点差法弦长公式
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^ 2)[(y1+y2)^2-4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入，化为关于x(或关于y)的，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
椭圆点差法
例2一. ：如图：AB为椭圆
x2 a2
y2 b2
1( a b 0 )
的弦，
点P为弦AB的中点，求证： kOP
kAB
b2 a2
.
点差法
思例考一：若改为：AB为椭圆
x2 b2
y2 a2
1(a
b 0)
的弦，
点P为弦AB的中点，则： kOP k AB .
小 结：
y
P P
o
x
P
2.弦长公式：
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程.
解法一：
由
消去 y得:
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x12 x22
4 y12 4 y22
16 16
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差 构造出中点坐标和斜率．
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x2 4 y2 16
(4
x)2
4(2
y)2
16
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0
从而A ,B在直线x+2y-4=0上
而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点” 这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法：（适用于任何曲线）
椭圆的简单几何性质(4)--点差法
变式1:已知直线 过点 变式 已知直线l过点 已知直线 M(1,0.5), 且与椭圆 相交 且与椭圆C相交 两点， 于E,F两点，若EF的中点 两点 的中点 的方程. 为M，求直线 的方程 ，求直线l的方程
l F
O
y
M
x
E
变式2:已知直线 过点 且与椭圆C相交于 变式 已知直线l过点 已知直线 过点M(1,0.5),且与椭圆 相交于 且与椭圆 E,F两点，求弦 的中点的轨迹方程 两点， 的中点的轨迹方程. 两点 求弦EF的中点的轨迹方程 变式3:已知直线 与椭圆C相交于 变式 已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭圆 相交于 已知直线 ∈ 与椭圆 E,F两点，求弦 的中点的轨迹方程 两点， 的中点的轨迹方程. 两点 求弦EF的中点的轨迹方程
y
点差法步骤： 点差法步骤： 1.设点 设点A(x1,y1),B(x2,y2); 设点 2.代入圆锥曲线方程作差 代入圆锥曲线方程作差; 代入圆锥曲线方程作差
A
O
M
x
B
3.利用平方差公式变形，把中点坐标与直线 利用平方差公式变形， 利用平方差公式变形 斜率代入得到式子. 斜率代入得到式子 点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题 点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题.
2 2
1 = (1 + 2 )[( y1 + y2 ) 2 − 4 y1 ⋅ y2 ] k
中心在原点、一个焦点为F( 3 ,0)的椭圆被 例 中心在原点、一个焦点为 的椭圆被 直线x-2y-2=0截得的弦的中点的横坐标为 ，求 截得的弦的中点的横坐标为1， 直线 截得的弦的中点的横坐标为 此椭圆的方程. 此椭 变式 已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭圆 相交于 已知直线 ∈ 与椭圆 E,F两点，且OE⊥OF,求直线 的方程 两点， 求直线l的方程 两点 ⊥ 求直线 的方程.
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2 x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| =√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
点差法
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
16 则弦长 |AB|= _______ , 5
练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
y12 y2 2 8( x1 x2 ) y1 y2 8 8 4 x1 x2 y1 y2 2
直线为y 1 4( x (1))
即4 x y 3 0
练习：过点Q(4,1)作抛物线y 2 8x的弦AB, 恰Q被平分， 求AB所在的直线方程.
解：（ 1 ）设交点坐标为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 2 y12 1 x1 y1 y2 2( x1 x2 ) 2 相减得: 即k 4 2 x1 x2 y1 y2 y 2 x 2 1 2 2 直线方程为： y 4x 7
2 2.(2014·临汾模拟)椭圆 x
则这条弦所在的直线方程是______.
2
y 1
2
的一条弦被点 1 1 平分，
( ，) 2 2
【解析】设该弦与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 点
1 1 (， ，y ) )代入椭圆方程后作差可得 B(x 2 2 22
答案：2x+4y-3=0
椭圆的弦所在的直线方程.
解 : (2)5 12 9 12 45
5x 9 y 14 0
例5：已知椭圆方程为x 2 4 y 2 2 x 12 y 6 0 (1)求这椭圆中以A(2,1)为中点的弦所在直线方程 (2)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程。
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
圆锥曲线解题技巧和方法综合方法
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型:(1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两 点为(X i ，yJ ， (x 2 ,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系 及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参 数。
2 2X 7 如：(1) r T =1(ab 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为a b M(x o ,y o )，则有畤 2k = O 。
a b 2 2 (2) 笃-% fa 0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为 a b(3) y 2=2px (p>o )与直线I 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x °,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.2典型例题 给定双曲线X 2 -亍=1。
过A (2，1)的直线与双曲线交于 两点P i 及P 2，求线段P i P 2的中点P 的轨迹方程。
(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F i 、F 2构成的三角形问题，常用 正、余弦定理搭桥。
2 2典型例题 设P(x,y)为椭圆 J 七二1上任一点，F i (-c ,o)， F 2(c,o )a b 为焦点，• PF/?二〉，PF 2F 1 二。
sin (口 + P )(1) 求证离心率e 二sina + sin P M(x o ,y o)则有 直 Yoa 2b 2(2)求IPF J PF2|3的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程2=p(x 1)(p 0)，直线y = t与轴的交点在抛物线准线的右边。
(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且0A丄OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
【高中数学】秒杀秘诀MS03椭圆的弦长公式与中点弦问题
椭圆的弦长公式与中点弦问题1.k 为何值时,直线y=kx+2和曲线2x +3y =6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?秒杀秘籍：椭圆的弦长公式与面积（不过焦点的弦）椭圆()222210,0x y a b a b+=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将y kx m =+代入22221x y a b +=得：()22222222220b k a x a km x a m a b +++-=()212222222122222a kmx x b k a a m b x x b k a ⎧-+=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅=⎪+⎩()22222222221121222221141ab b k a m AB k x x k x x x x kb k a +-∴=+-=++-=++例1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A、B 两点，求AB 的弦长解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将12y x =+代入2212x y +=得：233202x x +-=12122312x x x x ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩222121113AB k x x ∴=+-=椭圆与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=+-用来判断是否有交点问题。
面积问题：椭圆与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
设C 到l 的距离为d ，则22220000222211221ABCkx y m kx y m ab b k a m S AB d AB b k a k ∆-+-+⋅+-===++例2：已知椭圆C :22221x y a b +=22221(0)x y a b a b+=>>A B 、的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M 、N .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解：(Ⅰ)22;2,22c a e c b a ===⇒==；故椭圆方程为22142x y +=；(Ⅱ)12AMN S MN d ∆=，设()()1122,,,M x y N x y 则()()()22222121121214MN x x y y k x x x x =-+-=++-；将y kx k=-代入22142x y +=得：()2222428480k x k x k +---=212221228424842k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨--⎪⋅=⎪+⎩；222011k k k d k k --==++；22422222411072502243AMN k k k S MN d k k k ∆⋅⋅+-===⇒--=+，即()()2275101k k k +-=⇒=±。
选修1第一讲 椭圆中知识点总结(全)--附带涉及到的公式推导过程
椭圆：1、（第一）定义：12122PF PFa F F +=>；2、椭圆标准方程及离心率：焦点在x轴上的椭圆标准方程为：22221(0)x ya ba b+=>>；:a长半轴；b：短半轴；:c半焦距 .椭圆中a，b，c的关系：222a b c=+；椭圆的离心率(0,1)cea=∈ .3、弦长公式： 直线:l y kx b =+与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- .弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。
4、中点弦结论（点差法）： 椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠上的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，弦MN 的中点1212(,)22x x y yP ++， 则22MNOPn kk m⋅=- .5、焦点三角形面积： 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆C 上除左、右端点外的一点，令12F PF θ∠=，则：122tan2PF F S b θ∆=⋅ . 该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。
6、直线与椭圆位置关系： 联立:0l Ax By C ++=与椭圆2222:1()x y C m n m n +=≠，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-， 相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；7、与点坐标相关的面积公式： (0,0)O ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，点O ，A ，B 不在一条直线上， 则：122112OAB S x y x y ∆=-.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。
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点差法1.过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =21x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理.解法一：由e =22=a c ,得21222=-ab a ,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上.则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=-- 设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－2y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=21x 0,于是－02y x =－1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1.右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则 由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=89,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x +=1,l 的方程为y =－x +1.解法二：由e =21,22222=-=ab a ac 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则x 1+x 2=22214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－2212k k+.直线l ：y =21x过AB的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k k k +⋅=+-,解得k =0，或k =－1.若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一.2.(★★★★★)已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320,椭圆C 2的方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0)，C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.解：由e =22,可设椭圆方程为22222by b x +=1,又设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又2222222212212,12byb x b y b x +=+=1,两式相减，得22221222212byy b x x -+-=0,即(x 1+x 2)(x 1－x 2)+2(y 1+y 2)(y 1－y 2)=0.化简得2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3,代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0. 有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ，解得b 2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.2222000210310123x y a b e A B a b AB x P AB C x y x F AF BF +=>>=+=椭圆（）的离心率，、是椭圆上关于坐标不对称的两点，线段的中垂线与轴交于点（，）。
（）设中点为（，），求的值。
（）若是椭圆的右焦点，且，求椭圆的方程。
1595232333229233223324999519595001959432321221222021212121221200000000020221212102022121212212122222222222212212222222222021210210212211=+∴=⇒⎥⎥⎥⎦⎤=⇒==⇒+=⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤==+=+-⇒=-+-∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒-==-=+=∴-=-⇒-=-∴-=-=--⇒=-+-⇒=-++-+⇒⎥⎥⎦⎤=+=+⇒=+=⇒=-⇒=⇒=-=--=+=+y x b c a c a a x x x x x a ex a ex a ex a BF ex a AF x c a BF a c x c a AFBF AF x x x y x y x y x y a x b x x y y y y y a x b x x y y y y a x x x x b b a y a x b b a y a x b b y a x B A ab a b a ac e y x x x y y y y y x x x y x B y x A 所求椭圆方程为）（又）（）（）（））（（））（（上在椭圆、又由，则），（）、，（）令（（2006年江西卷）如图，椭圆Q ：2222x y 1a b＋＝（a >b >0）的右焦点F （c ，0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点求点P 的轨迹H 的方程在Q 的方程中，令a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤2π），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形ABD 的面积最大？解：如图，（1）设椭圆Q ：2222x y 1a b＋＝（a >b >0）上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P 点坐标为P （x ，y ），则2222221122222222b x a y a b 1b x a y a b 2⎧⎪⎨⎪⎩＋＝…………（）＋＝…………（）1︒当AB 不垂直x 轴时，x 1≠x 2， 由（1）－（2）得 b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2（y 1－y 2）2y ＝0212212y y b x y x x a y x c∴－＝－＝－－∴b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0 (3)2︒当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（3）故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0（2）因为，椭圆 Q 右准线l 方程是x ＝2a c，原点距l的距离为2a c ，由于c 2＝a 2－b 2，a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤2π）则2a c ＝1cos sin 1cos θθθ＋＋＋＝2sin （2θ＋4π）当θ＝2π时，上式达到最大值。
此时a 2＝2，b 2＝1，c ＝1，D （2，0），|DF|＝1设椭圆Q ：22x y 12＋＝上的点 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），三角形ABD 的面积S ＝12|y 1|＋12|y 2|＝12|y 1－y 2| 设直线m 的方程为x ＝ky ＋1，代入22x y 12＋＝中，得（2＋k 2）y 2＋2ky －1＝0 由韦达定理得y 1＋y 2＝22k 2k －＋，y 1y 2＝212k －＋， 4S 2＝（y 1－y 2）2＝（y 1＋y 2）2－4 y 1y 2＝2228k 1k 2（＋）（＋）令t ＝k 2＋1≥1，得4S 2＝28t 8821t 14t 2t≤＝＝（＋）＋＋，当t ＝1，k ＝0时取等号。
因此，当直线m 绕点F 转到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大。
( 2006年湖南卷）已知椭圆C 1:22143x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (Ⅱ)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由.45．(Ⅰ) m =0，98p =； (Ⅱ) 63m =，或63m =-，43p =。
解 （Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为 x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）. 因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p . 此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438k k +.因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2的焦点的弦， 所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且 1212()()22p pAB x x x x p =+++=++.从而121214()2x x p x x ++=-+. 所以12463p x x -+=，即22846343k pk -=+. 解得6,62±==k k 即.AyBOx因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程 为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y x m y 消去y 得x m k kx 38)(2=--. ……①因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k x k . ……② 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝223)2(4k k +.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……③由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22438k k +.从而223)2(4k k +＝22438k k +. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法三 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又是过C 2的焦点),32(m F '，所以)212()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=.即916)4(3221=-=+p x x . ……① 由（Ⅰ）知21x x ≠，于是直线AB 的斜率m m x x y y k 313201212=--=--=， ……② 且直线AB 的方程是)1(3--=x m y , 所以32)2(32121mx x m y y =-+-=+. ……③ 又因为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1243124322222121y x y x ，所以0)(4)(312122121=--⋅+++x x y y y y x x . ……④ 将①、②、③代入④得322=m ，即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y .弦长公式1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=3104，试求椭圆的方程.解：|MF |max =a +c ,|MF |min =a －c ,则(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2,∴b2=4,设椭圆方程为14222=+y ax① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m② 将②代入①得：(4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0③设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2),M 1M 2的中点为(x 0,y 0),则x 0=21(x 1+x 2)=224a ma +,y 0=－x 0+m =244a m +.代入y =x ,得222444a ma m a +=+,由于a 2＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－2244a a +,又|M 1M 2|=31044)(221221=-+x x x x ,代入x 1+x 2,x 1x 2可解a2=5,故所求椭圆方程为：4522y x +=1.2.（2008全国一21）．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan bAOF a∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率52e =． （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，5c b =代入，化简有2215852104x x b b-+= 222121212411()4a a x x x x x x b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦将数值代入，有2232528454155b b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,解得3b =故所求的双曲线方程为221369x y -=。