九年级同步第18讲：二次函数解析式的确定(教案教学设计导学案)
二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式．
1、一般式（）
（1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式；
（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．
【例1】已知二次函数的图像经过点A（，）、B（0，）和C（1，1）．求这个二次函数的解析式．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例2】已知二次函数图像经过点（0，3）、（3，0）、（，）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的最值．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例3】已知抛物线经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当x为何值时，？
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例4】已知二次函数的图像经过点（0，3）、（，0）、（2，），且与x轴交于A、B两点．
（1）试确定该二次函数的解析式；
（2）判定点P（，3）是否在这个图像上，并说明理由；
（3）求的面积．
【难度】★★
【答案】
【解析】
1、顶点式（）
（1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标；
（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；
（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式．
【例5】抛物线的顶点坐标是（1，），则b = ______，c = ______．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例6】已知抛物线的顶点坐标为（4，），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例7】如果，，，，那么抛物线经过第__________象限．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例8】已知二次函数的图像过点（1，5），且当x= 2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例9】已知二次函数的图像的顶点坐标为A（2，1）且图像与x轴的两个交点为B、C（点B在点C的左侧），若是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式．【难度】★★
【答案】
【解析】
【例10】已知抛物线过点（3，2）、（0，5）两点，且以直线x = 2为对称轴，求此抛物线的解析式．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
1、交点式（）
（1）交点式：（），其中x1，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标；
（2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；
（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；
（5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、；
（6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．
【例11】已知二次函数的图像经过点（，0）、（1，0），且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例12】已知二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0）、P（1，）三点，求这个二次函数的解析式．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例13】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值，求二次函数的解析式．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例14】已知抛物线，当x = 3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为1，且图像与x 轴的两个交点之间的距离为2，求这个抛物线的解析式．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例15】抛物线经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这个抛物线的解析式．【难度】★★
【答案】
【解析】
【例16】已知二次函数的图像与x轴交于点A（，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且，求二次函数的解析式．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：
2、二次函数的平移
（1）将二次函数左右平移：
向左平移m个单位，函数解析式变为；
向右平移m个单位，函数解析式变为．
（2）将二次函数上下平移：
向上平移n个单位，函数解析式变为；
向下平移n个单位，函数解析式变为．
（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．
【例17】把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为，求原来抛物线的解析式．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例18】怎样平移抛物线，才能使它经过点M（，2）和N（1，）两点？
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例19】已知二次函数的图象的顶点坐标为A（1，），且经过点（2，）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例20】如图，已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．
（1）求点A的坐标，并判断的形状（不要求说明理由）；
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并求出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）设的面积为S，求S关于m的关系式．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例21】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线与x轴相交于点B，连结OA，抛物线从点O沿OA方向平移，与直线交于点P，当顶点M运动到点A时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m．
○1用m的代数式表示点P的坐标；
○2当m为何值时，线段PB最短．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
1、关于x轴对称：
关于x轴对称后，得到的解析式是；
关于x轴对称后，得到的解析式是．
2、关于y轴对称：
关于y轴对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
【例22】如果二次函数的图象与已知二次函数的图象关于y轴对称，那么这个二次函数的解析式是（）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例23】二次函数的图象关于轴对称，则的值为（）A．0 B．3 C．1 D．0或3 【难度】★★
【答案】
【解析】
【例24】已知一个二次函数的图象经过点A（1，4）．（1）求b的值；
（2）求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例25】已知二次函数与的图象关于轴对称，求的值．
【难度】★★
【答案】
【解析】
1、关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是．
2、关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
3、关于点（p，q）对称：
关于点（p，q）对称后，得到的解析式是．
【例26】函数与的图象关于______轴对称，也可以认为是函数的图象绕______旋转______得到的．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例27】二次函数的图象关于原点O对称的图象的解析式是__________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例28】抛物线的图象关于其顶点对称的抛物线的解析式是__________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例29】二次函数的图象关于点A（2，0）对称的图象的解析式是_________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例30】如图，已知抛物线：，抛物线与关于点（1，0）中心对称，与相交于A，B 两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且MNx轴．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段MN长度的最大值．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题1】二次函数的图像经过（1，）、（，0）、（，5），求二次函数的解析式．【难度】★
【答案】
【解析】
【习题2】已知抛物线的顶点为（，3），且过点（，5），求抛物线的解析式．
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题3】已知二次函数的图像与x轴交于点（，0）和（4，0），且过点（1，），求二次函数的解析式．
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题4】把二次函数的图象经过翻折、平移得到二次函数的图象，下列对此过程描述正确的是（）
A．先沿y轴翻折，再向下平移6个单位
B．先沿y轴翻折，再向左平移6个单位
C．先沿x轴翻折，再向左平移6个单位
D．先沿x轴翻折，再向右平移6个单位
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题5】把抛物线沿轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q（3，0），求平移后的抛物线的解析式．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题6】已知二次函数与二次函数形状相同，开口方向相反，且其图像的对称轴为直线x = 1，且经过点（2，），求此二次函数的解析式．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题7】二次函数图像的对称轴为直线x= 1，函数的最小值为，抛物线与x轴两个交点之间的距离为4，求函数的解析式（用三种不同的方法）．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题8】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知，，点A的坐标为（，1）．求：（1）点B的坐标；
（2）图像经过A、O、B三点的二次函数的解析式和这个函数图像的顶点坐标．【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题9】如图，把抛物线（虚线部分）向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于y轴对称．点A、O、B分别是抛物线、与x轴的交点，D、C分别是抛物线、的顶点，线段CD交y轴于点E．
（1）分别写出抛物线与的解析式；
（2）设P是抛物线上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你
的理由．
（3）在抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题10】如图，平行四边形ABCD中，AB= 4，点D的坐标是（0，8），以点C 为顶点的抛物线经过x轴上的点A、B．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业1】已知二次函数的图像经过点A（3，6）、B（，）、C（0，），求二次函数的解析式．
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业2】已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，），求抛物线的解析式．
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业3】已知抛物线与x轴交于点（，0）和（5，0），且与y轴交点的纵坐标为，求抛物线的解析式．
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业4】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线，则平移前抛物线的解析式为_________________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业5】在平面直角坐标系中，先将抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛
物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．B．
C．D．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业6】二次函数图像的顶点为（1，2），且与直线y = 2x + k相交于点（2，）．求：（1）二次函数的解析式；
（2）该二次函数的图像与直线y = 2x + k的另一交点的坐标．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业7】把抛物线向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点（1，3）和（4，9），求p、q的值．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业8】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图像经过B、C两点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求当时，x的取值范围．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业9】已知二次函数的图象过A（2，0），且与直线相交于B、C两点，点B在x 轴上，点C在y轴上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如果P（m，n）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求的面积与m之
间的函数关系式，并求自变量的取值范围．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业10】如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A和点B分别在x轴的正、负半轴上），．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线l与抛物线交于点E、F（点F在点E的左边），如果四边形OBFE是平行四边形，求点E的坐标．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
人教版九年级数学上册二次函数教案
教材分析 本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程： 一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？ 二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形 的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。 问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注： （1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。 （2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。
苏教版九年级下册6.1二次函数教案
6.1 二次函数 一.学习目标 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 二.知识导学 （一）情景导学 1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函 数关系式是 。 2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大? 设长方形的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为 . 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢 脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？ 在这个问题中，地板的费用与 有关，为 元,踢脚线的费用与 有关，为 元；其他费用固定不变为 元，所以总费用y （元）与x （m ） 之间的函数关系式是 。 （二）归纳提高。 上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不 同？ 。 一般地，我们称 表示的函数为二次函数。其中 是自变量， 函数。 一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 ，你能 说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ （三）典例分析 例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值. (1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝ x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c 例2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？ 例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系； ⑵圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所
二次函数教学设计方案(共5讲)
二次函数教学设计方案 单元知识集锦： 教学重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题． 教学难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 第一讲 二次函数的概念 一般地，形如_______________的函数，叫做二次函数.图像是__________. 例:下列各式中,y 是x 的二次函数的是（ ） A.3 230x y --= B.2 (2)(2)(5)y x x x =+--- C.21 y x x = + D.2(1)210x y --+= 练习：若232 (3)1k k y k x kx -+=-++的图象是抛物线，则k= 注意：
2y ax =的图像和性质 （1）顶点坐标___________ 对称轴___________. （2）开口方向由_________决定. __0__0 a a （3）增减性: 如果a ＞0. 00x x >< 如果a ＜0. 00 x x >< （4）开口大小由________决定. _______越大开口越________. 例1 若抛物线2 10 (3)m y m x -=+的开口向下，则m 为_______. 例2 已知直线y ax b =+经过二、三、四象限，则抛物线2 y abx =（ ） A.开口向上，有最低点 B. 开口向下，有最高点 C.开口向下，有最低点 D. 开口向上，有最高点 练习：已知函数2 5y x =-+，当x 取1x ，2x 12()x x ≠，函数值相等，则当x 取12x x +时， 函数值为_______. 2y ax c =+的图像和性质 （1）顶点坐标___________ 对称轴___________. （2）开口方向由_________决定. __0__0 a a （3）增减性: 如果a ＞0. 00x x >< 如果a ＜0. 00 x x >< （4）开口大小由________决定. _______越大开口越________. 例1 在抛物线2 132 y x =- -的对称轴左侧（ ） A.y 随x 的增大而增大 B. y 随x 的增大而减小
九年级数学《二次函数的概念》教案 苏教版
【教学重点、 对二次函数概念的理解； 1)y=2x+1 (2)y=-x-4 (3)y= s=-2t-4 与半径之间的关系式是 。
y= ( 【巩固新知】 1.下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=x 2 (2)y=2 1x - (3)y=x （1-x ） (4)y=（x-1）2-x 2 2、下列函数关系式中一定是二次函数的是（ ） A 、y=2x B 、y=mx 2 C 、21x y = D 、y=(a 2+1)x 2 -ax+a （a 是常数） 3.下列函数关系式中，二次函数有 ( )个. y=(3x-1)2 -9x 2 y=(x+2)2 -4x y=x 2 x 1- y=ax 2 +bx+c x x y 3 = y=65121352-+-x x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4.把函数y=(5x+7)(x-3)+2x-5化成一般形式写出各项系数。 1、写出下列各问题中的函数关系式并指出自变量的取值范围： (1)正方形面积y 和边长x ： ； (2)边长为3的正方形，边长增加x 时面积增加y ，则y 与x 关系： ； (3)等边三角形的面积S 与半径之间的函数关系： ；
(4)圆心角120°扇形面积S 与半径r 之间的关系式： 练习、篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 2、已知二次函数y=-x 2 +bx+3当x=2时y=3.求二次函数的解析式 练习：已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式。 【拓展升华】 １. 关于x 的函数y=(m+1)m m x -2是二次函数，求m 的值. 如果它是二次函数，则m+1应该 0，m 2 -m= ，所以m= 注意:二次函数的二次项系数不能为零 ２. 若函数2 31--+=m m 2)x (m y 为二次函数求m 的值。
九年级数学下册二次函数
九年级数学下册《二次函数》复习课教学设计及反思 知识目标：1、了解二次函数解析式的三种表示方法,抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等; 2、一元二次方程与抛物线的关系. 3、利用二次函数解决实际问题。 技能目标：培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。 情感目标：1、通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣； 2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣。 复习重点：二次函数的应用 复习难点：函数综合题型 复习方法：自主探究、分组合作交流 复习过程： 一、知识梳理（学生独立练习，分小组批改） 1、二次函数解析式的三种表示方法：
（1）顶点式：（2）交点 式：（3）一般 式： 2、填表：（屏幕显示） 抛物线对称轴顶点坐标开口方向当a＞0时开口方向当a＜0时 y=ax2 Y=ax2+k Y=a(x-h)2 y=a(x-h)2 +k Y=ax2 +bx2 +c 3、二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而___，在对称轴左侧，y随x的增大而___；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而____, 在对称轴左侧，y随x的增大而_____ 4、抛物线y=ax2 +bx+c，当a＞0时图象有最____点，此时函数有最_____值；当a＜0时图象有最______点，此时函数有最_______ 值。 二、探究、讨论、练习（先独立思考，再分小组讨论，最后反馈信息）(屏幕显示) 1、已知二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，试判断下面各式的符号：(1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4) a+b+c
二次函数教案设计(全)
课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x
九年级数学二次函数教学设计
二次函数的图象与性质 （第一课时） 【教学目标】 知识与技能 通过复习,掌握二次函数 y=ax2+bx+c图象与性质；掌握二次函数解析式求解方法和思路,提高学生的思维能力。 过程与方法 通过二次函数的相关基础知识的复习，培养学生对知识的整合能力和分析问题的能力。 情感态度与价值观 通过复习,激发学生兴趣,感受数学之美。在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。 【教学重点】 掌握二次函数y=ax2+bx+c图象与性质。 【教学难点】 会利用二次函数的图象及性质解题，掌握数形结合的思想方法。 【教学方法】 提问法，练习法，总结法 【教学准备】多媒体课件、作图工具 【课型】复习课 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 函数问题作为初中数学的重点和难点，在实际生活中有着广泛的应用。二次函数更是历年中考的必考题和压轴题，本节课我们就共同来复习一下二次函数的图像和性质。 二、自主探究，合作交流 第一关知识要点说一说 （一）二次函数的概念 形如y＝ax2＋bx＋c （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 请你写一个二次函数的解析式。 学生口述教师板书解析式。 课件展示问题： 下列函数中,哪些是二次函数？ 1.y=x2 2. 3.y=x-x2 4. 5.y=x2+2x-4 学生口述，教师及时总结归纳。 二次函数的图象是一条抛物线。 利用课件展示图象草图。 1 2- + =x x y x x y 1 2- =
2当x 时，y 随x 的增大而增大， 当x 时，y 随x 的增大而减小， 当x 时，y 有最大值。 （三）用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数解析式时，如果已知抛物线上三点，用 式；如果已知抛物线的顶点坐标，用式；如果已知抛物线与x 轴的交点，用式。 利用课件展示问题。介绍求二次函数解析式的方法。 第二关 基础题目轮一轮 1．二次函数y=x 2 +2x+1写成顶点式为： 对称轴为_____，顶点为______。 2．已知二次函数y= - x 2 +ax-5的图象的顶点在y 轴上，则a=___。 第三关 典型例题显一显 例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3. (1) 用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的变化情况； (2)求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标及△AB C 的面积． 学生小组交流统一答案，学习好的帮扶学习差的，组长安排好组员代表本组进行班级展示； 解：(1)y ＝x 2－4x ＋3＝x 2－4x ＋4－1 ＝(x －2)2－1， ∴其图象的顶点C 的坐标为(2，－1)， ∴当x≤2时，y 随x 的增大而减小；当x>2时，y 随x 的增大而增大． (2)令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3. ∴当点A 在点B 左侧时，A(1，0)，B(3，0)； 当点A 在点B 右侧时，A(3，0)，B(1，0)． ∴AB ＝2，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ， 则△ABC 的面积＝12AB ·CD ＝?1 2 ×2×1＝1.
华师大版九年级下册二次函数单元测试及答案
华师大版九年级（下）二次函数学习评价 （时间90分钟， 满分100） 一、精心选一选（每题4分，共16分） 1．抛物线y=2 1x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式 为（ ） A .y=2 1x 2+2x －2 B. y=21x 2+2x+1 C. y=2 1x 2－2x －1 D .y=21x 2－2x+1 2．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则一次函数y=ax+bc 的图象不经过（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．直线y=ax+b 与抛物线y=ax 2+bx+c 中，a 、b 异号 ，b c<0, 那么 它们在同一坐标系中的图象大致为（ ） 4．已知h 关于t 函数关系式为h=2 1gt 2（g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图象为( ) 二、耐心填一填（每题4分，共40分） 5．函数y=(m+3)4 2 -+m m x ，当m= 时，它的图象是抛物线. 6．抛物线y=2 1(x －3)2－1开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 7．已知以x 为自变量的二次函数y=(m －2)x 2+m 2－m －2的图象经过原点，则m= ，当 x 时y 随x 增大而减小. 8．函数y=2x 2－7x+3顶点坐标为 . 9．抛物线y=x 2+bx+c ，经过A （－1，0）、B （3，0）两点，则这条抛物线的解析式为 ，它的对称轴为 . 10．抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为（2，3），则b= ，c= . 11.如果抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=—2，且开口方向，形状与抛物线y=—2 3x 2 相同，且过原点，那么a= ，b= ，c= . 12．直线y=－3x+2与抛物线y=x 2－x+3的交点有 个，交点坐标为 13．抛物线的顶点是C(2，3)，它与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是方程x 2－4x+3=0
二次函数教学设计
滨泉中学教学设计 课题22.1 二次函数（1）课时 1 设计教师李春丽备课组长 学科书写授课班级9.2 课型新授课审核领导 三维目标知识与技能 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值 范围。 过程与方法通过实际问题的探究，认识二次函数，认识二次项、一次项、常数项。 情感态度与价 值观 注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 教学 重点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教学 难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教学 方法 自主学习辅导法 教学 资源 多媒体课件 教学 流程 教师活动学生活动设计意图 情境导入 一、试一试 1、设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为 xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长， 进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下 表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2、x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3、我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积 (y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数 的关系式， 可让学生根据表中给出 的AB的长，填出相应的 BC的长和面积，然后引 导学生观察表格中数据 的变化情况，提出问题： (1)从所填表格中，你能 发现什么？(2)对前面提 出的问题的解答能作出 什么猜想?让学生思考、 交流、发表意见，达成共 识。 可让学生分组讨论、交 流，然后各组派代表发表 意见。形成共识，x的值 不可以任意取，有限定范 围，其范围是0 ＜x ＜ 10。 实际问题导入， 体现新知识的产生 源于生活实际的需 要。
九年级数学上册22.1.1二次函数教案
22.1.1 二次函数 一、教学目标 1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 四、教学难点 能够表示简单变量之间的二次函数关系. 五、教学过程 （一）导入新课 情景问题：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y=6x2. （1） （二）讲授新课 问题1：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比 赛，所以比赛的场次数是1 (1) 2 n n-（2） 问题2：某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量 22 20(1)204020 y x x x =+=++（3） 活动2：探究归纳 函数（1）（2）（3）有什么共同点？
明确：一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数. （三）重难点精讲 例1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m 2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？ 2(602)30.2 a S a a a -=? =-+ 例2 （1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解：由（1）可知, 271, 30,m m ?-=?+≠? 解得：=m ± 由（2）可知，272,30,m m ?-=?+≠? 解得m=3 归纳：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0. 例3 下列函数中，（x 是自变量），哪些是二次函数？为什么？ ① y=ax 2+bx+c ② s=3-2t 2 ③y=x 2 ④21y x = ⑤y=x 2+x 3+25 ⑥ y=(x +3)2-x 2 明确：②③ ①不一定是，缺少a ≠0的条件；④不是，右边是分式；⑤不是，x 的最高次数是3；⑥可以化成y=6x+9。 （四）归纳小结 小结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax 2+bx+c(a ≠0)外，还有其特殊形式如y=ax 2,y=ax 2+bx,y=ax 2 +c 等. （五）随堂检测 1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 . 2.函数 y=(m-n)x 2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n 是常数,且m ≠0 B . m,n 是常数,且n ≠0 C. m,n 是常数,且m ≠n D . m,n 为任何实数
初三二次函数复习教案.doc
名师精编优秀教案 龙文教育个性化辅导授课 教师：学生：时间：__2012_年__月日 内容二次函数 教学目的 1、理解二次函数及抛物线的有关概念 2、会根据图像上三点坐标或由图像的顶点坐标及另外一点的坐标确定二次函数解析式，会观察 图像，确定 a,b,c，的符号，能从图像上认识二次函数的性质 3、会求二次函数图像的顶点坐标、对称轴方程及其与x 轴的交点坐标，会借助平移理论知识来研究二次函数的最值问题 4、会构建二次函数模型解决以二次函数为基础的综合型题 重难点 二次函数图象及其性质，能把相关应用问题转化为数学问题，灵活运用二次函数分析和解决简单的 实际问题 教学过程 ①一般地，如果 y=ax2+bx+c（ a， b， c 是常数且 a≠0），那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． ②当 b=c=0 时，二次函数 y=ax2是最简单的二次函数． ③二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的三种表达形式分别为： 一般式： y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式； 顶点式： y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式； 交点式： y=a（ x－ x1）（ x－ x2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标 x1，x2才能求出此解析式； 2 b ，4ac b2 2 对于 y=ax +bx+c 而言，其顶点坐标为（－2a 4a ）．对于 y=a（ x－ h） +k 而言其顶点坐标为（ h，k） 由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 2 b ，最值为4ac b 2 ④二次函数 y=ax +bx+c 的对称轴为 x=－2a 4a ，（ k>0 时为最小值， k<0 时为最大值）．由此可知 y=ax2的顶点在坐标原点上，且y 轴为对称轴即 x=0．
人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结
人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结 一、相关概念及定义 1 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数各种形式之间的变换 1二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2； ③()2 h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 三、二次函数解析式的表示方法 1 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ， 、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2ax y =的性质 六、二次函数2y ax c =+的性质
九年级数学二次函数教学案
第 14周第 1课时总第 43课时 课题：二次函数的定义 【学习目标】 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 【学习重难点】 重点：二次函数的概念。 难点：确定实际问题中二次函数的关系式。 【学习过程】 一、预习交流 1．思考： （1）已知圆的面积是Scm 2，圆的半径是Rcm ，写出圆的面积S 与半径R 之间的函数关系式。 （2）已知一个矩形的周长是60m ，一边长是Lm ，写出这个矩形的面积S （m 2）与这个矩形的一边长L 之间的函数关系式。 （3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y （台）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？ 2.归纳： （1）函数解析式均为整式；（2）自变量的最高次数是2。 3.定义： 一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数。 【注意】这里b ，c 没有限制，而a ≠0。 练习一：下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a ，b ，c ？ （1）y=2-3x 2； （2）y=x (x-4)； （3）y= 2 1x 2-3x-1； （4）y= 4 1x 2+3x-8； （5）y=7x （1-x ）+4x 2； （6）y=（x-6）（6+x ）。 (7 ) y= 2 2561 x x - （8）y=(x-2)2 - x 2 ； 练习二：若函数( ) m m x m y --=2 12 是二次函数，则m 为 二、精讲点拨
例1．当k 为何值时，函数2 (1)1k k y k x +=-+为二次函数？ 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系； ⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 例3.已知二次函数2y ax =，当3x =时，5y =-。当5x =-时，求y 的值． 三、拓展延伸 1.考察下列函数：①2 13y x =+，②2 251y x x =-+，③3(1)y x x =-， ④3y x =-， ⑤234v t t =-（t 是自变量）中，二次函数是： 。 2.若一个边长为x cm 的无盖．．正方体形纸盒的表面积为y cm 2 ，则 ___________y =，其中x 的取值范围是 。 3.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式：S = 。 4. 如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的 十字形道路，请写出绿地面积y (㎡)与路宽x (m)之间 的函数关系式：y = 。 5. 如图，用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y (㎡)与它与墙平行的边的长x (m)之间的函数 关系式：y = 。 6.已知函数2 7 (3)m y m x -=-是二次函数，求m 的值． 四、系统总结 学生谈谈自己的收获 五、限时作业
(公开课一等奖)二次函数复习课教案
《二次函数复习》教学案 班级：初三18班年级：九设计者：李玲时间：2015年10月16日
关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 基础知识之基础演练 二次函数是生活中最常见的一类函数，它有着自己固有的性质，反映的是轴对称性和增减性； 我们要突出反映二次函数的轴对称性、顶点坐标，我们就可以把一般式改写成顶点式；如果想知道抛物线与x轴两个交点的情况，我们可以把一般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的性质，我们发现二次函数的图像能够直观地反映函数的特性，而数又能细致刻画函数图像的大小和位置，下面就让我们遵循着数形结合的线索，继续对二次函数进行深入的研究。
难点突破之思维激活1、如果把抛物线绕 ()4 12+ + - =x y顶点旋转 180°，则该抛物线对应的解析式是 . 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平 移3个单位，则得到的抛物线对应的解析式 是 . 抛物线的平移——点的平移 难点突破之聚焦中考2、问题①，结合图像思考： 方程 ()1 4 12= + + -x 有几个实数解？ 问题②，结合图像思考： 当m为何值时，方程 ()m x= + + -4 12 1）有两个不相等的实数根； 2）有两个相等的实数根； 3）没有实数根？ 问题③ 其实方程、不等式本身就 有一个代数的解法，我们现在 也用图像解法 我们通过三个题目把这 个知识的层次性展示出来，方 程、不等式都可以转化成函数 的图像来解
若直线 m kx y +=1与抛物线 c bx ax y ++=22交于A （1,0） 、B （-1，4） 两点，观察图像填空： 1）方 程 m kx c bx ax +=++2的解 为 ； 2）不等式 m kx c bx ax +>++2的解 为 ； 3）不等式 m kx c bx ax +<++2的解 为 ； 反思与 提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己 还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意 哪些问题？ 教者归纳本章知识网络图示 让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养．
二次函数的应用教案(教学设计)
1.以具体实践案例为基础，理解二次函数的深刻内涵及有关概念，感受现实问题中两个变 2.体会数量关系变化的过程，学会使用“二次函数”这一数学模型； 3. 使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题； 4. 培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力，体会数学知识的现实意义，激发学生学习数学的热情； 教学重点及难点： ㈠教学重点： 1、将生活中的实际问题转化为数学问题。 2、将实际问题中的数量关系，归结二次函数变量之间的关系，从而利用二次函数知识解 决实际问题。 ㈡教学难点： 1、将实际问题转化为数学问题。
解：如图，建立平面直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：2 (4)4y a x =-+, (08)x ≤≤ 209 抛物线经过点（0，） 220(04)49 a ∴=-+ 19 a ∴=- 21(4)49 y x ∴=--+ 208y 9 x ==当时， ∵篮圈中心距离地面3米,20y 39 =< ∴此球不能投中 问题;若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? 预设:（1）跳得高一点 （2） 向前平移一点 【设计意图】通过这一问题，让学生思考角度和力度都不变,，与哪些数学知识点有关，体会实际问题中的语言，与数学知识点的转化，进而体会抛物线上下、左右的平移应用。
(1)在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈? (2)在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？ 三、学以致用，巩固提高 练习： 一场足球比赛中, 一球员从球门正前方17m 处将球踢起正射向球门, 球飞行路线为抛物线, 当球飞行水平距离为1 0m时，球到达最高点，此时球高4米。在球门正前方1m 处只有一名身高1.85m的后卫, 他的最大弹跳高度为o.8m，若此时该后卫起跳及时，他能否拦住球? 为什么? 若没有这名后卫, 球能否射进球门(在不考虑守门员等情况下) ? ( 球门高:2.44m)
【新人教版】九年级数学上册第22章《二次函数》教案
第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一.创设情境，导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二.合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c
实际问题与二次函数教学设计
实际问题与二次函数 【教学目标】 一、知识与技能： 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。 二、过程与方法： 应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。 三、情感态度与价值观： 在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。【教学重难点】 1.探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。 2.如何将实际问题转化为二次函数的问题。 【教学过程】 一、复习旧知、导入新课 1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （1）y＝6x2＋12x；（2）y＝－4x2＋8x－10 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？ 有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。 二、学习新知 1.应用二次函数的性质解决生活中的实际问题 出示例1.要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，围成的矩形面积S最大？ 解：设矩形的一边为Lm，则矩形的另一边为(30－L)m，由于L＞0，且30－L＞O，所以O＜L＜30。围成的矩形面积S与L的函数关系式是 S＝L(30－L) 即S＝－L2＋30L
(有学生自己完成，老师点评) 2.练一练： 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 请同学们完成解答；教师巡视、指导；师生共同完成解答过程： 解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。 商品每天的利润y与x的函数关系式是： y＝(10－x－8)(100＋1OOx) 即y＝－1OOx2＋1OOx＋200 配方得y＝－100(x－12)2＋225 因为x＝12时，满足0≤x≤2，所以当x＝12时，函数取得最大值，最大值y＝225． 所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大。 三、课堂小结 小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤： （1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； （2）研究自变量的取值范围； （3）研究所得的函数； （4）检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值： （5）解决提出的实际问题。
二次函数的概念教学设计课题
二次函数的概念教学设计 芷兰实验学校佳雪 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 二次函数是在学生学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习的一个新的函数，学习二次函数将为一元二次方程的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想，为后来学习二次函数的图象做铺垫，更是高中学习阶段不可缺少的一类重要函数，在学业水平测试中占有较大比例，更是压轴题的热门. 2、学情分析 从心理特征来说，初中阶段的学生观察能力，记忆能力和想象能力迅速发展。但同时，学生进入九年级之后，上课气氛比较沉闷，不爱发表自己的见解，所以本节课我将利用生活中的视频，图片和时事问题引发学生的兴趣，创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学习的主动性。 从认知状况来说，学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数，对函数概念已经有了认识，但对于得出二次函数的概念（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以我将结合生活中的图片和实例予以引导。 二、教学目标分析 1、知识目标：掌握二次函数的概念，理解二次函数的一般式，初步运用二次函数解决简单应用题，了解如何根据实际问题确定自变量的取值围。 2、能力目标：通过视频图片的引入，培养学生的观察力，抽象概括能力及创造想象能力 3、情感目标：通过观察、讨论、合作交流等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的信心． 4、教学重点难点：新概念教学指出，正确的理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用知识解决问题的金钥匙，所以本节课的重点是对二次函数概念的理解。难点是由实际问题确定函数解析式和自变量的取值围。 三、课堂结构设计 1、设计理念：形的引入，揭示为什么学二次函数，再数的解析，得出什么是二次函数，最后达到数形结合的统一、 2、为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了六个教学环节：（1）联系生活，引出概念 （2）合作交流，提炼概念 （3）全面剖析，理解概念 （4）例题讲练，运用概念 （5）拓展延伸，升华概念 （6）归纳小结，整理概念
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数教案
第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． 阅读教材第28至29页，理解二次函数的概念及意义． 自学反馈 学生独立完成后集体订正： 1．一般地，形如________________(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为________． 2．现在我们已学过的函数有________、________，它们的表达式分别是____________________、____________________． 3．下列函数中，不是二次函数的是() A．y＝1－2x2B．y＝(x－1)2－1 C．y＝1 2(x＋1)(x－1) D．y＝(x－2)2－x2 4．二次函数y＝x2＋4x中，二次项系数是____，一次项系数是____，常数项是____． 5．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式． 6．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式．判断二次函数关系要紧扣定义． 活动1小组讨论 例1若y＝(b－1)x2＋3是二次函数，则b≠1． 二次项系数不为0. 例2一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小矩形，剩余部分的面积为y cm2. (1)写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？ (2)当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？ 解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144. ∴y是x的二次函数． (2)当x＝2和4时，相应的y的值分别为132和104. 几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1．如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，那么k的值为多少？ 不要忽视k＋2≠0. 2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与x成正比例，则y与x的函数关系是() A．正比例函数B．一次函数 C．二次函数D．不确定 3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数解析式为________________． 4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x m，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为______________________(不要求写出自变量x的取值范围)．