计量经济学多元线性回归模型
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计量经济学-多元线性回归模型
多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
计量经济学第3章 多元线性回归模型(1)
BB ( X X ) 1 0
这意味着 BB ( X X ) 1为半正定矩阵。这样的协方差 矩阵之差 ˆ ) BB 2 ( X X ) 1 2 [ BB ( X X ) 1 ] 2 0 Var (b) Var ( 也是半正定矩阵。因此多元线性回归参数的最小二 乘估计是最小方差的线性无偏估计。
i
21
•
但是需注意：多元线性回归模型解释变量的 数目有多有少，而上述可决系数R2又可以证明是 解释变量数目的增函数。这意味着不管增加的解 释变量是否对改善模型、拟合程度有意义，解释 变量个数越多，可决系数一定会越大。因此，以 这种可决系数衡量多元回归模型的拟合优度是有 问题的，而且会导致片面追求解释变量数量的错 误倾向。正是由于存在这种缺陷，可决系数R2在 多元线性回归分析拟合优度评价方面的作用受到 很大的限制。
10
Q ˆ X Y ˆ X X ˆ ) 2 X Y 2 X X ˆ 0 (Y Y 2 ˆ ˆ
• 其中矩阵求导：
f ( B) A f ( B) BA B f ( B ) f ( B) BAB 2 AB B
11
Q ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) (1) 0 2 ( Y i 0 1 1 i 2 2 i k ki ˆ 0 Q ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) ( X ) 0 2 (Yi 0 1 1i 2 2i k ki 1i ˆ 1 Q ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) ( X ) 0 2 (Yi 0 1 1i 2 2i k ki ki ˆ k
• 整理该向量方程，得到下列形式的正规方程组
ˆ X Y X X
• 当X X 可逆，也就是X是满秩矩阵（满足假设5）时，在 上述向量方程两端左乘的 X X 逆矩阵，得到
计量经济学第二章(第二部分)
其中，有k个解释变量；k+1个回归参数
3
计量经济学 第二章B
同 上
（2）矩阵形式： Y XB N Y1 Y2 Y ... Y n 1 1 X ... 1 0 u1 1 u2 , B , N ... ... u n 1 k (k 1) 1 n n 1 X 11 X 12 ... X 1n X 21 X 22 ... X 2n ... ... ... ... X k1 X k2 ... X kn n (k 1)
2
（2）当 R
2
k n -1
时，
R
2
<0 ,此时， 使
2
用 R 将失去意义。因此， R 只适
2
用于Y与解释变量整体相关程度较的
情况。
34
计量经济学 第二章B
四、回归方程的显著性检验
(1) 提出原假设 (2) 构造统计量 H 0 : 1 2 ... k 0 F ESS/k RSS/n (3) 对于给定的显著性水平 （4）判定方程的显著性， 若 F F ， 则拒绝原假设 若 F F ，则接受原假设 H 0，即模型的线性关系 F 检验； - k -1 ~ F(k, n - k - 1) ( 在 H 0 成立时） F
不管其质量的好坏，而所要求的样本容量
的下限。
20
计量经济学 第二章B
同 上
ˆ 由 B ( X X)
-1
ˆ X Y 中看到，要使 B
存在，
必须保证(XˊX)-1存在，因此，必须满
足|XˊX|≠0 ，即XˊX为满秩矩阵，而
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性 回归模型
2020/12/8
计量经济学-3多元线性回归模型
•第一节 概念和基本假定
•一、基本概念： • 设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依
存关系。 • 1.总体回归模型：
•其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 • 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期 望值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 • 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学-3多元线性回归模型
•2.样本回归模型的SRF
计量经济学-3多元线性回归模型
•二、基本假定： • 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 • 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
计量经济学-3多元线性回归模型
•
计量经济学-3多元线性回归模型
•
•第二节 参数的最小二乘估 计
•五、预测
•（一）点预测 •点预测的两种解释：
计量经济学-3多元线性回归模型
•（二）区间预测
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•例5，在例1中，若X01=10，X02=10，求总体均值E（Y0|X0） 和总体个别值Y0的区间预测。
•
Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•三、最小二乘估计的性质
计量经济学-3多元线性回归模型
2020/12/8
计量经济学-3多元线性回归模型
•第一节 概念和基本假定
•一、基本概念： • 设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依
存关系。 • 1.总体回归模型：
•其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 • 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期 望值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 • 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学-3多元线性回归模型
•2.样本回归模型的SRF
计量经济学-3多元线性回归模型
•二、基本假定： • 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 • 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
计量经济学-3多元线性回归模型
•
计量经济学-3多元线性回归模型
•
•第二节 参数的最小二乘估 计
•五、预测
•（一）点预测 •点预测的两种解释：
计量经济学-3多元线性回归模型
•（二）区间预测
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•例5，在例1中，若X01=10，X02=10，求总体均值E（Y0|X0） 和总体个别值Y0的区间预测。
•
Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•三、最小二乘估计的性质
计量经济学-3多元线性回归模型
5、计量经济学【多元线性回归模型】
二、多元线性回归模型的参数估计
2、最小二乘估计量的性质 当 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 为表达式形式时，为随机变量， 这时最小二乘估计量 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 经过证明同样也 具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）。 也就是说，在模型满足那几条基本假定的前提 下，OLS估计量具有线性性、无偏性和最小方差性 （有效性）这样优良的性质， 即最小二乘估计量
用残差平方和 ei2 最小的准则： i
二、多元线性回归模型的参数估计
1、参数的普通最小二乘估计法（OLS） 即：
min ei2 min (Yi Yˆi )2 min Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki )2
同样的道理，根据微积分知识，要使上式最小，只 需求上式分别对 ˆj ( j 0,1, k) 的一阶偏导数，并令 一阶偏导数为 0，就可得到一个包含 k 1 个方程的正 规方程组，这个正规方程组中有 k 1个未知参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk ；解这个正规方程组即可得到这 k 1 个参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 的表达式，即得到了参数的最小 二乘估计量；将样本数据代入到这些表达式中，即可 计算出参数的最小二乘估计值。
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的 估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式： 上述几种形式的矩阵表达式： 将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方 程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. Yn 0 1 X1n 2 X 2n
ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 是总体参数真值的最佳线性无偏估计 量（ BLUE ）；即高斯—马尔可夫定理 (GaussMarkov theorem)。
第四章 多元线性回归模型(计量经济学,潘省初)
Y1 β 0 β 1 X 11 β 2 X 21 β 3 X 31 ... β K X K 1 u1 Y2 β 0 β 1 X 12 β 2 X 22 β 3 X 32 ... β K X K 2 u2 ...... Yn β 0 β 1 X 1n β 2 X 2 n β 3 X 3n ... β K X Kn un
ˆ 116.7 0.112 X 0.739 P Y (9.6) (0.003) (0.114)
R 2 0.99
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
食品价格平减指数 P 100，（ 1972 100） 总消费支出价格平减指数
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上述假设条件可用矩阵表示为以下四个条件：
9
(1) E(u)=0 (2)
由于
E (uu) 2 I n
u1 u2 uu u1 u2 ... u n
2
u12 u1u2 ...... u1un 2 u2u1 u2 ...... u2un ... un ................................. 2 unu1 unu2 ...... un
一．假设条件 （1）E(ut)=0, t=1,2,…,n （2）E(ui uj)=0, i≠j （3）E(ut2)=σ2, t=1,2,…,n （4）Xjt是非随机量， j=1,2, … k
t=1,2, … n
8
除上面4条外，在多个解释变量的情况下，还有 两个条件需要满足： （5）（K+1）< n; 即观测值的数目要大于待估计的参数的个数 （要有足够数量的数据来拟合回归线）。 （6）各解释变量之间不存在严格的线性关系。
《计量经济学》第三章 多元线性回归模型
总体回归函数也可表示为:
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki ui
7
多元样本回归函数
Y 的样本条件均值表示为多个解释变量的函数
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki
或
ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki ei
22
ˆ ˆ 因 2 是未知的，可用 2代替 2 去估计参数 β 的标
准误差:
ˆ ● 当为大样本时，用估计的参数标准误差对 β 作标 准化变换，所得Z统计量仍可视为服从正态分布 ˆ ●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 β 作标
准化变换，所得的t统计量服从t分布： ˆ βk - βk t ~ t (n - k ) ^ ˆ SE( βk )
i i
i
e e 0 4.残差 ei 与 X 和
3.
i
e X
i
3i
ei X 2i 0
2i
X 3i 都不相关，即
ˆ 5.残差 ei 与 Yi 不相关，即
e Yˆ 0
i i
18
二、OLS估计式的性质－统计性质
OLS估计式（用矩阵表式） 1.线性特征:
ˆ = (X X)-1 X Y β
2 i
ˆ ei2 (Yi - Yi )2
ˆ X X ... X )]2 ˆ min e [Yi -(1 ˆ2 2i ˆ3 3i k ki
求偏导,令其为0:
( ei2 ) 0 ˆ
j
13
即 ˆ ˆ ˆ ˆ -2 Yi - (1 2 X 2i 3 X 3i ... ki X ki ) 0
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki ui
7
多元样本回归函数
Y 的样本条件均值表示为多个解释变量的函数
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki
或
ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki ei
22
ˆ ˆ 因 2 是未知的，可用 2代替 2 去估计参数 β 的标
准误差:
ˆ ● 当为大样本时，用估计的参数标准误差对 β 作标 准化变换，所得Z统计量仍可视为服从正态分布 ˆ ●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 β 作标
准化变换，所得的t统计量服从t分布： ˆ βk - βk t ~ t (n - k ) ^ ˆ SE( βk )
i i
i
e e 0 4.残差 ei 与 X 和
3.
i
e X
i
3i
ei X 2i 0
2i
X 3i 都不相关，即
ˆ 5.残差 ei 与 Yi 不相关，即
e Yˆ 0
i i
18
二、OLS估计式的性质－统计性质
OLS估计式（用矩阵表式） 1.线性特征:
ˆ = (X X)-1 X Y β
2 i
ˆ ei2 (Yi - Yi )2
ˆ X X ... X )]2 ˆ min e [Yi -(1 ˆ2 2i ˆ3 3i k ki
求偏导,令其为0:
( ei2 ) 0 ˆ
j
13
即 ˆ ˆ ˆ ˆ -2 Yi - (1 2 X 2i 3 X 3i ... ki X ki ) 0
计量经济学多元线性回归
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki
i=1,2…n
• 根据最 小二乘原 理，参数 估计值应
该是右列
方程组的 解
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其
Q ei2 (Yi Yˆi )2
i 1
i 1
中n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
可以证明，随机误差项u的方差的无偏估 计量为：
ˆ 2
e
2 i
e e
n k 1 n k 1
2、极大似然估计
• 对于多元线性回归模型
易知 Yi ~ N (Xiβ , 2 )
• Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率
L(βˆ , 2 ) Y1,Y2 ,,Yn )
1
e
1 2
2
(Yi
(
ˆ0
ˆ1
i1
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1i X1ˆiˆ22i XXˆ222ii
X 2i ˆk ˆk X ki ˆk X ki
X ki) ) X 1i )X 2i
Yi Yi Yi
X 1i X 2i
(ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是 总体回归函数中随机扰动项ui的近似替代。
样本回归函数的矩阵表达:
Yˆ Xβˆ
其中：
ˆ0
βˆ
ˆ1
ˆ k
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习惯上：把常 数项看成为一 虚变量的系数， （3-1） 该虚变量的样 本观测值始终 取1。这样： 模型中解 释变量的数目 为（k+1）
Y1 Y 2 Yn
1 1 1
X 11 X 12 X 1n
X 21 X 22 X 2n
X k1 Xk2 X kn
第三章
◆ 学习目的
多元线性回归模型
理解多元线性回归模型的矩阵表示，掌握 多元线性回归模型的参数估计、检验和预测。
第三章
◆ 基本要求
多元线性回归模型
1)理解多元线性回归模型的矩阵表示，了解多元线性回归模型的基本假设；
2)掌握多元线性回归模型的普通最小二乘参数估计方法，了解多元线性回归模 型的普通最小二乘参数估计量与样本回归线的性质、多元线性回归模型的随机误 差项方差的普通最小二乘参数估计； 3)学会对多元线性回归模型进行拟合优度检验，对多元线性回归模型的参数进 行区间估计，对多元线性回归模型进行变量显著性检验和方程显著性检验；
记
Y1 Y Y 2 Yn
1 1 X 1 X 11 X 12 X 1n X 21 X 22 X 2n X k1 Xk2 X kn
0 1 k
1 2 n
二、多元线性回归模型的基本假设
一、多元线性回归模型的矩阵表示
Y1 0 1 X 11 2 X 21 k X k1 1 Y X X X 2 0 1 12 2 22 k k2 2 Yn 0 1 X 1n 2 X 2 n k X kn n
0 1 k
1 2 n
（3-2）
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
也被称为 总体回归函数的 随机表达形式。它 的 非随机 表达式为:
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总 体回归函数中随机扰动项i的近似替代。: 样本回归函数ห้องสมุดไป่ตู้矩阵表达:
ˆ Xβ ˆ Y
或
e1 e e 2 e n
ˆ e Y Xβ
其中：
ˆ 0 ˆ ˆ 1 β ˆ k
n 为样本容量。
1 、 待估参数 0 、 2 、
k，反映其他解释变量保持不变情况下， 、
对应解释变量每变化一个单位引起的被解释变量的变化，也被称为偏回归系数。
第一节 多元线性回归模型的 矩阵表示与基本假设
一、多元线性回归模型的矩阵表示 二、多元线性回归模型的基本假设
讲课内容
一、多元线性回归模型的矩阵表示
E(Yi | X 1i , X 2i , X ki ) 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki
方程表示： 各变量X值固定时，Y的平均响应。
j 也被称为 偏回归系数 ，表示在其他解释
变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时， Y的均值E(Y)的变化; 或者说 j给出了 Xj的单位变化对 Y均值的“直 接”或“净”（不含其他变量）影响。
假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即 X矩阵列满秩。
假设2，
1 E ( 1 ) E (μ) E 0 E ( ) n n
1 ) E E (μμ n
有
Y X
（3-3）
多元线性总体回归模型的矩阵形式
多元线性总体回归函数可用矩阵形式表示为
E （Y/X） X
（3-4）
样本回归函数：用来估计总体回归函数
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ˆ Y i 0 1 1i 2 2i ki ki
其随机表示式:
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X e Yi 0 1 1i 2 2i ki ki i
4)学会进行多元线性回归模型被解释变量的总体均值和个别值的预测；
5)学会利用EViews软件进行多元线性回归模型的参数估计、检验和预测。
第三章
多元线性回归模型
◆多元线性回归模型的矩阵表示与基本假设
◆多元线性回归模型的参数估计 ◆多元线性回归模型的拟合优度检验 ◆多元线性回归模型的统计推断 ◆多元线性回归模型的预测
Cov ( i , j ) E ( i j ) 0
i j i, j 1,2,, n
假设3，解释变量与随机项不相关
Cov ( X ji , i ) 0
j 1,2, k
假设4，随机项满足正态分布
i ~ N (0, 2 )
上述假设的矩阵符号表示 式：
第一节 多元线性回归模型的 矩阵表示与基本假设
多元线性回归模型的一般形式是
Yi 0 1 X1i 2 X 2i
k X ki i
i 1， 2， ，n
k 、
0 、 1 、 其中，Y为被解释变量，X1 、X 2 、 、X k 为解释变量， 2 、
为随机误差项， 为待估参数，即回归系数， k 为解释变量个数，i 为观测值下标，
讲课内容
一、多元线性回归模型的矩阵表示
二、多元线性回归模型的基本假设
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1，解释变量是非随机的或固定的，且 各X之间互不相关（无多重共线性）。
假设2，随机误差项具有零均值、同方差及 不序列相关性
E ( i ) 0
Var ( i ) E ( i2 ) 2
Y1 Y 2 Yn
1 1 1
X 11 X 12 X 1n
X 21 X 22 X 2n
X k1 Xk2 X kn
第三章
◆ 学习目的
多元线性回归模型
理解多元线性回归模型的矩阵表示，掌握 多元线性回归模型的参数估计、检验和预测。
第三章
◆ 基本要求
多元线性回归模型
1)理解多元线性回归模型的矩阵表示，了解多元线性回归模型的基本假设；
2)掌握多元线性回归模型的普通最小二乘参数估计方法，了解多元线性回归模 型的普通最小二乘参数估计量与样本回归线的性质、多元线性回归模型的随机误 差项方差的普通最小二乘参数估计； 3)学会对多元线性回归模型进行拟合优度检验，对多元线性回归模型的参数进 行区间估计，对多元线性回归模型进行变量显著性检验和方程显著性检验；
记
Y1 Y Y 2 Yn
1 1 X 1 X 11 X 12 X 1n X 21 X 22 X 2n X k1 Xk2 X kn
0 1 k
1 2 n
二、多元线性回归模型的基本假设
一、多元线性回归模型的矩阵表示
Y1 0 1 X 11 2 X 21 k X k1 1 Y X X X 2 0 1 12 2 22 k k2 2 Yn 0 1 X 1n 2 X 2 n k X kn n
0 1 k
1 2 n
（3-2）
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
也被称为 总体回归函数的 随机表达形式。它 的 非随机 表达式为:
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总 体回归函数中随机扰动项i的近似替代。: 样本回归函数ห้องสมุดไป่ตู้矩阵表达:
ˆ Xβ ˆ Y
或
e1 e e 2 e n
ˆ e Y Xβ
其中：
ˆ 0 ˆ ˆ 1 β ˆ k
n 为样本容量。
1 、 待估参数 0 、 2 、
k，反映其他解释变量保持不变情况下， 、
对应解释变量每变化一个单位引起的被解释变量的变化，也被称为偏回归系数。
第一节 多元线性回归模型的 矩阵表示与基本假设
一、多元线性回归模型的矩阵表示 二、多元线性回归模型的基本假设
讲课内容
一、多元线性回归模型的矩阵表示
E(Yi | X 1i , X 2i , X ki ) 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki
方程表示： 各变量X值固定时，Y的平均响应。
j 也被称为 偏回归系数 ，表示在其他解释
变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时， Y的均值E(Y)的变化; 或者说 j给出了 Xj的单位变化对 Y均值的“直 接”或“净”（不含其他变量）影响。
假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即 X矩阵列满秩。
假设2，
1 E ( 1 ) E (μ) E 0 E ( ) n n
1 ) E E (μμ n
有
Y X
（3-3）
多元线性总体回归模型的矩阵形式
多元线性总体回归函数可用矩阵形式表示为
E （Y/X） X
（3-4）
样本回归函数：用来估计总体回归函数
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ˆ Y i 0 1 1i 2 2i ki ki
其随机表示式:
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X e Yi 0 1 1i 2 2i ki ki i
4)学会进行多元线性回归模型被解释变量的总体均值和个别值的预测；
5)学会利用EViews软件进行多元线性回归模型的参数估计、检验和预测。
第三章
多元线性回归模型
◆多元线性回归模型的矩阵表示与基本假设
◆多元线性回归模型的参数估计 ◆多元线性回归模型的拟合优度检验 ◆多元线性回归模型的统计推断 ◆多元线性回归模型的预测
Cov ( i , j ) E ( i j ) 0
i j i, j 1,2,, n
假设3，解释变量与随机项不相关
Cov ( X ji , i ) 0
j 1,2, k
假设4，随机项满足正态分布
i ~ N (0, 2 )
上述假设的矩阵符号表示 式：
第一节 多元线性回归模型的 矩阵表示与基本假设
多元线性回归模型的一般形式是
Yi 0 1 X1i 2 X 2i
k X ki i
i 1， 2， ，n
k 、
0 、 1 、 其中，Y为被解释变量，X1 、X 2 、 、X k 为解释变量， 2 、
为随机误差项， 为待估参数，即回归系数， k 为解释变量个数，i 为观测值下标，
讲课内容
一、多元线性回归模型的矩阵表示
二、多元线性回归模型的基本假设
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1，解释变量是非随机的或固定的，且 各X之间互不相关（无多重共线性）。
假设2，随机误差项具有零均值、同方差及 不序列相关性
E ( i ) 0
Var ( i ) E ( i2 ) 2