g x t a ϕ'=<-≤即()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以()(0)0g x g <=. 所以当(,3],()sin 2a f x x ∈-∞<,符合题意.2︒若(3,)a ∈+∞当22231110,333t t t t ⎛⎫→-=--+→-∞ ⎪⎝⎭,所以()t ϕ→-∞. (1)30a ϕ=->.所以0(0,1)t ∃∈,使得()00t ϕ=,即00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '=.当()0,1,()0t t t ϕ∈>,即当()00,,()0,()x x g x g x '∈>单调递增.所以当()00,,()(0)0x x g x g ∈>=,不合题意. 综上,a 的取值范围为(,3]-∞.四、选做题.22. （1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-= 【小问1详解】因为l 与x 轴,y 轴正半轴交于,A B 两点,所以ππ2α<< 令0x =,12cos t α=-,令0y =,21sin t α=- 所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====,所以sin 21α=±即π2π2k α=+,解得π1π,42k k α=+∈Z 因为ππ2α<<,所以3π4α=．【小问2详解】由（1）可知,直线l 的斜率为tan 1α=-,且过点()2,1 所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--,即30x y +-=由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．23. （1）,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭（2）3【小问1详解】若x a ≤,则()22f x a x a x =--< 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤. 若x a >,则()22f x x a a x =--< 解得3x a <,即3a x a <<综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【小问2详解】2,()23,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩.画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ADO △与ABCABC ∆的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a所以21132224OAD ABCSSOA a AB a a +=⋅+⋅==,解得a =.。
2024全国卷理科数学高考真题
2024年一般高等学校招生全国统一考试理科数学留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z=：—+2i,则|z|=1+1A.0B.—C.1D.、/22.已知集合A=(x|x2-x-2>0},贝=A.(x|-l<x<2}B.(x|-l<x<2}C.(x|x<-l}.(x|x>2}D.(x|x<-l}_(x|x>2}3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入削减B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入及第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记&为等差数列｛%｝的前〃项和.若3S.=S2+S4,%=2,贝胞=A.—12B.-10C・10D.125.设函数了⑴=r+(o_1K+"若/*3)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=-2x B・y= C.y=2xD."x6.在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则E8=311331 A.—AB—AC B.—AB—AC C.—AB h—AC44444413一D.-AB+-AC447.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从肱到N的路径中，最短路径的长度为A.2面「B.2^5C.3D.28.设抛物线Q jMx的焦点为R过点(-2,0)且斜率为甘的直线及。
三年高考(近年-近年)高考数学试题分项版解析专题32选修部分理(new)
由
x t 1, t
y t 1 t
消去得
y2
x2
4 。联立方程组
y 3x
y2
x2
4
，解得
x
y
2 2 32 2
或
x
y
2 2 32 2
，
即 A( 2 , 3 2 ) ， B( 2 , 3 2 ) ，
22
22
由两点间的距离公式得| AB | ( 2 2 )2 (3 2 3 2 )2 2 5 。
4
（2)因为
a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
2 3aba b
2 3a b2 a b
4
3a b3
2
,
4
所以 a b3 8 ，因此 a b 2。
【考点】 基本不等式；配方法。 【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已 证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转 化为需证问题.若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。
5。【2015 高考广东，理 14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为
2 sin( π） 2 ,点 A 的极坐标为 4
A 2
2,
7 4
,则点
A
到直线的距离为
.
【答案】 5 2 ． 2
【解析】依题直线：
2
sin
4
2
和点
A
2
2,
7 4
可化为:
x
y
1
0
和
A2,
2
，所以
点 A 与直线的距离为 d 2 2 1 5 2 ，故应填入 5 2 ．
2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)理科数学【含答案】
A．24B．264．已知e()e1xaxxf x=-是偶函数，则A．2-B．1-5．设O为平面坐标系的坐标原点，在区域为A，则直线OA的倾斜角不大于π4(1)证明：//EF平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF(3)求二面角D AO C--的正弦值20．已知椭圆2222:1( Cbxaa y+=(1)求C的方程；6．D【分析】根据题意分别求出其周期，【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间30ABO = ∠，3,232OC AB BC ===显然,,CE DE E CE DE ⋂=因此平面CDE ⊥平面ABC 直线CD ⊂平面CDE ，则直线从而DCE ∠为直线CD 与平面由余弦定理得：当点,A D 位于直线PO 同侧时，设则：PA PD ⋅ =||||cos PA PD α⎛⋅ ⎝12cos cos 4παα⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭22⎛15．2-【分析】根据等比数列公式对24536a a a a a =化简得得55712a a q q q =⋅==-.【详解】设{}n a 的公比为()0q q ≠，则245a a a 则24a q =，即321a q q =，则11a q =，因为910a a=2于是1//,,/2DE AB DE AB OF=平行四边形，//,EF DO EF DO=，又EF⊄所以//EF平面ADO.（2）法一：由（1）可知//EF（3）法一：过点O 作//OH BF 交由AO BF ⊥，得HO AO ⊥，且FH 又由（2）知，OD AO ⊥，则DOH ∠因为,D E 分别为,PB PA 的中点，因此即有11,33DG AD GE BE ==，又FH法二：平面ADO 的法向量为n平面ACO 的法向量为(30,0,1n = 所以131313cos ,1n n n n n n ⋅==+⋅因为[]13,0,πn n ∈ ，所以sin n【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．21．(1)()ln 2ln 2x y +-(2)存在11,22a b ==-满足题意，理由见解析1⎛⎫-；23．(1)[2,2](2)8.【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答3⎧由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -所以ABC 的面积1|2ABC S =。
高考理科数学选作题真题汇编(近3年全部详细答案版)
C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上
答案：B
3．[2014·江西卷]若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()
A．ρ＝ ，0≤θ≤
B．ρ＝ ，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
【答案】
．（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线 与 的公共点到极点的距离为__________
【答案】 .
．（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2, )到直线ρsinθ=2的距离等于_________.
【答案】1
．（2013年重庆数学（理））在直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 的直线与曲线 ( 为参数)相交于 两点,则
2012真题（部分）：
1.【2012高考真题辽宁理23】
在直角坐标 中，圆 ，圆 。
(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 的极坐标方程，并求出圆 的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求出 的公共弦的参数方程。
【答案】
【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成．本题要注意圆 的圆心为 半径为 ，圆 的圆心为 半径为 ，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。对于极坐标和参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．
【答案】
．（2013年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线 的参数方程为 ( 为参数),若以直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 的极坐标方程 为__________
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选修4-4:坐标系与参数方程1. （2016年全国I ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为t =（t（y = 1.十aslnt r 为参数，a> 0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p =4cos 0 .（I）说明C是哪种曲线，并将C的方程化为极坐标方程；（II ）直线C3的极坐标方程为0二a 0，其中a 0满足tan a 0=2，若曲线C与C2的公共点都在C3上，求a.2. （2016年全国II ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x 6）2寸25 .（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（n）直线I的参数方程是x tcos（t为参数），1与C交于A,B两点，|AB| •.帀，y tsi n 求l的斜率.3. （2014辽宁理23 ）（分10分）将圆x2 y2 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .（1）写出C的参数方程；（2）设直线I ：2x y 2 0与C的交点为RF2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段RF2的中点且与|垂直的直线的极坐标方程.4、（2016江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为A，B两点，求线段AB的长.为参数）椭圆C的参数方程为x cosy 2sin（为参数）.设直线l与椭圆C相交于x 1 -t(t选修4-4:坐标系与参数方程答案 1.解：⑴ x acost（ t 均为参数）••• x 2 y y 1 asinta 2 ① 二C i 为以 0，1为圆心，a 为半径的圆.方程为 2 2y 2y 1 a 0 sin 22 sin 1 a 2 0即为C 1的极坐标方程⑵G : 4cos 两边同乘得2 4 cos Q 2 x 2 y 2， cos x x 2 y 24x 即 xC 3 :化为普通方程为y2x 由题意: C i 和C 2的公共方程所在直线即为 C 3①一②得：4x 2y 1 a 2 0，即为 C 3 二 1 a 2 0 ••• a 1 2.解：⑴整理圆的方程得 2 2 x y 12 11 0，3. 2 2 x 由 cos sin 2 y x 可知圆C 的极坐标方程为 y 212 cos 11 0 ・ ⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为 由垂径定理及点到直线距离公式知: 36k 2 2 丘 2，整理得F 5，则k4.解：椭圆 2 C的普通方程为X 2冷1， kx y 0， 6k 1 k 2 15 3 25 10 22 将直线I 的参数方程 1 -t 2 2，代入22y 彳x 7 1,得（11，即 7t 216t 0,解得 t 1，t216 7所以AB |t 1t 2|16 7在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,5. （10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C i 的参数方程为〔a 为蔘数）,U — sin a以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2的极坐标方程为 sin （ -） 2.2 .4（I ）写出C i 的普通方程和C 2的直角坐标方程；取值范围.x7. （10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为y参数），直线l 与抛物线y 2 4x 相交于A ，B 两点，求线段 8.（t 为参数）.（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程;（II ）设点P 在C i 上，点Q 在C 2上, 求I PQI 的最小值及此时P 的直角坐标.6. （7分）已知直线I 的参数方程为2t （t 为参数），圆C 的参数方程为4t4C0S，（为常数）.4si n（1）求直线I 和圆C 的普通方程; (2) 若直线I 与圆C 有公共点，求实数a 的AB 的长.9. （2014新课标1理23）（ 10分）已知曲线C :2y91，直线I :x 2 t y 2 2t （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30的直线, 交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.10. （ 2014新课标2理23）（本小题满分10） 选修4-4 :坐标系与参数方程半圆C的极坐标方程为2cos 0，2(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y -、3x 2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标•［选修4-5 :不等式选讲］1. ( 15年福建理科)已知a 0,b 0,c 0，函数f (x) =| x + a | +1 x- b |+c的最小值为4.1 2 1 2 2 (i )求a+b+c的值；(n)求—a2+ — b2+c2的最小值.4 92. (15年新课标2理科)设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：(1)若ab > cd ;贝卩,a b c d ; ( 2) a b c d 是|a b| |c d| 的充要条件。
3. (2014 辽宁理)(10 分)设函数f x 2x 1 x 1 , g x 16x2 8x 1，记f(x) 1的解集为M，g(x) 4的解集为N.(1)求M ；(2)当x M I N 时，证明：x2f(x) x f (x) 2 -.44. (15年陕西理科)已知关于x的不等式|x a b的解集为x2 x 4 .(I )求实数a，b的值； (II )求. bt的最大值.5. (10 分)已知函数f(x) |2x a| a(I)当a= 2时，求不等式f(x) 6的解集；(II )设函数g(x) |2x 1|,当x R时，f (x) + g (x) > 3，求a的取值范围.6.. (7分)已知定义在R上的函数f x x 1 x 2的最小值为a .(1)求a的值；(2)若p,q, r为正实数，且p q r a，求证：p2 q2 r2 3.7. 9. (2014 新课标1)( 10 分)若 a 0，b 0,且11, ab .a b(1)求a3 b3的最小值；(2)是否存在a,b，使得2a 3b 6 ?并说明理由.(10 分)已知x 0，y 0，证明：1 x y2 1 x2 y -9xy.8..8.2.1.【答案】(I) 4； ( n )- • 【解析】试题分析：(I )由绝对值三角不等 式得f (x) =| x + a | +1 x - b| +c 的最小值为| a+b | +c ,故|a+b|+c = 4， 即 a+b+c = 42 2 2 2 2 2 2(x i X 2 X 3 )(y i y 2 y 3 ) (xp i畑2 X s y ?)求解.试题解析：(I )因为 f (x) =|x + a | +| x+b | +c?| (x a) - (x +b) |+c =|a+b |+c 当且仅当-a #x b 时，等号成立又a > 0,b > 0 ,所以| a+ b = a+b ,所以f (x)的最小值为a+b+c , 所以 a+b+c = 4.(n )由(i)知a+ b+c = 4，由柯西不等式得1 2 1 2 2 8 即—a 2+—b 2+c 2?. 4 9 7； (n ) 利 用 柯西 不等式(4 + 9+i )炒琪I 2+b创3+c 22i =(a + b+c ) =i6,爲所以2a 2+〔b 2 + c 2的最小值为 —当且仅当^2—4 9 72 c8 i8 2=—=—，即卩a = —, b =一 ,c =—时，等号成立考点：不等式证明4【答案】（I ）a 3，b 1 ； （ II ）4 .【解析】试题分析：（I ）先由x a b 可得b a x b a ,再利用关于x 的不等式x a b 的解集为x2 x 4可得a ,b 的值;（II ）先将J 3t 12 巧变形为73 V t ,再利用柯西不等式可得■ 3t 12 J 的最大值. 试题解析：（I ）由 |x+a|<b ，得-b- a<x<b- a案】 （24>…L*⑴因为（血 ...................... £ s —曲.由聽设"血心得（fi*E > — E •用此証■區A 丘+适•Gl Mi ） fi 叶网・外册"—厂"（卄厅"如（"dg 血・因咖“之"网朋丁 由⑴都血山皿呷命，（后需八即心》4平4卄卄価…"伫啊如"…d ・鬥W.2,w=t c^dr ・网此甘穿扌曲廿皿如你 综匕后屁后血曰3.【答【解析】_ _ 2 —.——2试题分析：（I ）由a b c d 及ab cd ,可证明■■、a . b ■-. c d ,开方即得,a ..b .c ,d.（ii ）本小题可借助第一问的结论来证明，但要分必要性与充分 性来证明.试题解析:解:(I )因为 x a .b 2a b 2. ab, . c .dc d 2、. cd,则 b a 2,解得a=-3, b = 1 b a 4,(II ) 、、3t+12+.3 .，厂当且仅当4-t = 1，即t=1时等号成立,V3 1故=42. （2014江苏理21 ）A.［选修4-1 :几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB是圆0的直径，C，D是圆0上位于AB异侧的两点.证明:OCB D .3. （2014辽宁理22 ）（本小题满分10分）选修4-1 :几何证明选讲如图所示，EP交圆于E ,C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F •（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC BD，求证：AB ED.6. （2014新课标1理22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD是eO的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB CE .（1）证明：D E;（2）设AD不是eO的直径，AD的中点为M，且MB MC，证明：△ADE为等边三角形9. （2014新课标2理22）（本小题满分10）选修4—1 :几何证明选讲如图P是eO外一点，PA!切线，A为切点，割线PBC 与eO相交于点B，C , PC 2PA，D 为PC的中点，AD 的延长线交eO于点E .证明：(1) BE EC ;(2) AD DE 2PB2.11. (2014新课标2理24)(本小题满分10)选修4-5 :不等式选讲1设函数fx x-xa aO.a(1)证明：f x -2 ;(2)若f 3 5,求a的取值范围.(22)(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲如图，△ OAB是等腰三角形，/ AOB120° .以为圆心，OA为半径作圆.⑴证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在。