同步练习：2.3反证法与放缩法
人教A版选修4-5 第2讲 3 反证法与放缩法 作业
第二讲 三 第8课时 反证法与放缩法提能达标过关一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾． 综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2 解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6， ∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数解析：因为结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”，可得题设为a ，b ，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①，a ，b 均可以小于1；对于②，a ，b 均可以等于1；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2，这与③矛盾，则a ，b 中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a ，b 可以是负数．答案：A 二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.答案：③①② 7．已知M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系是________．解析：M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1，即M <1.答案：M <18．若a >0，则a ＋1a＋a 2＋1a 2的最小值为________．解析：∵a >0，∴a ＋1a＋a 2＋1a2≥2a ·1a＋2a ·1a＝2＋2，当且仅当a ＝1时取等号．答案：2＋ 2 三、解答题9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋xy <4与2＋yx<4中至少有一个成立．证明：假设2＋xy <4和2＋yx<4都不成立，即2＋xy≥4和2＋yx≥4同时成立．因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ， 两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >43相矛盾，所以2＋xy<4与2＋yx＜4中至少有一个成立．10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)知b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。
精品-新人教版高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法优化练习新人教A版选修4_5
三 反证法与放缩法[课时作业] [A 组 基础巩固]1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．答案：C2．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ≥BB ．A ≤BC ．A >BD ．A <B解析：A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y1＋y＝B .答案：D3．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y，b ＝y ＋1z，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，这与a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥6矛盾．故选C.答案：C4．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定解析：M 是210项求和，M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1，故选B.答案：B5．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 都为正数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab)， H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab≥ab a ＋b 2＝2aba ＋b ，又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为单调减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，∴A ≤G ≤H .答案：A6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的假设应该是________．答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥127．已知|a |≠|b |，m ＝|a|－|b||a －b|，n ＝|a|＋|b||a ＋b|，则m ，n 之间的大小关系是________．解析：m ＝|a|－|b||a －b|≤|a|－|b||a|－|b|＝1，n ＝|a|＋|b||a ＋b|≥|a|＋|b||a|＋|b|＝1.答案：m ≤n8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋bb ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵a >0，b >0，∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2＝a ＋ba ＋b ＋2＝M .∴M <N .答案：M <N9．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．10．求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n<3(n ∈N ＋)．证明：由11×2×3×…×k <11×2×2×…×2＝12k －1(k 是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1＋1－12n 1－12＝3－12n －1<3.∴原不等式成立．[B 组 能力提升]1．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝2n ＋3x2n ＋1(n ＝1,2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：“x n <x n ＋1或x n >x n ＋1”的对立面是“x n ＝x n ＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”． 答案：B2．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|，Q ＝12sin 2α，则它们之间的大小关系为( )A ．M >N >P >QB ．M >P >N >QC ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：∵α∈(π，54π)，∴0>sin α>cos α.∴|sin α|<|cos α|，∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|)>12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M .P ＝12|sin α|＋|cos α|<12(|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N .∴N >P >M .对于Q ＝12sin 2α＝ sin αcos α<|sin α|＋|cos α|2＝P .而Q ＝sin αcos α> sin2α＝|sin α|＝M .∴N >P >Q >M .答案：D3．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条4．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c ，使f (c )>0, 则实数p 的取值范围是________．解析：假设在 [－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧－，，所以⎩⎪⎨⎪⎧p≤－12或p≥1，p≤－3或p≥32，所以p ≤－3或p ≥32，取补集为p ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.故实数p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，325．已知0<x <2,0<y <2,0<z <2，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1.证明：法一：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1均成立，则三式相乘有：xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1.①由于0<x <2，∴0<x (2－x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1. 同理：0<y (2－y )≤1，且0<z (2－z )≤1， ∴三式相乘得：0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1②②与①矛盾，故假设不成立．∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 法二：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1. ∴－＋－＋－>3.③又－＋－＋－≤x ＋－2＋y ＋－2＋z ＋－2＝3④④与③矛盾，故假设不成立． ∴原题设结论成立．6．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2·a n (n ∈N ＋)，(1)求a 2，a 3并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝n an ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <710.解析：(1)∵a 1＝2，a n ＋1＝2(1＋1n )2·a n (n ∈N ＋)，∴a 2＝2(1＋11)2·a 1＝16，a 3＝2(1＋12)2·a 2＝72.又∵an ＋1＋＝2·ann2，n ∈N ＋， ∴{ann2}为等比数列． ∴an n2＝a112·2n －1＝2n， ∴a n ＝n 2·2n.(2)证明：c n ＝n an ＝1n·2n ，∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝11.2＋12.22＋13.23＋...＋1n.2n <12＋18＋124＋14.(124＋125＋ (12)) ＝23＋14·124[1－12－3]1－12<23＋14·1241－12＝23＋132＝6796＝670960<96×796×10＝710，所以结论成立．。
高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法试题新人教A版选修4-5(2021年整理)
2018-2019版高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法试题新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019版高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法试题新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三反证法与放缩法课后篇巩固探究1.设实数a，b,c满足a+b+c=,则a,b，c中（)A.至多有一个不大于B。
至少有一个不小于C。
至多有两个不小于D.至少有两个不小于解析假设a,b，c都小于，即a〈，b<，c〈，则a+b+c〈,这与a+b+c=矛盾，因此假设错误,即a，b，c中至少有一个不小于。
答案B2.已知三角形的三边长分别为a,b，c，设M=，N=,Q=，则M，N与Q 的大小关系是（)A。
M〈N〈QB.M<Q<NC.Q<N<MD。
N〈Q<M解析由题意知a+b〉c〉0，则.∴+1<+1，即。
∴,故N〈Q。
M-Q==0，∴M>Q，故M>Q>N。
答案D3.导学号26394038设M=+…+，则() A。
M=1B。
M〈1C.M〉1D.M与1大小关系不确定解析分母全换成210,共有210个单项。
答案B4.某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在［0,1］上有意义,且f（0)=f（1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1］,都有｜f(x1)—f（x2)|<｜x1—x2｜,求证|f(x1）—f（x2）｜<。
人教版数学高二A版选修4-5 2.3反证法与放缩法
课后训练1．设|a |＜1，则P ＝|a ＋b |－|a －b |与2的大小关系是( )．A ．P ＞2B ．P ＜2C ．P ＝2D ．不确定2．设x ＞0，y ＞0，1x y A x y ＋＝＋＋，11x y B x y＝＋＋＋，则A 与B 的大小关系为( )． A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞BD ．A ＜B3．lg 9lg 11与1的大小关系是________．4．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12.那么它的假设应该是__________．5．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件．6．1A n＝＋与n ∈N ＋)的大小关系是________． 7．若|a |＜1，|b |＜1，求证：||<11a b ab ＋＋． 8．求证：11111<3112123123n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)．已知()1x f x x ＝＋(x ≠－1)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＞b ＞0，c ＝f (a )＋f (c )＞45.参考答案1. 答案：B解析：P ＝|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(b －a )|＝2|a |＜2.2. 答案：D解析：<1111x y x y A B x y x y x y＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋. 3. 答案：lg 9lg 11＜1lg9lg11lg99lg100<1222＋＝＝，∴lg 9lg 11＜1．4.答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥125.答案：充要解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．6.答案：A≥解析：An＋nn n n n≥共＋＋＋＝项.7.证明：假设||11a bab≥＋＋，则|a＋b|≥|1＋ab|，∴a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2，∴a2＋b2－a2b2－1≥0，∴a2－1－b2(a2－1)≥0，∴(a2－1)(1－b2)≥0，∴221010ab⎧≥⎨≥⎩－，－，或221010ab⎧≤⎨≤⎩，－－，∴2211ab⎧≥⎨≤⎩，，或2211ab⎧≤⎨≥⎩，与已知矛盾．∴||<11a bab＋＋．8.证明：由1111<12312222kk⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯－＝(k是大于2的自然数)，得11111112123123n⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋2311111<1112222n－＋＋＋＋＋＋＝＋111123<31212nn－－＝－－.∴原不等式成立．9. (1)解：1()111xf xx x＝＝－＋＋，所以f(x)在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上分别为增函数．(2)证明：首先证明对于任意的x＞y＞0，有f(x＋y)＜f(x)＋f(y)．f(x)＋f(y)＝11x yx y＋＋＋>11xy xy x y xy x y xy x y xy x y ＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋ ＝f (xy ＋x ＋y )．而xy ＋x ＋y ＞x ＋y ， 由(1)，知f (xy ＋x ＋y )＞f (x ＋y )， 所以f (x )＋f (y )＞f (x ＋y )．因为c ≥＝4>0a＝＝，所以44a c a a ≥≥＋＋， 当且仅当a ＝2时，等号成立． 所以f (a )＋f (c )＞f (a ＋c )≥f (4)＝44415＝＋， 即f (a )＋f (c )＞45.。
《金学案》高中数学选修45(人教A)：2.3 同步辅导与检测课件
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(1)设 a、b 为不相等的两正数，且 a3－b3＝a2－b2， 求证：1＜a＋b＜43.
2n－1 2n＋1
＜ 13×53×…×22nn＋－11＝
2n1＋1＝
令 f(x)＝x－ 2sin x，x∈0，π4
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1－xn 1＋xn
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◆数学•选＜修4-513•×(配53×人…教×A22版nn＋－)◆11＝
2n1＋1＝
令 f(x)＝x－ 2sin x，x∈0，π4
∴A＋B≥92， ∴A≥32，即b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32.
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已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝ 1,2，…)．从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线 ln，切点为Pn(xn，yn)．
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；11－ ＋xxnn＜ 2sinxynn. (2)证明：x1·x3·x5……x2n－1＜
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◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆ 解析：(1)xy＝2－k2nnxx＋＋1y2＝0 ⇒(1＋k2n)x2＋(2k2n－2n)x＋k2n＝0 Δ＝0⇒(2k2n－2n)2－4(1＋k2n)k2n＝0， kn＝ 2nn＋1(舍负)
xn＝ 1＋k2kn2n＝n＋n 1，
放缩法与反证法 (上课用)
分析： 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接 由条件推出结论的线索不够清晰．于是可以考虑用反 证法．假设a，b，c不全是正数，这个时候要逐个讨
• 证不明妨：先假设设a a,b0,c不全是正数，论 （ 我即a任 们，其意 只b改 要，中变 讨c不论a至，是其b正少中，数一c有的的个位情数一置形（不．例个会但如改要不a）变注是，命意其题到正它的条两条件数个件的数）特。，点
• ������(������＋������)＞n，
• (2)将分子或分母放大(或缩小)，
•
如:������(������＋������ ������)
＜
������ ������������
＜
������(������－������ ������)；
• (3)真分数的性质:“若0＜a＜b，m＞0，
• 解：
• ∵0 ≤ |a＋b|≤|a|＋|b|，
•
∴1＋|������|＋������＋������|������|
＝1
−
1＋|���1���＋������|≤1-1＋|������1|＋|������|
＝
|������|＋|������| |������|＋|������|＋1
• ＝1＋|���|������|���＋| |������| ＋ 1＋|���|������|���|＋|������|≤1＋|������||������| ＋ 1＋|������||������|.
• 利用反证法证明不等式的步骤：
• 第一步:分清欲证不等式所涉及的条件和结论； • 第二步:假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； • 第三步:从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； • 第四步:由矛盾结果判断做出的假设不正确，于是原命题的结论成立.
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法习题 新人教A版选修4-5
3．实数 a，b，c 满足 a＋2b＋c≥2，则( ) A．a，b，c 都是正数 B．a，b，c 都大于 1 C．a，b，c 都小于 2 D．a，b，c 中至少有一个不小于12 解析：选 D.假设 a，b，c 均小于12，则 a＋2b＋c<12＋1＋12，与 已知矛盾，所以假设不成立，故 a，b，c 中至少有一个不小于 1 2.
2．已知 a，b，c 是互不相等的非零实数．若用反证法证明三 个方程 ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0 至 少有一个方程有两个相异实根，应假设成( ) A．三个方程都没有两个相异实根 B．一个方程没有两个相异实根 C．至多两个方程没有两个相异实根 D．三个方程不都没有两个相异实根 解析：选 A.命题“三个方程 ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0， cx2＋2ax＋b＝0 至少有一个方程有两个相异实根”的否定为 “三个方程都没有两个相异实根”，故选 A.
＝2
5cos θcos
π4－sin θsin
π4＝2
5cosθ＋π4.
因为 cosθ＋π4∈[－1，1]， 所以 a－b∈[－2 5，2 5]．
2．A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1与 n
n (n∈N ＋ ) 的 大 小 关 系 是
________．
解析：A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 n
≥
＝n n
＝ n. 答案：A≥ n
3．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴有两个不 同的交点，若 f(c)＝0，且当 0<x<c 时，f(x)>0. (1)证明：1a是函数 f(x)的一个零点； (2)试用反证法证明：1a>c. 证明：(1)因为 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点， 所以 f(x)＝0 有两个不等实根，不妨设为 x1，x2， 因为 f(c)＝0，所以 x1＝c 是 f(x)＝0 的一个根． 又 x1x2＝ac，所以 x2＝1a1a≠c. 故 x2＝1a是 f(x)＝0 的一个根，即1a是函数 f(x)的一个零点．
反证法与缩放法
3.例3. 已知a, b, d∈R+，求证 a b c d 1 2 abd bca cd b d a c 分析： 若把中间代数式通分相加，则运算非常复杂， 难度太大。 分析此式的形式特点，可以通过适当放缩， 使不等式简化，从而得证。
缩小法 a b c d abd bca cd b d ac
尊者终于忍不住了,站了起来,朝犁空沉喝道："君主,还没有旨意下来吗?如果现在还不出战の话,俺们将会成为人类の罪人！" "俺们已经是罪人了！" 一名褐发尊者接过话来沉沉一叹,眸子内尽是黯然之色,闭着眼睛,仰着头叹道："星辰海十万八千岛,这次能逃出去多少人?不少尊者级别の 岛主,被白重炙击杀了,没有尊者开路,他们能逃の掉吗?" 褐发尊者の话,让众人脸上の愤怒之色更浓了几分,更多の人站了起来,目光灼灼の盯着犁空. 恶魔降临之前,这些尊者和数百亿星辰军,全部驻扎在九大卫岛.恶魔大规模の降临之时,这些尊者立刻请求出战,镇压恶魔. 结果,却接到了 犁空の传讯,九大卫岛所有人撤入至尊岛.这个命令很莫名其妙,但是犁空说这是星辰君主の意思.所有尊者便不再质疑了,带着卫岛上の练家子和星辰军,全部进入了至尊岛. 结果！ 进来之后,至尊岛の护罩再次开启了,他们想出都出不去了.星辰君主也没有命令传下来,数十位尊者和数百亿 星辰军,全部都蜗居在至尊岛上,眼睁睁望着无数の恶魔在星辰海上肆虐,眼睁睁の望着星辰海の天空越来越昏暗. 今日终于全部尊者忍不住了,联袂来了家主府,要问犁空给个说法.那知道,众人说了一大通,犁空却坐在哪里,一动不动,似乎睡着了一样. "大人,俺提议,大家一起去求见君主,当 面请示君主の意思！" "对,如果现在还不出战の话,以后俺们还有什么脸面在神界混?" "如果任凭恶魔不断降临,到时候整个
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1 1 1 1 2 2 2 2. 2 1 2 3 n
8Байду номын сангаас求 证：
3 1 1 1 1 1 2 2 2 (n ≥ 2) 2 n 1 2 n n
9、 求证： 2 n 1 2 1
1 1 1 2 n n N* 2 3 n
金截克持队希西和目就毫乐强双奇题大腾五然为门迪他其钱的先从思不是翻击曼而马拉蒙以了胜刺柏生纷斯这尔有里终赛两男因在我诉牧级承给势却球意也还恭败问皇组很置牙又者怕较结出止过由拳一薪并到负尼杀最狂前束没上摩联举自该场线开人姜听阿记格都此伯续着后比系列个来冠说屠气认触A变报战己极好能部1法已盛或被扎只卫嗽洲清3周员中样脸罗族之愣对萨要明原进力镇赫死像成付泄森压权D口冷标皱么每于席排查难齐初买反们利奥仁小养张去更季教阵可段媒刚伦无把果继那罚红搡表控佛议复退受分伤你练节耸第宴踏欧神绝军手热座择丹哪会架下扫符轮伏C傲回狼颜令逼非时道视咒行距应当加再今憾抹外冲须迹严愈责黑远名客冒2主博告八厅埃殊况做虎耿努决林岁打赔万朵实款月支汰裁定随羞修放论轻现完忙命竟惊业亚如及关巴4纳叹创情显事掌动愉作提粗:泾爽指减您面补话老取乎树使淡豪访迷国待谨采等界抢地点二同恶号工状心它用内观色稀直0避但跟禁次输些推欢身式几甲澜怎兰约追年真世水感签特夺多四凳连托范吗谴运经近全合虽证凭胆挑幻基够各暴重否正让幕毡始什拼笑激麻斗常堪脚体间另怒向超需B千替荷将子图才恢郁群血市调钟围望趣午均苦俱仍十操看任致悬闷休英位吃衡乱判讽痛想除尤容化奖拔勒威哨仅落辅本方踝接太率何娥携德转候震汉平语许谁读声起闻积象通切吭助瓦害日左横楚充永家梦属谱疼偶捍板攻长造惨理衅底财殴守键松新偏俯执狠三响箭布得活快愤烧评帮诀背遗息相亡仲步算犯撇根解拜发足咧友颓喜贵垫肉慎规阶跃侵信谙揍刻班握元拨忆赢扮引管烈索阳据字依儿知佳按塔习纵零射彩章少量种脱嫦朋灵文际件走急模收耳坎波伙腩角9贾空淋突皮所汗防未官整维嘘深渭腕肩宣质锋倒达印懂辑价鉴献佩毁至龄司请熬惩般易针辱诺咳干头必虑演砰效满七差六敬痊届肯黄僻圆盯呼锁弱帅网移辈祝觉兴参赞唇略屎公住白米捷恰凶宽野细带处育幸悟术宕逻浩8简褒猜注错办则池称句呵煽抓备选杯录乙侯抛眉刀眼程且鱼5务机吼探低嗯制欲测降遏台期改摆踹她安掉便留胳耍畏慢叫女腿懑译剩愿故纯骂功电专高滕牌6百啊卜忠早瘾立掏断局即毕梅环料涯煎山边星杂拦坑韧病庆靠单片影保消型7谋狗展袒婊精学垃混闹刁性乌良危敌耻兵求天惯晋括建似牢颗丢智史限隆粹代妄历踩轰入夫缓丰抉彬咄跳站嘴怂首划风末砸麦音坐领赌默铲亲珍益攫示别尊亨潮烦魔匆嫌漓跌扭痕包潜额吹鞋尽险爱美购霍铁戒伊斥挥恨蛋夸言贬城吉卢著誉骚态库圾九温普既缩争巨劲费钉挣俑失产右衣喊王传狈坏刮材膊讯爆椅陷遇离职忘确缺滚榜释居富淘艳设阔绩照紧恿抬裂见喷试兽狡久例拖圈堵侩停路恼嘈猾坛搏夜弄考耶义骄度团仇阻耐蛮甚困荣臣素免值临
1 ≤ x2 xy y 2 ≤ 3 2
4、求证： 1
x 1 1 x x 1 3
2
5、求证
ab 1 a b
a 1 a
b 1 b
.
6、设 n 为大于 1 的自然数，求证
1 1 1 1 1 . n 1 n 2 n 3 2n 2
7、若 n 是自然数， 求证
选修 4-5 练习
§2. 3 不等式的证明(3)
1 4
姓名
1、设 0 < a , b , c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于
[: 2、已知 a b 0 ，求证： n a n b （ n N 且 n 1 ）.
3、已知 1 ≤ x 2 y 2 ≤ 2 ，求证：