第12课用待定系数法求二次函数解析式(顶点式或交点式) -2020年中考数学专项突破课之二次函数

中考专项突破课二次函数

第12课用待定系数法求二次函数解析式(顶点式或交点式)

一、典例分析

例1：对称轴为2x =-，顶点在x 轴上，并与y 轴交于点(0,3)的抛物线解析式为．

【解析】设抛物线解析式为2(2)y a x =+，

把(0,3)代入可得43a =，解得34a =

，所以抛物线解析式为23(2)4y x =

+，故答案为：23(2)4

y x =+．例2：已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(3,0)-、(1,0)，且与y 轴的交点为(0,3)-，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标．

【解析】设抛物线解析式为(3)(1)y a x x =+-，

把(0,3)-代入得3(1)3a -=-g g ，解得1a =，

所以抛物线解析式为2(3)(1)23y x x x x =+-=+-，

而2223(1)4y x x x =+-=+-，

所以抛物线得顶点坐标为(1,4)-．

二、知识点小结：

三、知识点检测

1．抛物线的顶点为(1,4)-，与y 轴交于点(0,3)-，则该抛物线的解析式为( )

A ．223y x x =--

B ．223y x x =+-

C ．223y x x =-+

D ．2233y x x =--

【解析】设抛物线的解析式为2(1)4y a x =--，

将(0,3)-代入2(1)4y a x =--，得：23(01)4a -=--，

解得：1a =，

∴抛物线的解析式为22(1)423y x x x =--=--．

故选：A ．

2．已知抛物线的顶点为(1,3)--，与y 轴的交点为(0,5)-，求抛物线的解析式．

【解析】根据题意设2(1)3y a x =+-，

将(0,5)-代入得：35a -=-，

解得：2a =-，

则抛物线解析式为222(1)3245y x x x =-+-=---．

故抛物线的解析式为2245y x x =---．

3．已知二次函数2

286y x x =-+．

（1）把它化成2()y a x h k =-+的形式为： 22(2)2y x =-- ．

（2）直接写出抛物线的顶点坐标：；对称轴：．

（3）求该抛物线于坐标轴的交点坐标．

【解析】（1）2222862(44)862(2)2y x x x x x =-+=-+-+=--；

（2）22(2)2y x =--Q ， ∴抛物线的顶点坐标是：(2,2)-；对称轴是：2x =；

（3）2

286y x x =-+Q ， ∴当0y =时，22860x x -+=，解得11x =，23x =，

∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)；

当0x =时，6y =，

∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)．

故答案为2

2(2)2y x =--；(2,2)-，2x =．

4．已知抛物线2y ax bx c =++顶点坐标为(4,1)-，与y 轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式．

【解析】设这条抛物线的解析式为2(4)1y a x =--，

把点(0,3)代入2(4)1y a x =--得14a =， ∴这条抛物线的解析式为21(4)14y x =-- 即21234

y x x =-+． 5．已知抛物线的顶点坐标是(3,1)-，与y 轴的交点是(0,4)-，求这个抛物线的关系式．

【解析】根据抛物线的顶点坐标是(3,1)-，设抛物线解析式为：2(3)1y a x =--，

把y 轴的交点是(0,4)-代入得：13

a =-， ∴抛物线的关系式为21

(3)13

y x =---． 6．已知某二次函数图象与x 轴交于点(3,0)A 与点(2,0)B -，且函数图象与y 轴交于(0,3)，求二次函数的解析式．

【解析】设抛物线解析式为(3)(2)y a x x =-+，

把(0,3)代入得(3)23a -=g g ，解得12

a =-，所以抛物线解析式为2111(3)(2)3222

y x x x x =--+=-++． 7．已知抛物线的顶点坐标为(1,2)M -，且经过点(2,3)N ，求此二次函数的解析式及抛物线与y 轴的交点坐标．

【解析】设2()y a x h k =++过顶点(1,2)M -，得：2(1)2y a x =-- Q 经过点(2,3)N ，

23(21)2a ∴=--，

5a ∴=，

25(1)2y x ∴=--，

当0x =时，25(01)23y =--= ∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)．

8．已知二次函数的图象以(1,4)A -为顶点，且过点(2,5)B -．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求该二次函数图象与y 轴的交点坐标．

【解析】（1）由顶点(1,4)A -，可设二次函数关系式为2(1)4(0)y a x a =++≠．

Q 二次函数的图象过点(2,5)B -， ∴点(2,5)B -满足二次函数关系式， 25(21)4a ∴-=++，解得1a =-． ∴二次函数的关系式是2(1)4y x =-++；

（2）令0x =，则2(01)43y =-++=， ∴图象与y 轴的交点坐标为(0,3)．

用待定系数法解二次函数解析式教案

用待定系数法解二次函数解析式教案 Prepared on 24 November 2020

宝坻区中学课堂教学教案

教学教学内容教师活动学生活动例题讲解合作探究通过例题讲解让学生熟悉二次函数解析式的求法。例1、已知一个二次函数的图象过点三点，求这个函数的解析式例2、已知抛物线的顶点为，与轴交点为求抛物线的解析式例3、已知抛物线与轴交于并经过点，求抛物线的解析式教师出示问题，引导让学生先以小组为单位自学、讨论。师板书：根据题意 a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 去解这个三元一次方程组得： a=2，b=-3，c=5；所求二次函数 5 3- 22+ =x x y 师分析：二次函数y＝ax2 ＋bx＋c通过配方可得y ＝a(x-h)2＋k的形式称为顶点式，(h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是 -1，-3)，因此，可以设函数关系式为：y＝ a(x+1)2-3 由于二次函数的图象过点 (0，-5)，代入所设函数关系式，即可求出a的值。师：二次函数y＝ax2＋bx ＋c与x轴的两个交点为所以应设二次函数y=a （x-x1）（x-x2）（a≠0）再把01 M（，）代入求a的值。锻炼学生会根据题目中不同条件设不同的解析式的能力。学生动手自主操解出二次函数解析式锻炼学生的计算能力

教学环节教学内容教师活动学生活动巩固提升达标检测课堂小结1.已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式。 1.已知抛物线的顶点坐标为(－ 1，－3)，与y轴交点为(0，－ 5)，求二次函数的关系式。 2．函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求 p和q。 3．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和 c。 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋ c的图象经过A(0，1)，B(－ 1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x 的增大而减少，那么自变量x 的变化范围是______。 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋ c的图象过A(0，－5)，B(5， 0)两点，它的对称轴为直线x＝ 2，求这个二次函数的关系式。小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答：想一想,你的收获是什么困惑有哪些说出来,与同学们分享。 1．让学生体验用不同的方法解决问题。教师适时引导、点拨，然后由小组推荐学生板书问题，其他小组学生评价。让学生理清求二次函数 c bx ax y+ + =2 解析式的研究内容和方法，让学生会分析问题、解决问题的方法。学生在自主探究的基础上，尝试解决问题。学生梳理本节课学习内容，方法及获得结果，感受过程体验成功。

二次函数顶点式练习

二次函数k h x a y +-=)(2 （顶点式）习题课一、知识体系 1、解析式：()()02≠+-=a k h x a y 2、图像与性质：对称轴：x=h 顶点：（h ，k ） 3、抛物线的平移：自变量加减左右移（左加右减），函数值加减上下移（上加下减） 4、抛物线与直线的交点：设立方程组c bx ax b kx c bx ax y b kx y ++=+????++=+=22，化简为一元二次方程，看△ （1）有两组不同解（△＞0）：有两个交点（2）只有一组解（△=0）：只有一个交点（3）无解（△＜0）：没有交点 5、抛物线的开口大小由a 决定：（1）a 越大，抛物线的开口越小（2）a 越小，抛物线的开口越大（3）a 相等时，两函数图像的形状和大小相同二、知识巩固一、复习 1、二次函数4)1(-22++=x y 的图象的开口方向________，顶点坐标是________，对称轴是_________. 当x ______时,y 随着x 的增大而增大, 当x ______时, y 随着x 的增大而减少.当x =_____时，函数有最_______值是_________. 2、二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到.

二、求函数表达式例1、已知一个二次函数的图像的顶点在原点，且经过点（1，3），求这个二次函数的表达式. 例2、已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式. 例3、已知二次函数当x=3时有最大值4，并且图象经过点（4，－3），求这个二次函数的表达式. 例4、已知抛物线的对称轴为直线1 x ,且经过（1，2）和（-2，5），求这个二次函数的表达式. 三、实际应用例5、一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． ⑴求实心球行进的高度y (米)与行进的水平距离x (米)之间的函数关系式； ⑵如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 3.624y x O

专题用待定系数法求二次函数的解析式

精心整理精心整理专题1-用待定系数法求二次函数的解析式二次函数的解析式常见的三种表达形式：一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）顶点式：y=a(x －h)2+k （a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标）交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）例1.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式. 求二次4例2x=－1x=－11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的

精心整理精心整理解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为（2,k ）,在一次函数y=x+1上，并且点（1,1）在图像上，求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 左B 右，与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0），（1Q 点坐15（1（2）

二次函数顶点式图像特点

二次函数顶点式图像及其特点教学设计【教材】人教版九年级 22.1 二次函数的图象及其特点（第4课时）【教学对象】九年级学生【授课教师】珠海市斗门区城南学校孔志坚【教材分析】本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax 2、y=ax 2+h 的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax 2的图像经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k (h ≠0，k ≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学习的常用方法，同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学们还要注意 “类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。【教学目标】 ◇ 知识技能（1）会用描点法画出二次函数 ()2 h x a y -= 、()k h x a y +-=2 的图象，通过图象了解它们的图象特征和性质．（2）观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现它们之间的关系。 ◇过程与方法（1）在用描点法画出二次函数的图象过程中，体会数形结合的思想；（2）通过观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现图像之间的关系，发展数学的化归思维；（3）在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思想的过程和探究的结果。 ◇情感态度与价值观（1）通过画二次函数的图象，感受数学美，激发学习热情；（2）在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。【教学重点】观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质【教学难点】观察对比图象发现它们之间的关系【教学方法】引导探索、讨论交流【教学手段】PPT 、几何画板【教学过程设计】一、教学流程安排

二次函数的图像(顶点式)

2、5次函数y=a(x-h)2+k 的图像执笔人：刘红梅时间：2009年12月3日学习目标: 会用描点法画出函数y=a(x-h)2+k 的图像学习重点: 1．会用描点法画出二次函数的图像； 2．知道抛物线的对称轴与顶点坐标；学习难点:确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。学习方法:三五三教学模式法。一、自主探究： 1、在同一坐标系中画出函y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 的图像解：列表：描点连线： 2、观察图像完成下表： 1、观察函数y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2的图像，回答问题（1）它们的形状_________，位置____________. (2)函数y= x 2与函数y=(x-1)2+2有什么联系？ 2、归纳总结： 1、二次函数y=a(x ±h)2+k 图像的性质函数开口方向顶点坐标对称轴最值 y 随x 的增大而减小 y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 抛物线开口方向对称性顶点坐标最值 y 随x 的减小而减小 y=a(x+h)2+k （a>0） y=a(x-h)2+k (a<0)

2、函数y=a(x ±h)2+k （a ≠0）的图像可以看作是y=ax 2向左或向右平移_________ 个单位，再向上或向下平移___________个单位得到的. 三、巩固练习： 1、指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及y 随x 增大而减小的x 取值范围。（1）y=－6(x-2)2 (2)y=3x 2－6 (3)y=3－x 412 (4) y=x 5 1 2 (5) y=2(x+3)2+7 (6) y=4－2(x+4)2 2、抛物线的y=－4（x －6）2－3向左或向右平移_________ 再__________ 平移___个单位得到y=－4x 2. 四、延伸迁移：如图，某公路的隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，，底部宽OM 的为12米，建立如图所示的直角坐标系。（1）直接写出M 及抛物线顶点P 的坐标；（2）求这条抛物线的解析式。五、达标检测：1、课本53页知识技能1 2、抛物线y=3（x+h ）2 +k 的顶点坐标是（1，5），则h=_____ k=_____ 六、学习收获

待定系数法求二次函数解析式的十种类型

待定系数法求二次函数解析式的十种类型一、三点型----一般式 y=ax2+bx+c 即已知抛物线经过确定的三点,求其解析式.这时可以设解析式为标准形式y=ax 2+bx+c 然后将三点坐标代入解析式得三元一次方程组,求出a 、b 、c 即得解析式已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型----交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 即已知抛物线与X 轴的两个交点的坐标A(x 1 ,0 ) ,B(x 2, 0) 或交点间的距离及对称轴,求抛物线的解析式.这时可以设解析式为y=a(x —x 1)(x — x 2),求出a 即得解析式例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212-. 三、顶点型------y=a(x-h)2 +k 即已知抛物线的顶点坐标( h, k ),求其解析式.这时可设解析式为顶点形式 y=a ( x —h )2 +k ，求出a 、k 可即得解析式。例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析此类题型可设顶点坐标为(h,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型左加右减自变量，上加下减常数项例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662+-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ）五、弦比型（设两根为x1, x2, 则弦长=|x1-x2|

二次函数待定系数法求解析式

专题复习一、待定系数法求解析式 1、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点；（2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；（3）已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（4）二次函数的图象经过点（－1，0），（3，0），（1，－2），求抛物线的解析式。且最大值是3。（5）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标（6）已知抛物线的对称轴平行于y 轴，顶点为M 是（3，－2）；（2，—3），且过点（0，1）。 2、如图，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D. （1）、求二次函数的解析式，并求此二次函数的顶点坐标. （2）、求D 点的坐标. （3）、求一次函数的表达式. （4）、根据图象写出当二次函数值0≥y 时，x 的取值范围是 .当二次函数值3≥y 时，x 的取值范围是。 (5)、根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围 .

3．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如下图所示的坐标系。（1）求抛物线的表达式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？ 4、某商场经营一批进价为3元一件的小商品，物价部门规定此种商品每件售价不得高于7元，在销售中发现此商品的日销售单价x （元）与日销售量y （件）间有如下关系： x （元） 4 5 6 7 y （件） 16 14 12 10 ⑴根据上表提供的数据，在坐标系中画出y 与x 的函数图象,猜测并确定．．．．．日销售量y （件）与日销售单价x （元）间的函数关系式； ⑵设经营此商品的日销售利润为P 元，试写出日销售利润P （元）与日销售单价x （元）的函数表达式，并求出日销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为多少元？ 5、如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向作匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A －B －C －D 的路线作匀速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动．（1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间；（2）设P 点运动时间为t （秒）。求：①当t ＝5时，求出点P 的坐标； ②若⊿OAP 的面积为s ，试求出s 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）． x y B C A P O

二次函数练习顶点式练习题.doc

二次函数图像和性质练习 1、二次函数y=2x1 2-4的顶点坐标为,对称轴为。 2、二次函数y = -2(x + 3尸—1 由y = -2(x-1)2+1 向平移个单位，再向平移个单位得到。 3、抛物线y = 3(x + 2)2—3可由抛物线y = 3(x + 2)2 +2向平移个单位得到. 4、将抛物线y = -(x-3)2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 6 得到的抛物线是 5、把抛物线y = —3 — 1)2 —1向平移个单位，再向平移个单位得到抛物线y = -(x + 2)2-3. 6、抛物线y = l(x + 4)2-7的顶点坐标是_________________ ,对称轴是直 2 线,它的开口向,在对称轴的左侧，即当XV 时, y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而; 当x=时，y 的值最, 最值是。 7、将抛物线y=3x2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为。 8、若一抛物线形状与y=-5x2+2相同，顶点坐标是(4, 一2),则其解析式是. 9、两个数的和为8,则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x,积为y,则y与x的函数表达式为. 10、一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大, 边长分别为 . 11、若两个数的差为3,若其中较大的数为x,则它们的积y与x的函数表达式为,它有最值，即当x= 时，y=_ 12、边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片, 剩下的四方框铁片的面积y (cm2)与x (cm)之间的函数表达式为 13、等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为

二次函数待定系数法求函数解析式

精心整理专题训练求二次函数的解析式一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方 2. 3. 4. 5. 6. 7. 线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标； 8.已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点.求此抛物线的解析式.

9.如图所示，求此抛物线的解析式。 10.如图，抛物线c bx x y ++-=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式． 11．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过点A （－1，0），C （0， 4）. （1（212.. 13.3）. 和y 二、已知顶点或对称轴求解析式 1.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0），求该二次函数的解析式. 2.已知二次函数图象的顶点是（1，－3），且经过点M （2，0），求这个函数的解析式.

3.如果抛物线的顶点坐标是（3，－1），与y 轴的交点是（0，－4），求它的解析式。 4.已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋k ＋3，若抛物线的顶点在y 轴上，求此抛物线的解析式。 5.已知抛物线经过点A （1，0），B （0，3），且对称轴是直线x ＝2，求该抛物线的解析式. 6.已知某二次函数，当x =3时，函数有最小值－2，且函数图象与y 轴交于)2 5 ,0(，求此二次函数的解析式。 7. 8.9.10.直线x ＝1的函 11.如图，已知抛物线的顶点为A （1， 4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点.P 是x 轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式；（2）当P A ＋PB 的 1 0 1 2 3 10 5 2 1 2

待定系数法求二次函数解析式(讲义)

??? ?? 待定系数法求二次函数解析式（讲义）一、【基础知识精讲】 (一）、中考导航图 1.二次函数的意义; 2.二次函数的图象; 3.二次函数的性质?? ????? 顶点对称轴开口方向增减性顶点式：y=a(x-h) 2 +k(a ≠0) 4.二次函数待定系数法确定函数解析式一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5.二次函数与一元二次方程的关系。 6.抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。（二）、中考知识梳理 1.二次函数的图象在画二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a )2+ 4a 2 4ac-b 的形式,先确定顶点(-b 2a ,4a 2 4ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a 时,y 最小值=4a 2 4ac-b ;反之当a

二次函数-用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义

待定系数法求解析式一、知识要点近年高频考点中考频率所占分值 1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分 1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式 2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式 3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式知识点回顾：二次函数的表达形式有那些？二、知识要点详解 1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式什么叫做待定系数法？一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：（1）、找出符合方程的点；（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；（4）、解出方程或方程组得到相应的系数（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式

如题：二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为： y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1 ∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）解之得：a=-1 解方程（4） ∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式例题一 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________． 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式． 3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2 4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式． 5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线C1的解析式； (2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．

用待定系数法求二次函数的解析式

22.1.4（2）用待定系数法求二次函数的解析式 ?自主学习、课前诊断一、温故知新：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及其性质. （2）如何求出一次函数y=kx+b的解析式？需要几个条件？这种求函数解析式的方法叫做什么？二、设问导读：阅读课本P39-40，完成下列问题： 1.求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式，需要先确定________的值，由____个点的坐标可以确定？这些点要满足什么条件？ 2.（1）一个二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三点，如何运用待定系数法求出这个二次函数的解析式？（2）归纳运用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤.三、自学检测： 1.抛物线y=ax2经过点（1,2），则a=___. 2. 抛物线y=x2-mx+3的对称轴为x=3,则m=________. 3．已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点，求这个二次函数的解析式. 4．已知二次函数图象与x轴交点是（2,0），(-1,0).与y轴交点是（0，-2），求这个二次函数的解析式. ?互动学习、问题解决一、导入新课二、交流展示

?学用结合、提高能力一、巩固训练： 1.已知抛物线y＝x2+px+q 过点(5,0),(-5,0),则p＋q＝__________． 2.函数y＝－2(x＋1)(x－2)与x 轴的交点坐标是_______________,与y 轴的交点坐标是______________． 3．已知二次函数的图象过A(0，9)，B(1，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式. 4．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)，求这个二次函数解析式. 二、当堂检测： 1. 已知抛物线y＝x2-2x+c与y轴的交点是（0,3），则c=_________. 2.已知抛物线y＝ax2-2x+c的顶点坐标为（-1,0），则a=______；c=_______. 3.已知二次函数的图象过点（0,0），（-1，-1），（1,9），求这个二次函数的解析式. 三、拓展延伸： 1.抛物线y＝ax2＋bx－3经过点(2,4),则代数式8a＋4b＋1的值为( )． A.3 B.9 C.15 D.-15 2．已知二次函数的图象的顶点是（-1，2），且经过（1，-6），求这个二次函数的解析式. ?课堂小结、形成网络 __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________

广东省广州市人教版九年级上数学二次函数一般式化顶点式题目方法及练习题-精选学习文档

二次函数一般式2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式一．基础知识： 1.（1）完全平方公式：22 2a ab b ±+=()2a ±—— （2）()2 26_____x x x ++=+ （3）()223______x x x -+=- （4）()222____x x x ++=+ （5）()2 24____x x x -+=- 二、基础知识练习 1.类型一：1,a b ==偶数例1.用配方法将抛物线261y x x =-+-化成顶点式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。举一反三：用配方法将抛物线281y x x =-+化成()2 y a x h k =-+的形式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。类型二：1,a b ==奇数例2.求抛物线21y x x =++的顶点坐标。举一反三：求抛物线232y x x =-+的顶点坐标。类型三：1a ≠ 例3.求二次函数221210y x x =-+-的最大值举一反三：求二次函数23123y x x =--的最小值。例4.求抛物线21232 y x x =- -+的顶点坐标。举一反三：求抛物线23+12y x x =-+的顶点坐标。三、过关练习： 1.求抛物线2 43y x x =--的顶点坐标 2.将抛物线22y x x =-化成()2y a x h k =-+的形式为（） A.()211y x =-+ B. ()211y x =-- C. ()214y x =++ D.()2 14y x =-- 3.已知抛物线228y x x =+。（1）化成顶点式为_________ (2)顶点坐标为_________

二次函数待定系数法求函数解析式(供参考)

专题训练求二次函数的解析式一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点. 2.一个二次函数的图像经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点．求这个二次函数的解析式． 3. 已知二次函数的图象经过点（－1，－6），（1，－2）和（2，3），求这个二次函数的解析式，并求它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（1，0），（2，0），（3，4）三点，则求抛物线的解析式。 5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，10），（2，7），且3a＋2b＝0，求该抛物线的解析式。 6.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.

7. 已知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A （－3，0）和B （0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴与x 轴的交点记为N.（1）求抛物线C 的解析式；（2）求点M 的坐标； 8.已知：如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A ，B ，C 三点.求此抛物线的解析式. 9. 如图所示，求此抛物线的解析式。 10. 如图，抛物线c bx x y ++- =22 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式．

11．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过点A（－1，0），C（0，4）. （1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于x轴对称的点的坐标. 12.如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A（1，0），C（0，－3）. （1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标. 13. 如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）. （1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）.

用顶点式求二次函数解析式

一、用顶点式求二次函数解析式。例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0）解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2 )( 把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y 把点（3,0）代入得：03)13(2 =+-a 解得：43 - =a ∴抛物线解析式为：3)1(4 32 +--=x y 练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5） 2．已知抛物线y ＝ax 2 经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 4．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7．把抛物线y ＝(x －1)2 沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 8．已知二次函数m x x y +-=62 的最小值为1，求m 的值． 9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式； 10．若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。二、用三个点求二次函数解析式例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ???? ?=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：??? ??=-==5 32c b a ∴抛物线解析式为：5322 +-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式

第一讲二次函数与待定系数法、配方法

第一讲二次函数的认识与待定系数法、配方法【问题探索】某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子；（2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2 510060000y x x =-++。【新课引入】提问： 1、在式子2 510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。 2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想 2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。（其中）答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。总结：一般地，形如2 y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数. 注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。因此，最简单的二次函数形式是2 (0)y ax a =≠ 举例：2 510060000y x x =-++和2 100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2 S r π=等，都是二次函数． 3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？答案：是，因为化简能变成2 y ax bx c =++（0a ≠）的形式。

人教版初三数学上册二次函数顶点式

22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质（3）凤台四中牛井梅教学目标： 1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。重点难点：重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k的性质是教学的难点。教学过程：一、提出问题 1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系? 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 二、试一试你能填写下表吗? y=2x2向右平移的图象1个单位y=2(x－1)2向上平移 1个单位y=2(x－1)2＋1的图象开口方向向上对称轴y轴顶点(0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

二次函数顶点式图像与性质

2.2二次函数的图象与性质（3）教学目标 (一)教学知识点 1．能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与 y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (二)能力训练要求 1．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． (三)情感与价值观要求 1．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．教学重点 1．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的作法和性质的过程． 2．能够作出y＝a(x—h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响． 3．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．教学难点能够作出y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响．教学方法探索——比较——总结法．教具准备投影片四张第一张：(记作§2．4．1A) 第二张；(记作§2．4．1B) 第三张：(记作§2．4．1C)

第四张：(记作§2．4．1D) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境、引入新课 [师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y＝ax2与y＝ax2＋c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道y＝ax2＋c的图象是函数y＝ax2的图象经过上下移动得到的，那么y＝ax2的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢？本节课我们就来研究有关问题． Ⅱ．新课讲解一、比较函数y＝3x2与y＝3(x－1)2的图象的性质．投影片：(§2．4A) (1)完成下表，并比较3x2和3(x－1)2的值，它们之间有什么关系？ (2)在下图中作出二次函数y＝3(x－1)2的图象．你是怎样作的？ (3)函数y＝3(x－1)2的图象与y＝3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ (4)x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而减小？ [师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结．[生](1)第二行从左到右依次填：27，12，3，0，3，12，27，48；第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27． (2)用描点法作出y＝3(x－1)2的图象，如上图．

第12课 用待定系数法求二次函数解析式(顶点式或交点式) -2020年中考数学专项突破课之二次函数