五年级数学图形的复习
人教版五年级数学上册期末总复习《图形与几何》(附答案)
人教版五年级数学上册
期末总复习《图形与几何》（附答案）
一、填空。
1．平行四边形的面积是20 m2，如果底和高都扩大2倍，它的面积是()m2。
2．右图的平行四边形面积是15cm2，阴影部分面积是()cm2。
3．小明坐在第3行第5列的位置，用数对表示是()。
二、判断。
1．(5，7)点右移3格后的位置用数对表示是(2，7)。
()
2．梯形的上、下底各扩大2倍，面积扩大4倍。
()
3．底和高分别相等的两个三角形面积相等。
()
三、计算下面图形的面积。
(单位：cm)
四、生活中的数学。
1．一个平行四边形的荔枝园，量得底是240米，高40米。
如果每4平方米种一棵荔枝树，这个荔枝园共可种荔枝多少棵？
2．一间房子的侧面如下图，如果每平方米用砖190块，砌这堵墙大约需要多少块砖？
五、求下图阴影部分的面积。
(单位：dm)
参考答案
一、1.80 2.7.5 3.5，3
二、1.× 2.× 3.√
三、1500(cm2)300(cm2)
四、1.240×40÷4＝2400(棵)答：荔枝园共可种荔枝2400棵。
2.(8×1.5÷2＋
3.2×8)×190＝(6＋25.6)×190＝31.6×190＝6004(块)答：砌这堵墙大约需要6004块砖。
五、4×7－4×(7－5)÷2＝24(dm2)
答：阴影部分的面积是24 dm2。
【精选】苏教版五年级下册数学期末复习《图形与几何、统计与概率》专项练习(含答案)
【精选】苏教版五年级下册数学期末复习《图形与几何、统计与概率》专项练习（含答案）一、做一做。
(第5题3分，第7题5分，其余每空1分，共24分)1．当圆规两脚之间的距离是6厘米时，画出的圆的直径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
2．有大、小两个圆，大圆的直径是小圆半径的4倍，则大圆半径是小圆半径的( )，大圆周长是小圆周长的( )，大圆面积是小圆面积的( )。
3．将一张半径是2cm的圆形纸片，连续对折三次，得到的图形的圆心角是( )度，周长是( )cm。
4．某5A级景区2022年接待游客情况如图。
根据下面的统计图回答问题。
(1)4月份接待游客( )万人，6月份接待游客( )万人。
(2)( )月份接待的游客人数最多，( )月份接待的游客人数最少。
(3)8月份接待的游客人数是10月份接待游客人数的( )。
5．如图是由5个半径是2厘米的圆组成的图形，连接这些圆的圆心形成了一个正五边形。
(1)这个图形有( )条对称轴，在图上画一画。
(2)这个五边形的周长是( )厘米。
6．人民公园有一个圆形水池，池边每隔4米栽一棵树，一共栽了314棵树，这个水池的直径是( )米，占地面积是( )公顷。
7．测量右图中的有关数据，并求出图中圆的面积。
(1)需要测量出( )的长度，从而得出圆的直径是( )厘米。
(2)圆的半径是( )厘米。
(3)要求圆的面积，可列式计算为：_________________8．如图，一个半径为2厘米的圆在一个长16厘米、宽12厘米的长方形内滚动一周后(无滑动)，又回到了原来的位置，这个圆的圆心共移动了( )厘米。
二、选择。
(将正确答案的字母填在括号里)(每小题2分，共12分)1．下面不适合制作成折线统计图的是( )。
A．某地每天的气温变化情况B．轩轩家每月的用电量的变化情况C．某校各年级的男、女生人数D．某校历年一年级新生入学人数变化情况2．圆的直径是正方形的对角线，则正方形的面积( )圆的面积。
五年级下册数学课件-6.5 总复习：图形与几何(平面图形的认识) ▏沪教版 (共52张PPT)
A．无数条 B．一条
C．三条
（3）圆的半径扩大2倍，则它的直径扩大（ ）， 面积扩大（ ）。
A．2倍 B．4倍
C．8倍
填空
（1）三角形的一个内角正好等于其余两个内角的和，这是 一个（ ）三角形。
（2）一个等腰三角形，它的顶角是72º，它的底角是（ ） 度。
（3）6时整，时针与分针组成的角的度数是（
4. 等底等高的圆柱 如果梯形（图1）的面积是18平方米，高
（5）用３根长度分别是８厘米、１２厘米、３厘米的小棒，能围成一个三角形。
是个圆。
和圆锥，圆锥的体积 按角分：按角分成几类？每类三角形的三个角各是什么角？你能用集合圈的形式表示一下它们之间的关系吗？
面
棱
顶点
（3）想一想三角形的高指的是什么，怎样画一个三角形的高？在自己所画的三角形中画出高。
梯形
a.圆的各部分名称是什么？什么是半径？什 么是直径？字母如何表示？
b.在一个圆里半径、直径的特点是什么？半 径、直径的关系有是什么？
c.通过画圆你们发现圆的大小与什么有关？ 圆的位置又与什么有关呢？
③和圆关系最密切的是圆环，你对圆环有哪 些了解呢？
1.判断： （1）大于90°的角叫钝角。（ ） （2）角的两条边越长,角就越大。（ ） （3）钟表的分针旋转一周,时针旋转30°。
三角形的特性：三角形具有什么特性？日常生活中哪些地方用到这一特性？
①根据角的度数,可以把角分成哪几类？每一类的名称是什么？
是圆柱体积的 1 。 （正方形、平行四边形）。
如果梯形（图1）的面积是18平方米，高 按边分：按边分把三角形分成几类？ 每类三角形边和角有什么特点？（特殊三角形：等边三角形） 圆的各部分名称是什么？什么是半径？什么是直径？字母如何表示？ 那么（图3）的底长多少米？ 的高。
小学数学五年级下册总复习全部
小红家的客厅长四八分米,宽三 二分米.现在给客厅的地面铺正方 形地砖,有三种砖,你帮小红家想一 想,选择哪种地砖能铺得即整齐又 不会有余料?
边长三分米
边长六分米
边长八分米
分析：求出四八和三二的公因数,这个公因数是
地砖的边长.
复习长方体和正方体
一、建构知识网络
第一课时
长方形 正方形
等边三角形 按边分 等腰三角形
[二]简单图形旋转九0°的画法
一.找出图形的关键点或线段. 二.借助三角板[或量角器]作原图形线段或关键点与旋转中心所在线段的垂线. 三.在所做垂线上量出与原线段相等的长度[即找出原图关键点的对应点]. 四.顺次连接所画出的对应点.
[一]画出图一的全部对称轴. [二]画出图二向上平移三格后的图形.
七、一九
偶数
二
四、六、八、一0、
一二、一四、一六、
二.出示判断题：
[一]自然数中,除了奇数就是偶数.[ ]
[二]所有的奇数都是质数.
[]
[三]所有的合数都是偶数.
[]
[四]自然数中,除了质数就是合数.[ ]
[五]质数与质数的积还是质数. [ ]
[六]一个数越大,它的因数的个数就越多.
[]
注意：奇数里既有质数也有合数还有一. 质数里除了二以外都是奇数. 偶数里除了二以外全是合数.
10
单位：厘米
8 15
后
上
一左
前
右
0●
八
下
一
五 长方体六个面的面积,就是长方体的表面积.
二．正方体表面积的含义 [一]正方体棱长与每个面边长的关系
后 上 左前右 下
正方体展开图的每个面都是正方形， 边长就是正方体的棱长，每个面的面 积都等于棱长乘棱长。
人教版五年级数学下册第五单元《图形的运动(三)》复习卷(含答案)
人教版五年级数学下册第五单元《图形的运动（三）》复习卷（含答案）一、下面的图案分别是由哪个基本图形旋转而成的？请你用颜色表示出来。
1.二、认真思考细心填。
2.图中秤盘中放入( )kg的物品，指针会沿着顺时针方向旋转90°。
3.图形B可以看作是由图形A绕点Q按顺时针方向旋转( )，又向( )平移( )格得到的；图形C可以看作是由图形B绕点O按顺时针方向旋转( )，又向( )平移( )格得到的；图形D可以看作是由图形( )绕点( )按( )方向旋转( )，又向( )平移( )格得到的。
4.三角形ABC运动到三角形AB′C′的位置，是三角形ABC绕点( )( )时针旋转90°得到的；也可以说是绕点( )( )时针旋转270°得到的。
三、反复比较认真选。
（填序号）5.下面的游戏中是旋转运动的是( )。
A.踢毽子B.碰碰车C.荡秋千D.捉迷藏6.从3:00到3:15，分针围绕钟面中心旋转了( )°。
A.15B.60C.90D.1207.将方格中的图形绕点O按顺时针方向旋转90°得到的图形是( )。
A. B. C. D.8.下面的图形中，不是原七巧板摆成的是( )。
A. B.C. D.四、涂一涂，画一画。
9.观察图形，给风车填上相应的数字。
顺时针旋转90°逆时针旋转90°10.根据前三幅图的变化规律画出第④幅图。
11.下面3组图形，怎样通过平移或旋转使每组图形变成长方形？12.画出旋转后的图形。
（1）三角形绕点A顺时针旋转90°。
（2）长方形绕点B逆时针旋转90°。
五、解决问题。
13.如图，观察下面图形，说一说每个三角形怎样运动能得到下面的正方形，并标出序号。
14.说一说，图中左边的图形怎样变换可以得到右边的图形？15.观察下面的图形，图②是图①按照什么方向旋转得到的？将图③按照这种方法补充完整。
16.爷爷在自家庭院内铺了一个美丽的图案（如图），已知小等边三角形的面积是 1.2 m²。
人教版五年级下册数学复习知识要点整理
一图形的变换1、轴对称：把一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（考点，判断一个图形是否是轴对称图形）2、轴对称图形的特点：①对应点在对称轴的两边②对应点到对称轴的距离相等(考点：画对称轴,注意用尺画虚线;画一个图形的轴对称图形，注意根据对应点到对称轴的距离相等，先找对应点，再连线。
例题见书本P4 例2）3、旋转:在平面内，一个图形绕着一个顶点或轴的运动叫做旋转。
（考点：钟面上指针的旋转；画一个图形的旋转后的图形。
注意，找到中心点，看清题意要求顺时针还是逆时针,钟面上一大格是30度，画图时找3、6、9、12时四个时刻的指针方向的边。
例题见书本P5 例3 例4)4、平移：一个图形沿着一条直线的运动称为平移。
二因数和倍数1、3×7=21，3和7是21的因数,21是3和7的倍数,不能说谁是倍数，谁是因数.2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
3、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
4、自然数中,是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
最小的奇数是1,最小的偶数是0。
任何一个自然数，不是奇数，就是偶数。
5、个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数.6、个位上是0或5的数，是5的倍数。
7、一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
8、个位上是0的数既是2的倍数,又是5的倍数。
9、能同时被2、3、5整除（同时有因数2、3、5）的最小数是30，最大的两位数是90，最小的三位数是120.10、100以内的质数：二三五七和十一,(2、3、5、7、11）十三后面是十七,(13、17）还有十九别忘记，(19）二三九, 三一七，（23、29、31、四一,四三,四十七，（41、43、47)五三九, 六一七, （53、59、61、67）七一，七三,七十九, （71、73、79）八三,八九,九十七。
人教版小学数学五年级下册《空间与图形整理与复习》教案
人教版小学数学五年级下册《空间与图形整理与复习》教案一. 教材分析人教版小学数学五年级下册《空间与图形整理与复习》这一单元主要包括了立体图形的认识、平面图形的认识以及图形的测量和计算。
通过本单元的学习，使学生能够熟练掌握各种图形的特征，提高学生的空间想象力，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的空间观念和图形认识，对一些基本的立体图形和平面图形有了初步的了解。
但部分学生对图形的认识还停留在感性阶段，缺乏系统化和理性化的认识。
因此，在教学过程中，需要引导学生从感性认识上升到理性认识，加强对图形的理解和运用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够熟练掌握各种图形的特征，提高学生的空间想象力，培养学生的逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，让学生在实践中学会用数学的眼光观察和思考问题。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学的价值。
四. 教学重难点1.教学重点：使学生能够熟练掌握各种图形的特征，提高学生的空间想象力，培养学生的逻辑思维能力。
2.教学难点：如何引导学生从感性认识上升到理性认识，加强对图形的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境的创设，让学生在实际问题中感受和理解图形的特征。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，发现问题的规律，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组合作学习：鼓励学生之间相互讨论、交流，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教具准备：准备各种立体图形和平面图形的模型，如正方体、长方体、圆柱、圆锥等。
2.学具准备：每个学生准备一个图形分类盒，用于收集和整理各种图形。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示一些日常生活中的实物，如玩具、家具等，引导学生观察这些实物中的图形，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师向学生介绍本节课要复习的图形，包括立体图形和平面图形，并通过多媒体展示各种图形的图片，让学生对各种图形有一个直观的认识。
图形复习五年级数学
直线型面积计算（1）对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BA E BA【分析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴S S AEH BEH = ．同理，S S BFH CFH = ，S =S CGH DGH ，∴11S S 562822==⨯=阴影长方形ABCD （平方厘米）．［铺垫］你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴2个面积相等的三角形； ⑵3个面积相等的三角形； ⑶4个面积相等的三角形．［分析］ ⑴如右图，D 、E 、F 分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；CBAEA B CFCB A⑵如右图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点；答案不唯一；①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如BCD ACD S S ∆∆=； 反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD ．DC BAED A BC FC BADGDA BC⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考．(5)(4)(3)(2)(1)【例 2】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？EDCB AEDC B A【分析】 连接CE ．∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S ∆∆=．又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ∆∆∆===．【例 3】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？ECBA 【分析】 ∵3CE AE =，∴4AC AE =,4ADC ADE S S ∆∆=;又∵2DC BD =,∴32BC DC =,361202ABC ADC ADE S S S ∆∆∆===（平方厘米）．［铺垫］如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？乙甲E CBAABCDE［分析］ 连接AD ．∵3BE =,6AE =，∴13BE AB =,13BDE ABD S S ∆∆=．又∵4BD DC ==,∴12ABD ABC S S ∆∆=,∴1136BDE ABD ABC S S S ∆∆∆==,∴15S S =乙甲．［拓展］如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，6AD =厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CAFE CA［分析］ ∵F 是AC 的中点,∴12ABF ABC S S ∆∆=，同理12BEF ABF S S ∆∆=，∴111866442BEF ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=（平方厘米）．【例 4】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB A AB CDEF【分析】 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）．连接AE 、CD ． ∵S 1S 1S 1ABC ABC DBC == ，， ∴S 1DBC = ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．［拓展］如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH［分析］ 连接BD .设1DCB S S = ，2DAB S S =∵CB BF =，∴2CDF CDB CDB CB BFS S S CB∆∆∆+==,又∵DC CG =,∴12CFG CDF S S S ∆∆==， 同理22AEH S S ∆=， ∴2CFG AEH ABCD S S S ∆∆+=连接AC ，同理2HDG BEF ABCD S S S ∆∆+=∴5EFGH CFG AEH HDG BEF ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆=++++=，111355ABCD EFGH S S ==（平方米）．［拓展］如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F CA F CA［分析］ 连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== ∴58BE DE DB DE DE -==，12CE FE CF EF EF -== ∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ∆∆∆∆=---= ．［拓展］如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G［分析］ 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯= 长方形长方形．因为12AED ABCD S S = 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S == ，所以12AFD S = ．因为16AFD ABCD S S = 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 5】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．BC【分析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF FC =．所以A 到CD 的距离与E 到CD 的距离相等，即AE 与CD 平行，四边形ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积=平行四边形ADCE 的面积的12，所以阴影部分的面积=乙的面积2⨯．从而阴影部分的面积23212.85=⨯=（平方厘米）．［拓展］如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．B［分析］ 因为BE EC =，2CF FD =，所以14ABE ABCD S S =四边形，16ADF ABCD S S = 四边形． 因为2AD BE =，所以2AG GE =，所以11312BGE ABE ABCD S S S == 四边形，2136ABG ABE ABCD S S S == 四边形．同理可得，18ADH ABCD S S = 四边形，124DHF ABCD S S = 四边形．因为12B C D A B C D S S = 四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCD ABCD S S =--++=四边形四边形，所以阴影部分的面积是13A B C D S 四边形．12:1:233=，所以阴影面积与空白面积的比是1:2．【例 6】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFEB AGFEB A【分析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接BE ．（我们通过ABE 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．）∵在平行四边形ABCD 中，12ABE S AB AB =⨯⨯ 边上的高，∴1S S 2ABG ABCD = （也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）．同理，1S S 2ABE AEGF = ，∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等．［拓展］如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？A BGC E F DABGCEF D［分析］ 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG .（我们通过ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起）．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯ 边上的高，∴1S S 2ABG ABCD = （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，1S S 2ABG EFGB = ．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=（厘米）．【例 7】 如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，求图中三角形BFD 的面积为多少平方厘米？HGFED C BAHG FED C BA【分析】 连接CF ．∵BD ，CF 都是正方形的对角线∴45DBC FCE ∠=∠=︒，BD ∥CF ．∴BFD ∆与BCD ∆同底等高，11010502BFD BCD S S ∆∆==⨯⨯=(平方厘米) ．【例 8】 （03年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．AA【分析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD （见右上图），可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=．［拓展］（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积为6平方厘米，求三角形CDH 的面积．［分析］ 通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD 和四边形DEFG 是正方形”这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形HDC 与三角形AFH 面积相等，也是6平方厘米．【例 9】 如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1ADE S = ，求BEF 的面积．AB CDEFABCDEF［分析］ 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接AC ．∵AB ∥CD ，∴ADE ACE S S = ．同理AD ∥BC ，∴ACF ABF S S = ．又ACF ACE AEF S S S =+ ，ABF BEF AEF S S S =+ ，∴ ACE BEF S S = ，即 1BEF ADE S S == ．【例10】 （小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差．【分析】 直接求出三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差，不太容易做到．如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了． 法1：连结BE （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形BEO ，则原来的问题转化为求三角形BEC 与三角形BEF 的面积之差． 所求为4(107)22(107)23⨯-÷-⨯-÷=． 法2：连结CF （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形CFO ，则原来的问题转化为求三角形BCF 与三角形ECF 的面积之差． 所求为4(107)22(107)23⨯-÷-⨯-÷=． 法3：延长BC 交GF 于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形COFH ，则原来的问题转化为求三角形BHF 与矩形CEFH 的面积之差． 所求为(42)(107)22(107)3+⨯-÷-⨯-=． 法4：延长AB ，FE 交于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO都加上梯形BHEO ，则原来的问题转化为求矩形BHEC 与直角三角形BHF 的面积之差．所求为4(107)(4⨯--+⨯-÷=．【例11】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？OA BCDE F GOA B CDE F G O A B C DE FGH O AB CD E FGH OAB CDE FGBE【分析】 三角形ABC 的面积+三角形CDE 的面积(133549)+++=长方形面积+阴影部分面积；又因为三角形ABC 的面积=三角形CDE 的面积12=长方形面积，所以可得：阴影部分面积13354997=++=．1． 如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【分析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S = ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯= (平方厘米)．2． 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？A BCD EA BCDE【分析】 连接BE .∵13AE EC = ∴13ABE ABC S S ∆∆=.又∵15AD AB =∴11515ADE ABE ABC S S S ∆∆∆==，∴1515ABC ADE S S ∆∆==.3． 两个正方形组成右图所示的组合图形．已知组合图形的周长是52厘米，4DG =厘米，求阴影部分的面积．A【分析】 组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG 部分重合了．用组合图形的周长减去DG ，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于(524)316-÷=（厘米）．又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长(164)210=+÷=（厘米），小正方形边长(164)26=-÷=（厘米）．阴影部分面积410266238BDG BFG S S =+=⨯÷+⨯÷= （平方厘米）．4． 在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积．［分析］ 因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10平方厘米，所以平行四边形ABCD 的面积等于10821050⨯÷+=平方厘米．5． 右图中，4CA AB ==厘米，三角形ABE 比三角形CDE 的面积大2平方厘米，求CD 的长．ABCD E【分析】 连结CB ．三角形DCB 的面积为44226⨯÷-=平方厘米，6243CD =⨯÷=厘米．直线型面积计算（2）在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDOba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．模型三：相似三角形性质：GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形【例 9】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【分析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯ ，那么6BGC S = ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 10】 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB ∥CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB 与BOC 的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB BOC S S a ab == ，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOB DOC S S a b === ，所以49DOC S = (平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．［铺垫］梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA BC D ［分析］ 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOB BOC S S ab b == ，可以求出:2:3a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AOD BOC S S a b === ．通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．【例 11】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABC DOH GA B C D O靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S = ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==， ∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【例 12】 在边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，2DF FC =．求四边形ABGD 的面积．ABCDE FGABCDE FG【分析】 题目要求四边形ABGD 的面积，可以发现这个四边形是个“不良四边形”，需要对它进行改造．通常在一个四边形中画辅助线，会想到画对角线，又注意到E 、F 都是三等分点，如果连接EF ，因为EF ∥BD ，则可以构造一个梯形，从而应用梯形蝴蝶定理快速求解．因为2BE EC =，2DF FC =，所以:3:1BD EF =．根据梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形BDFE 四部分面积比为1:3:3:9；而等腰梯形BDFE 的面积为：111141122339⨯⨯-⨯⨯=，所以9113394BDG BDFE S S =⨯=+++ ，得11311244ABGD ADB BDG S S S =+=⨯⨯+= ．【例 13】如图，正方形ABCD 面积为1，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【分析】 因为M 是AD 边上的中点，所以12AM =，可得34AMCB S =梯形，由于:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道 22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯= （）（），所以阴影部分面积占梯形面积的22412249+=+++，所以341493S =⨯=阴影．【例 14】 如图，在长方形ABCD 中，6AB =，2AD =，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．DD【分析】 如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为26322⨯÷÷=．由于:1:3E F D C =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO EFO S S = ，所以34DEO DEF S S = ，而2D E F A D ES S == ，所以32 1.54D E O S =⨯= ，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=．相似三角形性质【例 7】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO 的面积是ABO 面积的几倍？A BCD OE FA BCD O【分析】 连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且::1:2OA BE DA DE ==，所以CDO 的面积等于CBO 的面积；由1124OA BE AC ==可得3CO OA =，所以3CDO CBO ABO S S S == ，即CDO 的面积是ABO 面积的3倍．【例 8】 如图，线段AB 与BC 垂直，已知4AD EC ==，6BD BE ==，那么图中阴影部分面积是多少？A BCDA BDA BD【分析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，有ADO CEO S S = ，DBO EBO S S = ，且:4:62:3ADO DBO S S == ． 设ADO 的面积为2份，则DBO 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份．因为610230ABE S =⨯÷= ，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415÷⨯=．解法二：连接DE 、AC ．由于4AD EC ==，6BD BE ==，所以DE ∥AC ，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DE AC BD BA ===，根据梯形蝴蝶定理，()()22:::3:35:35:59:15:15:25DOE DOA COE COA S S S S =⨯⨯= ，所以()():1515:915152515:32AD E C S S =++++=阴影梯形，即1532ADECS S =阴影梯形； 又11101066=3222ADEC S =⨯⨯-⨯⨯梯形，所以151532ADEC S S ==阴影梯形．【例 9】 右图中正方形的面积为1， E 、F 分别为AB 、BD 的中点，13GC FC =．求阴影部分的面积．AB EABE【分析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作FH 垂直BC 于H ，GI 垂直BC 于I ．根据相似三角形性质，::1:3CI CH CG CF ==，又因为CH HB =，所以:1:6CI CB =，即():61:65:6BI BC =-=，所以115522624BGE S =⨯⨯=．【例10】 如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，OE 垂直AD 于E ，交AF 于O ，已知5AH cm =，3HF cm =，求AG ．ABC DEFGHO【分析】 由于AB ∥DF ，利用相似三角形性质可以得到::5:3AB DF AH HF ==，又因为E 为AD 中点，那么有:1:2OE FD =，所以3:5:10:32AB OE ==，利用相似三角形性质可以得到::10:3AG GO AB OE ==， 而()()1153422AO AF cm ==⨯+=，所以()104041313AG cm =⨯=．【例11】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿平方厘米．BB【分析】 注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ．可得1=4AED ABCD S S 平行四边形，对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥EF ，所以23::2:344DO ED BD BD ==，()()::32:31:3OE ED ED OD ED =-=-=，所以 11117263434AEO ABCD S S =⨯=⨯⨯= 平行四边形(平方厘米)，212ADO AEO S S =⨯= (平方厘米)．同理可得6CFM S = 平方厘米，12CDM S = 平方厘米． 所以 366624ABC AEO CFM S S S --=--= (平方厘米)， 于是，阴影部分的面积为24121248++=(平方厘米)．练习5． (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO【分析】 根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以53CO =．6． 如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．ODC BA 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOB ACOD S S a b == ，所以:2:3a b =，2:::3:2AOD AOB S S ab a b a === ，31.2 1.82AOD COB S S ==⨯= ，1.2 1.8 1.82.77.5ABCD S =+++=梯形．7． 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影部分的面积．【分析】 已知:2:1A F F C =，且EF ∥BC ，利用相似三角形性质可知::2:3EF BC AF AC ==，所以23EF BC =，且:4:9A E F ABC S S = ． 又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么12EG BC =，12::3:423EG EF ==，所以:1:4GF EF =，可得:1:8CFG AFE S S = ，所以:1:18CFG ABC S S = ，那么18CFG aS = ．8． 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【分析】 根据相似三角形性质可知::1:2EF AF BE AD ==，所以33ABE BEF S S == (平方厘米)，那么412ABCD ABE S S == (平方厘米)．。
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