教案：24.2.2圆的基本性质之二：垂径定理(一)
24.2圆的基本性质(垂径定理)
24.2圆的基本性质（垂径定理）一、教学目标（一）知识目标：使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，理解垂径定理的内容和意义。
（二）能力目标：能较熟练地运用弦、弧、直径之间的特定关系和勾股定理，解决有关问题二、教学重点、难点：垂径定理及运用三、教学过程（一）导入新课1、请同学们观察几幅图片，看些图形，看他们有什么共同特点？【这些图形都是轴对称图形】2、我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？每人说出一种即可。
【等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形，圆】（二）共同探究新知：1、老师要求同学们拿出你的圆形纸片，首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折。
2、然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论【圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线】3、现在我们知道了圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴。
那么折叠后，用针在半圆上刺个小孔，得到重合点A、B，如下图把它摊平，那么折痕CD是⊙O的直径，而A、B是一对对应点，如图连接AB,得到弦AB，思考弦AB与直径CD之间有什么位置关系？【CD垂直平分于弦AB，并且平分弦劣AB和优弧AB】4这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。
5、教师板书垂径定理。
【垂直于弦的直径平分弦和弦所对的弧】（三）例题讲解：1、例1：如图，已知在⊙O的半径是5cm，弦AB为6cm，求⊙O的的圆心到弦AB的距离。
【解题过程略】l）2 】【根据勾股定理总结半径、圆心的弦的距离及弦长三者 r2=d2+（22、例2：1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）解：AB 表示桥拱，AB 的圆心为O ，半径为R 米。
经过圆心O 作弦AB 的垂线OD ，D 为垂足，与AB 相交于点C ，根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
沪科版九年级数学24.2圆的性质-垂径定理PPT课件
luzishu
-
1
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
驶向胜利 的彼岸
拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧
形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦
的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
-
10
如图，用
Ａ⌒Ｂ
AB
表示主桥拱，设
Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
CD是直径
C
A
EB
O
AE=BE AC=BC AD=BD
老师提示:
D
垂径定理是圆中一个重要的
结论,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
-
6
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！
-
7
O
·
A
E
B
圆心到弦的距离叫做弦心距
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
●O
-
2
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
第24章圆-第九讲圆的垂径定理及运用(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到，教学不仅仅是传授知识，更重要的是引导学生学会思考、学会学习。在今后的教学中，我将更加关注学生的个体差异，尽量满足不同学生的学习需求，帮助他们建立自信，培养解决问题的能力。
五、教学反思
在上完这节课之后，我思考了很多。首先，关于圆的垂径定理的教学，我发现学生们对于定理的理解和掌握程度超出了我的预期。他们能够通过直观的图形和简单的例子，快速抓住定理的核心。特别是在实践活动中，学生们通过分组讨论和实验操作，将理论知识与实际应也注意到，在定理的证明部分，有一部分学生还是感到有些困惑。我意识到，几何证明对于他们来说是一个难点，需要更多的引导和练习。在接下来的教学中，我打算多花一些时间，通过逐步引导和反复练习，帮助学生克服这个难题。
-举例：在圆中，若AB为弦，O为圆心，OD垂直于AB，则OD平分AB，并且AD=BD，同时弧AC和弧BC相等。
2.教学难点
-理解并证明垂径定理：学生需要理解定理背后的几何逻辑，并能够通过作图和逻辑推理来证明定理的正确性。
-定理在实际问题中的灵活应用：学生在面对具体问题时，可能会难以找到合适的入手点，不知道如何将定理应用到解题过程中。
针对这些教学难点和重点，教师应采用以下策略：
-使用直观的动画或实物模型来展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。
-通过典型例题的讲解，展示定理在实际问题中的应用方法，并指导学生进行步骤分解。
垂径定理优秀教案
记录与整理
每个小组安排一名记录员，负责 记录讨论过程中的重要观点和问 题。讨论结束后，由组长组织整 理讨论成果，准备向全班汇报。
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学生自主设计问题并求解
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问题设计
鼓励学生们结合垂径定理的内容，自主设计一些具有挑战 性的问题。问题可以涉及到证明、计算、应用等方面。
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物理学中的应用
在物理学中，垂径定理可用于解决与圆相关的运动问题，如圆周 运动、简谐振动等。
工程学中的应用
在工程学中，垂径定理可用于计算圆的弧长、面积等参数，以及解 决与圆相关的设计问题。
数学其他分支中的应用
垂径定理还可应用于数学的其他分支，如解析几何、三角函数等， 为解决相关问题提供新的思路和方法。
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圆的周长（或称为圆的周长）
C = 2πr，其中r为圆的半径。
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圆的面积
A = πr^2，其中r为圆的半径。
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垂径定理的推导与证明
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垂径定理的推导过程
引入概念
首先，通过图形和实例引 入垂径和垂径中点的概念 ，为后续推导打下基础。
构建辅助线
在圆中，作过圆心与垂径 垂直的辅助线，将垂径分 为两段，并标出相应的点 。
垂径定理优秀教案
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目录
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• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾 • 垂径定理的推导与证明 • 垂径定理的应用举例 • 学生自主探究活动 • 课程总结与拓展延伸
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课程介绍与目标
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3
垂径定理的概念
《垂径定理》(北师大)参考教案
《垂径定理》教学设计圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
该节内容分为2课时。
本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。
其对称轴是任一条过圆心的直线。
【知识与能力目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
【情感态度价值观目标】1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。
（提前一天布置）1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸）2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
第二环节讲授新课活动内容：（一）探索垂径定理。
做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合。
2．得到一条折痕CD。
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例
4.成长记录：鼓励学生建立数学学习成长记录，记录学习过程中的点滴进步，培养他们的自主学习能力和反思能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示一幅圆形花园的图片，提问：“同学们，你们知道圆形花园中隐藏的数学秘密吗？”激发学生的好奇心。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解垂径定理，我们将从生活实际出发，创设富有启发性的教学情境。通过展示实际生活中含有垂径定理元素的场景，如古建筑中的拱桥、圆形花园的布局等，引导学生感受数学与生活的紧密联系。同时，利用多媒体手段，如动画、图片等，形象地呈现垂径定理的基本原理，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
1.教学反思：在教学过程中，教师需密切关注学生的学习状态，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。课后，教师应认真反思教学设计、教学方法和教学效果，不断调整教学策略，以提高教学质量和效果。
2.学生评价：采用多元化的评价方式，包括自评、互评、小组评价和教师评价。评价内容涵盖知识掌握、技能运用、合作态度等方面。通过评价，激发学生的学习积极性，培养他们的自信心和自我认知能力。
3.小组交流：各小组分享自己的探究过程和结果，互相学习、借鉴，提高解决问题的能力。
（四）总结归纳
1.教师总结：对本节课的重点知识进行梳理，强调垂径定理的原理、证明方法及其应用。
2.学生总结：鼓励学生发表自己对垂径定理的理解和感悟，提高他们的概括和表达能力。
3.知识体系：将垂径定理与圆的其他性质相结合，构建完整的知识体系，为后续学习打下基础。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例
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24.2.2 圆的基本性质之二
——垂径定理（第1课时）
教学目标：
1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；
2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；
3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。
教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。
教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件
教学过程： 一、复习引入
1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？
2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？（直径所在的直线）
3、观察并回答：
（1）在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？
（两条直径始终是互相平分的）
（2）把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？
二、新课
（一）猜想，证明，形成垂径定理 1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证） 2、得出猜想：在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当C D ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分。
3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证：
如图，已知CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦， 且AB ⊥CD ，垂足为M 。
求证：AE=BE 。
4、思考：直径CD 两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？
5、给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。
并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。
（二）分析垂径定理的条件和结论
1、引导学生说出定理的几何语言表达形式
① CD是直径、AB是弦
① AE=BE
②C D⊥③
2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。
例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？
3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
从而得到垂径定理的变式：
①经过圆心得到①平分弦
一条直线具有：
②垂直于弦②平分弦所对的劣（优）弧
（三）例题
例2 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O 的半径
分析：
答：⊙O的半径是5厘米。
在例2图形的基础上：
变式（1）即例3 已知：如图，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点。
求证：AC＝BD。
D
AC=BC
_AD_=_BD
（图1）
变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD
变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA ，OB ，设OA=OB ， 求证：AC ＝BD 。
变式（4）隐去（图1）中的大圆，得（图4）连接OC ，OD ，设OC=OD ， 求证：AC ＝BD 。
（图3） （图4）
三、课堂小结
1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
垂径定理的条件和结论：
① 经过圆心 得到 ① 平分弦
一条直线具有：
② 垂直于弦 ② 平分弦所对的劣（优）弧
3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？
四、课外作业
A （图2）。