线性规划习题精选精讲(含答案)
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品的生产需要消耗不同的资源，并且每一个产品的销售利润也不同。
公司希翼通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
已知产品A每一个单位的生产需要消耗2个资源1和3个资源2，每一个单位的销售利润为10元；产品B每一个单位的生产需要消耗4个资源1和1个资源2，每一个单位的销售利润为15元。
公司目前有10个资源1和12个资源2可供使用。
二、数学建模1. 假设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
2. 根据资源的消耗情况，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 10 （资源1的消耗）3x + y ≤ 12 （资源2的消耗）x ≥ 0, y ≥ 0 （生产数量为非负数）3. 目标是最大化利润，即最大化销售收入减去生产成本：最大化 Z = 10x + 15y三、线性规划求解1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：最大化 Z = 10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12x ≥ 0, y ≥ 02. 通过图形法求解线性规划问题：a. 绘制约束条件的图形：画出2x + 4y = 10和3x + y = 12的直线，并标出可行域。
b. 确定可行域内的顶点：可行域的顶点为(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)。
c. 计算目标函数在每一个顶点处的值：分别计算Z = 10x + 15y在(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)四个顶点处的值。
Z(0, 0) = 0Z(0, 2.5) = 37.5Z(4, 0) = 40Z(2, 3) = 80d. 比较所有顶点处的目标函数值，确定最优解：最优解为Z = 80，即在生产2个单位的产品A和3个单位的产品B时，可以获得最大利润80元。
四、结论根据线性规划的结果，公司在资源充足的情况下，应该生产2个单位的产品A和3个单位的产品B，以最大化利润。
数学线性规划试题答案及解析
数学线性规划试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为 .【答案】【解析】不等式组表示的区域如图，当取得点时，直线斜率取得最小，最小值为．故选C．2.若实数满足其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则等于．【答案】2．【解析】表达式可看成是定点与动点连线斜率（点在所给不等式组表示的平面区域内），如图，动直线过定点，为使满足题意的点有无穷多个，此时直线应过，从而【考点】本题考查含参数的二元一次不等式组表示平面区域等知识，意在考查画图、用图及计算能力.3.设实数满足条件，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，直线经过可行域，尽可能地向下平移经过点时取到最大值，即的最大值为.【考点】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．4.已知实数满足：，则的最小值为 .【答案】【解析】画出可行域及直线..，如图所示.平移直线，当经过点时，直线的纵截距最大，所以，．【考点】本题考查简单线性规划的应用等知识，意在考查作图、识图、用图的能力及数形结合思想．5.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝ () A．4 650元B．4 700元C．4 900元D．5 000元【答案】C【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则，目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元6.若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．【答案】－1【解析】本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值－1.7.已知变量满足约束条件，若的最大值为，则实数 .【答案】或（对1个得3分，对2个得5分）【解析】利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:其中点,根据线性规划的知识可得目标函数的最优解在只能是,当目标函数在点A处取得最优解时,有符合题意,当目标函数在点B处取得最优解时, 符合题意,当目标函数在C点取得最优解时, 无解,所以或,故填或.8.已知点满足约束条件，为坐标原点，则的最大值为．【答案】5【解析】作出可行域，得到当位于时，最大，其值为5.9.浙江理）设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。
线性规划习题及答案
线性规划习题及答案线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要用于解决资源分配问题，以达到最大化或最小化目标函数。
下面是一个线性规划的习题及答案：习题：某工厂生产两种产品A和B，每种产品都需要使用机器时间和劳动力。
产品A每件需要3小时的机器时间和2小时的劳动力，产品B每件需要2小时的机器时间和3小时的劳动力。
工厂每天有24小时的机器时间和18小时的劳动力。
设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
1. 建立目标函数和约束条件。
2. 求解线性规划问题，找出最优生产计划。
答案：1. 目标函数：设目标是最大化利润，产品A的利润为40元/件，产品B的利润为30元/件。
因此，目标函数为：\[ \text{Maximize } P = 40x + 30y \]2. 约束条件：- 机器时间约束：\[ 3x + 2y \leq 24 \]- 劳动力时间约束：\[ 2x + 3y \leq 18 \]- 非负约束：\[ x \geq 0, y \geq 0 \]3. 图解法求解：- 首先在坐标系中画出约束条件所形成的可行域。
- 可行域的顶点坐标为：(0,0), (0,6), (4,2), (8,0)。
- 将这些点代入目标函数计算利润：- P(0,0) = 40*0 + 30*0 = 0- P(0,6) = 40*0 + 30*6 = 180- P(4,2) = 40*4 + 30*2 = 200- P(8,0) = 40*8 + 30*0 = 3204. 最优解：- 通过比较各点的利润，发现当生产8件产品A和0件产品B时，利润最大，为320元。
5. 结论：- 工厂应该生产8件产品A和0件产品B，以实现最大利润320元。
注意：本题答案仅为示例，实际解题时需要根据具体题目条件进行分析和计算。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决．◇知识梳理1．平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________．②在直线的某⼀侧取⼀特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.（特殊地，当C ≠0时，常把_______作为此特殊点）王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成虚线，表⽰区域__________边界直线．④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成实线，表⽰区域____________边界直线．2.线性规划：①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为________问题②满⾜线性约束条件的解（x ，y ）叫做__________，由所有可⾏解组成的集合叫做__________.（类似函数的定义域）；③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性⽬标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可⾏域（即各约束条件所⽰区域的公共区域）；（5）利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案◇基础训练1．（2008⼭东青岛）若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．9 3．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4．（2008⼭东济宁）已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?，点O 为坐标原点，那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1．已知实数x ，y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?，求22z x y =+-⼤值和最⼩值．例2．为迎接2008年奥运会召开，某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属，已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤，最⼤利润为多少？◇能⼒提升1.（2007⼴州⼆模）已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根，其中⼀个根在区间(1,2)内，则a -b 的取值范围为（）A ．()+∞-1,B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1-2．给出平⾯区域（包括边界）如图所⽰，若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个，则a 的值为（） A ．14 B ．35 C ．4 D ．533．（2008佛⼭⼆模）已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域．命题甲：点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?；命题⼄：点A b a ∈),(．如果甲是⼄的充分条件，那么区域A的⾯积的最⼩值是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内（含边界）运动时，⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．实数x ，y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品，已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个，B 种元件2个，制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个，B 种元件3个，现在只有A 种元件180个，B 种元件135个，每件甲产品可获利润20元，每件⼄产品可获利润15元，试问在这种条件下，应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润？2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域，②原点，③不包括，④包括. 2. ①线性规划，②可⾏解，③最优解。
线性规划练习试题含答案及解析
专业知识整理分享线性规划练习题含答案一、选择题1．已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k 的值为A ．－1 BD ．1 【答案】B【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB ∆的面积为2, AOC ∆的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A （2，0），B （0，1故选B 。
2．定义()()max{,}a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，已知实数y x ,满足设{}m a x ,2z x y x y=+-，则z 的取值范围是 （ ） A【答案】D【解析】{},2,20max ,22,22,20x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤⎧⎧=+-==⎨⎨-+<--->⎩⎩， 当z=x+y 时，对应的点落在直线x-2y=0z=2x-y 时，对应的点落在直线x-2y=0的右下3．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则 ）试卷第2页，总12页A ．BCD【答案】DP(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结3,,4PA k =应选D4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于 ( )A. 2B. 3C.5D. 9【答案】B【解析】解：因为设,x y ∈R 且满足满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩故其可行域为当直线Z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取最小值3， 故选B5．若实数，满足条件则的最大值为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y 过点A 时，Z 取得最大值.因为A(3,-3)，所以Z max =23(3)9⨯--=,故选A.x y 0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩2x y -9303-专业知识整理分享6．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-120y x a y x y x ，若目标函数z=2x+6y 的最小值为2，则a =A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】解：由已知条件可以得到可行域，，要是目标函数的最小值为2，则需要满足直线过x 2y 1+=与x+y=a 的交点时取得。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划（Linear Programming）是一种数学优化方法，用于解决一类线性约束条件下的最优化问题。
它在经济学、管理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将为您提供一道线性规划题目及其详细解答，帮助您更好地理解和掌握线性规划的基本概念和解题方法。
题目描述：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
公司的生产能力有限，每天只能生产A产品100个单位，B产品80个单位。
同时，公司还面临着两个限制条件：一是A产品的生产需要耗费2个单位的原材料X，B产品的生产需要耗费3个单位的原材料X；二是A产品的生产需要耗费3个单位的原材料Y，B产品的生产需要耗费2个单位的原材料Y。
每天公司可用的原材料X和原材料Y分别为240个单位和180个单位。
假设公司的目标是最大化每天的利润，请问该公司应该如何安排产品的生产数量才能达到最优解？解答：为了解决这个问题，我们可以使用线性规划的方法进行建模和求解。
首先，我们定义决策变量：x：表示每天生产的A产品的数量（单位：个）y：表示每天生产的B产品的数量（单位：个）接下来，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数是我们要最大化的目标，而约束条件是限制我们决策变量的取值范围。
目标函数：最大化利润 = 10x + 15y约束条件：1. 生产能力限制：x ≤ 100y ≤ 802. 原材料X的限制：2x + 3y ≤ 2403. 原材料Y的限制：3x + 2y ≤ 1804. 决策变量的非负性：x ≥ 0y ≥ 0现在，我们可以利用线性规划的方法求解这个问题。
我们可以使用各种线性规划求解工具，如MATLAB、Python中的SciPy库等。
这里我们以Python中的SciPy库为例，使用线性规划的简单方法来求解。
首先，我们需要导入SciPy库中的optimize模块，并定义目标函数和约束条件：```pythonfrom scipy.optimize import linprog# 定义目标函数的系数c = [-10, -15]# 定义不等式约束条件的系数矩阵和右侧常数向量A = [[-1, 0], [0, -1], [2, 3], [3, 2]]b = [-100, -80, 240, 180]# 定义决策变量的取值范围x_bounds = (0, None)y_bounds = (0, None)```接下来，我们可以使用linprog函数求解线性规划问题：```python# 求解线性规划问题res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[x_bounds, y_bounds])# 输出最优解print("最优解为：", res.x)print("最大利润为：", -res.fun)```运行以上代码，我们可以得到最优解和最大利润的结果：最优解为： [60. 40.]最大利润为： 1150.0因此，为了达到最大利润，该公司应该每天生产60个单位的A产品和40个单位的B产品，此时每天的最大利润为1150元。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划常常用于资源分配、生产计划、运输问题等领域。
本文将为您提供一道线性规划题目及其详细解答，帮助您更好地理解和掌握线性规划的基本原理和求解方法。
题目描述：某食品加工厂生产两种产品：A和B。
每单位产品A需要3小时的加工时间和2小时的包装时间，每单位产品B需要2小时的加工时间和4小时的包装时间。
加工厂每天有8小时的加工时间和10小时的包装时间可用。
已知产品A的利润为300元/单位，产品B的利润为400元/单位。
现在需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
解答步骤：1. 建立数学模型：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
目标函数：最大化总利润，即最大化Z = 300x + 400y。
约束条件：加工时间和包装时间的限制。
加工时间约束：3x + 2y ≤ 8。
包装时间约束：2x + 4y ≤ 10。
非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
2. 图形解法：将约束条件转化为直线的形式，并绘制在坐标系中。
然后确定可行域，即满足约束条件的可行解区域。
加工时间约束对应的直线为：3x + 2y = 8。
包装时间约束对应的直线为：2x + 4y = 10。
将两条直线绘制在坐标系中，并找出它们的交点，即可行域的顶点。
3. 确定最优解：在可行域的顶点中，计算目标函数的值，找出使目标函数取得最大值的顶点。
计算Z = 300x + 400y 在可行域的顶点 (x, y) 处的值，并比较得出最大值。
4. 计算最优解：根据计算结果，确定最优解对应的生产数量。
解答过程：1. 建立数学模型：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
目标函数：Z = 300x + 400y。
约束条件：3x + 2y ≤ 8，2x + 4y ≤ 10，x ≥ 0，y ≥ 0。
2. 图形解法：将约束条件转化为直线的形式：加工时间约束：3x + 2y = 8，即 y = (8 - 3x) / 2。
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OMBC
三、求 可行域中整点个数 例 3 、 满 足 |x| ＋ |y| ≤ 2 的 点 （ x ， y ） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数）有 （ ）
A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个
B y =2
A
2
x
x + y =2 x=2
y
x＋ y –3 = 0 B y =2
直线 y
1 x 的交点
87500 17500
A(
,
),即 x
87500 ,y
17500
时 , 饲料费用最低 .
5
3
3
3
3
所以 , 谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合 , 此时成本最低 .
指出 : 要完成一项确定的任务 , 如何统筹安排 , 尽量做到用最少的资源去完成它 , 这是线性规划中最常
x0
而 z=6x+10y.
y0
如图所示 , 作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即可行域 . 作直线 l :6 x+10y=0, 即 l :3 x+5y=0, 把直线 l 向右上方平移至 l 1 的位置时 , 直线经过可行域上点 M,且与
0.18x 0.09y 72
原点距离最大 , 此时 z=6x+10y 取最大值。 解方程组
MA
O
Cx
2x + y –6= 0
=5
x y 2 (x 0, y 0)
x y 2 (x 0, y 0)
y
解 ： |x| ＋ |y| ≤ 2 等 价 于
x y 2 ( x 0, y 0)
x y 2 (x 0, y 0)
作 出 可 行 域 如 右 图 ， 是 正 方 形 内 部 （ 包 括 边 界 ）， 容 易 得 到 整
在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的
理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的
人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一
项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。 例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有
z=x+a y(a>0) 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 将 l 向 右 上
1
y x+y=5
O
x –y + 5 = 0 x=3 x
习题精选精讲
方 平 移 后 与 直 线 x+y ＝ 5 重 合 ， 故 a=1 ， 选 D
五、求 非线性目标函数的最值
2x y 2 0 例 5、已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 x 2y 4 0
.
1．平移找解法
作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线
l ，直线 l 最先经过或最后经过的那个整点便是整
点最优解 . 例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有
每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料
72m3，第二种有 56m3，假设生产
如下表所示 . 每生产一只圆桌可获利 6 元 , 生产一个衣柜可获利 10 元 .
( 或最小 ).
2. 线性规划问题的一般数学模型是
: 已知
a11 x1 a 21x1
a12x 2 a 22 x2
a1m x m a2mxm
b1 b2 ( 这 n 个式子中的“
”也
a n1 x1 an 2 x 2
a nm x m bn
可以是“ ”或“ =”号 )
其中 aij ( i =1,2, , , n, j =1,2, , , m), bi ( i =1,2, , , n) 都是常量 , xj ( j =1,2, , , m) 是非负变量 , 求
x2
例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 y 2
， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 （ ）
xy2
A、 [2,6]
B、 [2 ,5] C、 [3,6]
D、（ 3,5]
y
解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l ： x+2y ＝ 0 ， 将
l 向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0 ） 时 ， 有 最 小 值
3x y 3 0
， 则 z=x 2 + y 2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别
是
（
A、 13 ， 1
） B、 13 ， 2
y A
C、 13 ， 4 5
D、 13 ， 2 5 5
解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x 2 +y 2 是 点 （ x ， y ） 到 原
的 距 离 的 平 方 ，故 最 大 值 为 点 A（ 2,3 ）到 原 点 的 离 的 平 方 ， 即 |AO| 2 =13 ， 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x
围是
（）
A、（ -3,6 ） B、（ 0,6 ）
C、（ 0,3 ）
D、（ -3,3 ）
y 2x –y + 3 = 0
2x y m 3 0
解 ： |2x － y ＋ m| ＜ 3 等 价 于
2x y m 3 0
2x –y = 0
m33
由 右图 可知
, 故 0 ＜ m＜ 3 ， 选 C
m30
O
线性规划的实际应用
y2
指出 : 本题可以不用图解法来解 , 比如 , 由
得
2x y 4
z=2x+y+50=(2 x y)+2 y+50 4+2 2+50=58, 当且仅当 y=2, x=3 时取等号 总结： (1) 设出决策变量 , 找出线性规划的约束条件和线性目标函数 ;
(2) 利用图象 , 在线性约束条件下找出决策变量 , 使线性目标函数达到最大
例 2、某养鸡场有 1 万只鸡 , 用动物饲料和谷物饲料混合喂养 . 每天每只鸡平均吃混合饲料 0.5kg, 其中
动物饲料不能少于谷物饲料的
1 . 动物饲料每千克 0.9 元 , 谷物饲料每千克 0.28 元, 饲料公司每周仅保证供 5
应谷物饲料 50000kg, 问饲料怎样混合 , 才使成本最低 .
木器厂在现有木料条件下 多?
, 圆桌和衣柜各生产多少 , 才使获得利润最
产品
木料 ( 单位 m3)
第一种
第二种
圆桌
0.18
0.08
衣柜
0.09
0.28
4
习题精选精讲
0.18x 0.09y 72
0.08x 0.28y 56
解：设生产圆桌 x 只 , 生产衣柜 y 个 , 利润总额为 z 元 , 那么
见的问题之一 .
( 例 3 图)
(
例 4 图)
例 3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素
A、 B的含量及成本 :
甲
乙
丙
维 生 素 A( 单 位 / 千
克)
400
600
400
维 生 素 B( 单 位 / 千
800
200
400
克)
7
6
5
成本 ( 元 / 千克 )
3
习题精选精讲
营养师想购这三种食物共 10 千克 , 使之所含维生素 A 不少于 4400 单位 , 维生素 B 不少于 4800 单位 , 问 三种食物各购多少时 , 成本最低 ?最低成本是多少 ?
2
2 ， 过 点 B（ 2,2 ） 时 ， 有 最 大 值 6 ， 故 选 A
O
二、求 可行域的面积
2x y 6 0 例 2、 不 等 式 组 x y 3 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为
y2
（） A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大
解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， △ ABC 的 面 积 即 为 所 求 ， 由 梯 形 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 ， 选 B
, 得 M点坐标 (350,100). 答：应生
0.08x 0.28y 56
产圆桌 350 只 , 生产衣柜 100 个 , 能使利润总额达到最大 . 点评： 本题的最优点恰为直线 0.18 x+0.09 y=72 和
0.08 x+0.28 y=56 的交点 M。 例 2 有一批钢管，长度都是 4000mm，要截成 500mm和 600mm两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小
解 : 设 每 周 需 用 谷 物 饲 料 x kg, 动 物 饲 料 y kg, 每 周 总 的 饲 料 费 用 为 z 元 , 那 么
x y 35000
y 1x 5
, 而 z=0.28 x+0.9 y
0 x 50000
y0
如下图所示 , 作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即可行域 .
作一组平行直线 0.28 x+0.9 y = t , 其中经过可行域内的点且和原点最近的直线 , 经过直线 x+y=35000 和
距离最大 , 此时 z=6x+10y 取最大值解方程组
0.18x 0.09y 72
, 得 M 点坐标 (350,100). 答 : 应生产圆桌
0.08x 0.28y 56
350 只 , 生产衣柜 100 个 , 能使利润总额达到最大 .
指出 : 资源数量一定 , 如何安排使用它们 , 使得效益最好 , 这是线性规划中常见的问题之一
z=c1x1+c2x2+, +cmxm的最大值或最小值 , 这里 cj ( j =1,2, , , m) 是常量 .