结构动力学-8
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结构动力学
第2章 单自由度系统
§2.4 简谐荷载的强迫振动
2.4.1 无阻尼系统
1、运动方程
mx kx F0 sin t
2、解的形式
x x x
设：
x A sin t
(m 2 k ) A F0
第2章 单自由度系统
解得：
A
A
(m 2 k )
F0 k xst (1 2 2 ) (1 2 )
已知
结构
荷载
响应
荷载
已知或未知
结构
已知
第1章 绪论
§1.2 研究对象
1、结构——弹性恢复力 fk(x) 2、外力——时变特性 fp(t)
§1.3 研究内容
1、结构动力特性——固有频率、振型、阻尼 2、结构响应——位移、速度、加速度
第1章 绪论
§1.4 研究方法
1、时域法——解析法、逐步积分法 2、频域法——谱分析法
k m
①简支梁问题
m l
第2章 单自由度系统
1 k
l3 48 EI
k
48EI l3
48EI ml 3
第2章 单自由度系统
②悬臂梁问题 弯曲变形
x
l 3EI
3
m
k
3EI l3
k
剪切变形
l3 12EI
k
12EI l3
弯曲变形 剪切变形
第2章 单自由度系统
2 i i ,max m xi ki xi2,maxi
第2章 单自由度系统
m x
i 2 i i ,max
2 2 J max m2 xmax
1 2 2 m1l 2 max m2l 2 max 3 1 2 m1l 2 m2l 2 max 3
结构动力学8
{u}——有限元节点系位移向量。当采用时域逐步积分法进 行分析，阻尼矩阵[C]可以采用Rayleigh阻尼阵。
8.4.2 基本分析过程
结构有限元模型的运动方程：
& & [M ]{u&}+ [C ]{u}+ [K ]{u} = {p(t )}
有限元模型的节点系运动方程与前面介绍的框架结构的 运动方程在形式上完全相同，不同之处仅在于单元刚 度矩阵和质量阵的形成上。本节介绍的形成单元刚度 阵和质量阵的方法更具通用性。 前面所介绍的结构动力方程的解法，例如振型叠加法、 Fourier变换方法、时域逐步积分法等均可以用于结构 有限元模型的动力反应问题分析。
i=1
4
ψi的定义是ui发生单位位移, 而其余自由度不动, 即完全约束时, 梁单元的位移(线位移)，因此，ψi(x)满足如下边界条件：
i = 1 : ψ 1 (0) = 1, ψ 1' (0) = ψ 1 ( L) = ψ 1' ( L) = 0
' ' i = 2 : ψ 2 (0) = 1, ψ 2 (0) = ψ 2 ( L) = ψ 2 ( L) = 0 ' ' i = 3 : ψ 3 ( L) = 1, ψ 3 (0) = ψ 3 (0) = ψ 3 ( L) = 0 ' ' i = 4 : ψ 4 ( L) = 1, ψ 4 (0) = ψ 4 (0) = ψ 4 ( L) = 0
8.4.1 有限元离散化
采用有限元法离散时，首先将一根梁分成有限段，称为 有限单元。每一个单元的尺寸可以是任意的，可以完 全相同，也可以完全不相同。这些单元仅仅在单元间 的节点上连续（连接）。 在这个简单的例子中，节点就是单元的端点，在每一个 节点上有两个自由度，横向位移和转角。 在有限元法中节点的位移（包括横向位移和转角）被选 为广义坐标。而运动方程就是用这些有直接物理意义 的量（位移和转角）来形成的。
8.4.2 基本分析过程
结构有限元模型的运动方程：
& & [M ]{u&}+ [C ]{u}+ [K ]{u} = {p(t )}
有限元模型的节点系运动方程与前面介绍的框架结构的 运动方程在形式上完全相同，不同之处仅在于单元刚 度矩阵和质量阵的形成上。本节介绍的形成单元刚度 阵和质量阵的方法更具通用性。 前面所介绍的结构动力方程的解法，例如振型叠加法、 Fourier变换方法、时域逐步积分法等均可以用于结构 有限元模型的动力反应问题分析。
i=1
4
ψi的定义是ui发生单位位移, 而其余自由度不动, 即完全约束时, 梁单元的位移(线位移)，因此，ψi(x)满足如下边界条件：
i = 1 : ψ 1 (0) = 1, ψ 1' (0) = ψ 1 ( L) = ψ 1' ( L) = 0
' ' i = 2 : ψ 2 (0) = 1, ψ 2 (0) = ψ 2 ( L) = ψ 2 ( L) = 0 ' ' i = 3 : ψ 3 ( L) = 1, ψ 3 (0) = ψ 3 (0) = ψ 3 ( L) = 0 ' ' i = 4 : ψ 4 ( L) = 1, ψ 4 (0) = ψ 4 (0) = ψ 4 ( L) = 0
8.4.1 有限元离散化
采用有限元法离散时，首先将一根梁分成有限段，称为 有限单元。每一个单元的尺寸可以是任意的，可以完 全相同，也可以完全不相同。这些单元仅仅在单元间 的节点上连续（连接）。 在这个简单的例子中，节点就是单元的端点，在每一个 节点上有两个自由度，横向位移和转角。 在有限元法中节点的位移（包括横向位移和转角）被选 为广义坐标。而运动方程就是用这些有直接物理意义 的量（位移和转角）来形成的。
结构动力学课件—dyanmics-of-structures-ch8知识资料18页PPT
If it is assumed that damping stresses are developed in proportion to the strain velocity, a uniaxial stressstrain relation of the form Using this equation, the basic relations may be expressed as follows:
The potential energy
kinetic energy
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
Generalized SDOF:
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
84 SELECTION OF THE RAYLEIGH VIBRATION SHAPE
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
谢谢！
CHAPTER 8. GENERABiblioteka IZED SDOF SYSTEMS
Example E82.
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
82 GENERALIZED PROPERTIES: DISTRIBUTED FLEXIBILITY
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
Example E83.
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
The potential energy
kinetic energy
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Generalized SDOF:
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84 SELECTION OF THE RAYLEIGH VIBRATION SHAPE
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82 GENERALIZED PROPERTIES: DISTRIBUTED FLEXIBILITY
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Example E83.
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
结构动力学习题解答
̇̇ = hδ ( t ) ； θ 0
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
结构动力学
第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
哈尔滨工业大学结构动力学课件第八次课
12 EI
9 11 33 12
3
Y ( F M Y ) M Y Y F M Y kY F
1
..
..
..
书后习题
拉格朗日方法
通常当质点较多，约束比较复杂时，适合用能量分析 方法,例如Lagrange第2类方程。
拉格拉日方程， L T U ，
对于 m 个质点的质点系， 共约束是 r 个， 那么广义 坐标系 n＝3m－r 个，也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF
有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成
3.1.2 多自由度系统振动微分方程的建立。 可用牛顿力学与分析力学的任何一种方法均 可，常用的牛顿法、达朗贝尔原理、Lagrange 第二 类方程、有限元方法等。 牛顿法：
dt qi
M q Kq 0
..
无阻尼受迫振动
d T 对于有耗散力的方程为
dt qi qi 有阻尼受迫振动
U Qi d T dt qU qi i Q
qi
i
d T dt qi
.. .. ..
m
y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23 11 l 3 2 2 3 3 2 1 1 2 3 12 EI 3 3 .. 7 .. l 16 l .. l y F 31 22 3 F1 m1 y111 31 2 9 m2 y 2 1332 F3 m3 y3 33 33 y12 EI1 m1 y1 11 F2 m2 F 12 EI 1 12 EI
结构动力学-8
m2
fD2 f D1
m1
y2 (t )
y1 (t )
--阻尼矩阵 --阻尼矩阵
cij --当质点j有单位速度 ( y j =1) ,其余质点速度为0时, & --当质点 当质点j 其余质点速度为0 质点i上的阻尼力. 质点i上的阻尼力.
若下式成立
{X} [c]{X}j
T i
0 = * Cj
i≠ j i= j
[K ] = [M ][ω ]
* * 2
3.振型的规范化 3.振型的规范化 归一化振型 标准化振型
{X}T [m]{X}i i
= Mi* =1
求 {X}i0的标准化振型 {X}i ： 0 设：{X}i =α{X}i
Mi* = {X}i [m]{X}i =α2{X}i
T 0T
[m]{X}i0 = 1
α 2 = 1/ Mi0*
{y(t)} = {X}i sin( ωit +αi ) +{X}j sin( ω jt +α j )
T= 1 & & {y}T [m]{y} 2 1 T T = [ωi2 cos2 (ωit +αi ){X}i [m]{X}i +ω2 cos2 (ω jt +α j ){X}j [m]{X}j ] j 2 1 T T + ωi ω j cos(ωit +αi ) cos(ω jt +α j )[{X}i [m]{X}j +{X}j [m]{X}i ] 2
= T + Tj i
U= 1 {y}T [k]{y} 2 1 T T = [sin 2 (ωit +αi ){X}i [k]{X}i + sin 2 (ω jt +α j ){X}j [k]{X}j ] 2 1 T T + sin( ωit +αi ) sin( ω jt +α j )[{X}i [k]{X}j +{X}j [k]{X}i ] 2 = Ui +U j
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
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§3.3 振型分解法
一.振型正交性
X 1i
i振型
X i
X 2i
X Ni
m1
2 i
X
1i
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
mNi2 X Ni mN
X Ni
i振型上的 惯性力
m1i2 m2i2
X X
1i 2i
mNi2 X Ni
2 i
m1
m2
X1i
i振型上的弹性力在j振型上作 的虚功等于0
mNi2 X Ni mN
X Ni
mN
2 j
X
Nj
mN
X Nj
PN
X Ni
振型正交性的应用 1.检验求解出的振型的正确性。 2.对耦联运动微分方程组作解 耦运算等等.
例:试验证振型的正确性
m
m
EI
y2
l EI y1
l
X 1
2.123;X 2
0.897
1
12
m
m
2m
k 1 718
7
41878
EI l3
7
X
T 1
mX
2
2.23
1m0
0 2m
0.897
1
0.00031m
X
T 1
kX
2
2.23
11128//77
18/ 7
48/ 7
0.897
1
0.000154(
EI
/
l
3
)
例:已知图示体系的第一振型, 试求第二振型.
X
1
2.23
振型对刚度的正交性:
k X i
2 i
mX
i
m1
2 i
X
1i
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
X
T j
k
X
i
i2
X
T j
mX
i
X
T j
k
X
i
0
振型对刚度的正交性的物理意义
X1j X2 j
P1 P2
P kX i
X
T j
P
X
T j
k
X
i
0
X1i X 2i
X Nj
i2
X
T j
mX
i
由虚功互等定理
W ji Wij
j振型上的惯性力
(
2 j
i2
)X
T j
mX
i
0
在i振型上作的虚功
W ji
2 j
X
T i
mX
j
2 j
X
T j
mX
i
X
T j
mX
i
0
振型对质量的正交性的物理意义
Wij
i2
X
T j
mX
i
0
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
m1
2 i
X
1i
X1j X2 j
X Nj
i2
X
T j
mX
i
由虚功互等定理
W ji Wij
j振型上的惯性力
(
2 j
i2
)X
T j
mX
i
0
在i振型上作的虚功
W ji
2 j
X
T i
mX
j
2 j
X
T j
mX
i
X
T j
mX
i
0
振型对质量的正交性的物理意义
Wij
i2
X
T j
mX
i
0
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
解: A D1X 1 D2X 2
X 1
2.123;X
2
0.897
1
X
T 1
mA
D1X
T 1
mX
1
D2X
T 1
mX
2
D1
X
T 1
mA
X
T 1
mX
1
13.945m 6.9729m
2
A
A
D1X
1
3.1145
3.5
2
2.23
1
1.3455
1.5
A
2
1.3455
1.5
1.5
0.897
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求位移;
N
y(t) X i Di (t) i 1
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解: 1 5.692
X
1
1 1
EI
ml 3
X
2
2
22.045 1 1
EI ml 3
y1 (t )
yN (t)
i 1
N
i 1
N
X
T j
m(
X
i
Di (t
))
X
T j
k
(
X
i
Di
(t
))
X
T j
P(t
)
i 1
i 1
X
T j
mX
j
Dj (t
)
X
T j
k
X
j
Dj
(t
)
X
T j
P(t
)
M *j Dj (t)
K
* j
D
j
(t)
Pj* (t )
M
* j
---j振型广义质量
K
* j
---j振型广义刚度
Pj* (t) ---j振型广义荷载
mN
X 2i
X Ni
2 i
m
Xi
X 1i
j振型
X i
X 2i
i振型上的惯性力
X Ni
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
在j振型上作的虚功
Wij m1i2 X1i X1 j m2i2 X 2i X 2 j
X1j X2 j
mN
2 j
X
Nj
mN
1
;
m
m
EI
y2
l EI y1
l
解:
X
T
1
mX
2
2.23
1m0
0 2m
X X
12 22
0
2.23mX12 2mX 22 0
X12 2 X 22 2.23
X 2
0.897
1
m
m
例:已知图示体系在动荷载作用下的振幅为
EI
y2
A
3.1145 3.5000
试从其中去掉第一振型分量.
l EI y1 l
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
mNi2 X Ni mN
X Ni
振型对刚度的正交性:
k X i
2 i
mX
i
X
T j
k
X
i
i2
X
T j
mX
i
X
T j
k
X
i
0
i振型上的惯性力
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
mN
2 j
X
Nj
mN
在j振型上作的虚功
Wij m1i2 X1i X1 j m2i2 X 2i X 2 j
( j 1,2, N )
Pj* (t )
M
* j
D j (t)
K
* j
k X j
2 j
mX
j
X
T j
k
X
j
2 j
X
T j
mX
j
2 j
K
* j
/
M
* j
折算体系
二.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) X i Di (t)
y1(t) y2 (t)
yN (t)
i 1
M
* j
Dj (t
)
K *j Dj
(t)
Pj* (t )
M
* j
---j振型广义质量
K
* j
---j振型广义刚度
( j 1,2, N )
Pj* (t )
M
*ห้องสมุดไป่ตู้j
D j (t)
K
* j
Pj* (t) ---j振型广义荷载
折算体系
计算步骤: 1.求振型、频率;
y2 (t)
M1*
X
T 1
mX 1
2m
M
* 2
X
T 2
mX
2
2m
P1*
(t
)
X
T 1
P(t
)
1
1P
sint
0
P
sint
一.振型正交性
X 1i
i振型
X i
X 2i
X Ni
m1
2 i
X
1i
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
mNi2 X Ni mN
X Ni
i振型上的 惯性力
m1i2 m2i2
X X
1i 2i
mNi2 X Ni
2 i
m1
m2
X1i
i振型上的弹性力在j振型上作 的虚功等于0
mNi2 X Ni mN
X Ni
mN
2 j
X
Nj
mN
X Nj
PN
X Ni
振型正交性的应用 1.检验求解出的振型的正确性。 2.对耦联运动微分方程组作解 耦运算等等.
例:试验证振型的正确性
m
m
EI
y2
l EI y1
l
X 1
2.123;X 2
0.897
1
12
m
m
2m
k 1 718
7
41878
EI l3
7
X
T 1
mX
2
2.23
1m0
0 2m
0.897
1
0.00031m
X
T 1
kX
2
2.23
11128//77
18/ 7
48/ 7
0.897
1
0.000154(
EI
/
l
3
)
例:已知图示体系的第一振型, 试求第二振型.
X
1
2.23
振型对刚度的正交性:
k X i
2 i
mX
i
m1
2 i
X
1i
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
X
T j
k
X
i
i2
X
T j
mX
i
X
T j
k
X
i
0
振型对刚度的正交性的物理意义
X1j X2 j
P1 P2
P kX i
X
T j
P
X
T j
k
X
i
0
X1i X 2i
X Nj
i2
X
T j
mX
i
由虚功互等定理
W ji Wij
j振型上的惯性力
(
2 j
i2
)X
T j
mX
i
0
在i振型上作的虚功
W ji
2 j
X
T i
mX
j
2 j
X
T j
mX
i
X
T j
mX
i
0
振型对质量的正交性的物理意义
Wij
i2
X
T j
mX
i
0
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
m1
2 i
X
1i
X1j X2 j
X Nj
i2
X
T j
mX
i
由虚功互等定理
W ji Wij
j振型上的惯性力
(
2 j
i2
)X
T j
mX
i
0
在i振型上作的虚功
W ji
2 j
X
T i
mX
j
2 j
X
T j
mX
i
X
T j
mX
i
0
振型对质量的正交性的物理意义
Wij
i2
X
T j
mX
i
0
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
解: A D1X 1 D2X 2
X 1
2.123;X
2
0.897
1
X
T 1
mA
D1X
T 1
mX
1
D2X
T 1
mX
2
D1
X
T 1
mA
X
T 1
mX
1
13.945m 6.9729m
2
A
A
D1X
1
3.1145
3.5
2
2.23
1
1.3455
1.5
A
2
1.3455
1.5
1.5
0.897
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求位移;
N
y(t) X i Di (t) i 1
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解: 1 5.692
X
1
1 1
EI
ml 3
X
2
2
22.045 1 1
EI ml 3
y1 (t )
yN (t)
i 1
N
i 1
N
X
T j
m(
X
i
Di (t
))
X
T j
k
(
X
i
Di
(t
))
X
T j
P(t
)
i 1
i 1
X
T j
mX
j
Dj (t
)
X
T j
k
X
j
Dj
(t
)
X
T j
P(t
)
M *j Dj (t)
K
* j
D
j
(t)
Pj* (t )
M
* j
---j振型广义质量
K
* j
---j振型广义刚度
Pj* (t) ---j振型广义荷载
mN
X 2i
X Ni
2 i
m
Xi
X 1i
j振型
X i
X 2i
i振型上的惯性力
X Ni
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
在j振型上作的虚功
Wij m1i2 X1i X1 j m2i2 X 2i X 2 j
X1j X2 j
mN
2 j
X
Nj
mN
1
;
m
m
EI
y2
l EI y1
l
解:
X
T
1
mX
2
2.23
1m0
0 2m
X X
12 22
0
2.23mX12 2mX 22 0
X12 2 X 22 2.23
X 2
0.897
1
m
m
例:已知图示体系在动荷载作用下的振幅为
EI
y2
A
3.1145 3.5000
试从其中去掉第一振型分量.
l EI y1 l
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
mNi2 X Ni mN
X Ni
振型对刚度的正交性:
k X i
2 i
mX
i
X
T j
k
X
i
i2
X
T j
mX
i
X
T j
k
X
i
0
i振型上的惯性力
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
mN
2 j
X
Nj
mN
在j振型上作的虚功
Wij m1i2 X1i X1 j m2i2 X 2i X 2 j
( j 1,2, N )
Pj* (t )
M
* j
D j (t)
K
* j
k X j
2 j
mX
j
X
T j
k
X
j
2 j
X
T j
mX
j
2 j
K
* j
/
M
* j
折算体系
二.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) X i Di (t)
y1(t) y2 (t)
yN (t)
i 1
M
* j
Dj (t
)
K *j Dj
(t)
Pj* (t )
M
* j
---j振型广义质量
K
* j
---j振型广义刚度
( j 1,2, N )
Pj* (t )
M
*ห้องสมุดไป่ตู้j
D j (t)
K
* j
Pj* (t) ---j振型广义荷载
折算体系
计算步骤: 1.求振型、频率;
y2 (t)
M1*
X
T 1
mX 1
2m
M
* 2
X
T 2
mX
2
2m
P1*
(t
)
X
T 1
P(t
)
1
1P
sint
0
P
sint