偏序集中的8个特殊元素
第3章 10偏序关系
(1)用小圆圈代表元素 用小圆圈代表元素; 用小圆圈代表元素 (2)若元素 若元素a≠b且a≤b时，则结点 若元素 且 时 则结点a 画在结点b的下方 的下方。 画在结点 的下方。 (3)若b盖住 ， 则在 与 b之间用 若 盖住 盖住a，则在a与 之间用 直线连接.由于所有边的箭头向 直线连接 由于所有边的箭头向 故省去箭头。 上,故省去箭头。例3中的关系 ρ 故省去箭头 中的关系 的哈斯图如右图. 的哈斯图如右图
B中任意元素 ，都满足 中任意元素x， 中任意元素
（1） x ）
，则称 为 的上界 的上界； ≤ a，则称a为B的上界； x ，则称 为B的下界； 则称a为 的下界 的下界；
（2）a ≤ ）
的上界， （3）若a是B的上界，且对 的任意上界 ） 的上界 且对B的任意上界
a′，均有 a ≤ a′ a′ ，均有 a′ ≤ a,
注意: 定理 注意: 定理3.10.1的逆不成立 。 的逆不成立
例如: 整数集 和实数集 上的小于等于关系“≤”是 和实数集R上的小于等于关系 例如: 整数集Z和实数集 上的小于等于关系“
全序关系, 不是良序关系 全序关系,但不是良序关系 。
但是,对于有限的全序集,定理3.10.1的逆也成立. 但是,对于有限的全序集,定理3.10.1的逆也成立.即有 3.10.1的逆也成立
定义3.10.3（极大元，极小元，最大元，最小元） 极大元，极小元，最大元，最小元） 定义 ， 是一个偏序集， 设 A, ≤ 是一个偏序集，且B ⊆ A，如果存在元素 ∈B， ，如果存在元素b
使得 满足x 且 的极大元； ，则称b为 的极大元 （1）不存在 ∈B满足 ≠b且b ≤ x，则称 为B的极大元； ）不存在x 满足 的极小元； ，则称b为 的极小元 满足x 且 （2）不存在 ∈B满足 ≠b且x ≤ b，则称 为B的极小元； ）不存在x 满足 中任意元素x，均有x 的最大元； （3）对B中任意元素 ，均有 ≤ b，则称 为B的最大元； ） 中任意元素 ，则称b为 的最大元 中任意元素x，均有b 的最小元。 （4）对B中任意元素 ，均有 ≤ x，则称 为B的最小元。 ） 中任意元素 ，则称b为 的最小元
偏序
x(( x B) a((a A) (a x))) ，则称 a 为 B 的下界。
(3) 设 C={yy 是 B 的上界} A，C 的最小元称为 B 的最小上界（上确界）。 (4) 设 C={yy 是 B 的下界} A，C 的最大元称为 B 的最大下界（下确界）。
注意：上、下界不唯一，但上、下确界是唯一的。
解答
极小元：a,b,c,g 极大元：a,f,h。
没有最小元与最大元
说 明
哈斯图中的孤立顶点既是极小元也是极大元。
18
上界与下界举例
24 36
12 6 2 3
B
上界
无
12,24,36
下界
无
2,3,6 无 2,3,6
上确界
无
12 6 6
下确界
无
6 无 6
{2,3,6,1
2,24,36}
{6,12}
{2,3,6} 6,12,24,36
{6}
6,12,24,36
考虑右图中的偏序集。令B＝{b ，c，d}，则B的下界和最大下界 都不存在，上界有d和f，最小上 界为d。
19
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
6
4
图 5.5.1 关系示意图 显然，偏序关系“”具有自反、反对称和传递性，因此<A，>是偏序集。
4
16
偏序集中的特殊元素
24
36 12 6
B
最大 元
最小 元 无 6 无 6
极大 元 24,26 12 6 6
极小 元 2,3 6 2,3 6
3.4 序关系
则该子集存在最小元， 所以x≤y或y≤x， 所以<X,≤>是一个全序集。 定理 有限的全序集一定是良序集 证明：反证法。 设<X,≤>是一个全序集， 且X为一有限集X={x1,x2,…,xn}， 并假设<X,≤>不是良序集。
由假设X中必存在一个非空子集A 没有最小元。 有限集X的子集A一定也为有限集 A中一定可以找到两个元素不可比 这与<X,≤>是全序集相矛盾， 假设不成立,<X,≤>一定是良序集
则称≤为X上的全序关系， 且称<X,≤>是一个全序集。 自然数集N上的小于等于关系(≤) 是N上的全序关系， 故<N,≤>是全序集。 因小于等于关系自反、反对称、 传递，首先为N上的偏序关系； 而且对任意两个自然数均可比，
所以该≤关系是全序关系。 X={2,4,6,8,10}上的整除关系≤ 是偏序关系，但不是全序关系。 因整除关系满足偏序关系定义， 但X中存在不可比的元素， 例如4既不能整除6， 6也不能整除4，故4和6不可比， 所以该≤关系不是全序关系。
和听觉的研究,就理论上说视觉感 知也往往先于听觉，因此对次序 关系的研究，是很重要的。 5.4.1 序关系与偏序关系 定义 设R为定义在集合X上的 二元关系，若R是自反的、反对称 的和传递的，则称R为一个偏序 关系。通常用≤表示偏序关系，
并把序偶<X, ≤>称作偏序集。 例 证明整数集Z上的整除关系R 是偏序关系。 证明： 对任意x∈Z, x|x, 故满足自反性 对任意x, y∈Z，若x|y且y|x， 则据整除性质有x=y， 故满足反对称性。
解： 因为X={2,4,6,8,10},≤是整除关系 故 ≤={<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>, <2,10>, <4,4>,<4,8>,<6,6>,<8,8>, <10,10>} COVX={<2,4>,<2,6>,<2,10>,<4,8>}
偏序关系符号
偏序关系符号引言偏序关系符号是数学中一个重要的概念，用于描述元素之间的偏序关系。
在数学中，偏序关系是一种比较元素之间大小关系的一种方式，它不要求元素之间能够进行完全的比较，只需要能够判断出元素之间的相对大小关系即可。
偏序关系符号可以帮助我们更清晰地表达这种关系，使得数学推理更加精确和简洁。
偏序关系的定义在数学中，偏序关系是集合上的一种二元关系，记作≤。
对于集合中的任意两个元素a和b，如果a≤b成立，则表示a是b的一个前置元素，b是a的一个后置元素。
偏序关系具有以下几个性质：1.自反性：对于集合中的任意元素a，a≤a成立。
2.反对称性：对于集合中的任意两个元素a和b，如果a≤b且b≤a成立，则a和b相等。
3.传递性：对于集合中的任意三个元素a、b和c，如果a≤b且b≤c成立，则a≤c也成立。
偏序关系符号的种类为了方便表示偏序关系，数学中引入了多种偏序关系符号。
下面是常见的几种偏序关系符号及其含义：1.≤：表示小于等于关系。
如果a≤b成立，则a小于等于b。
2.＜：表示小于关系。
如果a＜b成立，则a小于b。
3.≥：表示大于等于关系。
如果a≥b成立，则a大于等于b。
4.＞：表示大于关系。
如果a＞b成立，则a大于b。
5.≺：表示真前置关系。
如果a≺b成立，则a是b的真前置元素。
6.≻：表示真后置关系。
如果a≻b成立，则a是b的真后置元素。
偏序关系符号的应用偏序关系符号在数学中有着广泛的应用，特别是在集合论、代数学、拓扑学等领域。
集合论中的应用在集合论中，偏序关系符号常用于描述集合之间的包含关系。
如果集合A包含于集合B，则可以表示为A≤B。
这种包含关系在集合论的推理和证明中起着重要的作用。
代数学中的应用在代数学中，偏序关系符号常用于描述数值之间的大小关系。
例如，在实数集合中，如果a≤b，则可以表示a小于等于b。
这种大小关系在代数运算和方程求解中经常用到。
拓扑学中的应用在拓扑学中，偏序关系符号常用于描述拓扑空间中点之间的邻近关系。
第七章.特殊关系
第七章 特殊关系重点：等价关系、偏序关系的各种性质的判断和证明；难点：如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；如何正确的理解和判断偏序关系的八种特殊元素。
7.1 等价关系1．等价关系设A 是任意非空的集合，R 是A 上的二元关系，如R 是自反的，对称的，传递的关系，则R 称为A 上的等价关系。
下面是一些特殊的等价关系：（1） 任一结合A 上的恒等关系I A 是等价关系； （2） 任一集合A 上的全关系A ×A 是等价关系；（3） 整数集合I 上的模m 同余关系R ＝{<x,y>|(x,y ∈I)∧(x-y)被m 所整除}是等价关系； 2． 等价类设A 是任一非空集合，R 是A 上的等价关系。
对∀x ∈A ，称[x]R = {y|(y ∈A)∧(<x,y>∈R)}为由x 所生成的关于R 的等价类，x 为生成元。
关于等价类，有如下性质：a) 对∀x ∈A ，x ∈[x]R ；b) 对∀x ，y ∈A ，（x≠y ），如y ∈[x]R ，则 [x]R ＝[y]R ，如y ∉[x]R ，则 [x]R∩[y]R ＝∅。
c)[]R x Ax A ∈=1． 划分设A 是非空集合，如存在一个A 的子集族π（π⊆P （A ）），满足以下条件： （1）∅∉π；（2）π中任两个不同的元素交集为空； （3）π中所有元素的并集等于A 。
则称π为A 的一个划分，且称π中元素为划分块。
2．商集从划分和等价类的等一知，A商关于R的一切等价类恰好可以构成集合A的一个划分，该划分为集合A在R下的商集，为此有：A/R ＝{[x]R |（一切x∈A）}称为集合A在R下的商集。
根据划分和商集的敌对你给一，在划分和等价关系之间存在着一一对应关系。
即给定集合A上的一个等价关系R，由R可以唯一产生集合A的一个划分π＝A/R，反之，对集合A的任一划分π＝{A1,A2,…,A k}，可唯一对应集合A上的一等价关系R ＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪…∪（A k×A k）。
《离散数学》偏序关集与格
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
46
{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
12
偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
离散数学-第四章 关系-内容提要
{}
传递。
(5)如 果 VJ
:IT{∶ ∶ ∶ ∶ 蚕 ⒈11∶⒈ ∶ Ll ;, 翕 罐 ∶ ∶ ∶ 置 R在 A上
:I∶
:: 1∷
Vj V石
(Π
、 、 y,z)∈ R→ 〈 R∧ 〈 J,z〉 ∈ R),则 称 Π ,y,z∈ A∧ 〈 ,j〉 ∈
1亠
判别法
:
利用关系表达式判别 (1)R在 A上 白反 ㈡rA∈ R。
,
系:简 称全胛 蜮 线序 曳
柙
\宀
:'艹
° Γ ˉ叽
抖 ¨ ‰ 艹 渺 冖妒 ”
^讷
p¨ ¨
¨
i
∶
^¨
Ⅱ… ¨
=艹
)。
`呻
/
‘ :° f耷
一
^A’
工 < ′
工 < ′
Ι ⒕
,
、
\′
I纟
:
轱
/廴
跃
:
h,如 果 J≤ y∨ y※ J,贝 刂 ∈ 称
J与 j可 比。
称 y覆 盖 J。
偏序集中的特殊元素
得 ⒎ 则
:
y,z〉 ∈ S))。 ∈ R∧ 〈
有关基本运算的定理 ・ 定理 4.1 设 F是 任意的关系 ,则
(1)(Fˉ l)ˉ ^l=F。
・
(2)domFˉ ˉ ∴ =ranF,ranF~l=domF。
定理 4.2 设 F,G,Ⅳ 是任意的关系 ,则 (1)(F° G)° H=Fo(G° H), (2)(FoG)ˉ l=G^loF_ˉ
:
(2)R在 (3)R在 (4)R在 (5)R在 (1)R在 (2)R在 (3)R在 (4)R在
A上 反 自反 ⑶R∩ rA=¤ 。 A上 对称 山R=Rl。 ; A上 反对称 ㈡R∩ R~l∈ A上 传递 ㈡R。 R∈ R。
离散数学公式
离散数学公式基本等值式1.双重否定律 A ⇔┐┐A2.幂等律 A ⇔ A∨A, A ⇔ A∧A3.交换律A∨B ⇔ B∨A，A∧B ⇔ B∧A4.结合律(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B ┐(A∧B) ⇔┐A∨┐B7.吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A，A∧(A∨B) ⇔ A8.零律A∨1 ⇔ 1,A∧0 ⇔ 09.同一律A∨0 ⇔ A，A∧1 ⇔ A10.排中律A∨┐A ⇔ 111.矛盾律A∧┐A ⇔ 012.蕴涵等值式A→B ⇔┐A∨B13.等价等值式A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B ⇔┐B→┐A15.等价否定等值式 A↔B ⇔┐A↔┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ⇔┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、↔(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式(1) A ⇒ (A∨B) 附加律(2) (A∧B) ⇒ A 化简律(3) (A→B)∧A ⇒ B 假言推理(4) (A→B)∧┐B ⇒┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B ⇒ A 析取三段论(6) (A→B) ∧(B→C) ⇒ (A→C) 假言三段论(7) (A↔B) ∧(B↔C) ⇒ (A ↔ C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ⇒ B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ⇒(┐A∨┐C)破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）∀xA(x) ⇔ A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）∃xA(x) ⇔ A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐∀xA(x) ⇔∃x┐A(x)（2）┐∃xA(x) ⇔∀x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1）∀x(A(x)∨B) ⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B) ⇔∀xA(x)∧B∀x(A(x)→B) ⇔∃xA(x)→B∀x(B→A(x)) ⇔ B→∀xA(x)（2）∃x(A(x)∨B) ⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B) ⇔∃xA(x)∧B∃x(A(x)→B) ⇔∀xA(x)→B∃x(B→A(x)) ⇔ B→∃xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀xB(x)（2）∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃xB(x)全称量词“∀”对“∨”无分配律。
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由此得到序列a0,a1,a2,……,且满足ai≠ai+1, ai≤ai+1 。
∵|A|=n， ∴以上序列最多只有n个元素。也即上述步骤 经过最多n步后一定停止。序列最后的一 个元素就是极大元。 同理可证极小元存在。
练习 2
集合A = {2, 3, 6, 12, 24, 36}上的整除关系， 令B1= {6, 12}、B2= {2, 3}、B3= {12, 36}、 B4= {2, 3, 6}、B5= {2, 3, 6, 12}、B6= {2, 3, 6, 12, 24, 36}， 求B1、B2、B3、B4、B5和B6的极大元和极小元。
定理
设<A,≤>是一个偏序集，且BA，如果B有最
大(小)元，那么它一定唯一。（最值元存在就唯一）
证(最小元唯一) 设a,b都是B的最小元，
∵a是B的最小元 ∴a≤b， ∵b是B的最小元 ∴b≤a，
由≤的反对称性知：a=b。 即最小元若存在，一定唯一。
练习1
集合A = {2, 3, 6, 12, 24, 36}上的整除关系， 令B1= {6, 12}、B2= {2, 3}、B3= {12, 36}、 B4= {2, 3, 6}、B5= {2, 3, 6, 12}、B6= {2, 3, 6, 12, 24, 36}， 求B1、B2、B3、B4、B5和B6的最大元和最小元。
练习 3
集合A = {2, 3, 6, 12, 24, 36}上的整除关系， 令B1= {6, 12}、B2= {2, 3}、B3= {12, 36}、 B4= {2, 3, 6}、B5= {2, 3, 6, 12}、B6= {2, 3, 6, 12, 24, 36}， 求B1、B2、B3、B4、B5和B6的上界和下界。
例2
集合A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系， 令B1= {1, 6}、B2= {1, 2, 3}、B3= {4, 6, 12}、 B4= {2, 4, 6}、B5= {1, 2, 6, 12}、B6= {1, 2, 3, 4, 6, 12}。 分别求出B1、B2、B3、B4、B5和B6的极大元和极小元。
偏序集中的8个特殊元素(上界、下界)
定义3 对于偏序集<A, ≼>和集合A的任意子集B， 如果存在元素aA，使得任意xB都有x≼a， 则称a为子集B的上界； 如果存在元素aA，使得任意xB都有a≼x， 则称a为子集B的下界。 注意：B的上（下）界不一定是B中的元素！
例3
集合A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系， 令B1= {1, 6}、B2= {1, 2, 3}、B3= {4, 6, 12}、 B4= {2, 4, 6}、B5= {1, 2, 6, 12}、B6= {1, 2, 3, 4, 6, 12}。 分别求出B1、B2、B3、B4、B5和B6的上界和下界。
偏序集中的8个特殊元素(极大元、极小元)
定义2 对于偏序集<A, ≼>和集合A的任意子集 B，
如果存在元素bB，使得B中不存在其它元素x满足b≼x， 则称b为B的极大元素，简x≼b， 则称b为B的极小元素，简称为极小元。 注意：最大（小）元 vs. 极大（小）元 最大（小）元必须与B中每个元素都可比， 极大（小）元无此要求(只要求没有比它更大或更小的元素)。
偏序集中的8个特殊元素
偏序集中的8个特殊元素(最大元、最小元)
定义1 对于偏序集<A, ≼>和集合A的任意子集 B， 如果存在元素bB，使得任意xB都有x≼b， 则称b为B的最大元素，简称为最大元；
如果存在元素bB，使得任意xB都有b≼x， 则称b为B的最小元素，简称为最小元。
例1
集合A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系， 令B1= {1, 6}、B2= {1, 2, 3}、B3= {4, 6, 12}、 B4= {2, 3, 4}、B5= {1, 2, 6, 12}、B6= {1, 2, 3, 4, 6, 12}。 分别求出B1、B2、B3、B4、B5和B6的最大元和最小元。
解: 对于集合B1= {1, 6}，最大元为6，最小元为1； 对于集合B2= {1, 2, 3}，元素2和3不可比， 所以，不存在最大元，最小元为1； 对于集合B3= {4, 6, 12}，元素4和6不可比， 所以，不存在最小元，最大元为12； 对于集合B4= {2, 3, 4}，元素3和2、4都不可比， 所以，不存在最大元，最小元； 对于集合B5= {1, 2, 6, 12}，最大元为12，最小元为1； 对于集合B6= {1, 2, 3, 4, 6, 12}，最大元为12，最小元为1。
定理 如果<A,≤>是非空有限偏序集，则A的极大(小) 元必存在。BA,B的极大(小) 元必存在。 （有限则极元存在） 证(A的极大元存在) 设|A|=n,从A中任取一个元素a0,对A的元素a0 , 用以下步骤建立一个序列: ①x=a0,i=0； ②若x是极大元,则停止,否则转向③； ③若x不是极大元,则可找到异于x的元素y,使x≤y； ④令ai+1=y,x=y,i=i+1,转向②。
解: 对于集合B1= {1, 6}，上界为6和12，下界为1； 对于集合B2= {1, 2, 3}，上界为6和12，下界为1； 对于集合B3= {4, 6, 12}，上界为12，下界为1和2； 对于集合B4= {2, 4, 6}，上界为12，下界为1和2； 对于集合B5= {1, 2, 6, 12}，上界为12，下界为1； 对于集合B6= {1, 2, 3, 4, 6, 12}，上界为12，下界为1。
解: 对于集合B1= 对于集合B2= 对于集合B3= 对于集合B4= 对于集合B5= 对于集合B6=
{1, 6}，极大元为6，极小元为1； {1, 2, 3}，极大元为2和3，极小元为1； {4, 6, 12}，极大元为12，极小元为4和6； {2，4，6}，极大元为4和6，极小元为2； {1, 2, 6, 12}，极大元为12，极小元为1； {1, 2, 3, 4, 6, 12}，极大元为12，极小元为1。