【考研题库】2021年南京大学软件学院842数据结构、软件工程、操作系统和计算机网络之数据结构与算法

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一、应用题

1．己知一棵非空二叉树，其按中根和后根遍历的结果分别为：

中根：CGBAHEDJFI

后根：GBCHEJIFDA

试将这样的二叉树构造出来。若已知先根和后根的遍历结果，能否构造出这棵二叉树，为什么？

【答案】由中根和后根所确定的二叉树如下图2所示。

图1由森林转变的二叉树

图2二叉树

前根序列和后根序列不能唯一确定一棵二叉树。因为根据中根序列，结合前根或后根序列可以把二叉树区分出左右子树来。而前根序列和后根序列访问左右子树是顺序连在一起的，故无法区分出左右子树来，那么也就无法确定一棵二叉树了。

2．阅读下列二叉树算法。每个节点有二个域：lchild，element，rchild。

(1)对以p为根的二叉树执行什么功能？

(2)以下图所示的二叉树调用此算法，则的执行结果是什么？

图

(3)执行中，堆栈s中元素个数最多时为多少？给出该时刻栈中元素的情况。

【答案】(1)其功能是调换二叉树的每个结点的左右子树。

(2)执行的结果如下图所示。

图

(3)堆栈s中元素个数最多时为二叉树的深度。此时桟中的元素是未被访问的指向左子树的根结点的指针。

3．用置换-选择排序法，产生文件F(长度为n)的初始归并段。设内存缓冲区的长度为m，问:

(1)平均情况下，初始归并段的长度为多少？为什么?

(2)初始归并段的长度最长与最短时，其长度分别为多少？在何种情况下出现，简单解释一下。

【答案】(1)平均情况下，初始归并段的长度为2m。这个证明是E.F.Moore在1961年从置换-选择排序和扫雪机的类比中得出的。

假设一台扫雪机在环形路上匀速行进扫雪，下雪的速度也是均匀的(即每小时落到地面上的雪量相等)，雪均匀地落在扫雪机的前、后路面上，边下雪边扫雪。显然，在某个时刻之后，整个系统达到平衡状态，路面上的积雪总量不变。且在任何时刻，整个路面上的积雪都形成一个均匀的斜面，紧靠扫雪机前端的积雪最厚，其深度为，而在扫雪机刚扫过的路面上的积雪深度为零。

若将环形路伸展开来，假设此刻路面积雪的总体积为，环形路一圈的长度为，由于扫雪机在

任何时刻扫走的雪的深度均为，则扫雪机在环形路上走一圈扫掉的积雪体积为，即。

把置换-选择排序和此类比，工作区中的记录好比路面的积雪，输出的MINIMAX记录好比扫走的雪，重新输入的记录好比新下的雪，当关键字为随机数的时候，新记录的关键字比MINIMAX 大或小的概率相等。若大，则属于当前的归并段(好比落在扫雪机前面的积雪，在这一圈中将被扫走)；若小，则属于下一归并段(好比落在扫雪机后面的积雪，在下一圈中不能扫走)。所以，得到一个初始归并段好比扫雪机走了一圈。假设工作区的容量为w,那么置换置换一选择排序所得到的初始归并段长度的期望值便为。

(2)当置换-选择排序的缓冲区容量有一定宽度，使得初始顺串形成时，若其输入文件为基本有序(如递增次序)，即置换进入中的记录关键字大于刚选出的，则可获得最长的初始顺串。此时，最长初始顺串长度为输入文件的长度值，即。

若输入文件为基本逆序时，即置换进入中的记录关键字小于刚选出的，则可使得初始顺串最短。其初始顺串长度为宽度值。

4．在一棵表示有序集S的二次搜索树(Binary Search Tree)中，任意一条从根到叶子结点的路径将S分为3部分：在该路径左边结点中的元素组成集合S1;在该路径上的结点中的元素组成集合S2;在该路径右边结点中的元素组成集合S3。。对于任意的，是否总有？为什么？

【答案】按照A、B和C的划分，对于任意的，在B中一定可找到a的最近祖先，记为d，a在d的左子树中。有四种可能：①b=d。这时，因而成立；②d在b的左子树中，这时，因而成立；③d在b的右子树中，这时由于a也在b的右子树中，有，因而

不成立；④b在d的右子树中，这时，因而成立。因此，可得出结论，不成立，原因是d可能在d的右子树中。

对于任意的和，也有对称的结论，不成立。

对于任意的和，按照A、B和C的划分，可设d和e是B中分别为a和c在B中最近祖先，a和c分别在d的左子树和e的右子树中。有两种可能：①d在e的左子树中，这时有，即成立；②e在d的右子树中，这时，即成立。因此，无论如何成

立。