【六年级寒假班讲义】第7讲：一次方程组(学生版)

一次方程组内容分析一次方程组是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容．本讲主要讲解二元一次方程的概念，二元一次方程组和三元一次方程组的概念及其解法，同学们需要多多练习，做到能够灵活快速地解方程组．知识结构模块一：二元一次方程知识精讲1、二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．3、二元一次方程的解集二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集．- 1 -- 2 -【例1】 下列方程中，哪些不是二元一次方程？并说明理由． （1）53x x +=；（2）239x y -=； （3）2x m +=； （4）413yx +=； （5）20xy +=；（6）321x y+=； （7）221x x +=-；（8）24x y z ++=．【例2】 若方程324235a b x y -+-=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =______，b = ______．【例3】 以下各组数，______________（填序号）是方程34x y -=的解． （1）11x y =⎧⎨=⎩；（2）22x y =⎧⎨=⎩；（3）17x y =-⎧⎨=-⎩；（4）35x y =⎧⎨=-⎩．【例4】 已知x = 3，y = 5是关于x 、y 的方程31x ky -=一个解，求k 的值．【例5】 已知二元一次方程534x y -=-．（1）用含x 的代数式表示y ，y =______； （2）用含y 的代数式表示x ，x =______；（3）当1x =时，y =______；当1x =-时，y =______； （4）当2y =-时，x =______；当0y =时，x =______．【例6】 如果31n ax y +=是关于x 、y 的二元一次方程，求n 和a 的取值范围．例题解析- 3 -【例7】 若530x y -=，且0x ≠，那么3443x yx y-=+______．【例8】 求方程74100x y +=的正整数解．【例9】 某人只带2元和5元两种钱币，他要买一件27元的商品，若要恰好付清，请问他的付款方式共有哪几种？1、 二元一次方程组有几个方程组成的一组方程叫做方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组． 2、 二元一次方程组的解在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解．模块二：二元一次方程组及其解法知识精讲3、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．4、加减消元法通过两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法．【例10】以下方程组：（1）23xy=⎧⎨=⎩；（2）323xx y=⎧⎨+=⎩；（3）2323x yx y+=⎧⎨+=⎩；（4）423x yxy-=⎧⎨+=⎩；（5）23x yy z+=⎧⎨-=⎩；（6）34322x yx yx y-=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，哪些是二元一次方程组？【例11】判断下列两组数值是否是方程组34213y xx y-=⎧⎨=-⎩的解：（1）11xy=-⎧⎨=⎩；（2）35xy=-⎧⎨=-⎩．【例12】方程组2521x yx y+=⎧⎨-=⎩的解______是方程25x y+=的解；反之，方程25x y+=的解______是方程组2521x yx y+=⎧⎨-=⎩的解（填“一定”、“一定不”或“不一定”）．例题解析- 4 -【例13】用代入消元法解下列方程组．（1）21234x yx y=+⎧⎨-=⎩；（2）54365x yx y+=⎧⎨-=⎩；（3）32222m nm n+=⎧⎨-=-⎩．【例14】用代入消元法解下列方程组．（1）2311543x yx y-=-⎧⎨-=-⎩；（2）122213yx yyx-⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩．【例15】用代入消元法解下列方程组．（1）()()()()321824x y x yx y x y⎧++-=⎪⎨+--=-⎪⎩；（2）1311116411x yx y⎧⎛⎫+-=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-=⎪⎪⎝⎭⎩．- 5 -【例16】用加减消元法解下列方程组．（1）62x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）231567x yx y+=⎧⎨-=⎩；（3）7423624x yx y+=⎧⎨-=⎩．【例17】选用适当的方法解下列方程组．（1）25342x yx y-=⎧⎨+=⎩；（2）633594x yx y-=-⎧⎨-=⎩；（3）3554235346x yx y--⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩；（4）()()()31222331m nn m⎧-=+⎪⎨⎪+=-⎩．- 6 -- 7 -【例18】 若2211a b a b x y -+--=是二元一次方程，求a 、b 的值．【例19】 解方程组：201520176047201720156049x y x y +=⎧⎨+=⎩．【例20】 已知方程组451x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和方程组34186218ax by x y -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a 、b 的值．【例21】 若方程组34412322x y m x y m +=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足0x y +=，求m 的值．- 8 - 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元1、 三元一次方程组如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组． 2、 解三元一次方程组的思想【例22】 下列方程组中，哪些是三元一次方程组？（1）623414253x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩； （2）234x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩；（3）231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（4）3252x y z x y ++=⎧⎨+=⎩； （5）16x yz =⎧⎨=⎩； （6）2324x y z y z x ++=⎧⎨++=⎩．【例23】 解方程组：1425x x y x y z =⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩．模块三：三元一次方程组及其解法知识精讲例题解析【例24】判断下列两组数值是否是方程组52621212x yy zx z-=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩的解：（1）35xyz=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩；（2）225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．【例25】解方程组：（1）15321341813x y zx y zz-+=⎧⎪+-=-⎨⎪=⎩；（2）625114x y zx y zx y++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩．【例26】解方程组：（1）261218x y zx yx z y++=⎧⎪-=⎨⎪+-=-⎩；（2）32522642730x y zx y zx y z++=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩．- 9 -【例27】解方程组：（1）344635511x y zx y zy z++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩；（2）2338456632456x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．【例28】解方程组：（1）14719x yy zx z+=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩；（2）1151x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩．【例29】解方程组：12323434545151251532x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=-⎨⎪++=-⎪⎪++=⎩．- 10 -【习题1】 以下方程（1）320x xy y -+=；（2）3x y =；（3）4a b =；（4）5263y m +=； （5）23240x y -+=，其中二元一次方程有______个【习题2】 在方程511x ay -=中，如果12x y =⎧⎨=⎩是它的一个解，则a =______．【习题3】 已知一个二元一次方程，它的一个解为74x y =⎧⎨=⎩，则这个方程可以是_________________．【习题4】 将下列方程变形为用含y 的代数式表示x ．（1）5210x y ++=； （2）492863x y -=； （3）25136yx-=．【习题5】 如果312327m n x y +++=是二元一次方程，那么m =______，n =______．随堂检测【习题6】 解方程组：（1）252138x y x y +=-⎧⎨+=⎩； （2）103178516x y x y +=⎧⎨-=-⎩；（3）()62324x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+-+=-⎩；（4）27323163213x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．【习题7】 若2211a b a b x y -+--=是二元一次方程，求a 、b 的值．【习题8】 已知二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，求a + b 的值．【习题9】方程组42132x yx y k-=⎧⎨+=⎩的解中x与y相等，求k的值．【习题10】已知方程组4360270x y zx y z--=⎧⎨+-=⎩，且0z≠，求345x y zx y z++--的值．【作业1】下列说法中，不正确的个数是（）个（1）方程x = y不是二元一次方程；（2）二元一次方程21x y-=的解集是23xy=⎧⎨=⎩；（3）23xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程21x y-=的一个解；（4）由于方程21x y-=有无数个解，所以任何一对x，y的值都是该方程的解．A．1个B．2个C．3个D．4个【作业2】已知一个二元一次方程5611x y-=，当x = 4时，y =______，当y = 4时，x =______，这个方程有______组解．课后作业【作业3】 已知方程51y x -=，请你在设计一个方程________________，使得这两个方程的公共解是253x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．【作业4】 若方程()23231a x b y -+-=-是二元一次方程，则a =______，b ______．【作业5】 若方程25x y +=有一组解中y 的值是x 的值的4倍，则x =______，y =______．【作业6】 解方程组：（1）231763172357x y x y +=⎧⎨+=⎩； （2）21243y x x x y -++==；（3）12334437x y x y -+⎧=⎪⎨⎪-=⎩； （4）3521545352x y z y z x z x y -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩．【作业7】已知()223320x y x y+-+-=，求x和y的值．【作业8】方程45100m n+=有______组自然数解．【作业9】已知方程组5354x yax y+=⎧⎨+=⎩与2551x yx by-=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a、b的值．【作业10】已知方程组452x y mx y m+=+⎧⎨-=+⎩的解为正数，求m的取值范围．。