数学相似三角形思维导图
知识必备08 相似三角形(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备08相似三角形（公式、定理、结论图表）考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：①a：b=c：d ad=bc②a：b=b：c.（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.典例1：（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 1.2 倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．典例2：（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. (3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.典例3：（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 5 ．【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB ＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．典例4：（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．典例5：（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE 的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．典例6:（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB的长，从而可以得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∵AB是⊙O的直径，AD＝3，∴∠ADB＝90°，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．典例7：（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．【分析】解法一：先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB 的长，最后由线段的差可得结论．解法二：过点C作CM⊥OD于C，证明△EGF∽△MDC可得结论．【解答】解：解法一：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF，∵∠AOD＝∠EFG＝90°，∴△AOD∽△EFG，∴＝，即＝，∴AO＝15，同理得△BOC∽△AOD，∴＝，即＝，∴BO＝12，∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）；解法二：如图，过点C作CM⊥OD于C，交AD于M，∵△EGF∽△MDC，∴＝，即＝，∴CM＝3，即AB＝CM＝3（米），答：旗杆的高AB是3米．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．典例8：（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．（1）求证：△ABM∽△EBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据，可得，再证得△ABM∽△ECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC边上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E为BC的中点，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：∵sin B＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值为，答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．考点三、位似图形1.位似图形的定义： 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类： (1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. (2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.典例9：（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．。
初中数学 相似与投影考点 知识点 思维导图 相似三角形 投影与视图
进行计算 利用比例尺，计算地图或
实际图形中的线段长或面积大小．
利用图形相似
根据相似比，确定相似形的周长和面积．
通过相似列出比例式，
运用方程思想，确定边长
通过相似求线段间的比值．
常作辅助线 是平行线 过三角形一边（或延长线）上的特殊点作另一边的平行线．
三角形的中线∶过中点作边的平行线；
或延长中线一倍，构造平行四边形．
把三视图还原成立体图形，
使数量关系更直观．
根据三视图进行计算．
同一时刻、同一地点各物体投影的方向相同．
学猪法导
投影
判断平行投影
定义
用光线照射物体，在某个平面上得到的影子．
中心投影
一般地，同一时刻，物体越高其影子越长．（影长与物高成正比）
使两物体成影的光线的交点即是． 太阳光线当成平行光线
确定光源的位置
出村节十十中宁
个Ｒｔ△与原Ｒｔ△相似
注意∶三角形相似具有传递性．
判断
结合三角形的性质，
三角形相似
确定三角形各角度数．
在正方形的网络中
结合勾股定理，
确定三角形相似
确定三角形各边长．
运用三角形相似的方法得出结论
已知三角形
逆向思维，依据仍是三角形判定条件．
探索得出的条件不唯一，
但只要相似的条件即可
相似，探索使
１．若有平行线，直接得出三角形相似．
２．若无平行线，按判定方法逐个判断．
在几何图形中
找三角形相似
判断多边形
的相似
相似三角形
判定
Ｒｔ△相似
结论
成的三角形与原三角形相似．
１．斜边和一直角边对应成比例
的两直角三角形相似．
初中数学《相似三角形》教学设计及思维导图
初中数学《相似三角形》教学设计及思维导图教学目标知识与技能1. 理解相似三角形的定义和性质。
2. 学会运用相似三角形解决实际问题。
过程与方法1. 通过观察、操作、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
2. 学会使用三角形相似判定定理和性质定理解决相关问题。
情感态度与价值观1. 培养学生的团队合作精神，提高学习数学的兴趣。
2. 培养学生解决实际问题的能力，感受数学与生活的联系。
教学内容1. 相似三角形的定义1. 引入相似三角形的概念，讲解相似三角形的定义。
2. 通过实例让学生理解相似三角形的含义，并学会判断两个三角形是否相似。
2. 相似三角形的性质1. 讲解相似三角形的性质，包括边长比、角度相等、对应边成比例等。
2. 通过练习题让学生熟练掌握相似三角形的性质，并学会运用性质解决实际问题。
3. 相似三角形的判定定理1. 讲解相似三角形的判定定理，包括AA、SSS、SAS、RHS 等。
2. 通过练习题让学生熟练掌握判定定理，并学会运用判定定理判断两个三角形是否相似。
4. 相似三角形的应用1. 通过实例让学生学会运用相似三角形解决实际问题，如测量物体的高度、计算图形的面积等。
2. 引导学生将相似三角形应用于生活和学习中，提高学生解决实际问题的能力。
教学方法1. 思维导图法1. 引导学生通过思维导图法总结相似三角形的相关知识，形成知识体系。
2. 培养学生通过思维导图法进行自主学习和思考的能力。
2. 案例教学法1. 通过实际案例让学生理解相似三角形的应用，提高学生的学习兴趣和实际问题解决能力。
2. 引导学生运用相似三角形解决实际问题，培养学生的创新能力。
3. 小组合作学习法1. 将学生分成小组，进行合作学习，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
2. 通过小组讨论和分享，促进学生之间的互帮互助和共同进步。
教学评估1. 课堂练习1. 在课堂上进行相关的练习题，以检测学生对相似三角形知识的理解和掌握程度。
2. 通过练习题的完成情况，了解学生的学习效果，及时进行针对性的辅导和指导。
初中数学《相似三角形》单元教学设计以及思维导图
初中数学《相似三⾓形》单元教学设计以及思维导图初中数学《相似三⾓形》单元教学设计以及思维导图相似三⾓形适⽤年九年级级所需时7课时课内:6课时课外:1课时间主题单元学习概述“相似三⾓形”是以全等三⾓形和相似变换为基础，是全等三⾓形在边上的推⼴，是相似变换的延续和深化(相似三⾓形的知识⼜是“锐⾓三⾓函数”和“投影与视图”的基础，⽽且在物理中学习光学、⼒学等，也要⽤到相似的知识，另外在实际⽣活中的建筑设计、测量、绘图等许多⽅⾯，也都⽤到相似的相关知识，因此它是空间与图形领域中的重要内容，对前后各部分知识起到纽带的作⽤，⽽且对于学⽣今后从事各种实际⼯作也具有重要作⽤。
“相似三⾓形”主题单元结构包括“相关概念及性质”、“探究判定”“应⽤”三部分。
把相似图形相似三⾓形和相似⽐等有关的概念和相似多边形的性质放在⼀起作为专题⼀集中处理，结合类⽐学习，性质和判定的互逆性，把具有探究性的相似三⾓形的判定作为专题⼆集中处理，有利于帮助学⽣理解知识之间的联系，展⽰数学知识的整体性。
专题三的简单应⽤是考虑到学完知识后，为了更好的体现“数学来源于⽣活⼜服务于⽣活”这⼀理念，并且现实⽣活中存在许多不能直接测量长度的实际问题，⽽要解决这些实际问题恰恰会⽤到相似三⾓形的相关知识，通过这些实际问题的解决，让学⽣经历从实际问题抽象出数学问题，建⽴数学模型，应⽤已有知识解决问题的过程，从⽽加深对相关知识的理解，提⾼思维能⼒，⽽且还借助⼀个测量⽅案的数学活动设计问题，探究性的应⽤相似三⾓形的知识，达到灵活综合运⽤知识的⽬的。
主题单元规划思维导图主题单元学习⽬标知识与技能:1、通过具体事例认识图形的相似，了解相似多边形和相似⽐;2、理解相似多边形对应⾓相等、对应边相等、周长的⽐等于相似⽐、⾯积⽐等于相似⽐的平⽅。
3、探索并掌握相似三⾓形的判定定理，并能利⽤这些性质和判定定理解决⽣活中的⼀些实际问题。
过程与⽅法:1、经历探索两个三⾓形相似条件的过程;2、通过操作、观察、猜想、类⽐、证明等数学活动，积累数学活动经验，感受数学思维过程的条理性，进⼀步提⾼学⽣的数学思维能⼒和推理论证能⼒，体会转化的思想⽅法。
初中数学《相似三角形》单元教学设计以及思维导图
相似三角形适用年级九年级所需时间8课时（说明：课内共用几课时，每周几课时；课外共用几课时）主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500)本单元是数学九年级（上）《相似三角形》的内容，本章内容可划分为四部分内容：比例线段、相似三角形的判定和相似三角形的性质及其应用。
内容主要包括“比例线段”、“相似三角形的判定”、“ 相似三角形的性质”、“ 相似三角形的应用”四个方面。
而在初一的教学中中，学生对三角形及中线、角平分线、高、周长等相关知识有了一定的了解，为本单元的学习打下一定基础。
本单元中，通过例题引导学生探索相似三角形的对应角、对应边及对应角平分线、中线、高分别具有的数量关系特征。
从而得出相似三角形的性质。
在本主题单元中，我把这后个内容作为一个有机的整体来看，因为他们都同属于三角形这个范畴中，设计三个专题来组织学习活动。
专题一：学习相似三角形的判定。
解决如何判定三角形是否相似的相关问题。
专题二：归纳总结相似三角形的性质。
解决三角形的对应角、对应边及对应角平分线、中线、高分别具有的数量关系特征。
专题三：相似三角形的应用。
这三个专题的确定是源于教材，且基本覆盖了教材的全部要求，又不拘泥于教材，适当进行了拓展和延伸，为今后的学习做了铺垫。
采用情境、变式、归纳、总结、提升的基本思路，设计题目也是由浅入深；教学过程中，注重事例为载体，采取师生互动、生生互动等方法，传导数学分析问题的方法，以期能帮助学生建立思考问题，逐步培养建模的思想。
力争能起到增强学习兴趣、培养学生的美育观、指导自己的日常生活的作用。
通过学生自主观察、发现、了解、小组合作、深入探究的学习方式，引导学生发现并掌握且加以应用。
主题单元规划思维导图（说明：将主题单元规划的思维导图导出为jpeg文件后，粘贴在这里；如果提交到平台，则需要使用图片导入的功能，具体操作见《2013学员教师远程研修手册》。