三角函数与三角恒等变换(知识点)

三角函数与三角恒等变换（知识点）
1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1180
π
=弧度，1弧度180
(
)π
='5718≈.
⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211
||22
S R Rl α=
=.
2．三角函数定义：
⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的
余弦，记作cos α；
y
x
叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则：
sin ,cos ,y x r r αα==tan y
x
α=.
三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3．三角函数线：
正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT .
4
六组诱导公式统一为“()2
k Z α±∈”
，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos α
αα
=（商数关系）.
6．两角和与差的正弦、余弦、正切：① sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；
② cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=； ③ tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=；
② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=
-=-； ③ 22tan tan 21tan α
αα
=-.
变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2
α
α+=. （降次公式）
8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ϕ+.
9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为2T π
ω
=
，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ω
π
=
=
，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x ωϕ+为相位；ϕ为初相.
10．三角函数图象与性质： 函
数
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
作图：五点法
作图：五点法
作图：三点二线
定 义 域 （－∞，＋∞） （－∞，＋∞） {|,}2
x x k k Z π
π≠+
∈
值 域
［－1，1］
［－1，1］
（－∞，＋∞）
极 值 当x ＝2k π＋2π
,y max =1；
当x ＝2k π＋32
π
y min =-1
当x ＝2k π,y max ＝1；
当x ＝2k π＋π,y min ＝－1
无
奇
偶 奇函数 偶函数 奇函数 T
2π
2π
π
单 调
性 [2,2]22
k k ππ
ππ-+递增
3[2,2]22
k k ππ
ππ++递减
[2,2]k k πππ-递增 [2,2]k k πππ+递减
(,)22
k k π
π
ππ-
+递增
11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路：
① 最小正周期2T π
ω
=，值域为[,]A A -.
② 五点法图：把“x ωϕ+”看成一个整体，取30,,,,222
x ππ
ωϕππ+=时的五个自变量值，相应的函
数值为0,,0,,0A A -，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.
③ 三角函数图象变换路线：sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位
sin()y x ϕ=+ ω
−−−−−→1
横坐标变为倍
sin()
y x ωϕ=+A −−−−−→
纵坐标变为倍
sin()y A x ωϕ=+. 或：sin y x = ω
−−−−−→1
横坐标变为倍
sin y x ω=ϕω
−−−−−
→左移个单位
sin ()y x ϕωω
=+A −−−−−
→纵坐标变为倍
sin()y A x ωϕ=+. ④ 单调性：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间，把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈，即求解22()22
k x k k Z ππ
πωϕπ-+≤+≤+∈.
⑤ 整体思想：把“x ωϕ+”看成一个整体，代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.。