2.6 半序(偏序)关系
偏序关系
偏序关系：同时具有自反、反对称和传递性
4.6 偏序关系
定义4.21
设R为非空集合A 上的一个二元关系，如果R是自反的、反对 称的和传递的，则称R为A 上的偏序关系，记作≤。设≤是 偏序关系，若<x, y>≤，则记作x≤y，读作x“小于或等 于”y。集合A 与A 上的偏序关系≤一起组成的有序对<A, ≤> 叫做偏序集。 如以下关系都是偏序关系： 1 非空集合A 上的恒等关系IA。 2 实数集R上的“”、“”关系。
4.6 偏序关系
定义4.24
设<A, ≤ > 为偏序集，对于任意的x, yA，如果x < y并且不存在z∈A使得 x<z<y，则称y盖住x。作为集合A 上的一个二元关系，盖住关系C O V A 可表示 为：
C O V A={<x, y> |x, y∈A y盖住x} 根据定义4.24，<x, y>，
<x, y > ∈ C O V A y盖住x x ≤y <x, y>∈ ≤ 所以C O V A ≤ 。
4.6 偏序关系
对于偏序集<A, ≤ >，它的盖住关系C O V A 是唯一的，所以可以利用盖住关系 作图，表示该偏序集<A, ≤ > 。这个图叫作哈斯图。 偏序集<A, ≤>的哈斯图的画法如下： 1 用“”表示A 中的每一个元素； 2 x, yA，若x<y，则把x画在y的下面； 3 x, yA，若y盖住x ，则用一条线段连接x和y。
例 33
已知偏序集<A, R > 的哈斯图如下 解： 图,试求出集合A 和关系R的 表达式.
A = {a, b, c,d, e, f,g, h }
2.6 半序(偏序)关系
种情形之一：
x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比。 例 设A={1, 2, 3} (1) ≼ 是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3， 2 和 3 不可比；
(2) ≼ 是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2, 1＝1, 2＝ 2， 3 ＝ 3。
(2) 对有限集B，极大 (极小)元一定存在，但最大(最小)元不一定存在;
(3) 最大 (最小) 元如果存在，必定是唯一的; 而极大 (极小) 元一般不唯 一。但如果B中只有一个极大 (极小) 元, 则它一定是B的最大 (最小) 元。
7
第二章
例 求上例中A的极大元、极小元、最大元、最小元， 解：极大元：a, f, h; 极小元: a,b,c,g; 无最大元和最小元。
8
第二章
定义7 设<A, ≼ >为偏序集，BA. (1)若存在yA, 使得x(xB→x≼y)成立, 则称y为B的上界; (2)若存在yA, 使得x(xB→y≼x)成立，则称y为B的下界； (3) 令 C＝{y|y为B的上界}，则称C的最小元为B的最小上界或上确界； (4) 令 D＝{y|y为B的下界}，则称D的最大元为B的最大下界或下确界. 注：
1,6不覆盖4。
4
二. 哈斯图
设有偏序集<A, ≼>, 其哈斯图的画法如下：
第二章
利用偏序关系的自反性、反对称性和传递性可简化偏序关系的关系图， 得到偏序集的哈斯图。
(1) 以 A 的元素作为顶点，适当排列各顶点的顺序, 使得对 x, y A，
若x≺ y, 则将 x 画在 y 的下方。 (2) 对A中两个不同元素 x 和 y, 如果 y 覆盖x, 则用一条线段连接 x 和 y.
第4章 关系3
例如 实数集 上的数之间的小于或等于关系 实数集R上的数之间的小于或等于关系
上的一个全序. "≤"就是 上的一个全序. "就是R上的一个全序 正整数集N上的小于或等于关系" 也是N 正整数集N上的小于或等于关系"≤"也是N上 的一个全序. 的一个全序.
7
N上的整除关系就仅是一个偏序而不是全序. 上的整除关系就仅是一个偏序而不是全序.
例 3 设 A={1,2,3,4,6,8,12} , 定义 A 上的整除 A={1 12} 定义A
关系ρ aρb, 关系 ρ . 当且仅当 a 整除 b 时 , 有 aρb , 则 ρ 是 A 上的偏序关系. 上的偏序关系. 在以上整除关系中,3≤4,4≤3均不成立. 在以上整除关系中,3≤4,4≤3均不成立. 均不成立
18 2 1
12 3
但glb(18,12)不存在. glb(18,12)不存在. 不存在 类似地,12, 的上界, 类似地,12,18 和 36 均是 2 和 3 的上界, lub( 不存在. 但 lub(2,3)不存在.
13
偏序关系的某一子集可以有0到多个上 偏序关系的某一子集可以有 到多个上(下)界. 到多个
Y
)
10
五.最大下界和最小上界 定义 是偏序集<L ≤中的两个元素, <L; 是偏序集<L; >中的两个元素, l和 l 元素a L,如果满足a l 下界. 元素a ∈ L,如果满足a ≤ ,a≤ ,则称a是l 和 l的下界. l 则称a 如果元素a 的下界. 如果元素a是 l和 的下界.且对于任意 a′ L,若 a′ ∈ l ,则称 则称a 也是 l和 的下界,便有 ′ ≤a ,则称a是 l 和 l的 l的下界, a 最大下界(下确界) 简记作a=glb( 最大下界(下确界),简记作a=glb( , ). l l 是偏序集<L ≤中的两个元素,元素b <L; 定义 设 l和 l 是偏序集<L; >中的两个元素,元素b ∈ L, 上界. 如果满足l ≤b, ≤ ,则称 b是l 和 l的上界. l b 的上界, 如果元素 b是 l和 l的上界,且对于任意 b∈ L,若 b′ ′ 的上界,便有b b 也是 l 和 l 的上界,便有b ≤ ′,则称 b 是 l和 l的 最小上界(上确界),简记作b=lub( , ),简记作 最小上界(上确界),简记作b=lub( l l) 设
集合论第三课 等价关系与偏序关系
• 定理2.16 设R1和R2是A上的等价关系， 则 R1R2是A上的等价关系。
• 例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，A上的二元关系R 中，有多少个是等价关系？
• 因为等价类划分和等价关系是一一对应的， 所以A上的二元关系中等价关系的个数等于 A的划分个数。 • 西安交通大学1998考研
例： A是学生集合，是在A中按学院的划分， ’是在A中按专业的划分。和’确定A 上的等价关系R:同学院同学关系和R’:同专 业同学关系，显然R’R。
• 证明： • /*’细分 R’R ，基本法*/ • 对于任一<a, b>R’，存在'的某块S’，使a, bS’。因为’细分，所以必存在的块S， 使S’S。因此a, bS，从而<a, b>R。 • /* R’R ’细分 */ • 设S’是‘的一块，aS’则[a]R’ ={x|xR’a}=S’ （请展开证明）。由于R’R，若xR’a必有 xRa。因此{x|xR’a}{x|xRa}，即 [a]R’[a]R。 ’的一块包含在的一块中，所以’细分 。
• /*北京航空航天大学1996考研试题*/
2.7 次序关系
• 二 拟序关系 • 定义2.22（拟序关系） A上的二元关系 R是反自反的和传递的，称 R为A上的拟序关系。称(A, R)为拟序集，或记为 (A, <)。（不意味着小于）
• 定理2.24 A上的二元关系 R是拟序的，则R必为反对称 的。 证明：反证法
– 位置关系：若a b，则结点a在b之下； –Байду номын сангаас连线规则：若a与b之间不存在其他元素c，使a c，c b则在a与b之间用一线相连。
2.7 次序关系
• 例题： Rosen《离散数学及其应用（本科教学 版）》p225例13、例14、P226例18
集合论--第9讲偏序关系
离散数学偏序关系第9讲定义9.1设R为非空集合A上的关系, 如果R是自反的、反对称的和传递的, 则称R为A上的偏序关系。
简称偏序, 记作≼。
设≼为偏序关系。
如果<x,y > ∈ ≼, 则记作x≼y, 读作“x小于等于y”。
意即：依据这个序，x排在y的前面或x就是y。
定义9.2设R是非空集合A上的偏序关系，定义(1) ∀x,y∈ A, x与y可比⇔x ≼y ∨ y ≼x。
(2)∀x,y∈ A, x ≺y ⇔x ≼y ∧ x≠y。
其中x≺y读作“x小于y”。
由上面定义可知，在具有偏序关系≼的集合A中任取两个元素x和y，可能有下述几种情况发生：x与y不可比；x≺y；y≺x；x=y。
定义9.3集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集，记作<A, ≼>。
利用偏序关系的自反性，反对称性和传递性可以简化一个偏序关系的关系图，得到偏序集的哈斯图。
我们需要下面覆盖的定义。
定义9.4设<A, ≼> 是偏序集， x,y∈ A ，如果x≺y且不存在z ∈ A使得x≺z≺y ，则称y覆盖x。
例子例9.1<A,≼>是偏序集,其中A＝{1,2,3,4,5}, ≼是整除关系。
解: 对任意x∈A都有1≼x,所以1和1,2,3,4,5都是可比的,但是2不能整除3,3也不能整除2,所以2和3是不可比的。
对于1和2来说,1≺2,并且不存在z∈A使得1整除z并且z整除2,所以,2覆盖1。
同样,4覆盖2,但4不覆盖1,因为有1≺2≺4成立。
如果x与y不可比,则一定不会有x覆盖y或y覆盖x。
哈斯图——关系图的简化哈斯图的画法1在关系图中去掉所有的自环。
2若y覆盖x，则保留从x到y的边，其它的边全去掉。
3若y覆盖x，将x放在下方，y放在上方，去掉边上的方向。
这一点是能做到的，因为偏序关系的关系图中无有向圈。
例子画出<{1,2,…,12},R 整除>和<P({a,b,c}), R >的哈斯图.例9.2179361211510248<{1,2,…,12},R 整除>{a}{b}{c}{b,c}{a,c}{a,b,c}{a,b}∅<P({a,b,c}), R >⊆⊆基本概念定义9.5设<A,≼>为偏序集,B ⊆A .①y∈B, y是B 的最小元: 若∀x(x∈B→y ≼x)成立。
偏序关系
4.6偏序关系偏序关系：同时具有自反、反对称和传递性4.6 偏序关系定义4.21设R为非空集合A上的一个二元关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，记作≤。
设≤是偏序关系，若<x, y>∈≤，则记作x≤y，读作x“小于或等于”y。
集合A与A上的偏序关系≤一起组成的有序对<A, ≤>叫做偏序集。
如以下关系都是偏序关系：（1）非空集合A上的恒等关系I A。
（2）实数集R上的“≤”、“≥”关系。
4.6 偏序关系定义4.22设<A, ≤>为偏序集，定义（1）∀x, y∈A，x < y ⇔x ≤ y ∧x≠y，x<y读作x“小于”y，这里所说的“小于”是指在偏序中x排在y的前边。
（2）∀x, y∈A，x与y可比⇔x ≤y ∨y ≤x例如，<A, ≤>是偏序集，其中A＝{1, 2, 3, 4, 5}，是A上的整除关系，则有（1）1<2<4，1<3等。
（2）1=1，2=2，3=3等。
（3）2与3是不可比的。
4.6 偏序关系Sed ut perspiciatis unde omnis.68%设<A, ≤>为偏序集，若∀x, y ∈A ，x 与y 都是可比的，则称≤为A 上的全序关系（或线序关系）。
且称<A, ≤ >为全序集。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的（1）“小于等于”关系是全序关系，因为任何两个数总是可比大小的。
（2）“整除关系”不是全序关系，因为2与3是不可比的。
定义4.234.6 偏序关系定义4.24设<A, ≤ >为偏序集，对于任意的x, y∈A，如果x < y并且不存在z∈A使得x<z<y，则称y盖住x。
作为集合A上的一个二元关系，盖住关系COV A可表示为：COV A={<x, y> | x, y∈A∧y盖住x}根据定义4.24，∀<x, y>，<x, y>∈COV A⇔y盖住x⇒x ≤ y⇔<x, y>∈ ≤所以COV A ⊆≤。
偏序关系整理
●定义：集合S上的关系R，如果它是自反的，反对称的和传递的，就称为偏序。
集合S与偏序R一起叫做偏序集，记做(S, R)●例子：●1、整数集合上的“大于或等于”关系●2、正整数集合上的整除关系●3、集合S的幂集合上的包含关系●符号：●通常用≼表示偏序关系,读作“小于等于”●<x,y>∈R ⇔ xRy ⇔ x≼y●使用这个记号是由于“小于或等于”关系是偏序关系的范例。
●“严格小于”: x≺y ⇔ x≼y ∧x≠y●当a与b是偏序关系（S, ≤）的元素时，不一定有a ≤b或b ≤a。
●定义2：偏序集（S, ≤）的元素a和b叫做可比的，如果a ≤b或b ≤a。
当a和b是S的元素且没有a ≤b，也没有b ≤a，则称a和b是不可比的。
●极大元素：偏序集的一个元素，它不小于这个偏序集的任何其他元素●极小元素：偏序集的一个元素，它不大于这个偏序集的任何其他元素●最大元素：偏序集的一个元素，它大于这个偏序集的所有其他元素●最小元素：偏序集的一个元素，它小于这个偏序集的所有其他元素设<S,≼>为偏序集, A⊆S, u,l∈A●上界(upper bound):u是A的上界⇔∀x( x∈A → x≼u )●下界(lower bound):l是A的下界⇔∀x( x∈A → l≼x )●例：<S,|>, S={1,2,3,4,5,6,9,10,15}●A1={1,2,3}, A2={3,5,15}, A3=S.●A1的上界是{6}, A1的下界是{1}●A2的上界是{15}, A2的下界是{1}●A3的上界集合的最小上界：集合的一个上界，它小于所有其他的上界●集合的最大下界：集合的一个下界，它大于所有其他的下界是{}, A3的下界I A R R∩I A=R=R R∩R-1 I A R R R最小元与极小元是不一样的。
最小元是B中最小的元素，它与B中其它元素都可比；而极小元不一定与B中元素可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。
偏序关系
良序 全序 偏序 偏序/全序/良序的逆关系是否仍为偏序/全序/良序？ 良序的逆关系不一定是良序
例如(N， )
链与反链
链与反链
设C是偏序集(P,≼)的一个子集
如果C中任何两个元素均可比，则C构成一个链 如果C中任何两个元素均不可比，则B构成一个反链
链与反链（示例）
a
元素个数最多的反链，含k个元素
注：覆盖P的链数 P中任一反链的元素个数.
等价结论:有限偏序集中存在一个链覆盖和一个反链，它们 大小相等
Dilworth定理的归纳证明
证明. 按照P中元素个数（|P|=1, 2 …）进行归纳证明. 设a为P中的一个极大元素, P’ =P-{a} 设(P’,≼)有一个大小为k的反链{a1, a2, …, ak}，并有一个规模 为k的链覆盖{C1, C2, …, Ck}. 对任意Ci , P’中大小为k的任一反链均有唯一的元素属于Ci， 这些元素有一个最大元，记为xi. A={x1, x2, …, xk}必是反链。否则，不妨假设A中有两个元素 xi≼ xj. 根据xj的定义，P’中必有一个大小为k的反链Aj, xj是Aj 和Cj的公共元素，假设y是Aj和Ci的公共元素，则y≼ xi. 从而 y≼ xj.与Aj是反链矛盾.
离散数学集合论南京大学计算机科学与技术系极大小元最大小元格及其性质partialorder给定有限字符集合若在上有一个偏序关系类似上述办法可以对任意正整数k定义由中字符构成的长度为k的串的集合上的偏序关系
偏序关系
离散数学－关系
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
偏序与全序
哈斯图
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8
第二章
定义7 设<A, ≼ >为偏序集，BA. (1)若存在yA, 使得x(xB→x≼y)成立, 则称y为B的上界; (2)若存在yA, 使得x(xB→y≼x)成立，则称y为B的下界； (3) 令 C＝{y|y为B的上界}，则称C的最小元为B的最小上界或上确界； (4) 令 D＝{y|y为B的下界}，则称D的最大元为B的最大下界或下确界. 注：
第二章
第六节 半序（偏序）关系
1
一.偏序关系与偏序集
第二章
定义1 设R为非空集合A上的关系。如果R是自反的、反对称的和传 递的，则称 R 为 A上的半序(偏序)关系，记为 ≼ 。
对一个偏序关系 ≼ ，如果<x, y> ≼ ，则记为 x ≼ y。
注：
1. 集合A上的恒等关系IA是A上的偏序关系，但空关系和全
(2) 对有限集B，极大 (极小)元一定存在，但最大(最小)元不一定存在;
(3) 最大 (最小) 元如果存在，必定是唯一的; 而极大 (极小) 元一般不唯 一。但如果B中只有一个极大 (极小) 元, 则它一定是B的最大 (最小) 元。
7
第二章
例 求上例中A的极大元、极小元、最大元、最小元， 解：极大元：a, f, h; 极小元: a,b,c,g; 无最大元和最小元。
种情形之一：
x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比。 例 设A={1, 2, 3} (1) ≼ 是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3， 2 和 3 不可比；
(2) ≼ 是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2, 1＝1, 2＝ 2， 3 ＝ 3。
3
第二章
定义3 设R为非空集合A上的偏序关系，如果x, yA, x 与 y 都是可比的, 则称R为A上的全序关系。 例如 大于等于关系（小于等于关系）是全序集，但整除关系一般不是全 序集。 定义4 带有某种指定的偏序关系 ≼ 的集合A称为偏序集，记为<A, ≼ >. 例如 整数集Z和数的小于等于关系≤构成偏序集 <Z, ≼ >; 集合A的幂集P(A)和集合的包含关系 构成偏序集<P(A), >. 定义5 设 <A, ≼ > 为偏序集，x, y A, 如果 x ≺ y且不存在 z A, 使得x ≺ z ≺ y, 则称 y 覆盖 x。 例如 A={1, 2, 4, 6}上的整除关系，有2覆盖1，4和6都覆盖2，但4不覆盖
域关系EA 一般不是A上的偏序关系。 2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上 的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系。
2
第二章
定义2 设R为非空集合A上的偏序关系，定义 (1) x, yA, x ≺ y当且仅当 x ≼ y且 x≠y (2) x, y A, x 与 y 可比当且仅当 x ≼ y 或 y ≼ x 注：在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四
10
第二章
例 设A={2,3,4,6,7,8,12,36,60}, 在半序集(A,|)上，半序关系|是整除关系。 取 B1={7,8}, B2={8,12}, B3={2,3}, B4={2,4,12}， 则Bi(i=1,2,3,4)集合上的上(下)界,上(下)确界，极大(下)元 ？ 作出哈斯图 ！
1. B的最大元(最小元)必定是B的上界(下界)，也是B的上确界(下确界)。
2. B的上界和上确界都未必是B的最大元，因它们可能不在B中。同理， 下界和下确也未必是B的最小元。 3. B的上界、上确界、下界、下确界都可能不存在。但如果上确界(下确 界)存在，则它是唯一的。
9
第二章
例 考虑下图中的偏序集.令B = { b, c, d }, 试讨论B的上(下)界， 最大下界，最小上界等。 解析： (1)则B的下界和最大下界 都不存在; (2)上界有d和f, 最小上界 为d.f d e h来自abc
g
解: A={a, b, c, d, e, f, g, h}, R={<b,d>, <b,e>, <b, f>, <c, d>, <c, e>, <c, f>, <d, f>, <e, f>, <g, h>}∪IA.
6
三. 偏序集中的特殊元素
定义6 设<A, ≼> 为偏序集， B A. 存在yB, 使得 (1) x(xB→y≼x) 成立，则称 y 是B的最小元；
1,6不覆盖4。
4
二. 哈斯图
设有偏序集<A, ≼>, 其哈斯图的画法如下：
第二章
利用偏序关系的自反性、反对称性和传递性可简化偏序关系的关系图， 得到偏序集的哈斯图。
(1) 以 A 的元素作为顶点，适当排列各顶点的顺序, 使得对 x, y A，
若x≺ y, 则将 x 画在 y 的下方。 (2) 对A中两个不同元素 x 和 y, 如果 y 覆盖x, 则用一条线段连接 x 和 y.
第二章
(2)
(3) (4)
x(xB→x≼y) 成立，则称 y 是B的最大元；
x(xB∧x≼y→x=y) 成立，则称 y 是B的极小元； x(xB∧y≼x→x=y)成立，则称 y 是B的极大元；
注：
(1) 极大 (极小) 元未必是最大 (最小) 元。极大 (极小) 元未必与B中任 何元素都可比；
11
第二章
集合
上界
下界
上确界
下确界
极大元
极小元
B1
B2 B3 B4
无
无 6,12, 36,60 12,36, 60
无
4,2 无 2
无
无 6 12
无
4 无 2
7,8
8,12 2,3 12
7,8
8,12 2,3 2
12
第二章
作业： P52 25,31
13
例 画出偏序集<{1, 2, 3, …, 9}, R整除} 和 <P({a, b, c}, R >的哈斯图.
解：它们的哈斯图分别为图A、图B表示如下：
8 图A 9 5 6 3 图B
{a,b,c}
{a,c} {b,c} {c}
4
2 7
{a,b}
{b} {a }
1
5
第二章
例 已知偏序集<A, R>的哈斯图如下：求集合A和关系R的表达式。