4.6偏序关系

4.6
偏序关系
例：实数集上的大小关系 人的年龄大小关系 字符串的大小关系 自然数集上的整除关系
一、偏序关系 定义：设R是非空集合A上的关系， 若R是自反、反对称和传递的， 则称R为A上的偏序关系。称有 序偶<A,R>为偏序集。
表示方法： 偏序关系一般记为 ≤ 偏序集一般记为 <A,≤> <x,y>≤ x≤y (读作小于等于)
例：证明集合A={2,3,6,12,24,36}上 的整除关系是偏序关系。
证明：R={<x,y>|x,yA,x|y} x|y表示：x整除y（y被x整除） ① 对于任意的xA ∵x|x ∴<x,x>R ∴R是自反的
② 对于任意的x,yA， 若 x|y 且 y|x 则 x=y 即： 若<x,y>R且<y,x>R则x=y ∴ R是反对称的 ③ 对于任意的<x,y>,<y,z>R， 有x|y 且 y|z ∴有x|z ∴ <x,z>R ∴ R是传递的 综合①、②、③，R是偏序关系
定理：
偏序集的非空子集， 可能没有最元，若有必唯一， 可能没有极元，若有未必唯一 。
定义：设 < A,≤ > 为偏序集，B A ： ① 若 yA，使得 x (xBy≤x)， 则称 y是B的下界 ② 若 yA，使得 x (xBx≤y)， 则称 y是B的上界
③ 令 C = { y | y是B的下界 }， 则称 C的最大元 是B的下确界 ④ 令 C = { y | y是B的上界 }， 则称 C的最小元 是B的上确界
{ }
例：根据哈斯图， 写出偏序关系。 8 4
解：A = {2,4,6,8}
R = {<2,2>,<4,2>,
<4,4>,<6,6>, 6 <6,2>, <8,4>, <8,6,>, <8,8>}
2
A上的整倍数关系
三、全序关系 定义：设 <A,≤> 为偏序集 , 若对任 意的 x,y∈A，x与y 都是可比 的，则称 ≤ 为 A 上的全序关
若≤是A上的偏序关系，
则≤-1 (记≥)也是A上的偏序关系,
<A,≤> 和 <A,≥> 都是偏序集。
例: (1) 集合族上: 子集关系、包含关系 (2) 正自然数集N+上: 整除关系、整倍数关系 (3) 实数集R上: 小于等于关系、大于等于关系
定义：设≤是非空集合A上的偏序关
系，对于x,yA :
定理： 偏序集的非空子集， 可能没有确界，若有必唯一，
可能没有界，若有未必唯一 。
定理：对偏序集的非空子集，
最小元一定是下界，且是下确界；
下界、下确界不一定是最小元。 最大元一定是上界，且是上确界；
上界、上确界不一定是最大元。
小结： 偏序关系，反映了集合中元素的 顺序性。
作业：
例：{2,3,6,12,24,36} 上的整除关系 : 6|36，6<36，但36没有盖住6， 36盖住12，12盖住6
哈斯图的画法：
① 对于任意x,yA，若x<y，则
将x画在y的下方 ② 若y盖住x，则用一条线段连接
x和 y
对于有穷偏序集，哈斯图是关系图的简化。
例：{2,4,6,8}上的整除关系 8
四、偏序集中一些特殊元素 最小元 极小元 最大元 极大元
下界
下确界
上界ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上确界
定义：设 < A,≤ > 为偏序集，B A ：
① 若 yB，使得 x (xB y≤x)， 则称 y 是 B 的最小元 ② 若 yB，使得 x (xB x≤y)， 则称 y 是 B 的最大元
③ 若 yB，使得 ﹁x (xB ∧ x＜y)， 则称 y 是 B 的极小元 ④ 若 yB，使得 ﹁x (xB ∧ y＜x)， 则称 y 是 B 的极大元
8
4 6 2
关系图
4
6
2
哈斯图
例：{ 2,3,6,12,24,36 } 上有整除关系 和整倍数关系 , 画出哈斯图。 24 36
2
6 12
3
12
6 2 3
24
36
例：集合A={a,b,c} , P(A)上有子集关系 , 画出哈斯图。 {a,b,c}
{a,b} {a}
{a,c}
{b}
{b,c} {c}
①若有 <x,y>≤ 或 <y,x>≤，
则称 x 与 y 可比 ②若有 <x,y>≤ 且 <y,x>≤， 则称 x 与 y 不可比 ③若有 <x,y>≤ 且 xy ， 则称 x＜y（读作小于）
在偏序集 <A,R> 中，
x,yA，恰符合以下三种情况之一：
(1) x与y 不可比 (2) x<y (或 y<x)
例：{ 2,3,6,12,24,36 } 上的整除关系， 求 { 2,3,6,12 } 的最元、极元。 24 36 最小元：无 最大元：12 极小元：2，3 3
12
6 2
极大元：12
最元与极元是有区别的： ① 最元与 B 中其它元素都可比， 是 B 中最小(大)的元素 ② 极元不一定与 B 中元素都可比， 只要没有比它小(大)的元素， 它就是极小(大)元
(3) x=y
例：{2,3,6,12,24,36} 上的整除关系 : (1) 2与3、24与36不可比 (2) 6与6、6与12、6与3可比
(3) 6≤6、6≤12、3≤6
6＝6、6＜12、3＜6
二、哈斯图 有穷偏序集的关系图，
可以简化为哈斯图。
定义： 设 <A,≤> 为偏序集，对于任意 x, yA，若x<y，且不存在 zA ， 使得 x<z<y，则称 y 盖住 x 。
系，称 <A,≤> 为全序集。
全序关系一定是偏序关系，偏序关系 不一定是全序关系。
例：{2,4,6,8} 上的整除关系不是全序 关系，小于等于关系是全序关系。
8 4 8 6 6
4
2 2
例： (1) 实数集上的小于等于关系、大于 等于关系：是全序关系 (2) 集合族上的子集关系、包含关系： 不是全序关系 (3) 正自然数集上的整除关系、整倍 数关系：不是全序关系
例：{ 2,3,6,12,24,36 } 上的整除关系， 求 { 2,3,6,12 } 的界、确界。
24 12 36 下界：无 上界：12, 24, 36 下确界：无
6
2 3
上确界：12
说明：
① B的界、确界在 A 的范围中，
可能在B中，也可能不在B中； ② 下确界是下界中的最大，
上确界是上界中的最小。