2013年高考湖南卷数学(理)试卷及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分、共5页、时量120分钟、满分150分。
一、选择题：本大题共8小题、每小题5分、共40分.在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异、拟从全体学生中抽取100名学生进行调查、则宜采用的抽样方法是A 、抽签法B 、随机数法C 、系统抽样法D 、分层抽样法 3.在锐角中ABC ∆、角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A 、12π B 、6π C 、4π D 、3π 4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩、2x y +则的最大值是A 、5-2 B 、0 C 、53 D 、525.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A 、3 B 、2 C 、1 D 、06. 已知,a b 是单位向量、0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是 A、⎤⎦B、⎤⎦C、1⎡⎤⎣⎦D、1⎡⎤⎣⎦7、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形、则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A 、1 BD8.在等腰三角形ABC 中、=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点、光线从点P 出发、经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心、则AP 等A 、2B 、1C 、83 D 、43二、填空题：本大题共8小题、考生作答7小题、每小题5分、共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答、如果全做、则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy 中、若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点、则常数a 的值为 .10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .11.如图2O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==、1PD =、则圆心O 到弦CD 的距离为 .必做题（12-16题） 12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 .13.执行如图3所示的程序框图、如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 9 .14、设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点、P 是C 上一点、若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 、则C 的离心率为___。
15、设n S 为数列{}n a 的前n 项和、1(1),,2nn n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____； （2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________。
16、设函数(),0,0.x x x f x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合{}(,,),,M a b c a b c a =不能构成一个三角形的三条边长，且=b 、则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为____。
（2）若,,a b c ABC ∆是的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,,,x x x x R xa b c ∃∈使不能构成一个三角形的三条边长； ③若()()1,2,0.ABC x f x ∆∃∈=为钝角三角形，则使三、解答题：本大题共6小题、共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=。
（I ）若α是第一象限角、且()f α=()g α的值； （II ）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合。
18、（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。
根据历年的种植经验、一株该种作物的年收获这里、两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。
（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物、求它们恰好“相近”的概率； （II ）从所种作物中随机选取一株、求它的年收获量的分布列与数学期望。
19、（本小题满分12分）如图5、在直棱柱1111//ABCD ABC D AD BC -中，、90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=、13AD AA ==。
（I ）证明：1AC B D ⊥； （II ）求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值。
20、（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中、将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”。
如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”。
某地有三个新建的居民区、分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处。
现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心。
（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II ）若以原点O 为圆心、半径为1的圆的内部是保护区、“L 路径”不能进入保护区、请确定点P 的位置、使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小。
21、（本小题满分13分） 过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l 、且122k k +=、1l E 与相交于点A 、B 、2l E 与相交于点C 、D 。
以AB 、CD 为直径的圆M 、圆N （M 、N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l 。
（I ）若120,0k k >>、证明；22FM FN P < ；（II ）若点M 到直线l 的距离的最小值为、求抛物线E 的方程。
22、（本小题满分13分）已知0a >、函数()2x af x x a-=+。
（I ）记[]()0,4f x a 在区间上的最大值为g(),求a g()的表达式；（II ）是否存在a 、使函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点、在该两点处的切线相互垂直？若存在、求a 的取值范围；若不存在、请说明理由。
参考答案一、选择题1、B2、D3、D4、C5、B6、A7、C8、D 二、填空题9、3 10、12 11、2312、3 13、9 14、3 15、116-；10011(1)32-16、（1）]10(， （2）①②③ 三、解答题17、解： （I ）533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且（II ）21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ18、解： (Ⅰ) 由图知、三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始、分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点、共8对格点恰好“相近”。
所以、从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物、它们恰好“相近”的概率923128=⋅=P （Ⅱ）三角形共有15个格点。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个、坐标分别为(4,0),(0,4)。
154)51(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个、坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。
154)48(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个、坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0、1,) ,(0、2),(0、3,)。
156)45(==Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个、坐标分别为(1、1), (1,2), (2,1)。
153)42(==Y P 所以 如下表所示：46156901512627019210215342156451544815251)(==+++=⋅+⋅+⋅+⋅=Y E X46)(=∴Y E .19、解： (Ⅰ) AC BB ABCD BD ABCDBB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱 D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。
面且又 . (证毕) （Ⅱ）。
的夹角与平面的夹角即直线与平面直线θ111111,////ACD AD ACD C B AD BC C B ∴ 轴正半轴。
为轴正半轴，为点，量解题。
设原点在建立直角坐标系，用向X AD Y AB A()BD AC y BD y AC y C y B D D A ⊥-== ),0,,3(),0,,1()0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,01，则，设).3,0,3(),0,3,1(.30,003012==∴=⇒>=+-⇒=⋅AD AC y y y BD AC ），，（），，（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.0,111==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅AD n ACD AC n n ACD 7213733|,cos |sin 003,313-1=⋅=><=⇒==∴AD n AD n ACD θ），，（），，（的一个法向量平面 72111夹角的正弦值为与平面所以ACD BD 。
20、解： .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ)d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离、其中.,0R x y ∈≥（Ⅱ）本问考查分析解决应用问题的能力、以及绝对值的基本知识。
2013湖南高考数学(理)详解(精校word)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()1z i i =+ （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 【 B 】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 【 D 】A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于【 D 】A ．12π B ．6π C ．4πD ．3π 4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是【 C 】A ．52-B ．0C ．53D ．525.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为【 B 】A ．3B ．2C ．1D ．06. 已知,a b 是单位向量，0⋅=a b .若向量c 满足1--=c a b ，则c 的取值范围是【 A 】A．⎤⎦ B．⎤⎦C．1⎡⎤⎣⎦D．1⎡⎤⎣⎦7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 【 C 】A ．1BCD8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如 图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等于【 D 】A ．2B ．1C ．83D ．43图1二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） 9.在平面直角坐标系xOy 中，若,:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos ,:2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为3.10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为12. 11.如图2O 中,弦,AB CD 相交于点,P 2,PA PB ==1PD =，则圆心O 到弦CD的距离为.（二）必做题（12-16题） 12.若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为3.13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,a b == 则输出的a 的值为9.14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C的离心率为.15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n n S a n N *=--∈则 （1）3a =116-； （2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=10011(1)32-. 16．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合{(,,),,M a b c a b c =不能构成一个三角形的三条边长，且}=a b ，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为{}01x x <≤.（2）若,,a b c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是①②③.（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,x R ∃∈使,,xxxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长， ③若ABC ∆为钝角三角形，则()1,2x ∃∈使()0f x =.ADBPC图2O三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理
数学(理工农医类)(湖南卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖南,理1)复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案:B解析:z=i +i 2=-1+i,对应点为(-1,1),故在第二象限,选B .2.(2013湖南,理2)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ). A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法答案:D解析:看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层抽样. 3.(2013湖南,理3)在锐角△ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b.若2a sin B=√3b ,则角A 等于( ).A.π12 B.π6C.π4D.π3答案:D解析:由2a sin B=√3b 得2sin A sin B=√3sin B ,故sin A=√32,故A=π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形,故A=π3.4.(2013湖南,理4)若变量x ,y 满足约束条件{y ≤2x ,x +y ≤1,y ≥-1.则x+2y 的最大值是( ).A.-52B.0C.53D.52答案:C解析:约束条件表示的可行域为如图阴影部分.令x+2y=d ,即y=-12x+d2,由线性规划知识可得最优点为(13,23),所以d max =13+43=53.5.(2013湖南,理5)函数f (x )=2ln x 的图象与函数g (x )=x 2-4x+5的图象的交点个数为( ). A.3 B.2C.1D.0答案:B解析:设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ,y ),则y=2ln x ,y=x 2-4x+5,联立得2ln x=x 2-4x+5,令h (x )=x 2-4x+5-2ln x (x>0), 由h'(x )=2x-4-2x =0得x 1=1+√2,x 2=1-√2(舍). 当h'(x )<0时,即x ∈(0,1+√2)时,h (x )单调递减; 当h'(x )>0,即x ∈(1+√2,+∞)时,h (x )单调递增. 又∵h (1)=2>0,h (2)=1-2ln 2<0,h (4)=5-2ln 4>0, ∴h (x )与x 轴必有两个交点,故答案为B .6.(2013湖南,理6)已知a ,b 是单位向量,a ·b =0,若向量c 满足|c-a-b |=1,则|c |的取值范围是( ). A.[√2-1,√2+1] B.[√2-1,√2+2] C.[1,√2+1] D.[1,√2+2]答案:A解析:由题意,不妨令a =(0,1),b =(1,0),c =(x,y),由|c-a-b |=1得(x-1)2+(y-1)2=1,|c |=√x 2+y 2可看做(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以1为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位置P 时到原点的距离最近,在位置P'时最远,而PO=√2-1,P'O=√2+1,故选A .7.(2013湖南,理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ). A.1 B.√2C.√2-12D.√2+12答案:C解析:根据三视图中正视图与俯视图等长,故正视图中的长为√2cos θ,如图所示.故正视图的面积为S=√2cos θ(0≤θ≤π4),∴1≤S ≤√2, 而√2-12<1,故面积不可能等于√2-12.8.(2013湖南,理8)在等腰直角三角形ABC 中,AB=AC=4,点P 为边AB 上异于A,B 的一点,光线从点P 出发,经BC,CA 反射后又回到点P.若光线QR 经过△ABC 的重心,则AP 等于( ).A.2B.1C.83D.43答案:D解析:以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC 的重心为D,则D 点坐标为(43,43).设P 点坐标为(m,0),则P 点关于y 轴的对称点P 1为(-m,0),因为直线BC 方程为x+y-4=0,所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4-m),根据光线反射原理,P 1,P 2均在QR 所在直线上,∴k P 1D =k P 2D ,即4343+m=43-4+m43-4, 解得,m=43或m=0.当m=0时,P 点与A 点重合,故舍去. ∴m=43.二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.(2013湖南,理9)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l:{x =t ,y =t -a (t 为参数)过椭圆C:{x =3cosφ,y =2sinφ(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为 . 答案:3解析:由题意知在直角坐标系下,直线l 的方程为y=x-a,椭圆的方程为x 29+y 24=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a,解得a=3.10.(2013湖南,理10)已知a ,b ,c ∈R ,a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为 . 答案:12解析:由柯西不等式得(12+12+12)(a 2+4b 2+9c 2)≥(a+2b+3c)2,即a 2+4b 2+9c 2≥12,当a=2b=3c=2时等号成立,所以a 2+4b 2+9c 2的最小值为12. 11.(2013湖南,理11)如图,在半径为√7的☉O 中,弦AB,CD 相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O 到弦CD 的距离为 . 答案:√32解析:如图所示,取CD 中点E,连结OE,OC.由圆内相交弦定理知PD ·PC=PA ·PB, 所以PC=4,CD=5,则CE=52,OC=√7.所以O 到CD 距离为OE=√(√7)2-(52)2=√32.(二)必做题(12~16题)12.(2013湖南,理12)若∫ T0x 2d x=9,则常数T 的值为 . 答案:3解析:∵(13x 3)'=x 2,∴∫ T 0x 2d x=13x3|T=13T 3-0=9,∴T=3.13.(2013湖南,理13)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a 的值为 . 答案:9解析:输入a=1,b=2,不满足a>8,故a=3;a=3不满足a>8,故a=5; a=5不满足a>8,故a=7;a=7不满足a>8,故a=9,满足a>8,终止循环.输出a=9. 14.(2013湖南,理14)设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是C 上一点.若|PF 1|+|PF 2|=6a,且△PF 1F 2的最小内角为30°,则C 的离心率为 . 答案:√3 解析:不妨设|PF 1|>|PF 2|,由{|PF 1|+|PF 2|=6a ,|PF 1|-|PF 2|=2a可得{|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a .∵2a<2c,∴∠PF 1F 2=30°,∴cos 30°=(2c )2+(4a )2-(2a )22×2c×4a ,整理得,c 2+3a 2-2√3ac=0,即e 2-2√3e+3=0,∴e=√3.15.(2013湖南,理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =(-1)n a n -12n ,n ∈N *,则 (1)a 3= ;(2)S 1+S 2+…+S 100= . 答案:(1)-116 (2)13(12100-1)16.(2013湖南,理16)设函数f(x)=a x +b x -c x ,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为 ;(2)若a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) ①∀x ∈(-∞,1),f(x)>0;②∃x ∈R ,使a x ,b x ,c x 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形,则∃x ∈(1,2),使f(x)=0. 答案:(1){x|0<x ≤1} (2)①②③三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(2013湖南,理17)(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin (x -π6)+cos (x -π3),g (x )=2sin 2x2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=3√35,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合. 解:f(x)=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x =√3sin x,g(x)=2sin 2x2=1-cos x. (1)由f(α)=3√35得sin α=35.又α是第一象限角,所以cos α>0. 从而g(α)=1-cos α=1-√1-sin 2α =1-45=15.(2)f(x)≥g(x)等价于√3sin x ≥1-cos x,即√3sin x+cos x ≥1. 于是sin (x +π6)≥12.从而2k π+π6≤x+π6≤2k π+5π6,k ∈Z , 即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z .故使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合为 {x |2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z}.18.(2013湖南,理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg )与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解:(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 31C 121=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列. 因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k=1,2,3,4),则 n 1=2,n 2=4,n 3=6,n 4=3.由P(X=k)=nkN 得P(X=1)=215,P(X=2)=415,P(X=3)=615=25,P(X=4)=315=15. 故所求的分布列为所求的数学期望为E(Y)=51×215+48×415+45×25+42×15=34+64+90+425=46. 19.(2013湖南,理19)(本小题满分12分)如图,在直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,∠BAD=90°,AC ⊥BD,BC=1,AD=AA 1=3.(1)证明:AC ⊥B 1D;(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值.解法1:(1)如图,因为BB 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD,所以AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD,所以AC ⊥平面BB 1D. 而B 1D ⊂平面BB 1D,所以AC ⊥B 1D.(2)因为B 1C 1∥AD,所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ). 如图,连结A 1D,因为棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是直棱柱,且∠B 1A 1D 1=∠BAD=90°,所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD=AA 1=3,所以四边形ADD 1A 1是正方形,于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D,于是AD 1⊥B 1D.由(1)知,AC ⊥B 1D,所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1=90°-θ.在直角梯形ABCD 中,因为AC ⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而Rt △ABC ∽Rt △DAB, 故AB DA =BCAB .即AB=√DA ·BC =√3. 连结AB 1,易知△AB 1D 是直角三角形,且B 1D 2=BB 12+BD 2=BB 12+AB 2+AD 2=21,即B 1D=√21.在Rt △AB 1D 中,cos ∠ADB 1=ADB 1D=3√21=√217,即cos (90°-θ)=√217.从而sin θ=√217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217.解法2:(1)易知,AB,AD,AA 1两两垂直.如图,以A 为坐标原点,AB,AD,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B 1(t,0,3),C(t,1,0),C 1(t,1,3),D(0,3,0),D 1(0,3,3).从而B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-t,3,-3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-t,3,0). 因为AC ⊥BD,所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-t 2+3+0=0.解得t=√3或t=-√3(舍去). 于是B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,3,-3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0).因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+3+0=0,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AC ⊥B 1D.(2)由(1)知,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 设n =(x ,y ,z )是平面ACD 1的一个法向量,则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√3x +y =0,3y +3z =0.令x=1,则n =(1,-√3,√3).设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ,则 sin θ=|cos <n ,B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n |·|B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =√3√7=√217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217.20.(2013湖南,理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明):(2)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 解:设点P 的坐标为(x,y).(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x-3|+|y-20|,x ∈R ,y ∈[0,+∞).(2)由题意知,点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y ≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因为d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*) 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x ∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以d 1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立. d 2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y ≤1时,由于“L 路径”不能进入保护区, 所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y ≥21.由①知,d 1(x)≥24,故d 1(x)+d 2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 21.(2013湖南,理21)(本小题满分13分)过抛物线E:x 2=2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k 1,k 2的两条不同直线l 1,l 2,且k 1+k 2=2,l 1与E 相交于点A,B,l 2与E 相交于点C,D,以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k 1>0,k 2>0,证明:FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ <2p 2; (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为7√55,求抛物线E 的方程.解:(1)由题意,抛物线E 的焦点为F (0,p2),直线l 1的方程为y=k 1x+p2, 由{y =k 1x +p2,x 2=2py 得x 2-2pk 1x-p 2=0. 设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 1,x 2是上述方程的两个实数根. 从而x 1+x 2=2pk 1,y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p=2p k 12+p.所以点M 的坐标为(pk 1,pk 12+p 2),FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(pk 1,p k 12).同理可得点N 的坐标为(pk 2,pk 22+p 2),FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(pk 2,p k 22).于是FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =p 2(k 1k 2+k 12k 22).由题设,k 1+k 2=2,k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2, 所以0<k 1k 2<(k 1+k 22)2=1. 故FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN⃗⃗⃗⃗⃗ <p 2(1+12)=2p 2. (2)由抛物线的定义得|FA|=y 1+p 2,|FB|=y 2+p2,所以|AB|=y 1+y 2+p=2p k 12+2p. 从而圆M 的半径r 1=p k 12+p,故圆M 的方程为 (x-pk 1)2+(y -pk 12-p 2)2=(p k 12+p)2.化简得x 2+y 2-2pk 1x-p(2k 12+1)y-34p 2=0.同理可得圆N 的方程为x 2+y 2-2pk 2x-p(2k 22+1)y-34p 2=0.于是圆M,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x+(k 22−k 12)y=0.又k 2-k 1≠0,k 1+k 2=2,则l 的方程为x+2y=0. 因为p>0,所以点M 到直线l 的距离d=121√5=121√5=p [2(k 1+14)2+78]√5.故当k 1=-14时,d 取最小值85. ,8√5=7√55,解得p=8.故所求的抛物线E 的方程为x 2=16y.22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=|x -ax+2a|. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:(1)当0≤x ≤a 时,f(x)=a -xx+2a ;当x>a 时,f(x)=x -ax+2a . 因此,当x ∈(0,a)时,f'(x)=-3a (x+2a )2<0,f(x)在(0,a)上单调递减;当x ∈(a,+∞)时,f'(x)=3a (x+2a )2>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.①若a ≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=12. ②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 所以g(a)=max {f(0),f(4)}. 而f(0)-f(4)=12−4-a4+2a =a -12+a , 故当0<a ≤1时,g(a)=f(4)=4-a4+2a ;当1<a<4时,g(a)=f(0)=12.综上所述,g(a)={4-a 4+2a ,0<a ≤1,12,a >1.(2)由(1)知,当a ≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x 1,x 2∈(0,4)(x 1<x 2),使曲线y=f(x)在(x 1,f(x 1)),(x 2,f(x 2))两点处的切线互相垂直,则x 1∈(0,a),x 2∈(a,4),且f'(x 1)·f'(x 2)=-1,即-3a(x 1+2a )2·3a(x 2+2a )2=-1.亦即x 1+2a=3a x 2+2a.(*) 由x 1∈(0,a),x 2∈(a,4)得x 1+2a ∈(2a,3a),3ax 2+2a ∈(3a 4+2a ,1).故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B={x |3a 4+2a <x <1}的交集非空. 因为3a 4+2a <3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<12时,A ∩B ≠⌀.综上所述,存在a 使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a 的取值范围是(0,12).。
2013年高考理数真题试卷(湖南卷)
第1页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2013年高考理数真题试卷（湖南卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共8题)1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）A . 1B .C .D .2. （2013•湖南）在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于（ ）A . 2B . 1C .D .3. （2013•湖南）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ） A . 抽签法 B . 随机数法 C . 系统抽样法 D . 分层抽样法4. （2013•湖南）已知 ， 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围为（ ） A . B . C . D .答案第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. （2013•湖南）在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ．若2asinB= b ，则角A 等于（ ）A .B .C .D .6. （2013•湖南）若变量x ，y 满足约束条件 ，则x+2y 的最大值是（ ）A .B . 0C .D .7. （2013•湖南）复数z=i•（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限8. （2013•湖南）函数f （x ）=2lnx 的图象与函数g （x ）=x 2﹣4x+5的图象的交点个数为（ ） A . 3 B . 2 C . 1 D . 0第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共7题)1. （2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a 的值为 ．2. （2013•湖南）设F 1 ， F 2是双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|+|PF 2|=6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为 ．3. （2013•湖南）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：，（t 为参数）过椭圆C ： （θ。
2013年高考湖南数学理科试卷及详细解答(wodr清晰版)
2013年高考湖南数学理科详解数学（理工类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 复数()i i z +∙=1（i 为虚数单位），在复平面上对应的点位于A ．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：选B 。
考察了复数的概念和运算以及复数在坐标系中的几何意义。
2、某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽查100名学生进行调查，则宜采取的抽样方法是 A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法解析：选D 。
考察了分层抽样的概念。
3、在锐角ABC ∆中，角B A ,所对的边长分别为b a ,，若b B a 3sin 2=，则角A 等于 A ．12π B. 6π C. 4π D. 3π解析：选D 。
考察了解三角形中的边角关系，求角所以我们把边化成角，根据三角函数的值反求角度。
4、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤112y y x xy ，则y x 2+的最大值是A ．25-B. 0C. 35D.25解析：选C 。
考察了线性规划问题，根据数型结合求解最大值。
5、函数()x x f ln 2=的图象函数()542+-=x x x g 的图象的交点个数为 A ．3 B. 2 C. 1 D. 0解析：选B 。
考察了函数交点问题，即函数零点问题，针对零点问题，我们有如下方法解决：图像法，零点存在法，特殊值法及求导考察单调性法。
6、已知b a ,是单位向量，0=⋅b a ，若向量c 满足1=--b a c ，则c 的取值范围是 A ．[]12,12+- B. []22,12+- C. []12,1+ D. []22,1+解析：选A 。
考察了向量的运算，尤其是向量的几何意义，向量与圆的关系。
13年高考真题理科数学湖南卷
ABCD A1B1C1D1 中（如图 5），
AD // BC ， BAD 900 ， AC BD ， BC 1，
AD AA1 3 。⑴证明: AC B1D ；⑵求直线 B1C1 与平
面 ACD1 所成角的正弦值。
图5
20．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将
2013 年高考真题理科数学（解析版） 卷
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷
数学（理科）
一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给也的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．复数 z i 1 i（ i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
则输出的 a 的值为__________。
14．设 F1, F2 是双曲线 C :
个焦点， P 是 C 上一点，若| PF1 | | PF2 | 6a ，且
PF1F2 的最小内角为 300 ，则 C 的离心率为__________。
15．设 Sn 为数列an
的前 n
⑴ a3 _______；⑵ S1 S2 S100 ___________。
（C）第三象限
（C）系统抽样法
x
2
（D）0
6．已知 a, b 是单位向量， a b 0 。若 c 满足| c a b | 1 ，则| c | 的取值范围是（
） （A） 2 1, 2+1 （B） 2 1, 2+2 （C） 1, 2+1 （D） 1, 2+2
全做，则按前两题计分）
椭圆
9．在平面直角坐标系
2013年湖南省高考数学试卷(理科)附送答案
2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0 C．D．5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为．11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．15．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则（1）a3=；（2）S1+S2+…+S100=．16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选B．2．（5分）（2013•湖南）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选：D．3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0 C．D．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=F（，）=最大值故选：C5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B．6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选D二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．【解答】解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：1211．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD 的距离，注意计算的正确率．【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===．故答案为：．12．（5分）（2013•湖南）若x2dx=9，则常数T的值为3．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解：==9，解得T=3，故答案为：3．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C 的离心率为．【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==．故答案为：．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n ∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．【解答】解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1} ．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=a x+b x﹣c x=．得，所以．又∵＞1，则ln＞0，所以x=＞0，所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）①因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则a x=，b x=，c x=．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．（2）由不等式可得sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k ∈z，求得x的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P （X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y51484542P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=4619．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ），连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x 轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．【分析】（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y ≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．【解答】解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）=max{f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．。
2013年高考真题——理科数学(湖南卷)解析
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。
选D3.在锐角中A B C ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ，选D4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】 B【解析】 二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2 选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．⎤⎦B ．2⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．12⎡⎤⎣⎦【答案】 A【解析】向量之差的向量与即一个模为单位c 2.1|c -)b a (||b a -c |,2|b a |向量，是b ,a =+=-=+∴ 的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)-理科数学
数学(理工农医类)(湖南卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖南,理1)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B2.(2013湖南,理2)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是().A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法答案:D3.(2013湖南,理3)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2a sin B=b,则角A等于().A. B.C. D.答案:D4.(2013湖南,理4)若变量x,y满足约束条件则x+2y的最大值是().A.-B.0C.D.答案:C5.(2013湖南,理5)函数f(x)=2ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为().A.3B.2C.1D.0答案:B6.(2013湖南,理6)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是().A.[-1,+1]B.[-1,+2]C.[1,+1]D.[1,+2]答案:A7.(2013湖南,理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于().A.1B.C.D.答案:C8.(2013湖南,理8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于().A.2B.1C.D.答案:D二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.(2013湖南,理9)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为.答案:310.(2013湖南,理10)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.答案:1211.(2013湖南,理11)如图,在半径为的☉O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为.答案:(二)必做题(12~16题)12.(2013湖南,理12)若x2d x=9,则常数T的值为.答案:313.(2013湖南,理13)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为.答案:914.(2013湖南,理14)设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为.答案::15.(2013湖南,理15)设S n为数列{a n}的前n项和,S n=(-1)n a n-,n∈N*,则(1)a3=;(2)S1+S2+…+S100=.答案:(1)-(2)16.(2013湖南,理16)设函数f(x)=a x+b x-c x,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为;(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(-∞,1),f(x)>0;②∃x∈R,使a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长;③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0.答案:(1){x|0<x≤1}(2)①②③三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2013湖南,理17)(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.解:f(x)=sin+cos=sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,g(x)=2sin2=1-cos x.(1)由f(α)=得sinα=.又α是第一象限角,所以cosα>0.从而g(α)=1-cosα=1-=1-.(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x,即sin x+cos x≥1.于是sin.从而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.18.(2013湖南,理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解:(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.故所求的分布列为所求的数学期望为E(Y)=51×+48×+45×+42×=46.19.(2013湖南,理19)(本小题满分12分)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.解:(1)易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).因为AC⊥BD,所以·=-t2+3+0=0.解得t=或t=-(舍去).于是=(-,3,-3),=(,1,0).因为·=-3+3+0=0,所以,即AC⊥B1D.(2)由(1)知,=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,则令x=1,则n=(1,-).设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ,则sinθ=|cos <n,>|==.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.20.(2013湖南,理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明):(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解:设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小. 21.(2013湖南,理21)(本小题满分13分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0,k2>0,证明:<2p2;(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.解:(1)由题意,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+,由得x2-2pk1x-p2=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.所以点M的坐标为=(pk1,p).同理可得点N的坐标为=(pk2,p).于是·=p2(k1k2+).由题设,k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<=1.故·<p2(1+12)=2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p.从而圆M的半径r1=p+p,故圆M的方程为(x-pk1)2+=(p+p)2.化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0.同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+()y=0.又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.因为p>0,所以点M到直线l的距离d===.故当k1=-时,d取最小值.由题设,,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=.(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)当0≤x≤a时,f(x)=;当x>a时,f(x)=.因此,当x∈(0,a)时,f'(x)=<0,f(x)在(0,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=.②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.所以g(a)=max{f(0),f(4)}.而f(0)-f(4)=,故当0<a≤1时,g(a)=f(4)=;当1<a<4时,g(a)=f(0)=.综上所述,g(a)=(2)由(1)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f'(x1)·f'(x2)=-1,即·=-1.亦即x1+2a=.(*)由x1∈(0,a),x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a),.故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B=的交集非空.因为<3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<时,A∩B≠⌀.综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是.。
2013年湖南省高考数学试卷(理科)及解析
2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选D3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．06．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．点评：本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P 出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．D．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP的值．解答：解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选D点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．考点：柯西不等式；柯西不等式的几何意义．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．解答：解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：12点评：本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．考点：圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．解答：解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===故答案为：．点评：此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为3．考点：定积分．专题：计算题．分析：利用微积分基本定理即可求得．解答：解：==9，解得T=3，故答案为：3．点评：本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．解答：解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1}．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．考点：命题的真假判断与应用；函数的零点；进行简单的合情推理．专题：阅读型．分析：（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．解答：解：（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=a x+b x﹣c x=．得，所以．所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；令x=1，a=b=1，c=2．则a x=b x=1，c x=2．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（I）根据两角和与差的三角函数公式化简，得f（x）=sinx，结合解出sinα=，利用同角三角函数的基本关系算出cosα=．由二倍角的余弦公式进行降次，可得g（x）=1﹣cosx，即可算出g（α）=1﹣cosα=；（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx，移项采用辅助角公式化简整理，得2sin（x+）≥1，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．解答：解：：∵sin（x﹣）=sinxcos﹣cosxsin=sinx﹣cosxcos（x﹣）=cosxcos+sinxsin=cosx+sinx∴=（sinx﹣cosx）+（cosx+sinx）=sinx而=1﹣cosx（I）∵，∴sinα=，解之得sinα=∵α是第一象限角，∴cosα==因此，g（α）==1﹣cosα=，（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx移项，得sinx+cosx≥1，化简得2sin（x+）≥1∴sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z）解之得2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）因此，使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）}点评：本题给出含有三角函数的两个函数f（x）、g（x），求特殊函数值并讨论使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．解答：解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y 51 48 45 42P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46点评：本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．解答：解：解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得直线B1C1与平面ACD1所成的角，等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ）连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．点评：本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．考点：根据实际问题选择函数类型；绝对值三角不等式．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．解答：解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．解答：解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．解答：解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）max={f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是（0，）．点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．。
2013年全国高考理科数学试题-湖南卷
2013年全国高考理科数学试题-湖南卷1.复数为虚数单位()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案：B分析：(1)1z i i i =⋅+=-,所以对应点()1,1-.2.某学校有男、女学生各500名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 答案：D分析：因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例．3.在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin a B =，则角A 等于（ ） A.12π B. 6π C. 4π D. 3π答案：D分析：由2sin a B 得：2sin sin sin sin ,23A B B A A A ππ⋅=⇒=<⇒=，选D ．4.若变量满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是（ ）A. 52-B. 0C. 53D. 52答案：C分析：区域为三角形，直线2u x y =+经过三角形顶点12(,)33时，53u =最大．选C ．5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 答案：B分析：二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为()2,21x g ==；()22ln 2ln 41f ==>，所以()()22g f <，从图像上可知交点个数为2，选B ．6.已知,a b是单位向量，0a b ⋅= .若向量c 满足||1c a b --= ，则||c的取值范围是()A.11]B. 1C. D. [1 答案：A分析：,a b是单位向量，||||()|1a b c a b a b c ∴+--=+-=c向量之差的模为1， 1||1c ≤≤．7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A. 1B.C.12D.2答案：C分析：由题知，正方体的棱长为1，正视图的高为1，宽在区间[1上，所以正视图的面积也在区间[11<． 选C ．8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，P 点是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等于（ ）A. 2B. 1C. 83D. 43答案：D分析：设(,0),P x BC 的中点(2,2)D .ABC ∆ 的重心O 在中线的23处，44(,)33O ∴． 设直线RQ 的斜率为k ，则其方程为4444(2)4(21)()(0,(1)),(,)3333(1)3(1)k k y k x R k Q k k ++=-+⇒-++． 4(1)4(21),34(2)3(1)RP QP k k k k k x k -+==+-+， 由题知0,1(21)(1)0RP QPk k k k k k +=⋅=⇒--=10k x =⎧⇒⎨=⎩（舍）1243k x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，选D ．9.在平面直角坐标系xOy 中，若,:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为_______． 答案：3分析：直线l 方程:y x a =-，椭圆方C 程：22194x y +=的右顶点(3,0)303a a a -⇒--=-⇒=．10.已知,,,236a b c a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为_____．答案：12 分析：2222222222(111)((2)(3))(11213)364912a b c a b c a b c ++⋅++≥⋅+⋅+⋅=⇒++≥且当22,1,3a b c ===时，取最小值．11.O 中，弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为______．分析：由相交弦定理得4,5AP PB DP PC PC DC ⋅=⋅⇒==， 圆心O 到CD 的距离d ==． 12.若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为______．答案：3 分析：3329333TTx T x dx T ===⇒=⎰．13.执行如图所示的程序框图，如果输入1,2a b ==，则输出的a 的值为_____．答案：9分析：122229a =++++=．14.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30︒，则C 的离心率为___．分析：设P 点在右支上，12||,||m PF n PF ==，则由题知，12PF F ∆的最小内角为30︒，由余弦定理得：222164413cos30()2842a c a a c ac c a ︒+-==+=⋅c e a ⇒==15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和*1(1),2nn n n S a n N =--∈，则 (1) 3a =_____；(2) 12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________．答案：(1) 116-； (2) 10011(1)32-．分析：由*1(1),2nn n n S a n N =--∈， 当1n =，有1111(1)2a a =--，得114a =-，当2n ≥时，111111(1)(1)22n n n n n n n n n a S S a a ----=-=-----，即11(1)(1)2n nn n n n a a a -=-+-+，若n 为偶数，则11(2)2n n a n -=-≥，所以1112n n a -+=-（n 为正奇数）， 若n 为奇数，则11111112(2)()2222n n n n n n a a -+-=-+=-⋅-+=，所以12n n a =（n 为正偶数），所以(1)3411216a =-=-，故答案为116-；因为112n n a +=-（n 为正奇数），所以121()2a -=--212=，又12n n a =（n 为正偶数），所以2212a =，则122122a a -+=⨯，34411()22a -=--=，4412a =，则344122a a -+=⨯⋯99100100122a a -+=⨯，所以123499100S S S S S S ++++⋯++10021001111112()()4162222=+++-+++501001111(1)(1)44222111142--=⋅---10011(1)32=-， 故答案为10011(1)32-．16.设函数()xxxf x a b c =+-，其中0,0.c a c b >>>>(1)记集合{(,,),,M a b c a b c =不能构成一个三角形的三条边长，且}a b =，则(,,)a b c M∈所对应的()f x 的零点的取值集合为_____．(2)若,,a b c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②x R ∃∈，使,,x x x xa b c 不能构成一个三角形的三条边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则()1,2x ∃∈，使()0f x =．答案：(1) (0,1]；(2) ①②③分析：(1)由题知,2c a c a b a >≥+=，令ln 2()2[2()1]0()2ln x x x x x ac f x a c c x c c aa=-=-=⇒=⇒=2c a ⇒≥． 又ln 2ln 2ln 2lnln 200,(0,1]ln 2ln ln c x c c a a a≥>⇒≥>∴=∈．所以()f x 的零点集合为(0,1]．(2)()[()()1],1,1x x x a b a bf x c c c c c =+-<<∴11(,1),()()1()()10x x a b a b a b cx c c c c c+-∀∈-∞+->+-=> 所以①正确．令1,1,2x a b c ====，则1,1,2xxxa b c ===不能构成三角形的三条边长．所以②正确．若三角形为钝角三角形，则令222222-0;(1)0,(2)-0a b c f a b c f a b c +<=+->=+<(1,2)x ⇒∈，使()0f x =．所以③正确．。