平均数、中位数、众数的区别与联系易错点剖析

统计中的常见错解示例一、概念理解不透造成错解例1．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表，已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ） A. 80分 B.85分 C. 90分 D. 80分或90分错解：根据该小组本次数学测验的平均分是85分，得70×1+80×3+90×x+100×1=85×（1+3+x+1），解得x=3.由于80分出现了3次，90分也出现了3次，所以这组数据的众数是21（80+90）=85（分）.故本题答案选B.错解分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据.若一组数据中，若干个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这若干个数据都是这组数据的众数.由此可见，一组数据中可以有不止一个众数.所以这组数据的众数是80分或90分，故应选D.造成这一错解的原因是：对众数的概念理解不透，并误用求平均数的方法来求众数.正解：根据题意，如同前面所解，得x=3，所以在这组数据中80分出现了3次，90分出现了3次，所以该组数据的众数是80分或90分.故答案应选D.例2.一组数据的方差为s 2,将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（ ）A. 31s 2 B. 2s 2 C. 91s 2 D. 4s 2错解：选A.错解分析：错误的原因是由于对方差的概念没有深刻理解，误认为只要把原数据的方差也除以3就可得到新数据的方差.事实上，样本中各数据与样本平均数差的平方的平均数才叫方差.通过相关计算可得，新数据的方差应是91s2.正解：设原数据为x1,x2,…,x n,其平均数为x，方差为s2.根据题意，则新数据为13x1, 13x2,…, 13x n,其平均数为13x.根据方差的定义可知，新数据的方差为：S2=1m [(13x1-13x)2+(13x2-13x)2+…+(13x n-13x)2]= 19×1m[( x1-x)2+( x2-x)2+…+( x n-x)2]= 19s2.所以，本题答案应选C.例 3.在一次数学测试中，某班２５名男生的平均成绩是86分，23名女生的平均成绩是82分．求这些学生的平均成绩（结果精确到0.01分）．错解：平均成绩为ｘ＝28286+＝84（分）．错解分析：错解在求平均数时，混淆了算术平均数与加权平均数的计算公式．当数据中有些数据是重复的，要使用加权平均数公式计算．正解：平均成绩为x-=8625822348⨯+⨯≈84.08（分）．例 4.若一组数据ｘ１，ｘ２ｘ３，ｘ４，ｘ５的平均数为２，则３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，3ｘ５－２的平均数为________.错解：数据３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，３ｘ５－２的平均数仍为２．错解分析：设原数据ｘ１，ｘ２ｘ３，ｘ４，ｘ５…，ｘｎ的平均数为ｘ．直接代入平均数公式计算，可知新数据ｍｘ１＋ｋ，ｍｘ２＋ｋ，ｍｘ３＋ｋ，…，ｍｘｎ＋ｋ的平均数为ｍｘ＋ｋ。

正解：数据３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，３ｘ５－２的平均数＝４．例5.求一组数据7,9,5,3,2,4,9,2,7,8的中位数.错解：由于该组数据正中间的数是２，４，所以中位数为242+=3.错解分析：根据中位数的定义知，在求一组数据的中位数时，应先按大小顺序排列数据．然后观察数据的个数，若数据的个数为奇数，则最中间的就是中位数；若数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数即为中位数．错解错在没有将原数据按大小顺序进行排列就进行了判断．正解：先将这组数据按从小到大顺序排列:2,2,3,4,5,7,7,8,9,9. 正中间有两个数, 分别是5和7, 而它们的平均数是6, 所以此组数据的中位数是6.例6.某乡镇企业生产部有技术工人15人.生产部为了合理制定工人的每月生产定额,统计了这15人某月的加工零件个数如表(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数.(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260,这个分析定额是否合理?为什么?错解:(1)计算可知:平均数为260.中位数为240.众数为240.(2)合理.因为平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,体现了这组数据的集中趋势.错解分析：第(1)题解答正确.第(2)题解得不对, 原因在于,每月能完成260件的人一共是4人,还有11 人不能达到此定额.尽管260是平均数, 但若将其作为生产定额,不利于调动多数工人的积极性. 若生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为240 件,比较合理, 因为240 既是中位数, 又是众数, 大多数人都能完成生产定额, 有利于调动多数工人的积极性.解略.二、未作分类讨论造成漏解例7.一组数据5,7,7,x 的中位数与平均数相等,求x 的值. 错解:由于平均数为4775x+++, 而中位数为277+ =7,所以4775x+++=7，解得x=9.错解分析：错解的错误在于习惯性地认为该组数据是从小到大排列的. 事实上,x 的大小可分三种情况:①x ≤5;②5<x ≤7;③x>7.从而可知本题的中位数是不确定的,要分类讨论.正解：①当x ≤5时,中位数为6,此时4775x+++=6,解得x=5;②当5<x ≤7时,中位数为27x +,此时4775x+++=27x +,解得x=5,不符合题意,舍去；③当x>7 时,中位数为7,此时4775x+++=7,解得x=9.综上可知,x=5 或x=9.例8.一组数据-1,0,3,5，x 的极差是7，那么x 的值可能有（ ） A. 1个 B.2个 C. 4个 D. 6个错解：根据题意，由x-（-1）=7，解得x=6，所以x 的值有1个，故答案选A.错解分析：根据极差的定义知，数据中最大数据与最小数据的差叫做极差.因为-1,0,3,5四个数中，最小数为-1，最大数为5，它们的差是6.而题目中的极差为7，所以x 可能是这组数据的最大数，或是最小数.错解中丢失了解.本题必须进行分类讨论才能求得正确答案.正解：根据极差的定义，对数据中的x 的大小必须分两种情况来讨论： ①当x 为这组数据中的最大数时，-1就为其最小数，则有x-(-1)=7,解得x=6.②当x 为这组数据中的最小数时，5就为其最大数，则有5-x=7,解得x=-2. 综上所述，x 可取两个值：-2或6.故答案应选B.三、未考虑前提条件造成错解例9.甲、乙两个样本的方差分别是s 甲2=6.06，s 乙2=14.31，由此可反映（ ） A. 样本甲的波动比样本乙大 B. 样本甲的波动比样本乙小 C. 样本甲和样本乙的波动大小一样 D. 样本甲和样本乙的波动大小关系不能确定错解：因为s 甲2=6.06，s 乙2=14.31即有s 甲2＜s 乙2，所以甲样本的波动比乙样本小，故答案选B ．正解：选D ．因为题目中样本甲和样本乙的平均数都未提及，由此，无法用它们的方差来比较其波动性大小．所以，本题答案应选D ．四、因审题不仔细、考虑问题不周全造成错解例10.有m 个数的平均数为x ，n 个数的平均数为y ，则（m+n ）个数的平均数是（ ） A.2y x + B.nm y x ++ C.nm ny mx ++ D.nm nx my ++错解一：由题意可知，这是求平均数x 与平均数y 之和的平均数，所以它们的平均数是2y x +．故答案选A ．错解二：由题意可知，所求（m+n ）个数的样本总量为（x+y ），所以，其平均数为nm y x ++．故答案选B ．错解分析：以上两个错解都是由于审题不仔细、考虑问题不周全所造成的．错解一是误认为求x,y 的平均数，由此把样本容量当作2，把（x+y ）当作了样本总量．错解二虽然确定样本容量为（m+n ），判断正确，但仍将（x+y ）当作样本总量，而此时的样本总量应为（mx+ny ），所以，它们的平均数是nm ny mx ++．故答案选C ．解略.例11.甲、乙两工人生产直径为40mm 的同一种零件．现各抽取两人加工的5个零件，量得尺寸如下（单位：mm ）： 甲：42,41,40,39,38乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5． 问哪位工人生产的零件质量较好？错解：甲、乙两工人生产的零件尺寸的平均数分别为：x 甲=51×（42+41+40+39+38）=40，x 乙=51×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40.所以，两工人生产的零件质量一样好.错解分析：错解是由于掌握知识不全面，考虑问题不周全造成的.分析数据不应该只从平均数上分析，还应该知道利用方差、极差来解决问题.极差、方差都可以反映数据的波动情况，由上述计算可知工人乙的极差、方差都比工人甲的小，所以工人乙生产的零件质量较好.正解：x 甲=51×（42+41+40+39+38）=40，甲的极差是42-38=4.s 甲2=51×[（42-40）2+（41-40）2+（40-40）2+（39-40）2+（38-40）2]=2.x 乙=51×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40，乙的极差是40.5-39.5=1.s 乙2=51×[（40.5-40）2+（40.1-40）2+（40-40）2+（39.9-40）2+（39.5-40）2]=0.104.从上可知，在两位工人生产零件尺寸的平均数相同的情况下，工人乙的极差和方差都比工人甲的要小得多.所以工人乙生产的零件质量较好.。