山东省泰安市2019-2020学年高一上学期期末数学试题及答案
山东省泰安市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
高一年级考试数学试题一、单项选择题1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A. {}1,6 B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C 【解析】 【分析】先求U A ð，再求U B A I ð．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2.设p：x >q ：22x >，则p 是q 的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式22x >，根据集合的包含关系，可得到答案. 【详解】解：因为q ：22x >，所以q ：x >x <因为p ：x >所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：B【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.3.已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1b a+的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 10【答案】C 【解析】 分析】 变换141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开利用均值不等式得到答案. 【详解】∵0a >，0b >，41a b +=，∴141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4559ab ab =+++=…，当且仅当4,41ab aba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,36a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”. 故答案选C【点睛】本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.4.函数()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+的两个零点分别位于区间（ ） A. ()1,0-和()0,1内 B. (),1-∞-和()1,0-内 C. ()0,1和()1,+∞内 D. (),1-∞-和()1,+∞内【答案】A 【解析】 【分析】将()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+进行整理化简，可得()y f x =为二次函数，求出零点即可. 【详解】解：()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+231x =-， 令()0f x =，解得：3x =±，因为(1,0)-(0,1) 【故选：A.【点睛】本题考查了函数零点问题，判断函数零点所在范围，可以将零点求出判断，也可以利用函数零点存在定理解决.5.已知2ln 3a =，22log 32b =，0.245c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. a c b <<【答案】A 【解析】 【分析】先将数据进行化简，然后利用中间值进行求解.【详解】解：由题得，22log 3223b ==， 因为213<， 所以2ln 03a =<，因为0.20-<， 所以0.24()15->，所以，0.22401()35a c -<<<<=，即abc << 故选：A【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小常见的方法是作差求解，单调性求解，中间值法求解等等. 6.函数422y x x =-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再使用特殊值进行判断. 【详解】解：42()2f x x x =-的定义域为R ，4242()()2()2()f x x x x x f x -=---=-=，所以函数为偶函数，故正确答案在A 、B 中， 当1x =时，(1)121f =-=-， 故选：B【点睛】判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选. 7.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A. 50-B. 0C. 2D. 50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．8.若函数()()222,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ） A. []0,17 B. (],17-∞ C. []1,17 D. [)1,+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】要求函数()f x 的最大值，可先分别探究函数()122,1xf x x =+≤与()()22log 1,1f x x x =->的单调性，从而得到()f x 的最大值．【详解】易知()122,1xf x x =+≤在(],1-∞上单调递增，()()22log 1,1f x x x =->()1,+∞上单调递增.因为()14f =，()174f =，所以a 的取值范围为[]1,17.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.二、多项选择题9.已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则（ ） A. tan 0θ< B. 24tan 9θ>C. 22sin cos θθ>D. sin20θ>【答案】AB 【解析】 【分析】求解出cos θ、tan θ，对选项逐一判断. 【详解】解：因为2sin 3θ=-，且cos 0θ>，所以cos 3θ==，tan θ=A 正确； 244tan 59θ=>，B 正确； 24sin 9θ=，25cos 9θ=，22sin cos θθ<，C 不正确；sin 22sin cos 0θθθ==<，D 不正确； 故选：AB【点睛】本题考查了同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键. 10.已知01a b <<<，则下列不等式成立的是（ ）A. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ln ln a b >C.11a b> D.11ln ln a b> 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.【详解】解：因为01a b <<<，1()2xy =为减函数，所以1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为01a b <<<，ln y x =为增函数， 所以ln ln 0a b <<， 又因为1y x=在区间(),0-∞上为减函数，在区间()0,∞+上也为减函数， 所以11ln ln a b >，同理可得，11a b>， 故选：ACD【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.11.若定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三条： （ⅰ）对任意的[0,1],x ∈总有()0;f x ≥（ⅱ）(1)1;f =（ⅲ）若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤则有1212()()().f x x f x f x +≥+就称()f x 为“A 函数”，下列定义在[]0,1的函数中为“A 函数”的有_______________①()f x x =；②()21;xf x =-③12()log (1);f x x =+④2()log (1).f x x =+ 【答案】①② 【解析】 【分析】根据具体的函数解析式判断是否满足三个条件即可.【详解】①显然()f x x =在[0，1]满足条件①()f x x =≥0；也满足条件②f （1）=1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则f (x 1+x 2)−[f (x 1)+ f (x 2)]＝(x 1+x 2)− (x 1+ x 2)≥0，即满足条件③，故f （x ）为A 函数．②显然()f x =2x -1在[0，1]满足条件①g（x ）≥0；也满足条件②g（1）=1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则g(x 1+x 2)−[g(x 1)+g(x 2)]＝2x 1+x 2−1−[(2x 1−1)+(2x 2−1)]=2x 1+x 2−2x 1−2x 2+1＝(2x 2−1)(2x 1−1)≥0，即满足条件③，故f （x ）为A 函数．③显然()()12log 1f x x =+在[0，1]不满足条件①f （x ）≥0,()()12log 1f x x =+不为A 函数．④显然()()2log 1.f x x =+在[0，1]满足条件①f （x ）≥0；也满足条件②f （1）=1． 若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝()()121222212121211log log log 10111x x x x x x x x x x ++++==≤=+⋅+⋅+++不满足条件③，故f （x ）不为A 函数．【点睛】本题是考查新定义的题目，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件，注意性质的灵活运用． 12.已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意实数对()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ）A. ()21,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B. (){},sin 1M x y y x ==+ C. (){},22xM x y y ==-D. (){}2,log M x y y x ==【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断. 【详解】选项A ：任取()11,x y M ∈，则1211y x =，取211x x =-，故212121112221121111111()?()?0x x y y x x x x x x x x +=-+=-+=， 所以存在这样的211x x =-使得12120x x y y +=成立，选项A 正确； 选项B ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线sin 1y x =+均有交点， 选项B 是正确的；选项C ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线22xy =-均有交点， 选项C 是正确的；选项D ：在函数2log y x =上取点(1,0)时，若存在22(,)x y 使得12120x x y y +=成立， 则221?0?0x y +=，则一定有20x =，不满足函数的定义域， 故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D 不正确； 故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13.计算：7lg142lg lg 7lg183-+-=__________， 【答案】0 【解析】 法一：7lg142lglg 7lg183-+- 2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg7237232lg lg lg lg =+-++--0=．法二： 7lg142lglg 7lg183-+- 27lg14lg lg 7lg183⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2147lg7183⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭lg1=0=．故答案为014.命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______． 【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠ 【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.15.已知幂函数()y f x =的图象过点((),9f =则______． 【答案】3 【解析】【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案． 【详解】设幂函数()(f x x αα=为常数)，Q 幂函数()y f x =的图象过点(，3α=，解得12α=． ()f x ∴= ()93f ∴==．故答案为3．【点睛】本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键．16.已知函数()cos3f x x a x a =-+，且239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a =______，函数()f x 的单调递增区间为______.【答案】 (1). 1 (2). ()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）由等式239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求解， （2）将（1）结果代入化简得()2sin(3)16f x x π=-+，然后根据复合函数的单调性求解单调区间.【详解】（1）因为239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以222()cos 3933f a a πππ=-+=， 解得：1a =；（2）将1a =代入，得()cos31f x x x =-+， 化简得()2sin(3)16f x x π=-+，故232262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈解得：2229393k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈，的故函数()f x 的增区间为：()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1；()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了两角和差公式的逆运用，即辅助角公式，同时也考查了三角函数的单调区间问题.四、解答题17.已知集合{}{}225120,31(0)xA x x xB y y x =--≥==+>.（1）求集合A B I ,()R C A B ⋃；（2）若集合{}22C x m x m =-≤≤且()R C A C C =I ,求m 的取值范围.【答案】（1）{}|4x x ≥,32x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式解法化简集合A ，利用指数函数的性质化简集合B ，从而可求出R C A ，再利用集合交集与并集的定义求解即可；（2）()R C A C C ⋂=等价于()R C C A ⊆，结合（1）的结论，利用集合的包含关系，分两种情况讨论，分别列不等式组求解即可求得m 的取值范围. 试题解析：（1）()()2325120234042x x x x x x --≥⇒+-≥⇒≥≤-或, ∴342A x x x ⎧⎫=≥≤-⎨⎬⎩⎭或，{}2B y y =>,∴{}()34,2R A B x x C A B x x ⎧⎫⋂=≥⋃=>-⎨⎬⎩⎭.（2）∴()R C A C C ⋂=，()R C C A ⊆，342R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭, 当C =∅时，22,2m m m -><-即时满足()R C C A ⊆∴2m <-;的当C ≠∅时，要使()R C C A ⊆，则22231122222242m m m m m m m m -≤≥-⎧⎧⎪⎪⎪⎪->-⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩⎩综上所述，()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃⎪⎝⎭. 18.在①函数3f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数；②当3x π=时，()f x =；③23π是函数()f x 的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π，______. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.【答案】（1）选条件①②③任一个，均有()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）选条件①②③任一个，函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间均为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为π，得到ω；再选择一个条件求解出ϕ； （2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间. 【详解】解： Q 函数()f x 的图象相邻对称轴间的距离为π，22T ππω∴==，1ω∴=，()()2sin f x x ϕ∴=+.方案一：选条件①2sin 33f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 为奇函数，2sin 033fππϕ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：3k πϕπ=+，k Z ∈.（1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；方案二：选条件②2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2k ϕπ∴=，k Z ∈或23k πϕπ=+，k Z ∈，（1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；方案三：选条件③23πQ 是函数()f x 的一个零点，222sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 23k πϕπ∴=-，k Z ∈. （1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤.∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解ω的值，即要找出周期，求ϕ常见方法是代入一个点即可.19.已知函数f (x )＝sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭·sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭sin x cos x (x ∈R)． (1)求f 6π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)在△ABC 中，若f 2A ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，求sin B ＋sin C 的最大值．【答案】（1）1（2【解析】【详解】（1）∵()sin sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos2sin2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.∴16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）由sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0A π<<可得：62A ππ+=，即3A π=.∴23sin sin sin sin sin 326B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵203B π<<，∴51,sin 166626B B ππππ⎛⎫<+<<+≤ ⎪⎝⎭，∴sin sin B C +. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.20.已知函数()221xx f x m =+-，m R ∈.（1）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）存在，12m =- 【解析】 分析】（1）利用作差法证明函数的单调性； （2）利用奇偶性的定义求解m 的值. 【详解】解：（1）()f x (),0-∞上单调递减，证明：()12,,0x x ∀∈-∞，且12x x <则()()()()()()12211212121212122212212222212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x m m ---⎛⎫⎛⎫-=+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭()()2112222121x x xx -=--，120x x <<Q ，120221x x ∴<<<，21220x x ∴->，1210x -<，2210x -<，()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴> ()f x ∴在(),0-∞上单调递减；（2）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-恒成立，即222121x x x x m m --+=----恒成立， 221212212121122121x x x x x x xx x m ---=--=--==------， 解得：12m =-，∴存在12m =-，使得()f x 为奇函数. 【【点睛】本题考查了函数的两大性质：单调性与奇偶性，刚学性质时，解决性质问题常见的方法是定义法. 21.某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，()210100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，()100005014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【答案】（1）2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100百件 【解析】 【分析】（1）根据收益=总收入-成本，进行分情况讨论，构建出分段函数； （2）对分段函数每一段进行研究最大值，然后再求出整个函数的最大值.【详解】解：（1）当030x <<时，22500101002500104002500y x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000500501450025002000y x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭； 2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）当030x <<时，()210201500y x =--+，∴当20x =时，max 1500y =； 当30x ≥时，100002000200020002001800y x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，max 18001500y =>. ∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.【点睛】本题考查了数学建模问题、分段函数最值问题，数学建模要能准确地从题意中抽象出函数模型，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论。
2019-2020学年山东省泰安市高三上期末数学测试卷(理)(含答案)
山东省泰安市高三（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．1203．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（ ）A． B．C．D．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c ，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a 的最小值．17．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，EF ∥AD ，FA ⊥面ABCD ，AB=AF=EF=1，AD=2，AC 交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF ∥面ECD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣EC ﹣A 的大小．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积； （Ⅱ）求科技园区面积的最大值．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 21．已知函数f （x ）=lnx+ax 在点（t ，f （t ））处切线方程为y=2x ﹣1 （Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）若，证明：当x ＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得：．2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}【考点】Venn 图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ，根据集合的运算求解即可． 【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ， ∵C U A={4，6，7，8}， ∴（C U A ）∩B={4，6}． 故选B ．2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．120 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根，解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8，由此求出公差，从而能求出a 11+a 12+a 13的值．【解答】解：∵{a n }是公差为正数的等差数列，a 1+a 3=10，且a 1a 3=16， ∴a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根， 解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8， ∴2+2d=8，解得d=3，∴a 11+a 12+a 13=3a 1+33d=3×2+33×3=105． 故选：C ．3．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D 、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确； 故选：A ．5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集． 【解答】解：由于|x ﹣5|+|x+1|表示数轴上的x 对应点到5、﹣1对应点的距离之和， 而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8， 故不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6）， 故选：B ．6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c 代入椭圆，解得y=±．由于△MNF 2为等腰直角三角形，可得=2c ，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c 代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF 2为等腰直角三角形，∴=2c ，即a 2﹣c 2=2ac ，由e=，化为e 2+2e ﹣1=0，0＜e ＜1． 解得e=﹣1+．故选C ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f （x ）的图象可得在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减，y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y 轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断． 【解答】解：由f （x ）的图象可得，在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减， 即有导数小于0，可排除C ，D ；再由y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数f （x ）递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A ； 则B 正确． 故选：B ．8．已知实数a ，b 满足2a =3，3b =2，则函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间是（ ） A ．（﹣2，﹣1） B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f （0）=1﹣log 32＞0，f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，判定即可． 【解答】解：∵实数a ，b 满足2a =3，3b =2， ∴a=log 23＞1，0＜b=log 32＜1， ∵函数f （x ）=a x +x ﹣b ，∴f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增， ∵f （0）=1﹣log 32＞0f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间（﹣1，0）， 故选：B ．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，故 T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由题意可得，当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，即 sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：B．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值．【解答】解：cos2α+cos（+2α）=，则：，则：，整理得：3tan2α+20tanα﹣7=0，所以：（3tanα﹣1）（tanα+7）=0解得：tan或tanα=﹣7，由于：α∈（0，），所以：．故答案为：12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分， 由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°， 又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ﹣4 ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得f （x ）=x 2+2x ，可得图象关于x=﹣1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x ≠﹣1）的图象关于直线x=﹣1对称，进而可得四个根关于直线x=﹣1对称，由此可得其和． 【解答】解：由题意可得f （x ）=x*2=x 2+2x ， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣1， 函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到， 而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y 轴对称， 故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=﹣1对称，故方程为f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4， 也关于直线x=﹣1对称，不妨设x 1与x 2对称，x 3与x 4对称， 必有x 1+x 2=﹣2，x 3+x 4=﹣2，故x1+x2+x3+x4=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A ＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而tanA=，由于0＜A＜π，所以A=．…4分（Ⅱ）由题意可得：=+•（﹣）﹣=+﹣•﹣=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∵bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…12分17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，∵点P为矩形ABCD对角线交点，∴在△ACD中，PG AD，又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF PG，∴四边形EFPG是平行四边形，∴FP∥EG，又FP⊄平面ECD，EG⊂平面ECD，∴FP∥平面ECD．解：（Ⅱ）由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），∴=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，0），取FB中点H，连结AH，则=（），∵=0， =0，∴AH⊥平面EBC，故取平面AEC法向量为=（），设平面AEC 的法向量=（x ，y ，1），则，∴=（2，﹣1，1），cos ＜＞===，∴二面角B ﹣EC ﹣A 的大小为．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得a n =a 1q n ﹣1=2n ；再由n 换为n+1，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求b n ；（Ⅱ）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和． 【解答】解：（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0）， 由题意可得a 1+a 1q=6，a 1+a 1q+a 1q 2+a 1q 3=30， 解得a 1=q=2（负的舍去）， 可得a n =a 1q n ﹣1=2n ； 由b n •b n+1=a n =2n ，b 1=1， 可得b 2=2，即有b n+1•b n+2=a n =2n+1，可得=2，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，即有b n =；（Ⅱ）当n 为偶数时，前n 项和为T n =（1+2+..+）+（2+4+..+）=+=3•（）n ﹣3；当n 为奇数时，前n 项和为T n =T n ﹣1+=3•（）n ﹣1﹣3+=（）n+3﹣3．综上可得，T n =．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积； （Ⅱ）求科技园区面积的最大值．【考点】扇形面积公式；弧度制的应用．【分析】（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB 所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC 地块的面积；（Ⅱ）设出点D 为（x ，x 2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF 的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示；则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），则点B（2，4a），又|BC|==2，解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；又x2=x3=，∴此曲边三角形ABC地块的面积为﹣x2=×（8+4）×2﹣=；S梯形ACBM（Ⅱ）设点D（x，x2），则F（0，x2），直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，∴E（x，8﹣2x），|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）=x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，令S′（x）=0，解得x=或x=﹣2（不合题意，舍去）；当x∈（0，）时，S（x）单调递增，x∈（，2）时，S（x）单调递减，∴x=时，S（x）取得最大值是S （）=﹣﹣+8×=；∴科技园区面积S 的最大值为．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB 的斜率k 2=﹣，由此能证明k •k ′为定值﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2， +=1，a 2﹣b 2=c 2， 解得b=1，即有椭圆方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k 1（x ﹣1）， 由，可得：（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，因为点B （1，0）在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交， 即△＞0恒成立．设点E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=．因为直线AE 的方程为：y=（x ﹣2），直线AF的方程为：y=（x﹣2），令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，（+））．直线PB的斜率为k2==（+）=•=•=•=﹣．所以k1•k2为定值﹣．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x，使得：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x ﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x，使得：．运用转化思想可令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，解得a=t=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f （x ）=lnx+x ，要证当x ＞1时，，即证lnx ＞k （1﹣）﹣1（x ＞1）， 即为xlnx+x ﹣k （x ﹣3）＞0，可令g （x ）=xlnx+x ﹣k （x ﹣3），g ′（x ）=2+lnx ﹣k ，由，x ＞1，可得lnx ＞0，2﹣k ≥0，即有g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）递增， 可得g （x ）＞g （1）=1+2k ≥0，故当x ＞1时，恒成立；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，假设存在正数x 0，使得：．由e f （x0+1）﹣2x0﹣1+x 02=e ln （x0+1）﹣x0+x 02=（x 0+1）•e ﹣x0+x 02．即对于b ∈（0，1），存在正数x 0，使得（x 0+1）•e ﹣x0+x 02﹣1＜0， 从而存在正数x 0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H （x ）=（x+1）•e ﹣x +x 2﹣1，H ′（x ）=e ﹣x ﹣（x+1）•e ﹣x +bx=x （b ﹣e ﹣x ）， 令H ′（x ）＞0，解得x ＞﹣lnb ，令H ′（x ）＜0，解得0＜x ＜﹣lnb ， 则x=﹣lnb 为函数H （x ）的极小值点，即为最小值点．故H （x ）的最小值为H （﹣lnb ）=（﹣lnb+1）e lnb +ln 2b ﹣1=ln 2b ﹣blnb+b ﹣1，再令G （x ）=ln 2x ﹣xlnx+x ﹣1，（0＜x ＜1），G ′（x ）=（ln 2x+2lnx ）﹣（1+lnx ）+1=ln 2x ＞0，则G （x ）在（0，1）递增，可得G （x ）＜G （1）=0，则H （﹣lnb ）＜0．故存在正数x 0=﹣lnb ，使得．。
人教A版2019-2020学年山东省泰安市高三上学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高三上学期期末数学试卷一、选择题1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4} B．{x|1＜x＜4} C．{1，2，3} D．{2，3}2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2 C．i D．13．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3 D．﹣4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若，则a+2b的最小值为（）A．6 B．C．3 D．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺，则夏至的晷长为尺．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝，的最小值为．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①函数f（x）＝sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，g（x）图象关于原点对称；②向量＝（sinωx，cos2ωx），＝（cosωx，），ω＞0，f（x）＝•；③函数（ω＞0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知，函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为．（1）若0＜θ＜，求f（θ）的值；（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a5＝12，S4＝16．（1）求{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝为数列{b n}的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T k＝3T m2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC为等腰直角三角形，∠APC＝90°，△ABC为正三角形，D为A的中点，AC＝2．（1）证明：PB⊥AC；（2）若三棱锥P﹣ABC的体积为，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．20．如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，∠A＝90°，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE＝α，试求花卉种植面积S（α）的取值范围．21．已知椭圆E：的离心率e满足2e2﹣3e+2＝0，右顶点为A，上顶点为B，点C（0，﹣2），过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．（1）求椭圆E的方程；（2）证明：S△BOM•S△BCN为定值．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax．（1）当a＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）≤1；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣．有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：h（x1）+h（x2）＞2．参考答案一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4} B．{x|1＜x＜4} C．{1，2，3} D．{2，3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．解：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜4}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≤1}，∴∁U B＝{x|x＞1}，A∩（∁U B）＝{2，3}．故选：D．2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2 C．i D．1【分析】根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可．解：依题意，因为复数z满足，所以z＝＝＝i，所以|z|＝1，故选：D．3．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3 D．﹣【分析】先求得得＝＝（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论．解：由题意可得＝＝（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m＝﹣3，故选：C．4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得f（x）为奇函数，排除B，结合函数的解析式可得当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除C，当x＞1时，f（x）＞0，排除D；据此即可得答案．解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B，当0＜x＜1时，ln|x|＝lnx＜0，x3＞0，则有f（x）＜0，排除C，当x＞1时，ln|x|＝lnx＞0，x3＞0，则有f（x）＞0，排除D，故选：A．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设f（x）＝a sin x+1，分类求得函数的值域，由∃x0∈R，a sin x0+1＜0求得a 的范围，可知“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的不必要条件；取，当a ＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立，说明“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分条件．解：必要性：设f（x）＝a sin x+1，当a＞0时，f（x）∈[1﹣a，1+a]，∴1﹣a＜0，即a＞1；当a＜0时，f（x）∈[1+a，1﹣a]，∴1+a＜0，即a＜﹣1．故a＞1或a＜﹣1；充分性：取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立．∴“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分不必要条件．故选：A．6．若，则a+2b的最小值为（）A．6 B．C．3 D．【分析】，变形log3（2a+b）＝1+log3ab，可得a，b＞0，+＝3，可得a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++），利用基本不等式的性质即可得出．解：，∴log3（2a+b）＝1+log3ab，∴2a+b＝3ab，a，b＞0．化为：+＝3．则a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++）≥（5+2×2）＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号．故选：C．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离d＝r，列方程求出离心率e＝的值．解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，圆C：x2+y2﹣10y+21＝0化为标准方程是：x2+（y﹣5）2＝4，则圆心C（0，5）到直线bx﹣ay＝0的距离为d＝r；即＝＝2，解得＝，即双曲线的离心率是e＝．故选：C．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得，：r＝，∴r＝2，即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可．解：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，所以A不正确；若ab＞0，bc﹣ad＞0，可得，即﹣＞0，所以B正确；若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，所以C正确；若a＞b，c＞d＞0，则．不正确，反例a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝﹣3，显然，，所以D不正确．故选：BC．10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论．解：A．由m∥n，m⊥α，则n⊥α，正确；B．由m∥α，α∩β＝n，则m与n的位置关系不确定；C．由m⊥α，m⊥β，则α∥β正确D．由m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，因此不正确．故选：AC．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．【分析】利用向量的加法法则，先用，进而表示出．解：由AB＝2AD＝2DC知：∵，∴＝＝，故A选项正确．又∵，∴＝＝＝，故B选项正确．∵，∴＝，故C正确．∵＝＝，D不正确．故选：ABC．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，进而判断出结论．解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝．可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝ 4 ．【分析】先由余弦定理求出cos A的值，结合正弦定理进行化简即可．解：由b2+c2﹣a2＝bc得cos A＝＝＝，则sin A＝，若，则+＝＝1，即+＝1，得＝，得tan B＝4，故答案为：4．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺，则夏至的晷长为 1.5 尺．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，能求出夏至的晷长．解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列{a n}，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺，∴，解得d＝1，a1＝1.5．∴夏至的晷长为1.5尺．故答案为：1.5．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝8 ，的最小值为．【分析】先有焦点坐标求出p，再讨论当直线l的斜率不存在时，求出答案，当直线l 的斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出+＝，代入，根据基本不等式即可求最小值解：抛物线y2＝2px的焦点F，因为F（4，0），∴＝4⇒p＝8⇒y2＝16x；当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4，由，可得M（4，8），N（4，﹣8），∴|MF|＝|NF|＝8，∴＝﹣＝；当直线l的斜率存在时，设过点F作直线l的方程为y＝k（x﹣4），不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得k2x﹣（16+8k2）x+16k2＝0，∴x1+x2＝8+，x1x2＝16，∴|MF|＝x1+＝x1+4，|NF|＝x2+＝x2+4，∴+＝+＝＝＝．∴＝﹣4（﹣）＝+﹣1≥2﹣1＝．（当且仅当|NF|＝时等号成立）．故答案为：8，．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是{a|a≤2e﹣1} ．【分析】由已知可得f（x）＝e x﹣x+t，且f（t）＝e t，进而可求t及f（x），然后代入已知不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化可求．解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①函数f（x）＝sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，g（x）图象关于原点对称；②向量＝（sinωx，cos2ωx），＝（cosωx，），ω＞0，f（x）＝•；③函数（ω＞0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知选条件①，函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为．（1）若0＜θ＜，求f（θ）的值；（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】首先利用对称轴之间的距离求出函数的周期，进一步利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值和单调区间．解：方案一：选条件①由题意可知，，∴ω＝1，∴，∴．又函数g（x）图象关于原点对称，∴，∵，∴，∴．（1）∵，∴，∴＝＝．（2）由解得．令令，∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间为．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a5＝12，S4＝16．（1）求{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝为数列{b n}的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T k＝3T m2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用已知条件列出方程求解首项与公差，得到通项公式．（2）求出，化简{b n}的通项公式，利用裂项消项法求和，通过，分析求解即可．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，解得∴．（2），∴．∴T n＝b1+b2+…+b n＝＝＝．若，则整理得，又k＞m＞1∴整理得解得，又m∈N*∴m＝2，∴k＝12．∴存在m＝2，k＝12满足题意．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC为等腰直角三角形，∠APC＝90°，△ABC为正三角形，D为A的中点，AC＝2．（1）证明：PB⊥AC；（2）若三棱锥P﹣ABC的体积为，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【分析】（1）证明PD⊥AC．BD⊥AC．然后证明AC⊥平面PBD．即可证明PB⊥AC．（2）说明PD⊥平面ABC，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PBC的一个法向量，平面PAC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：∵△PAC为等腰直角三角形，D为中点，∴PD⊥AC．又△ABC为正三角形，D为中点，∴BD⊥AC．又PD∩BD＝D，PD，BD平面PBD，∴AC⊥平面PBD．又PB平面PBD，∴PB⊥AC．（2）解：设三棱锥P﹣ABC的高为h，，∴＝＝，∴h＝1．又，∴PD⊥平面ABC，如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则∴，设＝（x，y，z）为平面PBC的一个法向量，则令，∴，又是平面PAC的一个法向量，∴，∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．20．如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，∠A＝90°，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE＝α，试求花卉种植面积S（α）的取值范围．【分析】由题意在△BDE中由正弦定理得，在△DCF中由正弦定理得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BDE+S△DCF＝，进而可求S（α）＝，结合题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解花卉种植面积S （α）取值范围．解：在△BDE中，∠BED＝，由正弦定理得，∴，在△DCF中，，由顶线定理得，∴，∴＝＝＝＝＝＝＝＝＝，∴S（α）＝S△ABC﹣（S△BDE+S△DCF）＝，∴AEDF为四边形区域，∴，∴，∴，∴，∴花卉种植面积S（α）取值范围是．21．已知椭圆E：的离心率e满足2e2﹣3e+2＝0，右顶点为A，上顶点为B，点C（0，﹣2），过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．（1）求椭圆E的方程；（2）证明：S△BOM•S△BCN为定值．【分析】（1）由求出离心率，结合AC的斜率，转化求解a，b，即可得到椭圆方程．（2）设直线l的方程为y＝kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）由得（2k2+1）x2﹣8kx+6＝0，利用韦达定理以及弦长公式，结合三角形的面积，转化求解即可．解：（1）由解得，∴，又，∴，∴b＝1，∴椭圆E的方程为．（2）由题知，直线l的斜率比存在，设直线l的方程为y＝kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）由得（2k2+1）x2﹣8kx+6＝0，△＝（﹣8k）2﹣4×6×（2k2+1）＝16k2﹣24＞0，∴，直线BP的方程为，令y＝0解得∴，同理可得，，y1y2＝（kx1﹣2）（kx2﹣2）＝k2x1x2﹣2k（x1+x2）+4＝，∴＝＝＝，∴S△BOM•S△BON为定值．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax．（1）当a＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）≤1；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣．有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：h（x1）+h（x2）＞2．【分析】（1）先求得g（a），再利用导数研究函数g（a）的最值即可；（2）先得到a＞1，且x1＜0＜x2，再转化得到，构造新函数m（x）＝e x+e﹣x﹣x2（x≥0），即可得证．【解答】证明：（1）f'（x）＝e x﹣a（a＞0），令f'（x）＝0，解得x＝lna，当x＞lna时，f'（x）＞0，当x＜lna时，f'（x）＜0，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，∴g（a）＝a﹣alna（a＞0），令g（x）＝x﹣xlnx（x＞0），g'（x）＝﹣lnx，令g'（x）＝0，解得x＝1，∴当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）max＝g（1）＝1，∴g（x）≤1，∴当a＞0时，g（a）≤1；（2），h'（x）＝e x﹣a﹣x，令φ（x）＝e x﹣a﹣x，φ'（x）＝e x﹣1，令φ'（x）＝0，解得x＝0，当x＞0时，φ'（x）＞0，当x＜0时，φ'（x）＜0，∴φ（x）min＝φ（0）＝1﹣a，又函数h（x）有两个极值点，∴1﹣a＜0，∴a＞1，且x1＜0＜x2，当x∈（﹣∞，x1）时，h（x）单调递增，当x∈（x1，0）时，h（x）单调递减，∴当x∈（﹣∞，0）时，h（x）≤h（x1）又﹣x2∈（﹣∞，0），∴h（﹣x2）≤h（x1），∴，令m（x）＝e x+e﹣x﹣x2（x≥0），令n（x）＝m'（x），，∴n（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m'（x）＝n（x）≥n（0）＝0，∴m（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m（x）≥m（0）＝2，∵x2＞0，∴即h（﹣x2）+h（x2）＞2，∴h（x1）+h（x2）＞2．。
2019-2020学年山东省泰安市高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年山东省泰安市高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若α=−2018°，则()B. sinα=−√1−cos2αA. tanα=−sinαcosαC. cosα=−√1−sin2αD. tanα=cosαsinα2.问题：①某地区10000名中小学生，其中高中生2000名，初中生4500名，小学生3500名，现从中抽取容量为200的样本；②从1002件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查．方法：Ⅰ、随机抽样法Ⅱ、分层抽样法Ⅲ、系统抽样法．其中问题与方法配对较适宜的是()A. ①Ⅰ，②ⅡB. ①Ⅲ，②ⅠC. ①Ⅱ，②ⅢD. ①Ⅲ，②Ⅱ3.设圆和圆是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是()①②③④⑤A. ①③⑤B. ②④⑤C. ①②④D. ①②③4.若向量a，b满足|a|=|b|=|a+b|=1，则a·b的值为()A. −B.C. −1D. 15.已知扇形的面积为2cm2，扇形圆心角θ的弧度数是4，则扇形的周长为()A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm6.下列叙述正确的是()A. 对立事件一定是互斥事件B. 互斥事件一定是对立事件C. 若事件A，B互斥，则P(A)+P(B)=1D. 若事件A，B互为对立事件，则P(AB)=P(A)⋅P(B)7. 甲、乙两人进行三打二胜制乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为0.6，乙取胜的概率为0.4，那么最终甲胜乙的概率为( )A. 0.36B. 0.216C. 0.432D. 0.6488.已知F 1、F 2为双曲线C ：x²−y²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2=( )A.B.C.D.9.数列的前项n 和则 ( )A.B.C.D.10. 已知|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4且向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是π6，则向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影是( )A. −32B. 32C. −3√32 D. 3√3211. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若sinAsinBsinC =sinCsinAcosB +sinBsinCcosA ，则abc 2的最大值为( )A. √2B. √3C. 32D. 212. 已知函数f(x)=x 2⋅sinx.给出下列三个命题： (1)f(x)是定义域为R 的奇函数； (2)f(x)在[−π2,π2]上单调递增；(3)对于任意的x 1,x 2∈[−π2,π2]，都有(x 1+x 2)[f(x 1)+f(x 2)]≥0． 其中真命题的序号是( )A. (1)(2)B. (1)(3)C. (2)(3)D. (1)(2)(3)二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若抛物线y 2=6x 的准线被圆心为(−2,1)的圆截得的弦长等于√3，则该圆的半径为______ ．14. 已知α为锐角，cosα=√55，则tan(α+π4)= ______ ．15. 已知在直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =1，BC =2，那么AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于______ ；若AM 是BC 边上的高，点P 在△ABC 内部或边界上运动，那么AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，用茎叶图分别记录如图，则 (1)这种抽样方法是用 (1) 抽样法；(2)由茎叶图可看出 (2) 车间生产的产品的重量比较稳定．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 为两平面向量，且|e 1⃗⃗⃗ |=|e 1⃗⃗⃗ |=1，<e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ >=60°．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ −e 1⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −6e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)若a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2λe ⃗⃗ 2，b ⃗ =λe ⃗⃗ 1−e 2⃗⃗⃗ ，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，求实数λ的值．18. 已知直线l 的参数方程为：{x =√3+ty =3+√3t，(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−4ρsinθ+4=0． (Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|的值．19. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月2日 12月3日 12月4日 温差x(℃) 11 13 12 发芽数y(颗)253026(1)请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂； (2)该农科所确定的研究方案是：先用上面的3组数据求线性回归方程，再选取2组数据进行检验．若12月5日温差为8℃，发芽数16颗，12月6日温差为10℃，发芽数23颗．由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？注：b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i−x −)2=∑x i ni=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx2−,a ̂=y −−b ̂x −．20. (本小题满分12分)一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球分别记为A1、A2、A3；2个黑球分别记为B1、B2，从中一次摸出2个球．(Ⅰ)写出所有的基本事件；(Ⅱ)求摸出2球均为白球的概率21. (14分)设函数f(x)=A sin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，−π<φ≤π)在得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为(1)求f(x)的解析式；(2)用五点法作出f(x)一个周期上的图像；(3)说明由y=sinx的图像经过怎样的变换得到f(x)的图像。
山东省泰安市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
１４． １５．
已知复数 已知等边
△ｚ ＝Ａ３ＢＣ－，４Ｄｉ，为ｉ 为Ｂ虚Ｃ数中单点位，若，则点｜
ｚ ｚ｜ Ｍ
＝ ▲
是△ＡＢＣ
．
所在
平面上一点，且满足 ，则 · Ａ→Ｍ
＝
１ ３
Ａ→Ｄ
＋
１ ２
Ａ→Ｃ
Ａ→Ｂ Ｃ→Ｍ ＝
１６． 正某 截方 广正体▲场方截 内体去 设的．八置个了棱一一长样些是的石四凳５０面供ｃｍ体大，得则家到休石的息凳，，如这的图些表所石面示凳，积是若由为被
３． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 ８ 小题，每小题 ５ 分，共 ４０ 分． 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
１．
在复平面内，复数 ２ 对应的点位于 １ －ｉ
Ａ． 第一象限 Ｂ． 第二象限 Ｃ． 第三象限 Ｄ． 第四象限
， Ｂ． ｘ ＝ ｘ１ ｓ２ ＜ ｓ２１
， Ｃ． ｘ ＝ ｘ１ ｓ２ ＞ ｓ２１
， Ｄ． ｘ ＜ ｘ１ ｓ２ ＝ ｓ２１
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６． 等面如腰图图梯形所形的示面，Ｏ一Ａ积′个Ｂ为′水Ｃ′平，且放直置观的图平Ｏ面Ａ′图Ｂ′形Ｃ′的的面斜积二为测直２，观则图该是平
Ａ． ２
试卷类型：Ａ
山东省泰安市2019-2020学年高一下学期期末考试
数 学 试 题
２０２０ ７
注意事项： １． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 ２． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。
2019-2020学年人教A版山东省泰安市高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，6，7}，B＝{2，3，4，5}，则A∩∁U B＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}2．设p：x＞，q：x2＞2，则p是q成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A．4 B．6 C．9 D．104．函数f（x）＝（x+1）x+x（x﹣1）+（x﹣1）（x+1）的两个零点分别位于区间（）A．（﹣1，0）和（0，1）内B．（﹣∞，﹣1）和（﹣1，0）内C．（0，1）和（1，+∞）内D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）内5．已知a＝ln，，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b6．函数y＝x4﹣2x2的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．508．若函数，在（﹣∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为（）A．[0，17] B．（﹣∞，17] C．[1，17] D．[1，+∞）二、多项选择题9．已知，且cosθ＞0，则（）A．tanθ＜0 B．C．sin2θ＞cos2θD．sin2θ＞010．已知0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．B．lna＞lnbC．D．11．若定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三条：（i）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（ii）f（1）＝1；（iii）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．就称f（x）为“A函数”，下列定义在[0，1]的函数中，是“A函数”的有（）A．B．f（x）＝log2（x+1）C．f（x）＝x D．f（x）＝2x﹣112．已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（）A．B．M＝{（x，y）|y＝sin x+1}C．M＝{（x，y）|y＝2x﹣2} D．M＝{（x，y）|y＝log2x}三、填空题13．计算：lg14﹣2lg+lg7﹣lg18＝．14．命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是．15．已知幂函数y＝f（x）的图象过点＝．16．已知函数f（x）＝sin3x﹣a cos3x+a，且，则实数a＝，函数f （x）的单调递增区间为．四、解答题17．已知集合A＝{x|2x2﹣5x﹣12≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．（1）求集合A∩B，（∁R A）∪B；（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁R A）∩C＝C，求m的取值范围．18．在①函数为奇函数②当时，③是函数f（x）的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数，f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．19．已知函数f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）+sin x cos x（x∈R）．（1）求的值；（2）在△ABC中，若f（）＝1，求sin B+sin C的最大值．20．已知函数，m∈R．（1）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m，使得f（x）为奇函数？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本c（x）（单位：万元），当年产量不足30百件时，c（x）＝10x2+100x；当年产量不小于30百件时，c（x）＝501x+﹣4500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．（1）求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？22．若f（x）＝log a（x﹣2a）+log a（x﹣3a）（a＞0，且a≠1）．（1）当时，若方程在（2，3）上有解，求实数p的取值范围；（2）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单项选择题1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，6，7}，B＝{2，3，4，5}，则A∩∁U B＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7} 【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．解：集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，6，7}，B＝{2，3，4，5}，则∁U B＝{1，6，7}，所以A∩∁U B＝{6，7}．故选：C．2．设p：x＞，q：x2＞2，则p是q成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：q：x2＞2，解得x＞或x＜；若p：x＞成立，则q：x2＞2成立，反之，若q：x2＞2成立，则p：x＞未必成立；即p是q成立的充分不必要条件，故选：B．3．已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A．4 B．6 C．9 D．10【分析】直接利用关系式的恒等变换和均值不等式的应用求出结果．解：∵a＞0，b＞0，，∴＝，当且仅当时，即时取“＝”成立．故选：C．4．函数f（x）＝（x+1）x+x（x﹣1）+（x﹣1）（x+1）的两个零点分别位于区间（）A．（﹣1，0）和（0，1）内B．（﹣∞，﹣1）和（﹣1，0）内C．（0，1）和（1，+∞）内D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）内【分析】由零点存在性定理直接判断即可．解：由f（﹣1）＝2，f（0）＝﹣1，f（1）＝2，故f（﹣1）f（0）＜0，f（0）f（1）＜0，且二次函数f（x）在定义域上是一条连续不断的曲线，结合零点存在性定理可知，函数f（x）的零点在（﹣1，0）和（0，1）内，故选：A．5．已知a＝ln，，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．解：a＝ln＜ln＝，＝，＞1，则a＜b＜c．故选：A．6．函数y＝x4﹣2x2的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和对称性，利用特殊值进行排除即可．解：函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D当x＝1时，y＝1﹣2＝﹣1＜0．排除A，故选：B．7．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f （50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．8．若函数，在（﹣∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为（）A．[0，17] B．（﹣∞，17] C．[1，17] D．[1，+∞）【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可．解：函数，x∈（﹣∞，1]时，函数是增函数；x∈（1，+∞）函数是增函数，因为f（1）＝4，f（17）＝4，所以a的取值范围为：[1，17]．故选：C．二、多项选择题9．已知，且cosθ＞0，则（）A．tanθ＜0 B．C．sin2θ＞cos2θD．sin2θ＞0【分析】由同角三角函数的基本关系，求出cosθ及tanθ，进而得解．解：∵，且cosθ＞0，∴，∴，，，sin2θ＝2sinθcosθ＜0，故选：AB．10．已知0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．B．lna＞lnbC．D．【分析】利用不等式的性质和函数的性质分别判断个选择即可．解：A．∵0＜a＜b＜1，函数在（0，1）上单调递减，∴，故A正确；B．由0＜a＜b＜1，取a＝，可知，B不正确；C．∵0＜a＜b＜1，∴，故C正确；D．∵0＜a＜b＜1，函数y＝lnx在（0，1）上单调递增，∴lna＜lnb＜0，∴，故D正确．故选：ACD．11．若定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三条：（i）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（ii）f（1）＝1；（iii）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．就称f（x）为“A函数”，下列定义在[0，1]的函数中，是“A函数”的有（）A．B．f（x）＝log2（x+1）C．f（x）＝x D．f（x）＝2x﹣1【分析】利用“A函数”的定义分别判断给出的四个函数是否满足三个条件即可得答案．解：对于A，当x∈[0，1]时x+1∈[1，2]，则f（x）＝＜0，故f（x）＝不是“A函数”；对于B，f（x）＝log2（x+1），取，则f（x1+x2）＝f（1）＝log2（1+1）＝1，f（x1）+f（x2）＝2log2（+1）＝＞log22＝1，不满足若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），故f（x）＝log2（x+1）不是“A函数”；对于C，当x∈[0，1]时，总有f（x）＝x≥0，f（1）＝1，f（x1+x2）＝x1+x2＝f（x1）+f（x2），故f（x）＝x是“A函数”；对于D，f（x）＝2x﹣1，当x∈[0，1]时，总有f（x）≥0，f（1）＝1，若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f（x1+x2）﹣f（x1）﹣f（x2）＝2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]＝2x1+x2﹣2x1﹣2x2+1＝（2x1﹣1）（2x2﹣1）≥0，故f（x）为“A函数”．故选：CD．12．已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（）A．B．M＝{（x，y）|y＝sin x+1}C．M＝{（x，y）|y＝2x﹣2} D．M＝{（x，y）|y＝log2x}【分析】由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y＝f（x）上过任意一点A（x1，y1）与原点的直线，曲线y＝f（x）上都存在过点B（x2，y2）与原点的直线与之垂直，根据题意，对四个选项逐一分析即可得到答案．解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y＝f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．对于A，M＝{（x，y）|y＝}，其图象向左向右和x轴无限接近，向上和y轴无限接近，如图，在图象上任取一点A（x1，y1），连OA，过原点作OA的垂线OB必与y＝的图象相交，即一定存在点B（x2，y2），使得OB⊥OA成立，故M＝{（x，y）|y＝}是“垂直对点集”，故A正确．对于B，M＝{（x，y）|y＝sin x+1}，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y＝sin x+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y＝sin x+1的图象相交．所以M＝{（x，y）|y＝sin x+1}是“垂直对点集”，故B正确；对于C，M＝{（x，y）|y＝2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y＝2x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M＝{（x，y）|y＝2x﹣2}是“垂直对点集”，故C正确．对于D，M＝{（x，y）|y＝log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0＝0，因此集合M不是“垂直对点集”，故D不正确；故选：ABC．三、填空题13．计算：lg14﹣2lg+lg7﹣lg18＝0 ．【分析】利用对数的性质和运算法则求解．解：lg14﹣2lg+lg7﹣lg18＝lg14﹣lg49+lg9+lg7﹣lg18＝lg（）＝lg1＝0．故答案为：0．14．命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是∀x∈R，x2﹣x+1≠0 ．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．15．已知幂函数y＝f（x）的图象过点＝ 3 ．【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），∵幂函数y＝f（x）的图象过点，∴，解得．∴．∴．故答案为3．16．已知函数f（x）＝sin3x﹣a cos3x+a，且，则实数a＝ 1 ，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．【分析】由已知代入可求a，然后结合辅助角公式及正弦函数的性质即可求解．解：因为f（x）＝sin3x﹣a cos3x+a，且，所以＝+a＝3，解可得，a＝1，f（x）＝sin3x﹣cos3x+1＝2sin（3x﹣）+1，令3x﹣，k∈z，解可得，故答案为：1，[﹣]，k∈z，四、解答题17．已知集合A＝{x|2x2﹣5x﹣12≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．（1）求集合A∩B，（∁R A）∪B；（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁R A）∩C＝C，求m的取值范围．【分析】（1）化简集合A、B，根据交集与并集和补集的定义计算即可；（2）根据题意（∁R A）∩C＝C知C⊆∁R A，讨论C＝∅和C≠∅时，分别求出m的取值范围．解：集合A＝{x|2x2﹣5x﹣12≥0}＝{x|x≤﹣或x≥4}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}＝{y|y＞2}．（1）集合A∩B＝{x|x≥4}，∁R A＝{x|﹣＜x＜4}，∴（∁R A）∪B＝{x|x＞﹣}；（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}，且（∁R A）∩C＝C，∴C⊆∁R A，∴，解得＜m＜2；当C＝∅时，m﹣2＞2m，解得∴m＜﹣2；综上，m的取值范围是m＜﹣2或＜m＜2．18．在①函数为奇函数②当时，③是函数f（x）的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数，f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．【分析】方案一：由题意可求函数周期，利用周期公式可求ω，选条件①由题意可得，k∈Z，结合范围，可求，可得函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；方案二：选条件②，由题意可得，可求φ，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；方案三：选条件③，由题意可得，求得，k ∈Z，可求φ，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．解：∵函数f（x）的图象相邻对称轴间的距离为π，∴，∴ω＝1，∴f（x）＝2sin（x+φ）．方案一：选条件①∵为奇函数，∴，k∈Z，（1）∵，∴，∴．得，k∈Z，∴令k＝0，得，令k＝1，得，∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，，方案二：选条件②，∴，∴φ＝2kπ，k∈Z，或，k∈Z，（1）∵，∴，∴，（2）由，k∈Z，得，k∈Z，∴令k＝0，得，令k＝1，得，∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，，方案三：选条件③∵是函数f（x）的一个零点，∴，∴，k∈Z，（1）∵，∴，∴，得，k∈Z，∴令k＝0，得，令k＝1，得．∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，．故答案为：．19．已知函数f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）+sin x cos x（x∈R）．（1）求的值；（2）在△ABC中，若f（）＝1，求sin B+sin C的最大值．【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）+sin x cos x 化为：f（x）＝sin（2x+），即可求得f（）的值；（2）由A为三角形的内角，f（）＝sin（2A+）＝1可求得A＝，从而sin B+sin C ＝sin B+sin（﹣B），展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sin B+sin C的最大值．【解答】（1）∵f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）+sin x cos x＝cos2x+sin2x…＝sin（2x+），…∴f（）＝1．…（2）由f（）＝sin（A+）＝1，而0＜A＜π可得：A+＝，即A＝．∴sin B+sin C＝sin B+sin（﹣B）＝sin B+cos B＝sin（B+）．…∵0＜B＜，∴＜B+＜，＜sin（B+）≤1，∴sin B+sin C的最大值为．…20．已知函数，m∈R．（1）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m，使得f（x）为奇函数？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用单调性的定义直接证明即可；（2）假设存在，则恒成立，解出即可得出结论．解：（1）f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，证明：∀x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，则＝，∵x1＜x2＜0，∴，∴，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；（2）函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即恒成立，解得，∴存在，使得f（x）为奇函数．21．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本c（x）（单位：万元），当年产量不足30百件时，c（x）＝10x2+100x；当年产量不小于30百件时，c（x）＝501x+﹣4500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．（1）求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【分析】（1）根据题意，分段求函数解析式即可；（2）利用二次函数的性质结合基本不等式，分段求函数的最大值，再比较即可．解：（1）当0＜x＜30时，y＝500x﹣10x2﹣100x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500；当x≥30时，；∴；（2）当0＜x＜30时，y＝﹣10（x﹣20）2+1500，∴当x＝20时，y max＝1500；当x≥30时，，当且仅当，即x＝100时，y max＝1800＞1500，∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．22．若f（x）＝log a（x﹣2a）+log a（x﹣3a）（a＞0，且a≠1）．（1）当时，若方程在（2，3）上有解，求实数p的取值范围；（2）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）当时，若方程在（2，3）上有解，可得在（2，3）上有解，构造函数g（x）＝，解即可求得实数p 的取值范围；（2）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，分0＜a＜1与两类讨论，即可求得实数a的取值范围．解：（1）时，＝函数f（x）的定义域为．∵，∴．即，令＝，∵，∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴要使有解，则，∴．（2）．由题意知a+3＞3a，∴，∴，∴函数在区间[a+3，a+4]上单调递增．①若0＜a＜1，则f（x）在[a+3，a+4]上单调递减，∴f（x）在[a+3，a+4]上的最大值为．∵f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，∴，∴2a2﹣10a+9≥0，解得或．∴0＜a＜1．②若，则f（x）在[a+3，a+4]上单调递增，∴f（x）在[a+3，a+4]上的最大值为．∵f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，∴，∴2a2﹣13a+16≤0，解得，∵，∴此时，不存在a满足题意，综上，a的取值范围为（0，1）．。
山东省泰安市2019-2020学年高一上学期期末数学答案
62
3
20．解：（1） f x 在 , 0 上单调递减，
4
Egg Math
证明： x1, x2 , 0 ，且 x1 x2
则
f
x1
f
x2
2
2
x1
x1
1
m
2
2
x2
x2
1
m
2x2 2x1
2x1 1 2x2 1
x1 x2 0 ，
0 2x1 2x2 1
2x2 2x1 0 ， 2x1 1 0 ， 2x2 1 0
2
21．解：（1）当 0 x 30 时，
y 500x 10x2 100x 2500 10x2 400x 2500 ；
当 x 30 时，
y
500x
501x
10000 x
4500
2500
2000
x
10000 x
；
10x2 400x 2500, 0 x 30
y
2000
x
10000 x
Egg Math
一、单项选择题：
高一数学试题参考答案及评分标准 2020．1
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
C
A
A
B
二、多项选择题：
题号
9
10
11
答案
AB
ACD
CD
三、填空题：
13．0
14． x R ， x2 x 1 0
15．3
16．1，
2 3
k
9
,
2 3
k
2 9
k
Z
四、解答题：
17．解：（1）由 2x2 5x 12 0 解得
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
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3 sin 3x
−
a cos 3x
+
a
，且
f
2 9
=
3
，则实数 a
= ______，函数
f
(x)
的单调递
增区间为______． 四、解答题
17．已知集合 A = x 2x2 − 5x −12 0 ， B = y y = 3x +1, x 0 ．
（1）求 A B ， ( R A) B ； ( ) （2）若集合 C = x m − 2 x 2m ，且 R A C = C ，求实数 m 的取值范围．
A． f ( x) = log1 ( x +1)
2
C． f ( x) = x
B． f ( x) = log2 ( x +1) D． f ( x) = 2x −1
2
12．已知集合 M = ( x, y) y = f ( x) ，若对于任意实数对 ( x1, y1 ) M ，存在( x2, y2 ) M ，使
18．在①函数
f
x− 3 Nhomakorabea
为奇函数
②当 x = 时， f ( x) = 3
3
③ 2 是函数 f ( x) 的一个零点
3
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数
f
(x)
=
2sin (x
+ )
0, 0
2
，
f
(x)
的图象相邻两条对称轴间的距离为
三、填空题
13．计算： lg14 − 2lg 7 + lg 7 − lg18 = ______． 3
14．命题“ x R ， x2 − x +1 = 0 ”的否定是______．
( ) 15．已知幂函数 y = f ( x) 的图象过点 3, 3 ，则 f (9) 的值为______．
16．已知函数 f ( x) =
山东省泰安市 2019-2020 学年高一上学期期末考试
数学试题 2020．1
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
x1x2 + y1y2 = 0 成立，则称集合 M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ）
A． M
=
( x,
y)
y
=
1 x2
B． M = ( x, y) y = sin x +1
C． M = ( x, y) y = 2x − 2
D． M = ( x, y) y = log2 x
11．若定义域为0,1 的函数 f ( x) 同时满足以下三条：
（i）对任意的 x 0,1 ，总有 f ( x) 0 ；
（ii） f (1) = 1；
（iii）若 x1 0 ， x2 0 ， x1 + x2 1，则有 f ( x1 + x2 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) ． 就称 f ( x) 为“ A 函数”，下列定义在0,1 的函数中，是“ A 函数”的有（ ）
，______．
（1）求函数 f ( x) 的解析式；
（2）求函数 f ( x) 在0, 2 上的单调递增区间．
注：如果选择多个条件分另解答，按第一个解答计分．
19．已知函数
f
(
x)
=
sin
4
+
x
sin
4
−
x
+
3 sin x cos x ．
3
（1）求
f
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题
1．已知集合U = 1, 2,3, 4,5,6,7 ， A = 2,3,6,7 ， B = 2,3, 4,5 ，则 A ( U B) = （ ）
A．1, 6
B．1, 7
C． 6, 7
D．1, 6, 7
2．设 p ： x 2 ， q ： x2 2 ，则 p 是 q 的（ ）
A． tan 0
B． tan2 4 9
C． sin2 cos2
D． sin 2 0
10．已知 0 a b 1 ，则下列不等式成立的是（ ）
A．
1 2
a
1 2
b
B． ln a ln b
C． 1 1 ab
D． 1 1 ln a ln b
A． (−1, 0) 和 (0,1) 内
B． (−, −1) 和 (−1, 0) 内
C． (0,1) 和 (1, +) 内
D．(−, −1) 和 (1, +) 内
5．已知
a
=
ln
3 2
，
b
=
2log2
2 3
，
c
=
4 5
−0.2
，则（
）
A． a b c
B． b a c
A． −50
B．0
C．2
D．50
8．若函数
f
(x)
=
2x + log2
2, x 1
( x −1),
x
在 (−, a上的最大值为
1
4，则实数 a
的取值范围为（
）
A． (−,17
B．1, +)
C． 0,17
D．1,17
二、多项选择题
9．已知 sin = − 2 ，且 cos 0 ，则（ ） 3
C． b c a
6．函数 y = x4 − 2x2 的大致图象是（ ）
D． a c b
A．
B．
1
C．
D．
7．已知函数 f ( x) 是定义域为 (−, +) 的奇函数， f (1− x) = f (1+ x) ，若 f (1) = 2 ，则
f (1) + f (2) + + f (50) = （ ）
A．充要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知正实数 a ， b 满足 a + 4 = 1，则 1 + b 的最小值为（ ）
b
a
A．4
B．6
C．9
D．10
4．函数 f ( x) = ( x +1) x + x ( x −1) + ( x −1)( x +1) 的两个零点分别位于区间（ ）
6
的值；
（2）在 △ ABC
中，若
f
A 2
=
1，求 sin
B
+
sin
C
的最大值．
20．已知函数
f
(x)
=
2x 2x −1
+
m
，
m
R
．
（1）判断函数 f ( x) 在 (−, 0)上的单调性，并证明你的结论；