离散编程,求偏序关系的极大元与极小元
离散数学期末试卷及部分答案 (2)
离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10分）1)(⌝P ∧(⌝Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔((⌝P ∧⌝Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ⇔(⌝(P ∨Q)∨(P ∨Q))∧R ⇔T ∧R(置换)⇔R2)∃x(A(x)→B(x))⇔ ∀xA(x)→∃xB(x)证明 ：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x ⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x) 二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)⇔⌝(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))⇔（⌝P ∧(⌝Q ∨⌝R)）∨(P ∧Q ∧R) ⇔(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R)⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(⌝P ∧Q ∧⌝R))∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R) ⇔m0∨m1∨m2∨m7 ⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1） C ∨D, (C ∨D)→ ⌝E, ⌝E →(A ∧⌝B), (A ∧⌝B)→(R ∨S)⇒R ∨S证明：(1) (C ∨D)→⌝E(2) ⌝E →(A ∧⌝B)(3) (C ∨D)→(A ∧⌝B) (4) (A ∧⌝B)→(R ∨S) (5) (C ∨D)→(R ∨S)(6) C ∨D(7) R ∨S2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明（1）∃xP(x) (2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)∃x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明 设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。
离散数学等价关系与偏序关系
等价类的定义
定义2 设R是X上的一个等价关系，xX，X的 子集Ex={yyX且xRy}称为x关于R的等价类，或简 记为x的等价类。
x的等价类常记为[x]，即[x]={yyX且xRy}。
例5：设 A={1, 2, …, 8}, 如下定义 A上的关系R： R={(x,y)| x,yA∧x≡y (mod 3)}
x的等价类常记为[x]，即[x]={y y X且xRy}。
的先驱。 例8：令A={2,3,6,12,24,36}，A在整除关系“ ”下构成一个偏序集(A, )。
①若A中有极大元素，则极大元素属于A，而且未必唯一，甚至可能有无穷多个。 6,12,24,36都是子集{2,3}的上界。
{1, 2, 4, 6}集合上的整除关系, 2覆盖1, 4 和 6 覆 X与全序关系≤构成的二元组(X,≤)称为全序集。
哈斯图就是利用偏序的自反、反对称、传 递性简化了的关系图。
特点： (1)每个结点没有环; (2)两个连通的结点之间的序关系通过结点
位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前; (3)具有覆盖关系的两个结点之间连边。
哈斯图实例
例4：({ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
例1：设S是一个集合，S的子集间的包含关系 是不是偏序关系？
A关于恒等关系和全域关系的商集为： A/IA = { {1},{2}, … ,{8}} A/EA = { {1, 2, … ,8} }
实例
例8：给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系。 求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写出 对应的等价关系。
实例
A上的等价关系与划分之间的对应： 4对应于全域关系EA； 5对应于恒等关系IA；
偏序集与全序集的主要区别在于全序集中任两个 元素均可比较“大小”，而在偏序集中任意两个元素 不一定都能比较大小。
离散数学第四版课后答案(第4章)
第4章 习题解答4．1 A ：⑤； B ：③； C ：①； D ：⑧； E ：⑩4．2 A ：②； B ：③； C ：⑤； D ：⑩； E ：⑦4．3 A ：②； B ：⑦； C ：⑤； D ：⑧； E ：④分析 题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。
先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的}2,2,1,2,2,1,1,1{},2,2,1,1{><><><><=><><=s s E I};2,2,2,1,1,1{><><><=s I而题4.2中的}.1,4,4,3,1,2,4,1,1,1{><><><><><=R为得到题4.3中的R 须求解方程123=+y x ，最终得到}.1,9,2,6,3,3{><><><=R求R R 有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。
下面由题4.2的关系分别加以说明。
1°集合表达式法将ranR ran domR domR,, 的元素列出来，如图4.3所示。
然后检查R 的每个有序对，若R y x >∈<,，则从domR 中的x 到ranR 中的y 画一个箭头。
若danR 中的x 经过2步有向路径到达ranR 中的y ，则R R y x >∈<,。
由图4.3可知}.1,3,4,2,1,2,4,4,1,44,1,1,1{><><><><>><<><=R R如果求G F ，则将对应于G 中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F 中的有序对的箭头画在右边。
对应的三个集合分别为ranF domF ran domG ,, ，然后，同样地寻找domG 到ranF 的2步长的有向路径即可。
离散数学第一学期习题及答案
第一章部分习题及参考答案1 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r)(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q)2．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”3．用真值表判断下列公式的类型：（1）(p→q) →(⌝q→⌝p)（2）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（3）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)4.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)5.用等值演算法证明下面等值式：(1)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(2)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)6.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)7.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(1)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(2)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q8.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r9.在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p参考答案:1.（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0 (4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔12.p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
《离散数学》试题及答案
一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; (A) - (B)＝ __________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从AB ＝_________________________; AB＝_________________________;A －B＝ _____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________,_______________________________.8. 设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________,__________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1), (3,2),(4,3)}, 则 R1R2 = ________________________,R2R1=____________________________, R12=________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |(AB)| =_____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, xR}, B = {x |0≤x < 2, xR},则A-B = __________________________ , B-A =__________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = xP(x)xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
《离散数学》7偏序关系
5
例2 (p109)证明(Z+，R)是偏序集
对于任意的x,y∊Z+，(x,y)∊R当且仅当x|y。
（1）对于任意的x∊Z+,显然有x|x,所以(x,x)∊R,即R 是自反的。
（2）对于任意的x,y∊Z+,若(x,y)∊R,且(y,x)∊R，则 x|y,即存在n∊Z+,y=nx 且 y|x,即存在 m∊Z+,x=my，所以x=mnx，而n,m∊Z+，所以只有 n=m=1，
d
j
k
h
4
c
e
h
i
e
f
g
2
3b
f
g
b
c
d
1
a
bc de
a
a
(a)
(b)
(c)
(d)
29
极大、极小与最大最小元的找法： 1、孤立点。
既是极大元也是极小元。 若图中有孤立点，则必无最大、最小元。 2、除孤立点外， 其他极小元是图中所有向下通路的终点； 其他极大元是图中所有向上通路的终点。 3、若极小元唯一则其为最小元； 若极大元唯一则其为最大元；
显然
2覆盖1 3覆盖1 4覆盖2，但4不覆盖1
4
2
3
1
哈斯图
12
二、哈斯图（Hasse Diagram)
设(A，≺ )是一个偏序集， A是一个有限集，|A|=n。 可以用一个图形来表示偏序集（A，≺）， 这个图形有 n个顶点，每一个顶点表示A中 一个元素， 两个顶点 x与y，若有y覆盖x，则点x在点y 的下方，且两点之间有一条直线相连结。
即x=y时才有(x,y)∊R,且(y,x)∊R ，即R有 反对称性。
离散数学课件-次序关系
9
课堂小测验：
(1) D={1,2,3,5,6,10,15,30},≤ 是D上整除关系， 求<D, ≤ >Hasse图， （2）A={a,b,c} ，求<P(A),>的Hasse图
30 6
。
{a,b}
{a,b,c}
。
。 １5。 3。 2。 5。 １。
１0
。
。 {a,c}。 {b,c}。 {b}。 {a}。 {c}。
{a,b} {a,b,c}
。
。 {a,c}。 {b,c}。 {b}。 {a}。 {c}。
Φ
。
20
总结：
1. 非空子集极小(极大)元总是存在的。但极大元、极小元并不 是唯一，且同一元素可以既是极大元又是极小元。如果有 唯一的极小(大)元，则这个极小(大)元就是最小(大)元。否 则就没有最小(大)元。 2.极大元、极小元必须是子集B中的元素。
1： a是B的上界，并且对B的所有上界a’,都有a≤a’,
则称a是B的最小上界(上确界) 。
即若令C＝{a|a为B的上界}，则C的最小元为B的最小上 界或上确界. (即a是上界中最小的。如果B有上确界，则是唯一的) 2： a是B的下界，并且对B的所有下界a’,都有a’ ≤a 则称a是B的最大下界(下确界) 。 若令D＝{a|a为B的下界}，则称D的最大元为B的最大下 界或下确界. (即a是下界中最大的。如果B有下确界，则是唯一的)
14
定理2：<A,≤>是偏序集，B是A的非空子集，如果B有 最小元(最大元)，则最小元(最大元)是唯一的。 证明：假设B有两个最小元x、y,则 因为x是最小元，y∈B，根据最小元定义，有x≤y; 类似地，因为y是最小元，x∈B，根据最小元定义，有 y≤x。因为≤有反对称性，所以有x=y。 同理可证最大元的唯一性。
离散数学期末考试题答案
北京交通大学2007-2008学年第二学期《离散数学基础（信科专业）》期末考试卷（A）学院：____________ _专业：___________________ 班级____________姓名：学号：□选修□必修一、填空题（共10分，每空1分）1.在推理理论中，推导过程中如果一个或多个公式重言蕴涵某个公式，则这个公式就可以引入推导过程中，这一推理规则叫做（T规则）。
2.设A={a，{b}}，则A的幂集是P (A)= {Φ, a，{b}, {a，{b}}；3.设R 是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有自反性、反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系。
4.既是满射，又是单射的映射称为1-1映射（双射）。
5.设S为非空有限集,代数系统<P(S),∪>的单位元和零元分别为S和φ。
6.具有n个顶点的无向完全图共有n(n-1)/2条边。
7.简单图是指无环、无重边的图。
8.k-正则图是指所有顶点的度数均为k的的图。
9.Hamilton通路是指通过图中所有顶点一次且仅一次的通路。
10.设G=（E，V）是图，如果G是连通的，则P（G）= 1 。
11.命题公式(P→Q) ∧ (P→R)的主析取范式中包含极小项（ A ）A．P∧Q∧R；B．P∧Q∧⌝R；C ．P ∧⌝Q ∧R ；D ．P ∧⌝Q ∧⌝R12. 下列谓词公式中（ A ）不正确。
A ．(∃x)(A(x) →B) ⇔ (∃x) A(x) →B ； B ．(∃x)(B →A(x)) ⇔ B →(∃x) A(x)；C ．(∀x)(B →A(x)) ⇔ B →(∀x) A(x)；D ．(∀x)(A(x)∨B) ⇔(∀x)A(x)∨B ；13. 设S = {2，a ，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法中正确的是（ D ）（A ）R=S ； （B ）{a,3}⊆S ； （C ）{a}⊆R ；（D ）φ⊆R ；14. 下列命题公式不是重言式的是 C 。
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求偏序集中的极大元与极小元
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输入
输入偏序集 <A, £ > ， A 中的元素数不超过 20 个，分别用单个小写的英文字母表示。
输入的第一行给出 A 中的各个元素，两个相邻的元素之间用逗号隔开。
输入的第二行给出偏序关系£，用有序对的形式给出，如 <a,b>,<c,a> 等等，两个相邻的有序对之间用逗号隔开。
输出
输出 A 的极小元与极大元。
输出的第一行给出各个极小元，两个相邻元素之间用逗号隔开，输出的元素要求按照英文字母的自然顺序排列输出。
输出的第二行给出各个极大元，两个相邻元素之间用逗号隔开，输出的元素要求按照英文字母的自然顺序排列输出。
测试输入期待的输出时间限制内存限制额外进程
测试用例 1 以文本方式显示
1.a,b,c,d↵
2.<a,b>,<c,d>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>↵
以文本方式显示
1.a,c↵
2.b,d↵
无限制 1024KB 0
测试用例 2 以文本方式显示
1.a,b,c,d,e,f↵
2.<a,b>,<c,d>,<e,f>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<e,e>,<f,f>↵
以文本方式显示
1.a,c,e↵
2.b,d,f↵
无限制 1024KB 0
源程序
#define N 100
#include"stdio.h"
#include"string.h"
int main( )
{ char b[N],c[N],d[N],e[N]; /* b放元素，c放偏序关系，d放极小元，e放极大元 */ int i,j,m=0,n=0,len1,len2,s;
scanf ( "%s%s",b,c );
len1 = strlen( b );
len2 = strlen( c );
for ( i=0;i<len1; ) /* 求极小元，则它除自反关系外不在关系的后者中出现 */ { for ( j=3;j<len2; )
{ s=j-2;
if ( (( c[s]==c[j] ) || ( b[i]!=c[j] )) && j!=(len2-2) ) j=j+6;
else if ( (( c[s]==c[j] ) || ( b[i]!=c[j] )) && (len2-j==2) )
{ d[m]=b[i];
m++;
i=i+2;
j=j+6;
}
else
{ i=i+2;
break;
}
}
}
for ( i=0;i<len1; ) /* 求极大元，则它除自反关系外不在关系的前者中出现*/
{ for ( j=1;j<len2; )
{ s=j+2;
if ( (( b[i]!=c[j] )||( c[j]==c[s] )) && j!=(len2-4) ) j=j+6;
else if ( (( b[i]!=c[j] ) || ( c[j]==c[s] )) && ( len2-j==4 ) )
{ e[n]=b[i];
i=i+2;
n++;
j=j+6;
}
else
{ i=i+2;
break;
}
}
}
m=m-1;n=n-1;
for ( i=0;i<m; )
{ printf ( "%c",d[i] );
printf ( "," );
i++;
}
printf ( "%c\n",d[i] );
for ( i=0;i<n; )
{ printf ( "%c",e[i] );
printf ( "," );
i++;
}
printf ( "%c\n",e[i] );
}。