2019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版.docx
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2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线. 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连OA，证明 OA⊥ l 就行了，简称“连
半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例 1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.
求证： EF与⊙ O相切 .
证明：连结 OE， AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴ AD⊥ BC.
又∵ AB=BC，
∴∠ 3=∠ 4.
⌒
⌒
∴ BD=DE，∠ 1=∠ 2.
又∵ OB=OE， OF=OF，
∴△ BOF≌△ EOF（ SAS） .
∴∠ OBF=∠ OEF.
∵ BF与⊙ O相切，
∴OB⊥ BF.
∴∠ OEF=90.
∴EF与⊙ O相切 .
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例 2如图，AD是∠ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证： PA与⊙ O相切 .
证明一：作直径 AE，连结 EC.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠ DAB=∠ DAC.
∵PA=PD，
∴∠ 2=∠ 1+ ∠ DAC.
∵∠ 2=∠ B+∠ DAB，
∴∠ 1=∠ B.
又∵∠ B=∠ E，
∴∠ 1=∠ E
∵ AE是⊙ O的直径，
∴ AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90.
∴∠ 1+∠ EAC=90.
即 OA⊥ PA.
∴PA 与⊙ O相切 .
证明二：延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE.
∵AD是∠ BAC的平分线，
⌒⌒
∴BE=CE，
∴OE⊥ BC.
∴∠ E+∠ BDE=90.
∵OA=OE，
∴∠ E=∠ 1.
∵PA=PD，∴∠
PAD=∠ PDA.
又∵∠ PDA=∠ BDE,
∴∠ 1+∠ PAD=90
即 OA⊥ PA.
∴ PA与⊙ O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D， DM⊥ AC于 M
求证： DM与⊙ O相切 .
证明一：连结 OD.
∵A B=AC，
∴∠ B=∠ C.
∵OB=OD，
∴∠ 1=∠ B.∴∠ 1=∠ C.
∴OD∥ AC.
∵DM⊥ AC，
∴DM⊥OD.
∴DM与⊙ O相切
证明二：连结 OD， AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴ AD⊥BC.
又∵ AB=AC,
∴∠ 1=∠ 2.
∵DM⊥ AC，
∴∠ 2+∠ 4=900
∵OA=OD，
∴∠ 1=∠ 3.
∴∠ 3+∠ 4=900.
即 OD⊥ DM.
∴DM是⊙ O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的利用已知及图上已知.
D
C
. 证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分
例 4如图，已知：AB是⊙ O的直径，点 C 在⊙ O上，且∠ CAB=30， BD=OB， D在 AB的延长线上 .求证： DC是⊙ O的切线
证明：连结 OC、 BC.
∵OA=OC，
∴∠ A=∠ 1=∠ 300.
∴∠ BOC=∠ A+∠ 1=600.
又∵ OC=OB，
∴△ OBC是等边三角形.
∴ OB=BC.D
∵OB=BD，∴
OB=BC=BD.
∴OC⊥ CD.
∴DC是⊙ O的切线 .
说明：此题是根据圆周角定理的推论 3 证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.
2
例 5如图，AB是⊙ O的直径，CD⊥ AB，且OA=OD·OP.
求证： PC是⊙ O的切线 .
证明：连结 OC
2
∵ OA=OD· OP， OA=OC，
2
∴ OC=OD· OP，
OC OP OD .
OC
又∵∠ 1=∠ 1，
∴△ OCP∽△ ODC.
∴∠ OCP=∠ ODC.
∵ CD⊥ AB，
∴∠ OCP=90.
∴ PC是⊙ O的切
线 .
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例 6如图， ABCD是正方形， G是 BC延长线上一点， AG交 BD于 E，交 CD于F.
求证： CE与△ CFG的外接圆相切 .
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△ CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我
们取 FG的中点 O，连结 OC，证明 CE⊥ OC即可得解 .
证明：取 FG中点 O，连结 OC.
∵ ABCD是正方形，
∴ BC⊥ CD，△ CFG是 Rt△
∵ O是 FG的中点，
∴ O是 Rt △ CFG的外心 .
∵ OC=OG，
∴∠ 3=∠ G，
∵ AD∥ BC，