高考数学总复习 条件概率教案
高考数学总复习 条件概率教案
某某省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习条件概率教案教学目标：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
掌握一些简单的条件概率的计算。
教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用教学过程：一、复习引入：探究: 三X奖券中只有一X能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？条件概率一般地，，。
2.性质：（1）非负性：。
（2）可列可加性：如果B，C是两个互斥事件,则=+.(|)(|)(|)P B C A P B A P C A例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：(l）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．例2.一X储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．课堂练习.1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P（A），P（B），P（AB），P（A︱B）。
2、一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P （AB），P（A︱B）。
3、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。
求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。
展示：课本54页练习1、2。
高中数学教案 条件概率
条件概率的定义与性质 条件概率与边缘概率的联系与区别 条件概率在日常生活中的应用实例 条件概率的数学表达方式及计算方法
搜集与条件概率相关的实际应 用案例并尝试用所学知识解决 其中问题
预习下一章节了解条件概率的 应用场景
完成课后习题巩固所学知识
总结条件概率在实际问题中的 应用方法和技巧
实例2：一个盒 子中有3个黑球 和2个白球先从 盒中摸出1个黑 球再从盒中摸出 1个白球求第二 次摸出白球的概
率。
实例3：一个盒 子中有5个红球 和3个蓝球先从 盒中摸出1个红 球再从盒中摸出 1个蓝一个盒 子中有3个白球 和2个黑球先从 盒中摸出1个黑 球再从盒中摸出 1个白球求第二 次摸出白球的概
条件概率的取值范围：0 ≤ P(|B) ≤ 1
条件概率的意义：描述在已 知事件B发生的条件下事件
发生的可能性大小。
天气预报：根据历史数据预测未来天气情况 医学诊断：根据症状和检查结果判断疾病的可能性 金融投资：根据市场走势和风险因素制定投资策略 社交媒体推荐：根据用户兴趣和行为推送相关内容
条件概率的概念 和计算方法
回顾概率的基 本概念：事件、 样本空间、概
率等
复习概率的计 算方法：古典 概型、几何概
型等
引出条件概率 的概念：在已 知某些事件发 生的条件下另 一个事件发生
的概率
强调条件概率 与全概率公式、 贝叶斯公式的
联系和区别
定义：条件概率 是指在某一事件 发生的条件下另 一事件B发生的 概率记作P(B|)。
率。
条件概率的定义： 在某个条件下某 一事件发生的概 率。
条件概率的特点： 与独立事件不同 条件概率会受到 其他事件的影响。
条件概率的计算 方法：使用条件 概率的公式 P(|B) = P(B)/P(B) 进行 计算。
条件概率教案(数学教案)
2. 2二项分布及其应用（第一课时）一、学习目标：1、了解条件概率概念2、掌握求限制条件下事情发生的概率的两种方法3、灵活运用两种方法解题二、教学重难点1，理解条件概率概念2，解决条件概率问题3，掌握并能灵活运用两种求条件概率的方法三、学习过程1、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.思路：若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“1X ,2X ”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：1X 2X Y,Y X X 12,1X Y 2X ,12YX X ,Y 1X 2X ,12X YX ．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 仅包含两个基本事件Y X X 21和Y X X 12．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为3162)(==B P .思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y X X 21,Y X X 12和1221,YX X YX X ．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y X X Y X X 1221,.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，假设A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.那就可以把第一名同学没有抽到中奖券时最后一名同学抽到中奖券记为P （B|A ),读作：事件A 发生的条件下事件B 发生的概率已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件 B 发生的概率，P ( B|A ）等不等于P ( B ) ?思考:对于上面的事件A 和事件B ，P ( B|A ）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛122112211221,,,,,X YX X YX YX X YX X Y X X Y X X ｝．既然已知事件A 必然发生，那么只需在A={12211221,,,YX X YX X Y X X Y X X }的范围内考虑问题，即只有4个基本事件12211221,,,YX X YX X Y X X Y X X ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于在事件A 中：事件 A 和事件 B 同时发生，即事件A 中， AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y X X 21，Y X X 12因此(|)P B A =12=()()n AB n A . 【n （AB ）=n （A ）*n （B ）】 其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，()()(),()()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ 其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，(|)P B A =)()()()()()()(A P AB P n n AB n A n AB n =ΩΩ=. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ).(|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A =. 由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅.并称上式微概率的乘法公式.2.条件概率的性质：①：任何事件的条件概率都在0和1之间即：1)|(0≤≤A B P②：如果B 和C 是两个互斥事件，则)|()|()|(A C P A B P A C B P +=小结：关于求条件概率，我们有两种方法，在可以列出或者求出总事件数和所求事件数的情况下，用古典概型公式求解会比较简单。
高考数学复习知识点讲解教案第62讲 随机事件的相互独立性与条件概率
概率的积,则事件,为相互独立事件.
2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定两个事件是相互独立的;
（2）确定两个事件可以同时发生;
（3）求出每个事件发生的概率,再求积.
变式题（1）
（多选题）[2023·新课标Ⅱ卷] 在信道内传输0，1信号，信号
的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 0 < < 1 ，收到0的概率为1 − ；
由相互独立事件的概率公式得，所求概率为 1 −
2 ，故B正确.
对于C，采用三次传输方案，发送1，1，1，收到的译码为1，
则收到的信号可能为 1,1,0 ， 1,0,1 ， 0,1,1 ， 1,1,1 ，
故所求概率为3ሺ1 −
2
ሻ
+ 1−
3 ，故C错误.
对于D，若采用三次传输方案，发送0，收到的译码为0，
5
1 2
别为 ， ，则该谜题被破解的概率为___.
6
2
3
[解析] 设“甲独立地破解出该谜题”为事件，“乙独立地破解出该谜题”为事件，
“该谜题被破解”为事件，且事件与相互独立，
则 = 1 − = 1 − 1 −
1
2
× 1−
2
3
=
5
.
6
3.［教材改编］
交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查，发现该地区上
4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
◆ 知识聚焦 ◆
1.事件的相互独立性
（1）定义：对任意两个事件与,如果
=____________成立,则称事件与
事件相互独立.
（2）判断方法：
①根据定义；
条件概率教学案 2
《条件概率》教学案一、课标研读：概率是高中数学的新增内容，它自成体系，是数学中一个较独立的学科分支，与以往所学的数学知识有很大的区别，但与人们的日常生活密切相关，而且对思维能力有较高要求，在高考中占有重要地位.二、教材分析：1、地位与作用：本节内容在本章节的地位：《条件概率》是高中课程标准实验教材数学选修2－3第二章第二节的内容，它在教材中起着承前启后的作用，一方面，可以巩固古典概型概率的计算方法，另一方面，为研究相互独立事件打下良好的基础.2、教学目标(1)知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
(2)过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。
通过对实例的分析，会进行简单的应用。
(3)情感态度与价值观：培养学生思维的灵活性及知识的迁移能力。
3、教学重点与教学难点教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用三、学情分析：在前面学习的基础上，学生已经会解决一些概率问题。
具有了分析问题、解决问题的能力。
四、教学策略：注重列举各种实例；注重激发和鼓励学生的好奇心和求知欲，教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发与点拨，引导和组织学生进行合作交流，充分发挥学习小组的作用。
五、教学计划：共1课时教学过程：一．问题情境：抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”x事件B=“两颗骰子的点数之和大于8”。
我们用x 代表抛掷红色骰子所得到的点数，用y 代表抛掷蓝骰子所得到的点数，（1）则这个试验的基本事件空间为S=____________________________________________；（2）请在图中画出事件A 、B 分别对应的点：（3）P(A)=___________;P(B)=_____________;（4）当已知蓝色骰子的点数为3或6时，事件B发生的概率是多少？请结合图像说明。
事件A 已发生的所有可能的结果对应图中____个点,其中的____个点“点数之和大于8”，所以，事件B 在“事件A 已发生”条件下的概率是_______二、概念形成：1、对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号_______________来表示。
高中数学《条件概率与全概率公式》教案与分层同步练习
第七章 随机变量及其分布 《7.1 条件概率与全概率公式》教案（第一课时 条件概率）【课前预习】 新知探究春节期间，妈妈带着达娜去她的一个朋友家做客，闲谈时正巧碰到她的女儿回家，这时女人介绍说：“这是我的一个女儿，我还有一个孩子呢”，在回家的路上妈妈告诉达娜：“这家有两个孩子，只知道有一个是女孩，另一个不太清楚．”于是达娜在想，另一个孩子也是女孩的可能性有多大呢？是50%的概率吗？你能帮助达娜分析一下吗？问题 上述情景中的概率问题是属于哪种类型的概率？达娜猜想的概率是否正确？提示 达娜猜想的概率不正确，这是一个条件概率问题，学习完本节课后我们就能准确地求解此概率类型．1．条件概率的概念条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B ，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设B －和B 互为对立事件，则P(B － |A )＝1－P(B |A )． 拓展深化 [微判断]1．若事件A ，B 互斥，则P(B|A)＝1.(×) 提示 若事件A ，B 互斥，则P(B|A)＝0.2．事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，等于A ，B 同时发生的概率．(√)提示 事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为P(B|A)＝P （AB ）P （A ），事件A ，B 同时发生的概率为P(AB)，两者不一定相等． [微训练]1．设A ，B 为两个事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝13，P(A)＝23，则P(B|A)＝( ) A.12 B.29C.19D.49解析 P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝1323＝12.答案 A2．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝__________．解析由题意知P(A)＝12，P(AB)＝14，∴P(B|A)＝P（AB）P（A）＝1412＝12.答案1 2[微思考]1．若P(A)≠0，则P(AB)＝P(B|A)·P(A)，这种说法正确吗？提示正确．由P(B|A)＝P（AB）P（A）得P(AB)＝P(B|A)·P(A)．2．100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．若任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．提示事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝8590＝1718.【课堂互动】题型一利用定义求条件概率【例1】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A26＝30.根据分步乘法计数原理，有n(A)＝A14A15＝20，所以P(A)＝n（A）n（Ω）＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝A24＝12，所以P(AB)＝n（AB）n（Ω）＝1230＝25.(3)法一由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝P（AB）P（A）＝2523＝35.法二因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝n（AB）n（A）＝1220＝35.规律方法利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝P（AB）P（A），这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．【训练1】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45解析设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝P（AB）P（B）＝0.60.75＝0.8.答案 A题型二缩小样本空间求条件概率【例2】 集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．解 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35. 【迁移1】 (变设问)在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35. 【迁移2】 (变条件，变设问)若甲先取(放回)，乙后取，若事件A ：“甲抽到的数大于4”；事件B ：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)． 解 甲抽到的数大于4的情形有：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5，2)，(6，1)，共2个．所以P(B|A)＝212＝16. 规律方法 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A ，原来的事件B 缩小为AB.而A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝n （AB ）n （A ），这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的.训练2】 5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为__________． 解析 设第1次取到新球为事件A ，第2次取到新球为事件B ，则P(B|A)＝n （AB ）n （A ）＝3×23×4＝12.答案 12题型三 条件概率的性质及应用【例3】 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． 解 设A ＝{从第一个盒子中取得标有字母A 的球}， B ＝{从第一个盒子中取得标有字母B 的球}， R ＝{第二次取出的球是红球}， W ＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝710，P(B)＝310，P(R|A)＝12，P(W|A)＝12，P(R|B)＝45，P(W|B)＝15.事件“试验成功”表示为AR∪BR，又事件AR 与事件BR 互斥，故由概率的加法公式，得P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR) ＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B) ＝12×710＋45×310＝0.59. 规律方法 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．【训练3】 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解 记事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A∪B∪C，E ＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)， P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝P （A ）P （D ）＋P （B ）P （D ）＝C 610C 62012 180C 620＋C 510C 110C 62012 180C 620＝1358. 故所求概率为1358.【课堂互动】 一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养． 2．条件概率：P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝n （AB ）n （A ）.3．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA 中，计算B 发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝AB 中样本点数ΩA 中样本点数，P(AB)＝AB 中样本点数Ω中样本点数.二、素养训练1．已知P(B|A)＝12，P(AB)＝38，则P(A)等于( )A.316B.1316C.34D.16解析 因为P(B|A)＝P （AB ）P （A ），所以P(A)＝P （AB ）P （B|A ）＝3812＝34.答案 C2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( ) A ．0.665 B ．0.564 C ．0.245D ．0.285解析 记事件A 为“甲厂产品”，事件B 为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 答案 A3．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( ) A.18 B.14C.25D.12解析 P(A)＝C 23＋C 22C 25＝25，P(AB)＝C 22C 25＝110，P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝14.答案 B4．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．解析 一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P ＝23.答案 235．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是__________． 解析 设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B ⊆A ，故AB ＝B ， 于是P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5. 答案 0.5【课后作业】 基础达标 一、选择题1．已知A 与B 是两个事件，P(B)＝14，P(AB)＝18，则P(A|B)等于( )A.13 B.14C.38D.12解析 由条件概率的计算公式，可得P(A|B)＝P （AB ）P （B ）＝1814＝12.答案 D2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( ) A.14 B.13C.12D ．1解析 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是13.答案 B3．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)等于( ) A.112 B.14C.29D.23解析 由题意知事件A 包含的基本事件是(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)共9个，在A 发生的条件下，事件B 包含的基本事件是{1，3}，{3，1}共2个，所以P(B|A)＝29.答案 C4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )A.13，25B.23，25C.23，35D.12，35解析 P(A|B)＝P （AB ）P （B ）＝0.120.18＝23，P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝0.120.2＝35.答案 C5．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( ) A.49 B.29C.12D.13解析 由题意可知．n(B)＝C 1322＝12，n(AB)＝A 33＝6.∴P(A|B)＝n （AB ）n （B ）＝612＝12.答案 C二、填空题6．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为X ，则X≤6的概率为__________．解析 设A ＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B ＝“X≤6”，则P(A)＝3036＝56，P(AB)＝13， ∴P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝25.答案2 57．某气象台统计，该地区下雨的概率为415，既刮四级以上的风又下雨的概率为110.设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)＝__________．解析由题意知P(A)＝415，P(AB)＝110，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝110415＝38.答案3 88．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为__________．解析记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72.答案0.72三、解答题9．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为7 9 .(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，设袋中白球有x个，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，解得x＝5，即白球的个数为5.(2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则P(BC)＝C15·C15C1 10·C19＝2590＝518，P(B)＝C15·C15＋C15·C14C110·C19＝25＋2090＝12.故P(C|B)＝P（BC）P（B）＝51812＝59.10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．解设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，P(A)＝1040＝14.(2)法一要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝415 .法二P(B)＝1540＝38，P(AB)＝440＝110，∴P(A|B)＝P（AB）P（B）＝415.能力提升11．将三颗骰子各掷一次，设事件A表示“三个点数都不相同”，B表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于( ) A.6091 B.12C.518D.91216解析 因为P(A|B)＝P （AB ）P （B ），P(AB)＝C 13C 15C 1463＝6063＝60216，P(B)＝1－P(B －)＝1－5363＝1－125216＝91216，所以P(A|B)＝P （AB ）P （B ）＝6021691216＝6091.答案 A12．坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的基本事件数为n(Ω)＝A 25＝20，又n(A)＝A 13×A 14＝12，于是P(A)＝n （A ）n （Ω）＝1220＝35.(2)因为n(AB)＝A 23＝6， 所以P(AB)＝n （AB ）n （Ω）＝620＝310.(3)由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝31035＝12.创新猜想13．(多选题)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( ) A ．P(B)＝25B ．P(B|A 1)＝511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件解析 由题意知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，P(A 1)＝510＝12，P(A 2)＝210＝15，P(A 3)＝310，故P(B)＝P(BA 1)＋P(BA 2)＋P(BA 3)＝510×511＋210×411＋310×411＝922，故A 错误，D 正确；P(B|A 1)＝P （BA 1）P （A 1）＝510×511510＝511，故B 正确；显然C 不正确．故选BD. 答案 BD14．(多空题)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，两张中至少有一张假钞的概率是________；将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率为________．解析 设事件A 表示“抽到2张都是假钞”，事件B 为“2张中至少有一张假钞”，则A|B 为“将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞时，2张都是假钞”．而P(AB)＝C25C220＝119，P(B)＝C25＋C15C115C220＝1738，∴P(A|B)＝P（AB）P（B）＝217.答案17382177.1 条件概率与全概率公式（第二课时全概率公式）【课前预习】新知探究狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读．设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5, 经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他．于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！问题上述问题可以用哪种概率公式来解释？提示我们可以借助全概率公式来解读．1．全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai )>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝∑ni＝1P(Ai)P(B|A i）.我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．2．贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai |B）＝P（A i）P（B|A i）P（B）i＝1，2，…，n.3．在贝叶斯公式中，P(Ai )和P(Ai|B)分别称为先验概率和后验概率．拓展深化[微判断]1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．(√)2．所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．(√)3．全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率．(√)[微训练]1．一个盒子中有6只白球，4只黑球，不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率为________．解析 设A ＝“第一次取到白球”，B ＝“第二次取到白球”， 则B ＝AB∪A －B ，且AB 与A －B 互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(A －B)＝P(A)P(B|A)＋P(A －)P(B|A －) ＝610×59＋410×69＝0.6. 答案 0.62．有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是________．解析 设A ＝“取到的是优质品”，B i ＝“打开的是第i 箱”(i ＝1，2)，则P(B 1)＝P(B 2)＝12，P(A|B 1)＝1050＝15，P(A|B 2)＝1830＝35，直接利用全概率公式：P(A)＝P(B 1)P(A|B 1)＋P(B 2)P(A|B 2)＝25.答案25[微思考]全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么？提示 两者的最大不同是处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的. 【课堂互动】 题型一 全概率公式【例1】 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率． 解 设B ＝“飞机被击落”，A i ＝“飞机被i 人击中”，i ＝1，2，3，则B ＝A 1B ＋A 2B ＋A 3B ，P(B|A 1)＝0.2，P(B|A 2)＝0.6，P(B|A 3)＝1， 由全概率公式，得P(B)＝P(A 1)P(B|A 1)＋P(A 2)P(B|A 2)＋P(A 3)P(B|A 3)． 为求P(A i )，设H i ＝{飞机被第i 人击中}，i ＝1，2，3， 则P(H 1)＝0.4，P(H 2)＝0.5，P(H 3)＝0.7，故 P(A 1)＝P(H 1H －2H －3＋H －1H 2H －3＋H －1H －2H 3) ＝P(H 1)P(H －2)P(H －3)＋P(H －1)P(H 2)P(H －3)＋ P(H －1)P(H －2)P(H 3)＝0.36， P(A 2)＝P(H 1H 2H －3＋H 1H －2H 3＋H －1H 2H 3) ＝P(H 1)P(H 2)P(H －3)＋P(H 1)P(H －2)P(H 3)＋ P(H －1)P(H 2)P(H 3)＝0.41，P(A 3)＝P(H 1H 2H 3)＝P(H 1)P(H 2)P(H 3)＝0.14. 于是P(B)＝P(A 1)P(B|A 1)＋P(A 2)P(B|A 2)＋P(A 3)P(B|A 3) ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458， 即飞机被击落的概率为0.458.规律方法 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．【训练1】 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品中正品率为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率多大？解 设A ，B ，C 分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，则由已知，P(A)＝50%，P(B)＝30%，P(C)＝20%， P(D|A)＝95%，P(D|B)＝90%，P(D|C)＝85%，从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到： P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C) ＝95100×50100＋90100×30100＋85100×20100 ＝0.915.题型二 贝叶斯公式【例2】 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的．若已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．解 设A ＝“发送的信号为0”，B ＝“接收的信号为0”，则A －＝“发送的信号为1”，B －＝“接收的信号为1”．由题意得，P(A)＝P(A －)＝0.5，P(B|A)＝0.8，P(B －|A)＝0.2，P(B|A －)＝0.1，P(B －|A －)＝0.9.由贝叶斯公式有P(A －|B)＝P （A －）P （B|A －）P （A －）P （B|A －）＋P （A ）P （B|A ）＝0.5×0.10.5×0.1＋0.5×0.8＝19. 规律方法 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小．【训练2】 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．解 设B ＝“中途停车修理”，A 1＝“经过的是货车”，A 2＝“经过的是客车”，则B ＝A 1B∪A 2B ，由贝叶斯公式有 P(A 1|B )＝P （A 1）P （B |A 1）P （A 1）P （B |A 1）＋P （A 2）P （B |A 2）＝23×0.0223×0.02＋13×0.01＝0.8. 题型三 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解 设事件A 表示“取到的产品为正品”，B 1，B 2，B 3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知P(B 1)＝0.2，P(B 2)＝0.3，P(B 3)＝0.5， P(A|B 1)＝0.95，P(A|B 2)＝0.9，P(A|B 3)＝0.8， (1)由全概率公式得： P(A)＝∑3i ＝1P(B i )P(A|B i )＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86， (2)由贝叶斯公式得 P(B 1|A)＝P （B 1）P （A|B 1）P （A ）＝0.2×0.950.86≈0.220 9，P(B 2|A)＝P （B 2）P （A|B 2）P （A ）＝0.3×0.90.86≈0.314 0，P(B 3|A)＝P （B 3）P （A|B 3）P （A ）＝0.5×0.80.86≈0.465 1，由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．规律方法 P(A i )(i ＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B 是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B 发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(A i |B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化．【训练3】 一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为13，14，112.(1)求这位教授迟到的概率；(2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率．解 设A ＝“迟到”；B 1＝“乘飞机”；B 2＝“乘动车”；B 3＝“乘非机动车”．(1)所求概率为P(A)，由全概率公式得： P(A)＝P(A|B 1)P(B 1)＋P(A|B 2)P(B 2)＋P(A|B 3)P(B 3) ＝13×15＋14×12＋112×310＝1360. (2)所求概率为P(B 1|A)，由贝叶斯公式得： P(B 1|A)＝P （AB 1）P （A ）＝P （A|B 1）P （B 1）P （A ）＝13×151360＝413.【素养达成】 一、素养落地1．通过本节课的学习，提升数学抽象及逻辑推理素养．2．全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．3．概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和贝叶斯公式正好起到了这样的作用． 二、素养训练1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( ) A.35 B.1949C.2049D.25解析 设A 表示“第一个人取得黄球”，B 表示“第二个人取得黄球”，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A －)P(B|A －)＝25×1949＋35×2049＝25.答案 D2．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人、女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为( ) A ．0.012 45 B ．0.057 86 C ．0.026 25D ．0.028 65解析 设A 表示“此人恰是色盲”，B 1表示“随机挑选一人为男人”，B 2表示“随机挑选一人为女人”，则P(A)＝P(B 1)P(A|B 1)＋P(B 2)P(A|B 2)＝12×0.05＋12×0.002 5＝0.026 25. 答案 C3．设某公路经过的货车与客车的数量之比为1∶3，货车中途停车修车的概率为0.03，客车为0.02，今有一辆汽车中途停车修理，则该车是客车的概率是( ) A.12 B.23C.34D.45解析 设B ＝{中途停车修理}，A 1＝{经过的是客车}， A 2＝{经过的是货车}，则B ＝A 1B∪A 2B. 由贝叶斯公式有P(A 1|B)＝P （A 1）P （B|A 1）P （A 1）P （B|A 1）＋P （A 2）P （B|A 2） ＝34×0.0234×0.02＋14×0.03＝23. 答案 B【课后作业】 基础达标 一、选择题1．甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为( ) A.12 B.1324C.712D.13解析 从两袋中任选一袋，选中甲、乙的概率都是12，又从甲袋中取到白球的概率是512，从乙袋中取到白球的概率为46，故所求概率为12⎝ ⎛⎭⎪⎫512＋46 ＝1324.答案 B2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为( ) A ．0.012 5 B ．0.362 C ．0.468D ．0.034 5解析 所求概率为0.25×0.050.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02≈0.362.答案 B3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( ) A ．0.012 3 B ．0.023 4 C ．0.034 5D ．0.045 6解析 所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 答案 C4．已知甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( ) A.512 B.37C.2041D.2141解析 所求概率为12×61012×610＋12×814＝2141.答案 D5．5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( ) A.14 B.12C.25D.35解析 第一次取每个数字的概率都是15.如果第一次取得的是1，那么再从四张当中取的话，都比1大，所以概率就是15×1＝15，如果第一次取的是2，那么再去从四张当中去取得到的比2大的概率就是34，所以概率为15×34＝320，以此类推所得概率分别是15×24＝110，15×14＝120.故所求概率为15＋320＋110＋120＝12.答案 B 二、填空题6．两台机床加工同样的零件，它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为__________．解析 由题意知第一台机床加工的零件占总数的23，第二台机床加工的零件占总数的13，故所求概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×0.03＋13×0.02＝7375.答案 73757．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示“试验反应为阳性”，以B 表示“被诊断者患有癌症”，则有P(A |B )＝0.95，P(A －|B － )＝0.95，现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P(B |A )＝______(保留两位有效数字)．解析 P(A|B －)＝1－P(A －|B －)＝1－0.95＝0.05，被试验的人患有癌症的概率为0.005，就相当于P(B)＝0.005，则 P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A|B ）P （B ）P （A|B ）＋P （B －）P （A|B －）＝0.005×0.950.005×0.95＋0.995×0.05≈0.087. 答案 0.0878．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为__________．解析 设事件A 表示“从箱中任取2件都是一等品”，B i 表示“丢失的是i 等品”，i ＝1，2，3，那么P(A)＝P(B 1)P(A|B 1)＋P(B 2)P(A|B 2)＋P(B 3)P(A|B 3)，P(B i )表示的就是丢失i 等品的概率．所以P(A)＝12×C 24C 29＋310×C 25C 29＋15×C 25C 29＝29，从而所求概率为P(B 1|A)＝P （B 1）P （A|B 1）P （A ）＝12×C 24C 2929＝38.答案 38三、解答题9．设袋中装有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，求乙抓到白阄的概率．解 设A 表示“甲抓到有物之阄”，B 表示“乙抓到白阄”，则P(A)＝210，P(A －)＝810，从而P(B)＝P(BA)＋P(B A －)＝P(A)P(B|A)＋P(A －)P(B|A －) ＝210×89＋810×79＝45. 10．设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．解 设B ＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}， A i ＝{提出的一台是第i 车间生产的}，i ＝1，2， 则有B ＝A 1B∪A 2B ，。
高三数学复习教案：概率统计
高三数学复习教案：概率统计一、教学目标1.理解概率统计的基本概念，掌握概率的计算方法。
2.能够运用概率统计的方法解决实际问题。
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1.概率的基本概念与计算方法2.离散型随机变量及其分布列3.连续型随机变量及其概率密度函数4.随机变量的期望和方差5.统计量的概念与计算方法6.假设检验与置信区间三、教学重点与难点1.教学重点：概率的基本概念与计算方法，离散型随机变量及其分布列，连续型随机变量及其概率密度函数，随机变量的期望和方差。
2.教学难点：离散型随机变量分布列的求解，连续型随机变量概率密度函数的应用，随机变量期望和方差的计算。
四、教学过程第一课时：概率的基本概念与计算方法1.引入同学们，大家好！今天我们开始复习概率统计这一模块。
让我们回顾一下概率的基本概念和计算方法。
2.概念讲解（1）概率的定义：在一定条件下，某个事件发生的可能性大小。
①0≤P(A)≤1②P(∅)=0，P(S)=1③对于任意可列个两两互斥的事件A1，A2，…，有P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…3.概率的计算方法（1）古典概型：若样本空间S中的每个基本事件等可能发生，则事件A的概率为：P(A)=A中基本事件数/样本空间S中基本事件数（2）条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。
根据条件概率的定义，有：P(A|B)=P(AB)/P(B)（3）乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)（4）全概率公式与贝叶斯公式4.例题讲解（1）古典概型：掷一枚硬币，求正面朝上的概率。
（2）条件概率与乘法公式：甲、乙两人比赛，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。
若甲先赢一局，求甲最终获胜的概率。
（3）全概率公式与贝叶斯公式：某工厂有两个车间，第一车间生产的产品占60%，第二车间生产的产品占40%。
第一车间不合格率为0.01，第二车间不合格率为0.02。
从工厂中随机抽取一件产品，发现不合格，求这件产品来自第一车间的概率。
《概率论总复习教案》课件
《概率论总复习教案》课件一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握概率论的基本概念、原理和方法，提高学生解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：通过复习使学生对概率论的知识体系有更清晰的认识，培养学生的逻辑思维和运算能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对概率论的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
二、教学内容1. 随机事件与概率1.1 随机事件的定义与性质1.2 概率的定义与计算方法1.3 条件概率与独立事件的概率2. 离散型随机变量2.1 离散型随机变量的定义与性质2.2 离散型随机变量的分布列与期望2.3 离散型随机变量的方差与标准差3. 连续型随机变量3.1 连续型随机变量的定义与性质3.2 连续型随机变量的概率密度与分布函数3.3 连续型随机变量的期望、方差与标准差4. 大数定律与中心极限定理4.1 大数定律的定义与意义4.2 中心极限定理的定义与意义4.3 应用大数定律与中心极限定理解决实际问题5. 随机抽样与统计推断5.1 随机抽样的方法与性质5.2 统计推断的基本方法5.3 假设检验与置信区间三、教学重点与难点1. 教学重点：概率的基本概念、随机变量的性质、大数定律与中心极限定理、随机抽样与统计推断。
2. 教学难点：概率的计算、离散型随机变量的期望与方差、连续型随机变量的概率密度与分布函数、假设检验与置信区间的计算。
四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲授、讨论、案例分析相结合的方法，引导学生主动探究、积极参与。
2. 教学手段：利用多媒体课件、板书、教具等辅助教学，提高教学效果。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习概率论的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2. 知识回顾：引导学生回顾上一阶段所学的内容，巩固基础知识。
3. 课堂讲解：讲解本节课的重点知识点，通过实例分析让学生理解并掌握相关概念和方法。
4. 课堂练习：安排适量的练习题，让学生在课堂上独立完成，检验学习效果。
5. 总结与布置作业：对本节课的内容进行总结，布置适量的课后作业，巩固所学知识。
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河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习条件概率教案
教学目标：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
掌握一些简单的条件概率的计算。
教学重点：条件概率定义的理解
教学难点：概率计算公式的应用
教学过程：
一、复习引入：
探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.
思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？
思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？
条件概率
1.定义一般地，，。
2.性质：
（1）非负性：。
（2）可列可加性：如果B，C是两个互斥事件,则
=+.
P B C A P B A P C A
(|)(|)(|)
例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：
(l）第1次抽到理科题的概率；
(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；
(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
课堂练习.
1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P（A），P（B），P（AB），P（A︱B）。
2、一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P （AB），P（A︱B）。
3、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。
求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。
展示：课本54页练习1、2。