第二讲函数定义域及解析式
第2课函数的概念及其表示法一基础训练1•若函数产f (Q的定义域是［0,2］,则函数g&)二/空的定义域是________________ .x-1［答案］［0,1)X22.函数y二一的定义域是 ______________ ,值域是 ____________ ■JT +1［答案］R. ［0,1)3.若A-rr3) =A*:-2.Y+3 ,则f C Y)= __________ ・［答案］丘-8时18「解析］方法一(换元法)：设时3二r,则沪L3,:.f(t) = (L3) =2 (L3) +3=f-8t+18・f (-v)=疋-8对18・方法二(配凑法人f (A+3)二/-2对3二(•计3)=8(対3)+18, :.f (x)二』-8对18・4.定义在R上的函数几T)满足ru)=<og2(4~A)y x"0' ，则广⑶的值为_________/(x_l)_f(x_2),x>0,［答案〕-2［解析］由已知得 f (T) =log25, f (0) =log：4=2,所以/(I) =f (0) -f (-1) =2-log：5, f(2)二f (1) -/(O) =-log：5, r (3)二f (2) -r(l) =-log：5- (2-log：5)二一2・二例题【例1】根据下列条件求各函数的表达式：_ (2(1)已知f - + 1 二1网求f (A O：lx(2)已知f (Q是一次函数，且满足3f(对D-2fG-l)二2对17,求f (龙)；(3)已知ffx-丄｝二/+丄+1(.丫>0),求f (A O.I x) 22 2 2 2i解答］(1)(换兀法)令一+1 二r(上>1),则 w——,.\r(t)=lg -------------- , .\/Xx)=lg ----------- (-v>i).X /一1 x-1 x-1(2)(待定系数法)设f (x)二"乜(aHO),则 3/(-Y +1) -2/'(.V ^1) =3aA ,+3a+3Zr-2a.Y+2^-2Z>=a.r-Zrl-5<3=2-rrl7> /.a=2, Z>=7, /./(-Y)二2站7・【变式拓展】 已知彳/ ++卜“+丄r+1,求f(x).(3)(配凑法)f\x~-\ X)+ 3, •：f (%)二y+3.(-¥-3) +1 (xHO)・【备讲例题】己知 f =2.v+a, g(x)-— (-Y '+3),若 g [f (x)]二”+对1,求 a 的值. 4 :解答 1 •/ f ( A F ) -2xra, g (x)二一(A Z +3 ), 4/ (-Y )J = —「(2•计a)：+3](a+3).44又Tg [f (x)]二扌+A +1,/.x+ax+ — (a~+3) =A "+.¥+1> 从而可得 a=l ・4【例2】求下列函数的左义域:3 X"，Y(1) /CY) =^+lgM: (2) 5 =l^+(3^)0-【变式拓展】 求函数f J ）二J25-F+lgsinx 的立义域.x + —+ 1 , , :.f (-r) -X［解答〕（1）由题意可得l-x>0, 3兀 +解之得—g 〈X ＜l,即原函数的泄义域为卜+（2）由题意可得＜ 2x - A 2 > 0,2v_1>0,解之得<2X — 1H1,3 - 2x H 0,0<x<2,1A> 25X H 1,3X H —,即丄＜xW2且xHl 和二2 23) ・•・原函数的定义域为（$1 ］u （i'|］u （|,2 .2；［解答］由题意可得＜解之得< sinx>0,-5<x<52k 兀 <x< 2k 兀 + 兀、k "•••原函数的定义域为［-5,-^）U （0,才）・【备讲例题】已知函数的定义域为-丄,［,求函数y = f2 2X 2-A-lj 的定义域.［解答］冷弓nx 「-xTSO, x 2 -x>0［解答］f 1x + — X1 + —- 2:解答 由题意知:"l ・Y GR 时，(a"-l) Y+ (rl) Y+ ---------------- M 0恒成立.G + 1a 1时，得 a=l,此时冇(a ：-l)殳 + (bl) * —二—二 1.可知当 AT GR 时, a +1 H 0 a + \■ ■ 2(a'-l) x+ ( a~l) xr ------------ 20 恒成立.d + 1/2 > ]时，有‘ 解得us/-10G + 9S0,9.综上所述，使得函数y 的泄义域为R 的&的取值范围是[1,9]・ 【变式拓展】已知函数』「（0-,_1的定义域是R,求实数a 的取值范围.ax^ +ax-3a H 0,[解答I 由尹0或｛ , 解得-12<a<0,即圧(-12, 0]・△ = / -4GX (-3)<0,/ v + 3[备讲例题】记函数f3二」2 - — 的左义域为扎多3二"[&一a-1) (2&—,) ] Q ⑴ V x + 1 的定义域为5(1) 求小(2)若B Q A,求实数a 的取值范围.Y | 3 V* 3[解答](1)由题意知2- 一 no 且对1H0,解得 —^^0,即水一 1或-Y^l, Azl=(- x + 1 x+1 8, —1) U [1, +8).(2) 由 C Y _<a —1) (2a~-¥)>0,得(-v _2^)<0. Vci<l> a+l>2^f(2a, a+1) ••:BA. ：.2a^ 1 或廿 1W-1,即 a^-或 &£一2・又 a 〈l, ••丄1 或 aW — 2・所以当 BuA2 2 一时,实数日的取值范围是(一 8,—2] u[g,l).四课后练习2小+（心）卄注碗义域为R,求实数&的取值范風①当£-1二0,即〈2△ = @_1)2_4(/_1)・所求函数的左义域是【例3】若函数y =1 •若函数f（3-2£的泄义域为[一1, 2],则函数fd）的左义域是【解析】由一 1W X W2=>-1W3—2虫5,得几v ）的定义域为[一 1, 5]e\x<0, 11 2.已知g3二 1 八则g In x,x>0. 1 = 1/2— <0, • • g g3 >3丿【解析】由题意知, 3•设 /(x) = lg 2 + x 2-xr 2 ，则/(-) + /(-)的泄义域为.2 xX ?【解析】因为f （Q 的定义域是（一2, 2）,故有一2V - <2且一2< - <2,解得一4Vx 2 x<-1 或 UV4. V r<1 4.已知函数fM = < '-'若f(£二2,则茫 ____________ -x,x> 1, 【解析】由］=>x = log,2, 3V =2 x> 1, _兀=2 => x = _2无解，故应填log2 5.下图中的图象所表示的函数的解析式为 __________ 【解析】当00W1时，直线过点（0, 0）和（1上I 2）3则其方程心产 当52时，直线过点（诗3和（2,。
），则其方程为尸亍+3•所以该函数的解析式为3—x.O < x < 1,2 3一一x + 3,1 < x < 2.2 6函数心=:丫:； J 若f ⑴皿）电则a 的所有可能值为—sin （龙 F ） 1 — v0,【解析】将A-1,代入礼0二｛得f ⑴二1, ••• f（»二1・当一 1VY0e^\x>0 ・只有f(l)二1・•••的所有可能值为1和-f27.函数 /(x) = ^(l-«2)x 2 +3(l-d)x + 6 ・(1) 若f(x)的左义域为R,求实数a 的取值范用； (2) 若fG)的左义域为[一2, 1]・求实数a 的值.【解析】(1)①若1 一上0,即护土1,当护1时，f3二点，能义域为R,适合: 当护一 1时，A-Y ) = >/6X + 6,泄义域不为R,不适合. ②若 1-/H0,二(1-/)£+3(1 -a)対6 为二次函数,••• 的定义域为R, ••• g(x)^0对xGR 恒成立, I J1-/ >0[A = 9(1-«)2-24(1-6/2)<0综合①②得a 的取值范用是-春,1cx + l,0<x<c,已知函数f(x) = <2 7?+hc<x<l(1)求常数C 的值；⑵解不等式：/(%)>—+1.8答案：(1) 因为0V 所以d<c.由f(£)二98,即£+1=9 &所以&丄.2当。
时,解得乎V*卜当詐7时，解得0V?所以A.Y)> — +1的解集为.<X V25——<x<-(84 88. (2)由(1)得 /(x)=1 “ 1—x + l,O<x< 一， 2 2 2" + 1 丄 Sxvl.2 由 f{x) >28+1 得,。
函数的定义域及函数的解析式解读
函数的定义域及函数的解析式因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象，也是数学中常用的一种数学思想，所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨.一、函数的定义域［例1］求下列函数的定义域(1)ｙ＝－221x ＋１ (2)ｙ＝422--x x (3)xx y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (6)ｙ＝)13(113-+--x x x (7)ｙ＝x 11111++(8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）分析：当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域.解：(1)ｘ∈R(2)要使函数有意义，必须使ｘ２－４≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２｝(3)要使函数有意义，必须使ｘ＋｜ｘ｜≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ＞０｝(4)要使函数有意义，必须使⎩⎨⎧≥-≥-0401x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜１≤ｘ≤4｝(5)要使函数有意义，必须使⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥-03042x x 得原函数定义域为｛ｘ｜－２≤ｘ≤２｝(6)要使函数有意义，必须使⎩⎨⎧≠-≠-01301x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ≠31且ｘ≠１｝(7)要使函数有意义，必须使⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥++≠++≠+≠01111011110110x x x x 得 原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞０或－21＜ｘ＜０} (8)要使函数有意义，必须使ａｘ－３≥０得当ａ＞0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≥a3｝ 当ａ＜0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≤a3｝ 当ａ＝０时，ａｘ－３≥０的解集为∅，故原函数定义域为∅评述：(1)求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成.(2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数ａ，须对它分类讨论.［例2］(1)已知函数ｆ（ｘ）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ２）的定义域.(2)已知函数ｆ（２ｘ＋１）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ）的定义域.(3)已知函数ｆ（ｘ＋１）的定义域为［－２，３］，求ｆ（２ｘ２－２）的定义域.分析：(1)求函数定义域就是求自变量ｘ的取值范围，求ｆ（ｘ２）的定义域就是求ｘ的范围，而不是求ｘ２的范围，这里ｘ与ｘ２的地位相同，所满足的条件一样.(2)应由0＜ｘ＜1确定出２ｘ＋１的范围，即为函数ｆ（ｘ）的定义域.(3)应由－２≤ｘ≤３确定出ｘ＋１的范围，求出函数ｆ（ｘ）的定义域进而再求ｆ（2ｘ２－２）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.解：(1)∵ｆ（ｘ）的定义域为(0，1)∴要使ｆ（ｘ２）有意义，须使0＜ｘ２ｘ＜０或０＜ｘ＜１∴函数ｆ（ｘ２ｘ｜－１＜ｘ＜０或０＜ｘ＜１}(2)∵ｆ（２ｘ＋１）的定义域为（０，１），即其中的函数自变量ｘ的取值范围是0＜ｘ＜１，令ｔ＝２ｘ＋１，∴１＜ｔ＜３，∴ｆ（ｔ）的定义域为1＜ｘ＜３∴函数ｆ（ｘ）的定义域为｛ｘ｜１＜ｘ＜３}(3)∵ｆ（ｘ＋１）的定义域为－２≤ｘｘ令ｔ＝ｘ＋１，∴－１≤ｔ≤４∴ｆ（ｔ）的定义域为－１≤ｘ≤4即ｆ(ｘ)的定义域为－１≤ｘ≤４，要使ｆ（２ｘ２－２）有意义，须使－１≤２ｘ2－２≤４， ∴－3≤ｘ≤－22或22≤ｘ≤3｝ 函数ｆ（２ｘ２－２）的定义域为｛ｘ｜－3≤ｘ≤－22或22≤ｘ≤3｝ 注意：对于以上(2)(3)中的ｆ（ｔ）与ｆ(ｘ)其实质是相同的.评述：(1)对于复合函数ｆ ［ｇ（ｘ）］而说，如果函数ｆ（ｘ）的定义域为A ，则ｆ ［ｇ（ｘ）］的定义域是使得函数ｇ（ｘ）∈Ａ的ｘ取值范围.(2)如果ｆ ［ｇ（ｘ）］的定义域为A ，则函数ｆ(ｘ)的定义域是函数ｇ(ｘ)的值域.二、函数的解析式［例1］(1)已知ｆ（x ＋１）＝ｘ＋２x ，求ｆ(ｘ)的解析式(2)已知ｆ（ｘ＋x 1）＝ｘ３＋31x，求ｆ(ｘ)的解析式 (3)已知函数ｆ（ｘ）是一次函数，且满足关系式3ｆ（ｘ＋1）－２ｆ（ｘ－1）＝２ｘ＋１７，求ｆ(ｘ)的解析式分析：此题目中的“ｆ”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用.即：求出ｆ及其定义域. 解：(1)设ｔ＝x ＋１≥１，则x ＝ｔ－１，∴ｘ＝（ｔ－１）２∴ｆ（ｔ）＝（ｔ－１）２＋２（ｔ－１）＝ｔ２－１（ｔ≥１）∴ｆ（ｘ）＝ｘ２－１（ｘ≥１）(2)∵ｘ３＋31x ＝（ｘ＋x 1）（ｘ２＋21x－１） ＝（ｘ＋x 1）［（ｘ＋x1）２－３］∴ｆ（ｘ＋x 1）＝（ｘ＋x 1）［（ｘ＋x1）２－３］ ∴ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ２－３）＝ｘ３－３ｘ∴当ｘ≠0时，ｘ＋x 1≥２或ｘ＋x1≤－２ ∴ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ（ｘ≤－２或ｘ≥２）(3)设ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ则３ｆ（ｘ＋１）－２ｆ（ｘ－１）＝３ａｘ＋３ａ＋２ｂ＋２ａ－２ｂ＝ａｘ＋ｂ＋５ａ＝2ｘ＋１７∴ａ＝２，ｂ＝７∴ｆ（ｘ）＝２ｘ＋７注意：对于(1)中ｆ（ｘ）与ｆ(ｔ)本质上一样.评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法.值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域.［例2］(1)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里／小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S (公里)表示成时间ｔ(小时)的函数.分析：从已知可知这辆汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲乙两地之间的距离来决定.解：∵汽车在甲乙两地匀速行驶，∴Ｓ＝１００ｔ∵汽车行驶速度为100公里／小时，两地距离为1500公里，∴从甲地到乙地所用时间为ｔ＝1001500小时 答：所求函数为：Ｓ＝１００ｔ ｔ∈［０，１５］(2)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.２％，粮食总产量平均每年增长4%，那么ｘ年后若人均一年占有ｙ千克粮食.求出函数ｙ关于ｘ的解析式.分析：此题用到平均增长率问题的分式，由于学生尚未学到，所以还应推导. 解：设现在某乡镇人口为A ，则1年后此乡镇的人口数为A (１＋１.２％)，2年后的此乡镇人口数为A （１＋１.２％）２…经过ｘ年后此乡镇人口数为A (１＋１.２％)ｘ.再设现在某乡镇粮食产量为B ，则1年后此乡镇的粮食产量为B (1＋４％)，2年后的此乡镇粮食产量为B （１＋４％）２…，经过ｘ年后此乡镇粮食产量为Ｂ（１＋４％）ｘ，因某乡镇现在人均一年占有粮食为360 ｋｇ，即A B ＝３６０，所以ｘ年后的人均一年占有粮食为ｙ，即ｙ＝x xx x A b %)2.11(%)41(360%)2.11(%)41(++=++（ｘ∈N *评述：根据实际问题求函数解析式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻求等量关系，求得函数解析式后，还要注意函数定义域要受到实际问题的限制.。
模块资料——函数定义域值域解析式(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】模块资料——函数【基础】一、 定义域:定义域永远是当前函数内变量x 的取值范围，比如()f x 的定义域指的是x 的范围，(31)f x -的定义域指的也是这里边x 的范围，而不是31x -的范围。
1. 函数()f x =的定义域为（ ） A)43,21(- B]43,21[- C),43[]21,(+∞⋃-∞ D),0()0,21(+∞⋃- 2. 函数()f x = ）A. [1,2]B. [1,2)C.1(,1]2D.1[,1]23. 函数()lg(1)f x x =+的定义域是（ ）A.(1,0)(0,1]-⋃B.(1,1]-C. (4,1]--D. (4,0)(0,1]-⋃4. 函数1()ln(1)f x x=++____________5. 函数()f x 的定义域为[1,2]，则(32)f x +的定义域为______________6. 函数(23)f x -的定义域为[1,4]-，则()f x 的定义域为______________7. 函数(21)f x -的定义域为[2,6]，则(35)f x -的定义域为______________8. 函数()f x 的定义域为[1,3]，则(ln )f x 的定义域为______________ 9. 函数(ln )f x 的定义域为2[1,]e ，则()f x 的定义域为______________10. 函数()f x 的定义域为(0,3)，则2(2)f x x -的定义域为______________11. 函数2(4)f x x -的定义域为[1,4]，则()f x 的定义域为______________12. 函数(45)f x -的定义域为[3,4]-，则(26)f x --的定义域为______________13. 函数(31)f x +的定义域为[4,1]-，则(210)f x -的定义域为______________14. 函数()ln(43)f x x =-，则(21)f x +的定义域为______________ 15.函数()f x =则(42)f x -的定义域为______________ 二、 解析式: 常规思路：()()f x f ax b +代入换元互换 11x x x x xx x a x-⎧⎪⎪⎪⎨⎪-⎪⎪-⎩1. 函数()32f x x =-，则2()____________f x =2. 函数()32f x x =-，则(21)____________f x -=3. 函数2()321f x x x =-+，则(1)____________f x -=4. 函数2()2f x x x =+，则(31)____________f x +=5. 函数()ln(43)f x x =-，则(2)____________f x +=6. 函数(31)32f x x -=-，则()____________f x =7. 函数2(2)243f x x x +=+-，则()____________f x =8. 函数2(21)463f x x x -=++，则(1)____________f x +=9. 函数2(2)231f x x x -=-+，则(2)____________f x += 10. 函数()32f x x =-，则()____________f x -= 11. 函数1()32f x x=-，则()____________f x =12. 函数2(3)42f x x x -=-，则()____________f x = 13. 函数51()x f x e +-=，则()____________f x = 14. 函数12()3f x xx=-，则(2)____________f x -=15. 函数()2()3f x f x x =-+-，则()____________f x = 16. 函数212()3()f f x x xx=-+，则()____________f x =17. 函数2()2(1)2f x f x x x =-+-，则()____________f x = 18. 函数1()11x f x x-=++，则()____________f x =19. 函数()21(13)f x x x =+≤≤，则（ ） A. (1)22(02)f x x x -=+≤≤ B. (1)21(24)f x x x -=-≤≤ C. (1)22(02)f x x x -=-≤≤ D. (1)21(24)f x x x -=-+≤≤ 20. 若11)1(2-=-x x f ，则)(x f =三、 值域:1. 函数2()41f x x x =-+定义域为[2,1]-时，值域为____________2. 函数2()41f x x x =-+定义域为[2,3]-时，值域为____________3. 函数2()41f x x x =-+定义域为[2,)-+∞时，值域为____________4. 函数()f x =____________ 5. 函数()f x =____________ 6. 函数()f x =的值域为____________ 7. 函数()3f x x =+____________ 8. 函数()f x x =-+____________ 9. 函数()2f x x =+____________ 10. 函数()f x x =____________ 11. 函数()f x x =+的值域为____________12. 函数234()x x f x x ++=的值域为____________13. 函数234()1x x f x x ++=+的值域为____________14. 函数2()24x f x x x =++的值域为____________15. 函数224()818x f x x x +=++的值域为____________16. 函数2232()24x f x x x -=++的值域为____________17. 函数()4x f x x =+的定义域为[2,3]-，则函数的值域为____________18. 函数32()24x f x x +=+的定义域为[1,4]，则函数的值域为____________19. 函数1()4x xe f x e -=+的定义域为[0,1]，则函数的值域为____________20. 函数2()3f x x x=-的定义域为[1,3]，则函数的值域为____________ 四、 求函数值: 1. 已知函数1222,1,()log (1),1,x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩且()3f a =-，则(6)f a -=（）A.74-B.54-C. 34-D. 14- 2. 设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩则2(2)(log 12)f f -+=（ ）A. 3B. 6C. 9D. 123. 设函数3,1,()2,1,x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩若5(())46f f =，则b =（ ）A. 1B.78 C. 34 D. 12 4.设函数10,()2,0,xx f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩则((2))f f -=（ ）A. 1-B.14 C. 12 D. 32 5. 设函数1,0,()0,0,1,0,x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩1,,()0,,x g x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数则(())f g π=（）A. 1B. 0C. 1-D. π6. 设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 47. 设函数()y f x =的图像与2()log (32)g x x =+的图像关于y x =对称，则(3)f =（ ） A. 1- B. 2- C. 2 D. 88. 设函数3log ,09,()(4),9,x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩则1(13)2()3f f +=（）A. 1B. 0C. 2-D. 29. 设函数()()4f x g x =+，其中()g x 为奇函数，且()5f a =则()f a -=（ ）A. 3-B. 3C. 5-D. 210. 设函数()sin 4f x a x =+，若(lg3)3f =，则1(lg )3f =（ ）A. 13B.13-C. 5D. 811. 设函数()f x 满足(5)x f x =，则(2)f =____________。
求解函数定义域、值域、解析式讲义(精华版)
3. 已知函数 f（ x 1） x 2 x ，求函数 f (x) 的解析式。
4. 方程组法
当关系式中同时含有 f ( x) 与 f ( x) 或 f ( x) 与 f ( 1) 时，常将原式中的 x 用 x （或 1 ）代替，
x
x
从而得到另一个同时含 f ( x) 与 f ( x) 或 f ( x) 与 f ( 1 ) 的关系式， 将这两个关系式联立， 解方程组解出 f ( x) 。 x
出参数的范围。
【例 1】 （ 1）若函数 f ( x)
(a 2 1) x2 ( a 1) x 2 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。 a1
（2）判断 k 为何值时，函数 y
2kx 8 kx2 2kx
关于 x 的定义域为 1
R。
2. 函数值域的逆向应用
【例 2】 求使函数 y
x2 x2
ax x
2 的值域为 ( 1
【例 1】 求下列函数的定义域
（ 1） y x 1
（ 2） y
1
2x
（ 3） y
1
( x 1)0
2x
【例 2】 求下列函数的定义域
（1） y
1； 11
1x
（ 2） y
4 x2 ； x1
））））））
））））））））
（ 3） y
1
3 x2 5
7 - x2 ；
（4） y
x2 3x 10 x11
【当堂检测】
（ 3）若函数 f ( x) 是整式型函数，则定义域为全体实数。
（ 4）若函数 f ( x) 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。
（ 5）若函数 f (x ) 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 （ 6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。 （ 7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有
函数解析式、定义域、值域
的充要条件是
m 0
(6m)2
4m(m
8)
0
0
m
1
综上可知0≤m≤1。 注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问
题。
例4 已知函数 f (x) kx 7 kx 2 4kx 3
三：换元法
• 通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无 理函数化为代数函数来求函数值域的方法 (关注新元的取值范围).
• 例3 求函数 y=x- x-1 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法， 它可以使复杂问题简单化，但是在解题的 过程中一定要注意换元后新元的取值范围。
3、求下列函数的值：
是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例2 已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。
解：因为1≤x≤2, 2≤2x≤4,
3≤2x+1≤5. 即函数f(x)的定义域是{x|3≤x≤5}。
(3)已知f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(3x)的定义域。 解:因为0≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1.
所以函数f(3x)的定义域是-1≤3x≤1即 {x|-1/3≤x≤1/3}。
例3 已知函数 y mx 2 6mx m 8
的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使一切x∈R 都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m≠0进行讨论。
不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。
2.1函数的解析式及定义域与值域
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 2.1函数的解析式及定义域与值域考纲定位 理解函数的概念；掌握简单函数的定义域的求法；掌握求解析式的常用方法.疑难提示 1、要注意区间的正确表示，特别是分清开区间与闭区间的区别；2、简单函数的定义域和值域的求法；3、对符号()y f x =的理解及解析式的求法.【考点整合】1、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，其中x 的取值范围A 叫函数的 ， 叫函数的值域，值域是 的子集.2、函数的三要素： 为函数的三要素.两函数相同，当且仅当3、函数的表示法有 ， 和 .4、映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.5、函数定义域的求法：6、基本初等函数的值域：(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)【真题演练】1、(2011 浙江)设函数20()0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =（ ）A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或22、(2012 江西)下列函数中，与函数31y x=定义域相同的函数是（ ） A.1sin y x = B.ln x y x = C.x y xe = D.sin x y x= 3、(2012 江西)设函数211()lg 1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若((10))f f =（ ） A.lg101 B.2 C.1 D.04、(2012 安徽)下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是（ ）A.()||f x x =B.()||f x x x =-C.()1f x x =+D.()f x x =-5、(2012 江苏)函数6()12log f x x =-的定义域为6、(2010 江苏)已知函数210()10x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是【经典例题】一、函数的定义域：例1、(1)函数(1)y x x x =-+的定义域为 ； (2)函数02lg(2)(1)12x y x x x -=+-+-的定义域为 ；(3)已知函数()y f x =的定义域是[0，4]，则2(1)(3)y f x f x x =++-的定义域是变式训练：1、若函数(1)y f x =+的定义域是[-2，3），则(21)y f x =-的定义域是2、若函数1()x f x e x m=-+的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 二、函数的值域例2、分别求下列函数的值域(1)1y x =+ (2)22y x x =-+ (3)22([0,3])y x x x =-+∈ (4)213x y x +=- (5) (6)21y x x =+-变式训练：求下列函数的值域(1)246([1,5))y x x x =-+∈ (2)(0)cx d y a ax b+=≠+其中 (3)21y x x =-- (4)22225(12)1x x y x x x ++=≤≤++三、函数的解析式例3、(1)已知二次函数()f x 的最小值为4，且(2)(0)6f f ==，求()f x 的解析式(2)已知2(1)f x x x +=+,求()f x 的解析式；(3)已知2()()32f x f x x +-=+，求()f x 的解析式(4)已知函数2y x x =+与函数()y g x =的图象关于点(-2,3)对称，求()g x 的解析式(5)设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1f =,并且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式变式训练：(1)已知2211()f x x x x +=+，求()f x ；(2)已知12()()3f x f x x+=，求()f x ；【作业】《胜券在握》P4页第1、2题；【上本作业】《胜券在握》P4页第3、4、5题.。
函数的定义域、解析式、值域
函数的定义域一、几类函数的定义域（1）如果f(x ）是整式，那么函数的定义域是实数集R ；（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f(x ）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合。
（4）如果2[()]f x ，那么函数的定义域是使f(x)不等于0的实数的集合。
（5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即求各集合的交集）（6）满足实际问题的意义。
二、例题讲解例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例2 求下列函数的定义域： ①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x 11111++ ④x x x x f -+=)1()( ⑤373132+++-=x x y例3 若函数a ax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （） Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x +=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ）Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =例8、若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，求实数m 的取值范围练习、若函数222(1)(1)1y a x a x a =-+-++的定义域为R ，求实数a 的取值范围例9、（1）设二次函数f （x ）满足f （x-2）=f （-x-2），且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求f （x ）的解析式；（2）已知,2)1(x x x f +=+求f （x ）（3）已知f （x ）满足x xf x f 3)1()(2=+，求f （x ）例10、若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是_______________________例11. 已知函数m mx mx y ++-=862的定义域为R.(1)求实数m 的取值范围;(2)当m 变化时,若y 的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.例12. 若函数y=x 2-6x-16的定义域为[0,m],值域为[-25,-16],则m 的取值范围( )A.(0,8]B.[3,8]C.[3,6]D.[3,+∞)例13. 已知1()1f x x =+，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且D ．{|12}x x x ≠-≠-或函数的解析式我们知道，把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。
函数的定义域与解析式
2．已知函数 f(x)的定义域是[－1,1]，求 f(log2x)的定义域．
解：∵函数 f(x)的定义域是[ －1,1] ，∴－1≤log2x≤1， 1 1 ∴ ≤x≤2.故 f(log2x)的定义域为 2，2. 2
三、函数的表示方法
表示函数的常用方法有： 解析法 、 列表法 和 图象法 ．
四、分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别 用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 域等于各段函数的值域的 但它表示的是一个函数． 并集 ，其值
第二章 函数、导数及其应用
一、函数与映射的概念
二、函数的有关概念 1．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， x的取值范围A 叫做函 数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合
{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． 2．函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 ．
函数的值域
[例 2] 求下列函数的值域： 1 (1)f(x)＝ ； (2)f(x)＝x－ 1－2x； 2＋ x－ x2 (3)f(x)＝log3 x＋logx 3－1.
12 9 9 [听课记录] (1)(配方法)由于 2＋x－x ＝－(x－ ) ＋ ≤ ，此时有三种 2 4 4 1 9 1 9 情况，若－(x－ )2＋ ＜0，则 y＜0；若－(x－ )2＋ ＝0，则 y 无意义； 2 4 2 4 1 9 9 1 4 若 0＜－(x－ )2＋ ≤ ，则 y＝ ≥ . 2 4 4 1 9 9 －x－ 2＋ 2 4 4 ∴函数的值域为(－∞，0)∪[ ，＋∞)． 9
§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式
(3)常见基本初等函数的定义域
①分式函数中分母不等于零． ②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为___. R ④y＝ax (a>0且a≠1),y＝sin x, y＝cos x,定义域均为__. R { x | x R且x k π , k Z} π ⑤y＝tan x的定义域为________________________. 2 0的定义域为_________________． ⑥函数f(x)＝x {x|x∈R且x≠0}
R
{ y | y R且y 0}
④y＝ax (a>0且a≠1) ⑤y＝logax (a>0且a≠1) ⑥y＝sin x, y＝cos x ⑦ y＝tan x 主页
(0, ) R [1, 1] R
要点梳理
忆一忆知识要点
3．函数解析式的求法
(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式, 通常是令g(x)＝t，从中解出x＝ (t)，再将g(x)、x代入已知 解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方 法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围． (2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的 解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数． (3)消去法：若所给解析式中含有f(x), f ( 1 ) 或 f(x), f(－x) x 等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)． (4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特 殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．
对称性
函数的 基本性质 奇偶性 周期性 最值 函数常见的 几种变换 基本初等 函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型
函 数
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换. 正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;
函数的定义域与解析式 - 解析版
函数定义域与解析式【教学目标】一、函数定义域【知识点】1.函数是一种非空的数集组成的映射，是从自变量x 到应变量y 的对应关系；期中x 的范围叫做定义域；2.定义域的常见形式有分式，根式，指数，对数，复合函数以及抽象函数；【定义域常见类型】一 、具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集二 、抽象函数常见类型1.已知()f x 定义域求()()f g x 定义域2已知()()f g x 定义域求()f x 定义域3. 已知()()f g x 定义域求()()f h x 定义域（一）具体函数【例题讲解】★☆☆例题1：求函数11y x =+的定义域； 答案： {}|1x x ≠−解析： 10,1x x +≠≠−，{}|1x x ∴≠−★☆☆练习1．求函数2123y x x =−−的定义域； 答案：{}|13x x x ≠−≠且解析：2230x x −−≠()()310x x −+≠，{}|13x x x ∴≠−≠且★☆☆例题2． 求函数y答案：{}R|1x x ∈≥解析：,x x −≥≥101，{}R|1x x ∴∈≥★☆☆练习1：求函数y =答案：[)(,-],−∞⋃+∞13解析：2230x x −−≥，()()310x x −+≥13x x ≤−≥或，(][),,∴−∞−⋃+∞13 ★☆☆例题3．求函数()023y x =−的定义域 3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭解析：230x −≠3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆练习1求函数0221x y x −⎛⎫= ⎪+⎝⎭的定义域 ()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆例题4．．求函数y解析：1010x x −≥−≥且★☆☆练习1．求函数()04y x =−的定义域； 答案：(][)(),13,44,+−∞−∞解析：2230x x −−≥且40x −≠(][)(),13,44,+x ∴∈−∞−∞（二）抽象函数★☆☆例题5．已知()f x 定义域是[]1,3，求()21f x +的定义域答案：[]0,1解析： 因为()f x 的定义是[]1,3,即()f x 中,[]1,3x ∈,那么()21f x +中,[]211,3x +∈,得[]0,1x ∈则()21f x +中,[]0,1x ∈∴ ()21f x +的定义域是[]0,1★☆☆练习1．已知()f x 定义域是()0,1，求()2f x 的定义域答案： ()()1,00,1−解析：因为()f x 的定义是()0,1,即()f x 中,()0,1x ∈,那么()2f x 中, ()20,1x ∈,得()()1,00,1x ∈−则()2f x 中, ()()1,00,1x ∈−∴ ()2f x 的定义域是()()1,00,1x ∈−★☆☆例题6．已知()1f x −定义域是[]3,3−，求()f x 的定义域.答案：[]4,2−．解析：∵()1f x −的定义域为[]3,3−，即33x −≤≤∴412x −≤−≤即函数()f x 定义域为[]4,2−．★☆☆练习1已知)2f 定义域是[]4,9，求()f x 的定义域答案：[]0,1即函数()f x 定义域为[]0,1．★☆☆例题7．已知()21f x +定义域是()3,5，求()41f x −的定义域答案：()2,3.解析：∵(21)f x +定义域为()3,5，即35x <<，∴72111x <+< ，则()f x 定义域为()7,11，∴(41)f x −定义域为74111x <−<，∴23x <<．即()41f x −的定义域为()2,3.★☆☆练习1已知()1f x +定义域是()2,3−，求()222f x −的定义域2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝解析：∵()1f x +定义域为()2,3−，即23x −<<，∴114x −<+< ，则()f x 定义域为()1,4−，∴()222f x −定义域为21224x −<−<， 2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝★☆☆例题8．若函数()f x = 的定义域为R ，则实数a 的取值范围.答案：(],0−∞解析：偶次根号下非负，当x 的范围为R 时，20x a −≥在R 上恒成立，等价于2a x ≤在R 上恒成立求出a 的范围为0a ≤，(],0a ∴∈−∞★☆☆练习1若函数()212f x x ax a=−+ 的定义域为R ，则实数a 的取值范围. 答案：()0,1解析：分式型函数分母不为零，当x 的范围为R 时，220x ax a −+≠恒成立；2(2)40a a ∆=−−<即01a <<； 所以a 的取值范围是()0,1.知识点要点总结：一 具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集5. 实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．二．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．二、函数的解析式【知识点】求函数解析式的四种常用方法1. 拼凑法：将等号右侧的式子拼凑成关于f 后括号内东西的表达式，然后将其直接写成x ．2. 换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.3.待定系数法：已知函数类型．①正比例函数：(0)y kx k =≠； ②反比例函数：(0)k y k x=≠； ③一次函数：(0)y kx b k =+≠；④二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠．4.方程组法：两个f ，将题目中的x 换成另一个括号内的东西构造方程组．比如：若给出()f x 和()f x −，或()f x 和1()f x 的一个方程，则可以x 代换x −（或1x），构造出另一个方程，解此方程组，消去()f x −（或1()f x）即可求出()f x 的表达式。
第二章第2讲函数的定义域和值域
第2讲 函数的定义域和值域1．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R ．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R ．(5)y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }．2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R ． (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ； 当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a ． (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}． (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R ． (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]． (7)y ＝tan x 的值域是R ． [做一做] 1．(2015·浙江杭州模拟)函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞)B ．[0，4]C ．[0，4)D ．(0，4) 解析：选C.∵4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，∴0≤y ＜4.2．函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域为________．答案：[－1，2)∪(2，＋∞)1．求函数定义域应注意的四点(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 2．求函数值域的六种基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域．[做一做]3．函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2，3)∪(3，＋∞)D ．(2，4)∪(4，＋∞) 答案：C4．若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________．解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4.又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2，∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)考点一__求函数的定义域(高频考点)____________函数的定义域是高考的重点内容，考查时多以选择题和填空题形式出现，一般难度较小，高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度： (1)求分式型函数的定义域； (2)求无理型函数的定义域； (3)求对数型函数的定义域； (4)求抽象函数的定义域．(1)(2015·广东惠州第二次调研)函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)(2)函数f (x )＝1－|x －1|x －1的定义域为____________．(3)(2015·山东莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎭⎫32，2C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎣⎡⎭⎫12，2 [解析] (1)要使函数有意义，必须满足3x －1>0，解得x >0，故选D. (2)由⎩⎨⎧1－|x －1|≥0x ≠1⇒⎩⎨⎧0≤x ≤2x ≠1⇒0≤x <1或1<x ≤2.(3)要使函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6log 12（2－x ）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤30<2－x <1⇒32≤x <2.故选B.[答案] (1)D (2)[0，1)∪(1，2] (3)B本例(2)变为函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)，结果如何？解：由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0a x －1≠0⇒⎩⎨⎧0≤x ≤2x ≠0⇒0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．[规律方法] 简单函数定义域的类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f (g (x ))的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．1.(1)(2013·高考山东卷)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3，0] B ．(－3，1] C ．(－∞，－3)∪(－3，0] D ．(－∞，－3)∪(－3，1](2)函数y ＝lg （2－x ）12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是__________． (3)(2015·广东佛山模拟)已知f (x 2－1)的定义域为[0，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__________．解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3，0]，故选A.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，12＋x －x 2>0x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－3<x <4，x ≠1，所以－3<x <2且x ≠1，故所求函数的定义域为{x |－3<x <2且x ≠1}．(3)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9， ∴－1≤x 2－1≤8，∴函数y ＝f (x )的定义域是[－1，8]．答案：(1)A (2){x |－3<x <2且x ≠1} (3)[－1，8] 考点二__求函数的值域________________________求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])；(2)y ＝1－x 21＋x 2；(3)y ＝x ＋4x (x ＜0)；(4)f (x )＝x －1－2x . [解] (1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵y ＝(x ＋1)2－1在[0，3]上为增函数，∴0≤y ≤15， 即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])的值域为[0，15]．(2)y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x 2－1，∵1＋x 2≥1，∴0＜21＋x 2≤2.∴－1＜21＋x2－1≤1.即y ∈(－1，1]．∴函数的值域为(－1，1]． (3)∵x ＜0，∴x ＋4x＝－⎝⎛⎭⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立， ∴y ∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]． (4)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 法二：(单调性法)f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12，容易判断f (x )为增函数，所以f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12. [规律方法] 求函数值域，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，而常用的方法有：(1)观察法；(2)配方法；(3)换元法；(4)分离常数法；(5)单调性法；(6)数形结合法．在求函数值域时，除了上述常用的方法外，还有很多方法，应注意选择最优的解法．总之，求函数值域的关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．2.求下列函数的值域：(1)y ＝x －3x ＋1； (2)y ＝x 2－x x 2－x ＋1； (3)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．解：(1)法一：y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．法二：由y ＝x －3x ＋1，得yx ＋y ＝x －3.解得x ＝y ＋31－y ，所以y ≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴0＜1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y ＜1，即函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (3)y ＝log 3x ＋1log 3x －1，令log 3x ＝t ，则y ＝t ＋1t －1(t ≠0)，x ＞1，t ＞0，y ≥2t ·1t －1＝1，当且仅当t ＝1t即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立，故函数的值域是[1，＋∞)．考点三__与函数定义域、值域有关的参数问题__若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)[解析] 要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；②当m ≠0时，要使不等式恒成立，须⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝（4m ）2－4×m ×3<0，即⎩⎨⎧m >0m （4m －3）<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m （4m －3）<0.解得0<m <34.由①②得0≤m <34.故选D.[答案] D[规律方法] 求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时，都是依据题意对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．3.已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)，共5个．答案：5,[学生用书P 18])考题溯源——求函数的定义域(2014·高考山东卷)函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，（log 2x ）2>1，解得x >2或0<x <12.故选C.[答案] C[考题溯源] 本题源于教材人教A 必修1P 73，练习第2题，“求下列函数的定义域．(2)y ＝1log 2x ，(4)y ＝log 3x ”．1.函数f (x )＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为__________．解析：要使函数有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1（x ＋4）（x －1）<0，解不等式组得－1<x <1.因此函数f (x )的定义域为(－1，1)．答案：(－1，1)2．若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案：[－1，0]1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( )A ．f (x )＝x 2＋aB ．f (x )＝ax 2＋1C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1解析：选C.当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R . 2．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg （x －1）的定义域为( )A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10] 解析：选D.要使函数有意义，则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg （x －1）≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －10）≤0，①x >1，x ≠2，解①得－1≤x ≤10.所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]．故选D. 3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[0，2]D ．[－2，2] 解析：选C.－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0，0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2 016]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．[－1，2015]B ．[－1，1)∪(1，2015]C ．[0，2016]D ．[－1，1)∪(1，2016] 解析：选B.令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 016]可知f (t )中0≤t ≤2 016，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 016，解得－1≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 015]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 015，x －1≠0解得－1≤x <1或1<x ≤2015.故函数g (x )的定义域为[－1，1)∪(1，2 015]．5．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ）.，则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)解析：选D.令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2（x <－1或x >2），x 2－x －2（－1≤x ≤2）.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f (12)≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是[－94，0]∪(2，＋∞)．6．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.解析：函数值只有四个数2，3，4，5，故值域为{2，3，4，5}． 答案：{2，3，4，5}7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是__________．解析：根据题意可得f [f (x )]＝11x ＋1＋1，要使函数有意义，只需⎩⎨⎧x ＋1≠0，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2，故函数f [f (x )]的定义域为{x |x ≠－1且x ≠－2}．答案：{x |x ≠－1且x ≠－2}8．(2015·温州模拟)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤13，1，则a ＋b ＝________．解析：∵由题意知x －1＞0，又x ∈[a ，b ]，∴a ＞1.则f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数， 则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13，∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6.答案：69．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b ＞1)，求a ，b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1.即函数f (x )在[1，b ]上单调递增．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.∴a ，b 的值分别为32，3.10．已知函数f (x )的值域为[38，49]，求函数g (x )＝f (x )＋1－2f （x ）的值域．解：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f （x ）≤12，令t ＝1－2f （x ），则f (x )＝12(1－t 2)，令y ＝g (x )，∴y ＝－12(t 2－1)＋t .∴当t ＝13时，y 有最小值79，当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78.1．(2015·河南漯河模拟)已知A ，B 是非空数集，定义A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A ＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x }，则A ⊕B ＝( )A ．[0，3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，0)∪(3，＋∞)D ．[0，3]解析：选B.分析得到A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，所以A ⊕B ＝(－∞，3)．2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“亲密函数”，区间[a ，b ]称为“亲密区间”．若f (x )＝x 2＋x ＋2与g (x )＝2x ＋1在[a ，b ]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是( )A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[－1，0]解析：选B.在同一坐标系中作出函数f (x )及g (x )的图象，如图所示．由题意作出与g (x )＝2x ＋1的距离为1的平行线y ＝2x ＋2的图象，由图并结合“亲密函数”的定义可知其“亲密区间”可以是[0，1]．3．已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数f (x ＋2)的定义域为________，值域为________．解析：由已知可得x ＋2∈[0，1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f (x ＋2)的值域仍为[1，2]．答案：[－2，－1] [1，2]4．若函数y ＝kx 2－6kx ＋（k ＋8）的值域为[0，＋∞)，则k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时，原函数可化为y ＝8＝22，此时值域不是[0，＋∞)，从而k ≠0. 当k ≠0时，想满足题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝（－6k ）2－4×k ×（k ＋8）≥0.解得k ≥1，从而k 的取值范围为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)5．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3＞0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4. 6．(选做题)已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a ＞0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域；(2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解：(1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a ＞0)．(2)当a ＝14时，函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎡⎦⎤1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t －2，当t ＝4t时，t ＝±2∉⎣⎡⎦⎤1，32， 又t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，t ＋4t单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎡⎦⎤13，613. 即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.。