各种模型方法的应用案例(CUMCM)
模型定性指标量化的应用案例：
（1）CUMCM2003-A,C:SARS的传播问题
（2）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；
（3）CUMCM2005-B:DVD租赁问题；
（4）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；
（5）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；
（6）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
综合评价方法：线性加权综合法、非线性加权综合法、逼近理想点（topsis）法的应用案例（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题；
（2）CUMCM2001-B:公交车调度问题；
（3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题；
（4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；
（5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题；
（6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题；
（7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题；
（8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题；
（9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；
（10）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；
（11）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
动态加权与综合排序的应用案例
动态加权的综合排序案例：
（1）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题；
（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题；
综合评价的排序案例：
（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题；
（2）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；
（3）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
数据建模的常用预测方法
1插值与拟合方法：小样本内部预测；
应用案例：
（1）CUMCM2001-A:血管的三维重建问题；
（2）CUMCM2003-A,C:SARS的传播问题；
（3）CUMCM2004-C:饮酒驾车问题；
（4）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（5）CUMCM2005-D:雨量预报方法的评价；
（6）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。
2.回归模型方法：大样本的内部预测；
应用案例：
（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计；
（2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理；
（3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；
（5）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题。
3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测；
（1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；
（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；
（4）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题。
4.时间序列方法：大样本的随机因素或周期特征的未来预测；（1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；
（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。
5.神经网络方法：大样的未来预测．。
函数模型的应用实例 课件
【分析】 可用待定系数法求出a，b，c的值，确定函数 后，再研究x＝4时，哪个函数值更接近1.37.
【解】 当f(x(a≠0)，
则 ff12＝ ＝11， .2， f3＝1.3，
即 a4＋ a＋b＋ 2bc＋＝c1＝，1.2， 9a＋3b＋c＝1.3，
规律技巧 (1)认真阅读，理解应用问题的实际背景，将 实际问题转化为纯数学问题．
(2)在解决数学问题时，要注意自变量取值应有实际意 义．
二 自建函数模型的应用题
【例2】 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规 律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检 测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表，已知该种病 毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但 注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%.
【正解】 不妨设去年1月份的产值为b， 则2月份的产值为b(1＋a)， 3月份的产值为b(1＋a)(1＋a)＝b(1＋a)2，以此类推，到今 年1月份是去年1月份的第12个月． 故今年1月份的产值是b(1＋a)12.
由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一 年相应月的增长率为b1＋ab12－b＝(1＋a)12－1.
函数模型的应用实例
常用的函数模型 1．直线型：y＝kx＋b(k≠0)； 2．抛物线型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 3．指数函数型：y＝a·bx＋c(a≠0)； 4．对数函数型：y＝mlogax＋n(m≠0，a>0，且 a≠1)； 5．幂函数型：y＝a·xn(a≠0)；
6．分段函数型：y＝fx gx
天数t 1 2 3 4 5 6 7 … 病毒细胞
1 2 4 8 16 32 64 … 总数y (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在 何时注射该种药物？(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠 的生命？(精确到天)(已知：lg2＝0.3010)
函数模型的应用实例 课件
解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽 象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个 数据．
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标 代入函数式，得32aa＋ ＋bb＝ ＝11..32， ，解得ab＝＝01..1，
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下， 产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于 厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间 内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设 备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模拟恰好反映了这 种趋势．因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 比较接近 客观实际．
类型 3 建立拟合函数解决实际问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)某个体经营者把开始六 个月试销 A、B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列 成下表：
(3)设模拟函数为 y＝abx＋c 时，
将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，
得aabb2＋＋cc＝＝11，.2，
① ②
ab3＋c＝1.3. ③
由①，得 ab＝1－c，代入②③，
得bb2（（11－－cc））＋＋cc＝＝11.2.3，.
则cc＝＝1111..32－ －－－bbbb22，，解得bc＝＝10..45.， 则 a＝1－b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最 小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经
设 y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入， 得01..32＝ ＝k4＋ k＋b， b，解得kb＝＝00..3，所以 y＝0.3x.(8 分) 设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元、 (12－x)万元，总利润为 W 万元， 那么 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)． 所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分)
函数模型的应用实例 课件
24x－9.6 x>34.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当 x∈0，45时，y≤f45<26.40； 当 x∈45，43时，y≤f43<26.40； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.40， 得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨)， 付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． 乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)， 付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
(3)设该班每年购买纯净水的费用为 P 元，则 P＝xy＝x(－40x＋720)＝－40(x－9)2＋3 240， ∴当 x＝9 时，Pmax＝3 240. 要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买 饮料的年总费用少， 则 51a≥Pmax＋228，解得 a≥68，故 a 至少为 68 元时全班 饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年 总费用少．
图 3－2－7
(1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 a＝120 时，若该班每年需要纯净水 380 桶，请你根据 提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与 该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理 由； (3)当 a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年 总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？ 【思路探究】 用待定系数法求(1)→分别计算全体学生饮 用纯净水的年总费用与购买饮料的总费用并比较大小→建立函 数模型→利用函数最值求解．
1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各个边界点，即 明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出 函数的解析式．
2．本题在求解过程中，个别同学常因不理解“超过部分” 而导致运算出错．
数学建模与应用案例
数学建模与应用案例数学建模是指利用数学方法和技术对实际问题进行描述、分析和求解的过程，通过建立数学模型来揭示问题的本质规律，为实际问题的决策提供科学依据。
在各个领域中，数学建模都发挥着重要作用，为解决复杂的实际问题提供了有效的工具和方法。
本文将介绍几个数学建模与应用的案例，展示数学建模在现实生活中的广泛应用。
一、交通流量预测在城市交通管理中，准确预测交通流量对于合理规划道路建设、优化交通信号灯设置等具有重要意义。
数学建模可以通过分析历史交通数据，构建交通流量预测模型，从而预测未来某一时段内的交通流量情况。
通过对交通流量的预测，可以有效地指导交通管理部门采取相应的措施，缓解交通拥堵问题，提高道路通行效率。
二、股票价格预测股票市场波动剧烈，股票价格的预测一直是投资者关注的焦点。
数学建模可以通过分析股票市场的历史数据，构建股票价格预测模型，预测未来股票价格的走势。
基于数学建模的股票价格预测模型，投资者可以更好地制定投资策略，降低投资风险，提高投资收益。
三、疫情传播模型疫情传播是当前全球关注的问题，数学建模在疫情传播过程中发挥着重要作用。
通过构建传染病传播模型，可以预测疫情的传播趋势，评估不同防控措施的效果，为政府决策提供科学依据。
数学建模可以帮助疫情防控部门及时制定有效的防控策略，最大程度地减少疫情传播风险。
四、气候变化预测气候变化对人类社会和自然环境都具有重要影响，准确预测气候变化趋势对于采取有效的气候变化应对措施至关重要。
数学建模可以通过分析气象数据、海洋数据等多种数据源，构建气候变化预测模型，预测未来气候变化的发展趋势。
基于数学建模的气候变化预测结果，可以为政府、企业和个人提供科学依据，制定相应的气候变化应对策略。
五、金融风险评估金融市场波动频繁，金融风险管理是金融机构和投资者面临的重要挑战。
数学建模可以通过分析金融市场数据，构建金融风险评估模型，评估不同金融产品和投资组合的风险水平。
基于数学建模的金融风险评估结果，金融机构和投资者可以及时调整投资组合，降低金融风险，保障资产安全。
数学建模的一般步骤和案例
本题是一道比较开放的题目，同学对问题的理解和所 关注的侧面（角度）的不同，会导致答卷的多样性。 以下几点在评阅中值得特别关注： 1. 影响力的定义，即因素的选定：考虑到3天时间不 太可能进行一个全面的影响力分析，如何恰当地选择 一个影响力的侧面极其相关因素是解题的基本前提。 容易考虑到的影响力包括经济、旅游、社会、文化等 多个方面，也可以是一个较小的侧面（比如表演、自 愿者、摄影）。要求有明确具体的定义，要有合理的 论证，要有数据支撑。 2. 因素的组织结构模型和有关信息的搜索：因素的相 关性、信息的完备性等都是值得注意的问题。鼓励直 接从网络采集因素数据，比如词汇搜索量、点击率等 等。 3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理 性，注意数据之间的可比性与归一化。鼓励纵向（时 间）和横向（其它重大事件）的比较。 4. 科学、直观地表达结论：结论一般不应该是一个简 单常识。
1、中间柱体体积的计算变换
油位探针
β
横向变位 前油液面
横向变位 后油液面
h0 h
图11 储油罐横向变位示意图
h R ( R h0 ) cos R(1 cos ) h0 cos
2、球冠体积的计算
容易计算球冠的半径为1.625m
Y
计算体积可以近似看做高为
h 2 tan
1m O 1.625m X
h 2tan 的球缺的体积，
数学建模cumcm历届竞赛赛题基本解法
数学建模（cumcm）历届竞赛赛题基本解法来源：蒋冰的日志赛题解法一些不必须用到的算法92A施肥效果分析回归分析，因子分析，相关分析，参数估计92B蛋白质氨基酸的组合问题线性不定方程式,离散最优化93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划线路设计，局部最优化，层次分析法94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划能量梯度算法，线性规划，非线性规划，逐步逼近搜索，95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论petri网，随机性分析96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划Gordon-Schaefer模型，97A零件的参数设计非线性规划敏感度分析、敏感度分析，统计检验，因素交替法，一维搜索，穷举法，随机模拟（MonterCarol)，模拟退火，最优速降法，97B截断切割的最优排列随机模拟、图论分支限界法，贪婪算法，最短路径（Dijkstra),启发式搜索（A*算法）98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划投资组合模型，灵敏度分析，多目标决策模型，偏好系数加权法，模糊线性规划法，多目标优化问题，随机投点法，98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化最小hamilton回路，最优旅行商路线99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟D检验方法，99B钻井布局0-1规划、图论强局算法，0-1规划，全局搜索算法00ADNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络广度优先，最小二乘法，欧氏距离vs 马氏距离，fisher分类法，人工神经网络（感知机模型，多层感知机，LVQ 矢量量化），隐马尔科夫模型，同源比较算法，傅立叶分析，动态规划，00B钢管订购和运输组合优化、运输问题线性规划，模拟退火，伏格尔法01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建快速傅立叶变换（FFT），网格法，极大似然法，01B工交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划数值模拟，微元法，函数最值，02B彩票问题单目标决策效用函数法，模糊数学中的隶属度函数，层次分析法，分类加权法，熵值法，logistic函数03ASARS的传播微分方程、差分方程负反馈系统，时间序列模型，神经网络，分支过程的MonteCarlo仿真，龙格-库塔法，曲线拟合，smallworldnetwork，sznajd模型，元胞自动机03B露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题贪心算法，04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化聚类分析，点阵模型，数据挖掘（apriori 算法）04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化huffman决策树，启发式算法05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理逼近理想解排序法，GM（1，1）模型，时间序列分析，反应扩散方程，二元线性回归预测，模糊综合评价法，置信水平，归一化法，主成份分析法，05BDVD在线租赁随机规划、整数规划0-1规划，贪婪算法，最小费用最大流06A出版社书号问题预测评价、数据处理出版社的资源配置06BHiv病毒问题随机规划、整数规划艾滋病疗法的评价07A人口问题整数规划、数据处理、优化人口预测，常微分方程，状态空间分析法07B公交车问题多目标规划、动态规划、图论、0-1规划最短路算法，集合求教算法，08A照相机问题非线性方程组、优化08B大学学费问题数据收集和处理、统计分析、回归分析09A制动器试验台的控制方法分析微元分析法09B眼科病床的合理安排层次分析法整数规划动态规划10A储油罐的变位识别与罐容表标定非线性规划多元拟合10B上海世博会影响力的定量评估数据收集和处理，层次分析法时间序列分析从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法：几何理论、组合概率、统计(回归)分析、优化方法（规划）、图论与网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价、机理分析等方法。
美赛论文~cumcm10038国2重点
积分计算不同油位高度下的油量，发现所得结果和附件 2 中所给的显示示油高与显示油量容积契合度非常高，误差数量级为10 m ，初步确定了模型的正确行，为变位参数的确定奠定了基础。
此模型唯一不确定的参数就是变位参数，也就是纵向倾斜角度α 与横向偏转角度β。
为了确定变位参数，我们采用类似于数据拟合的方法。
在附件 2 的表中从上到下依次随机提取几组油位高度数据，累积两个油位高度中间的油量变化，通过粒子群算法，找到一组变位参数，使通过模型算出的每组的两个高度下的油量差与表中的累积油量变化的差的绝对值之和最小，由此确定变位参数。
在实际的拟合过程中，出现了不确定性，即α 和β并没有固定的最佳取值，在 2.0° 2.4°，2° 6°的范围里，误差均能满足要求。
但是为了使附件 2 中每两个相邻高度的油量差与模型计算出的值之差的累积和更接近 0，我们选择了α 2.14°，β 4.09°作为第二问中油罐的变位参数。
在拟合数据过程中我们选择了附件 2 中加油前的数据，验证时采用加油后的数据。
误差如下图： V(L 3 x 10 -3 2 1 0 -1 -2 -3 0 50 100 150 200 250 300 图 12 点主要集中在(-1,1区间内，由此可见误差满足要求。
而在前面所给出的变位参数的范围内，误差点的分部均与此图相似，在此不做多余的罗列。
在确定了变位参数后，我们采用上述的分段积分的方法，用 MATLAB 软件编程，计算出了变位状态下的油罐的罐容表。
11罐容表油位油位油位高度油量(m3 高度油量(m3 高度油量(m3 (m (m (m 0.00.04626 1.1 19.23630 2.2 49.29931 0.1 0.35337 1.2 21.91157 2.3 51.75460 0.2 1.058291.3 24.645172.4 54.08959 0.3 2.20884 1.4 27.42114 2.5 56.28330 0.43.68446 1.5 30.22391 2.6 58.31205 0.5 5.41145 1.6 33.03810 2.7 60.14782 0.6 7.34786 1.7 35.84848 2.8 61.75502 0.7 9.46251 1.8 38.63975 2.9 63.08144 0.8 11.72980 1.9 41.39648 3.0 64.01563 0.9 14.12757 2.0 44.10290 1.0 16.63586 2.1 46.74280 四、模型分析及评价4.1 模型分析问题二中用到的模型，是根据在实际生活中α 和β两个角度都比较小这一情况，推导出五种不同油位高度情况下的油料体积计算式。
【全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文作品学习借鉴】cumcm2010C
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
C题输油管的布置
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：
工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）21 24 20
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
时间序列分析模型实例
时间序列的自相关关系
自相关函数 随机过程的自相关函数 样本的自相关函数
偏自相关函数 随机过程的偏自相关函数 样本的偏自相关函数
自相关函数
对于平稳随机过程，滞后期为 K 的自相关函数定义为 滞后期为 K 的自协方差与方差之比
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
引入滞后算子，并令 (B) 11B 2B2 qBq 则模型【3】可简写为
X t (B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳
注2：滞后多项式 (B) 的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程
能相互表出，即过程可逆，
1 w1B w2B2
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X t：
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性 函数，即可表示为
X t 1 X t1 2 X t2 p X t p ut 【1】
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认
识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的 最优预测.
ARMA模型有三种基本类型：
自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型
自回归移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
平稳序列(stationary series)
基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固 定的水平上波动
或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看 成是随机的
计算方法在数学建模中的应用
2 k
数据拟合
应用最小二乘法，使
Q ( a 0 , a1 , , a k )
[y
i 1
n
i
( a 0 a 1 x i a 2 x i a k x i )] ,
2 k 2
取最小。对上式各参变量求偏导数后，令其偏导数为0，就得到 了以下线性方程组
2 j0
8
( i = 1 ,2 , ,6 ).
对上式各参变量求偏导数后，令其偏导数为，就得到了以下线
性方程组：
(
j1 0 k 0
8
32
x ij k x ij k ) a ij
1 2 1
k 0
32
y ik x ij k ,
2
( j 2 = 0 ,1 , ,8 ) ( i = 1 ,2 ,
CUMCM2004B题 电力市场的输电阻塞管理
CUMCM2004B题 电力市场的输电阻塞管理
2、数 值 积 分
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用 牛顿―莱布尼兹公式来求得定积分。然而，对有些函数来说， 找到原函数往往很困难，例如：
a
e
x
2
dx
。有的原函数尽管能用
熟悉这些方法的具体应用。
计算方法在数学建模中的应用
1、数 据 拟 合
在 科 学 试 验 的 统 计 研 究 中 ， 往 往 要 从 一 组 测 定 数 据 (xi,
yi)(i=1,2,…,n)中求出自变量x与因变量y之间的近似函数关系式，
而这些数据本身具有一定误差而且其数量可能很大，因此不能 要求函数关系是满足所有的点，而只是要求其能反映这些实验 数据的大体规律或趋势。 对于给定的一组数据(xi, yi)，求一个k次多项式：