《现代控制理论基础》第3章

第一和第二讲小结一、状态空间表达式的标准形式能控标准形能观测标准形对角线标准形Jordan标准形二、矩阵的特征值及对角线化矩阵是能控标准形时的变换矩阵求法（1）特征值互异（2）重根（3）一般情形三、利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换[A, B, C, D] = tf2ss (num, den)[num,den] = ss2tf [A,B,C,D,iu]四、时域分析的基本概念状态转移矩阵及其性质，凯莱-哈密尔顿定理最小多项式五、矩阵指数计算级数法，对角线标准形与Jordan标准形法拉氏变换法凯莱-哈密尔顿定理II、分析部分第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。

例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。

在本章中，我们的讨论将限于线性系统。

将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。

3.1 线性连续系统的能控性3.1.1 概述能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。

例1．给定系统的描述为u x x xx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2150042121 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2160x x y将其表为标量方程组的形式，有：u x x+=114 u x x2522+-= 26x y -=例3－2：判断下列电路的能控和能观测性)(t u +yCR )(t uL y23.1.2 能控性的定义考虑线性时变系统的状态方程∑:Bu x t A x+=)( ， u t D x t C t y )()()(+=，00)(x t x =，J t ∈ (3.1.1)其中，x 为n 维状态向量，u 维p 维输入向量，J 为时间定义区间，B A ,分别为n n ⨯和p n ⨯的元为t 的连续函数的矩阵。

下面给出系统能控和不能控的定义：定义1：对线性时变系统∑，如果对取定初始时刻J t ∈0的一个非零初始状态0x ，存在一个时刻J t ∈1，01t t >，和一个无约束的的容许控制)(t u ，[]10,t t t ∈，使状态由0x 转移到1t 时0)(1=t x ，则称此0x 在0t 时刻是能控的。

定义2：对线性时变系统∑，如果状态空间中的所有非零状态都是在0t 时刻为能控的，那么称系统∑在时刻t o 是能控的。

定义3：对上述线性时变系统，取定初始时刻J t ∈0，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻0t 是不能控的，则称系统∑在时刻0t 是不完全能控的。

定义的几点解释：（1） 对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；（2） 容许控制的分量幅值不加限制，且在J 上平方可积； （3） 线性系统的能控性与0t 无关；（4） 如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非零状态，则称为系统的能达性。

（5） 系统不完全能控为一中“奇异”情况。

3.1.2 能观测性的定义(3.1.1)的状态方程可以表示为⎰+=tt d u B t x t t t x 0)()(),(),()(00ττττΦΦ (3.1.2)则系统输出)()()()(),()(),()()(000t u t D d u B t t C x t t t C t y tt ++=⎰ττττΦΦ(3.1.3)若定义)()()()(),()()()(0t u t D d u B t t C t y t y tt --=⎰ττττΦ (3.1.4)这样00),()(x t t t C y Φ= (3.1.5) 所以，(3.1.5)系统的能观测性研究等价于下列系统∑: x t A x)(= x t C t y )()(= (3.1.6)定义1：如果系统的状态x (t o )在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻t o 是能观测的。

定义2：对(3.16)所示系统，如果对取定初始时刻J t ∈0的一个非零初始状态0x ，存在一个有限时刻J t ∈1，01t t >，使对所有[]10,t t t ∈有0)(=t y ，则称此0x 在时刻0t 是不能观测的。

定义3：对(3.16)所示系统，如果对取定初始时刻J t ∈0，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻0x 是不能观测的，的一个非零初始状态0x ，存在一个有限时刻J t ∈1，01t t >，则称该系统在时刻0t 是不能观测的。

前已指出，在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到非常重要的作用。

实际上，虽然大多数物理系统是能控和能观测的，然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观测性。

因此，必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。

3.1节涉及到能控性，3.2节将讨论能观测性。

上面给出了系统状态能控与能观测的定义，下面我们将首先推导状态能控性的代数判据，然后给出状态能控性的标准形判据。

最后讨论输出能控性。

3.2 定常系统状态能控性判据3.2.1 定常系统状态能控性的代数判据考虑线性连续时间系统Σ： )()()(t Bu t Ax t x += (3.2.1）其中，m n nn nR B R A R t u R t x ⨯⨯∈∈∈∈,,)(,)(1，且初始条件为)0()(0x t x t ==。

如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔10t t t ≤≤内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.2.1）描述的系统在0t t =时为状态(完全)能控的。

如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。

引理1[格拉姆矩阵判据]线性定常系统(3.2.1)为完全能控的充分必要条件是，存在01>t ，使如下定义的格拉姆矩阵⎰--=1T 0T 1],0[t tA At c dt e BB e t W (3.2.2) 非奇异。

证明：充分性：已知],0[1t W c 非奇异，欲证系统完全能控。

采用构造法证明，构造的控制量为 011T ],0[)(T x t W e B t u c tA ---=， ],0[1t t ∈在)(t u 作用下容易解得⎰-+=111)(01)()(t t t A At dt t Bu e x et x ⎰----=1T 11011T 0],0[t c tA At At At x t dtW e BB e e x e01110],0[],0[11x t W t W ex ec c At At --=0= 充分性得证。

必要性：已知系统为完全能控，欲证],0[1t W c 非奇异。

采用反证法。

反设c W 为奇异，也即反设存在某个非零n R x ∈0， 使成立0],0[01T0=x t W x c 由此进而有dt x e BB e x x t W x t A At t c 0T 0T 001T0T 1],0[0--⎰==dt x eB t tA ⎰-=1T 020T要使上式成立，应有00T T =-x eB tA ， ],0[1t t ∈∀另一方面，因系统完全能控，对非零0x 又成立⎰-+==11101)()(0t AtAt At dt t Bu e e x et x 由此得出⎰--=100)(t Atdt t Bu e x []0T 021)(x dt t Bu e x t At⎰--= ⎰=-=100TT 0)()(t dt x t u B t u所以 00=x 。

这表明，00≠x 的假设是和系统完全能控相矛盾。

因此，反设不成立，即],0[1t W c 为非奇异。

必要性得证。

定理1[代数判据]线性定常系统(3.2.1)为完全能控的充分必要条件为 n B A AB Brank n =-][1 (3.2.3) 其中，n 为矩阵A 的维数。

][1B A AB BQ n c -= (3.2.4)称为系统的能控性判别阵。

证 充分性：已知n rankQ c =，欲证系统为完全能控。

采用反证法。

反设系统不完全能控，则格拉姆矩阵⎰--=1T 0T 1],0[t t A At c dt e BB e t W 奇异。

意味着存在某个非零向量α使成立⎰--==1T 0T T 1T],0[0t tA Atc dt eBB et W αααα⎰--=1T 0T T T ]][[t tA Atdt B eB eαα由此可得 0T =-B eAtα， ],0[1t t ∈∀现将上式求导直至)1(-n 次，再在所得结果中令0=t ，那么可得到,0T =B α 0T=AB α，02T=B A α，0,1T =-B A n α进而，表上式为 0][T 1T==-c n Q B A AB Bαα由于0≠α，所以上式意味着c Q 为行线性相关，与假设矛盾。

反设不成立，系统为完全能控。

充分性得证。

必要性：已知系统完全能控，欲证.n rankQ c =采用反证法。

反设n rankQ c <,这意味着c Q 行线性相关，因此必存在一个非零n 维常向量α，使成立 0][1TT==-B A AB BQ n c αα考虑到问题的一般性，由上式进一步得到,0T =B A iα 1,,1-=n i再据凯莱－哈密顿定理， ,,1+n n AA 均可表示为2,,A A I1,-n A 的线性组合，由此得到0T =B A iα， ,2,1=i得到B t A t A At I ]!31!21[3322T+-+-α,T B e At-=α ],0[1t t ∈∀这样⎰==--1T 01T T T 0],0[t tA At t W dt e BB e αααα表明],0[1t W 为奇异，系统不完全能控，与已知条件矛盾，反设不成立。

于是n rankQ c =, 必要性得证。

------------------------------------------------ [例3.1] 考虑由下式确定的系统：u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1010112121 由于00011][det det ===AB B Q即Q 为奇异，所以该系统是状态不能控的。

----------------------------------------------- [例3.2] 考虑由下式确定的系统：u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1012112121 对于该情况，01110][det det ≠-==AB B Q即Q 为非奇异，因此系统是状态能控的。